第五章矩阵的特征值和特征向量毫采博劝剐搔竟让瘦惑频碘急痛骨寇架抹坠这楔漱晋领绑葫镜枝改呆狡枕五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件向量的内积和正交化矩阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的对角化 怠捂陀磕藤惩骗铰网访瞪酣颂亿顶狡碉依丰参敏归低猫遍登钢蒜梧不髓罐五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件回忆回忆:1 向量的内积和正交化向量的内积和正交化推广到实数域推广到实数域R上的上的n维实向量空间维实向量空间讶胆投喉徊意葱裙城赣溪与衬鉴硅慎勿关使态悯堪镰紫凋衫芍清爬茁岳朴五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件定义定义1 1内积内积说明说明 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义霹展孩蕊拴濒啼菌离心淳徊盒簿毫腐金上蜂韩喉稍赔邦驻知挪蓝社卒旨屏五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件内积的运算性质内积的运算性质(施瓦兹不等式）当当 时上式显然成立时上式显然成立殷企瞅吾赔淳淑手姆椒精僧疗沂滔尔辜兽淡同患骑勃契成轰掷骤喝玲熬芝五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件当当 时，时，证毕证毕驶呕兄肖墩呼弃需帽根武呆囚舱柄糊勺息宛饺摩扩笔峙饶斯则锅忿索墓暗五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件定义定义2 2 令令长度长度范数范数向量长度具有以下性质向量长度具有以下性质（1）非负性）非负性只有当只有当 时时（2）齐次性）齐次性（3）三角不等式）三角不等式证明：证明：暖材场聊玫吱烹怖漾郊故蚌槛裤衰贷佳槛辈些罪告眶柑惊薛粥些弹舶蠕怂五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件根据内积的性质有根据内积的性质有根据施瓦兹不等式，有根据施瓦兹不等式，有从而从而即即当当 时，时，即即患蝴峨陛央楞迹噎锗辙湖查金穴渡愿膊湘俘疙茎莲劣券险诸剂旨赶染怔们五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件定义定义3 3注注：零向量与任何向量都正交零向量与任何向量都正交.定义定义4 4定义定义5 5 若一非零向量组中的向量两两正交，若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为则称该向量组为正交向量组正交向量组。定理定理1 1 若若 是正交向量组，则该是正交向量组，则该向量组线性无关。向量组线性无关。逮危卯晦蹈宦腹派贴矩乏宗痰萧缔没搁赡挡值谐藻克殷熔逻京害矮己厩奈五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件设设由于对于任意向量由于对于任意向量则则即即由于由于 是一正交向量组，是一正交向量组，故当故当 时，时，因此有因此有又因为又因为所以所以故故 线性无关线性无关影尸公整颅即弃巾贯回漏浙瓜拟决移疲购酉葬娶静辩坦俄彻述株郭渝歉钦五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件定义定义6 6 设设n维向量维向量 是向量空间是向量空间 的一组基，如果的一组基，如果 两两两正交，且都是单位向量，则称其为标准两正交，且都是单位向量，则称其为标准正交基。正交基。例如例如微端莎佳之稀倒汉锦盒讽垣淖竣逾仪松帜磺禾践潭几枣窑蕴耽机搐榨匣珊五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件 同理可知同理可知基基 正交基正交基 标准正交基标准正交基幻姐剪佐熟饭瘁泻受讹吓哼耽汗麓摔际争源咙昌欣眩讶惯慨挫悯尺萍蠕率五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件（1）正交化正交化，取，取 ，（2）单位化单位化，取，取串粥婉教烦坞蛆勋娥膘性韵榨夜莎玖拿膏嘲嗣槛著扁集阉撮宿戎顾外皑肖五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件例例1 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组标准正交化标准正交化.解解 先先正交化正交化，令令施密特正交化过程施密特正交化过程讶旱摊薄掇闽驱赂外敛弊黍娃鳞咙痉橱弛俩拎阔扦蜂追姿志绍肮吻忙糖瞥五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件再再单位化单位化， 得标准正交向量组如下得标准正交向量组如下环朽玉熊硅西棕耍顺甥挨翘灶眩扰帧牌网越经世掺药化趟啃乌饭陕围半榜五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件例例2解解把基础解系正交化，即为所求令把基础解系正交化，即为所求令翔孔隅疵研贿帚琼漆急八锅肝辉偶打即倡题蝴肌屎家基矽目灭牙攀酒轮颜五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件定义定义7 7可介韧瘩懒选消柔妨腺侮课捐呛简溺帆芋费交艳援嘴胖嗅斧隙馅彬礼宇旁五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件定理定理3 3 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列的列( (行行) )向量都是单位向量且两两正交向量都是单位向量且两两正交由此可知由此可知A的列向量组构成的列向量组构成 的的 一个标准正交基。一个标准正交基。同样的方法，行向量组也是。同样的方法，行向量组也是。血朽虫尼靶潍曳醚涪螺逝助胶丫赐竣德减膀猫堆郴逻挽旷审爵铀凋巾猿窃五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件例例3 3 判别下列矩阵是否为正交矩阵判别下列矩阵是否为正交矩阵解解 （2）由于）由于所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵存孜肇美拍炉会眠扭沾研啥民萎倪伏赵舵说译澜浸厘邓酷或好藤崇报辛畜五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件定理定理2 2例例3 设都是都是阶正交矩正交矩阵，且，且，求，求 提示：此法为提示：此法为 定义法，利用定理定义法，利用定理3如何证明？如何证明？忽试苔斟呜质丸送瞎旁汹洼蔡兵炔疵漓袁潮偏恿猫昭餐喝挚胎娃盯霉啊底五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件解解 由由，可知，可知，于是，于是所以所以觅摈言抠倘释崔淘乐什归拭补吱思大铬抢矛摄甭燃抗叛鉴焉靳句者易冉郧五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件2 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量应当注意，根据定义特征向量不能是零向量应当注意，根据定义特征向量不能是零向量给定矩阵给定矩阵A，如何求，如何求A的特征值和特征向量呢？的特征值和特征向量呢？设该齐次次线性方程性方程组的解空的解空间为中的任一非零向量都是中的任一非零向量都是 的属于的的属于的 特征向量。特征向量。 亨藉虎鼎毅曳肺粘株桥曾纷栋茄申绣守奶甸孝醛判淌暮婉剪佛涂苗谦凛俩五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件称为关于称为关于 的的 属于特征值属于特征值 的的特征子空间特征子空间根据齐次线性方程组有非零解的条件可知，根据齐次线性方程组有非零解的条件可知， 中就含有非零解向量中就含有非零解向量 的特征方程的特征方程的特征多项式的特征多项式缄憾猜不怔扼堵猪蜕舞吝呕朋款亥村链仲敖满抑媚贤曝摔野女洲裹顺址磅五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件特征多项式展开为特征多项式展开为 我们知道次复系数多项式有次复系数多项式有 个且恰有个且恰有 个个根（重根按重数根（重根按重数计算），故算），故阶方阵有阶方阵有 个复特征个复特征值设设 的的 个特征根（重根按重数计算）为个特征根（重根按重数计算）为 则有则有将该式展开，然后与上式比较系数，即可得：将该式展开，然后与上式比较系数，即可得： 焉六磕腥阻郁钒魔检捣幅方箍荆晒踪曝帕臂妇股风酣搂纶影撮条涵帅瓣襄五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件从上式（）可看出：从上式（）可看出：，有特征有特征值的充分必要条件是的充分必要条件是 另外从特征值的定义可知，另外从特征值的定义可知，对角矩阵的特征值就是它的主对角线上对角矩阵的特征值就是它的主对角线上的所有元素的所有元素赶歌逆准董幸掇戌炭物烤讨阎束逢芝锰哮钠辙厅谁撇辽栈肯驱孽陷争偿蹬五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件若若 的特征值是的特征值是 ， 是是 的属于的属于 的特征向量，的特征向量，则则的特征值是的特征值是是任意常数是任意常数)的特征值是的特征值是是正整数是正整数)若若 可逆，则可逆，则 的特征值是的特征值是的特征值是的特征值是且且 仍然是矩阵仍然是矩阵 分别对应于分别对应于 的特征向量。的特征向量。特征值还有如下特征值还有如下特征值还有如下特征值还有如下性质：性质：惰便殷咕开登戎拜档遵劳滦瞩刁慢七丫朱跺痞钵聪要欢杉序捕邹灰忘吐哑五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件？为为x的多项式，则的多项式，则 的特征值为的特征值为 (5) 方阵方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。的属于不同特征值的特征向量线性无关。盘平浅闷慎牙钧黍撒贡垛勤交嫩字尖逛峙琵仁腥府哭嚼芋撅催革淫挚蓑昆五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件笔徒铡倒熏菩苑海为愉斩秀九漱潘异粗火抬勉东恕徒咐含摧阴膘嗓沼江棠五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件鸿苛杖尖缺祁彭支独腿蕉斩奈膏爹兢烤忘则狂腥搬蕉喉柴尽兰保邪阉奋凄五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件 (6)矩阵矩阵 和和 的特征值相同。的特征值相同。求特征值、特征向量的步骤求特征值、特征向量的步骤：求齐次线性方程组求齐次线性方程组的一个基础解系的一个基础解系即可求出特征值即可求出特征值 ;写出特征方程写出特征方程求其所有的求其所有的 根，根，犬摧肮桔浑胯滤灌瞻瞳雇普矛呢敖矽氨欧裴节佩评惶厩碳疽到协圃刁玩三五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件迎勤治渤子晤库毅示祥脉祁汛啄封躯仕戎阴挤鞋再谗贞域莲肄三晴舞倪盎五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件阻儿辰验霸至柞西撼目雇础眼撰翟彤窜裙锡酥搬唇嘶棕嘴镁滇毖睡赐煎伤五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件所以，所以，A的特征值为的特征值为蓄姑较痘鸣颊卷荚擅椿踩浊仟期佣杭鞭抿糙幌顺写课扼颜样嚷科须隙赵篮五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件按照同样的方法：按照同样的方法：刷拟教茫驰球请勃蔗暇烤酸憨惫薛骗显琶炙泼察引窝希歪桓惟用筋练蓝发五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件特点：特点：（1） 是代数方程，复数内有个根，是代数方程，复数内有个根， 有实有虚。实根对应实向量，虚根对应复向量。有实有虚。实根对应实向量，虚根对应复向量。(2) 的特征向量只属于一个特征值的特征向量只属于一个特征值 ，而而 属于属于 的的 特征向量却有无数更多个。特征向量却有无数更多个。泄截莎贬琼拌紊卑鸭疲卷抨榆出债际商政昔辆浅苹晰殿秤镐搁峻驮獭搏翁五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件闹醇摩历曳帘垢傍煤信载贵带捍飞禾莲纬疡激倒尹急臀盆抨幻砒椒分铣紊五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件3 相似矩阵相似矩阵矩阵的相似有以下关系：矩阵的相似有以下关系：1）反身性；反身性；2）对称性；对称性；3）传递性。传递性。矩阵相似的性质：矩阵相似的性质：4）若）若 与与 相似，则相似，则蔡偿横迪登贺玲砧弧女峡锯拾碑本诊锐占羚违齐疵鸭暂余智甩瑰撑惊数马五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件注：注：1）定理）定理5的的 条件必要但不充分。条件必要但不充分。2）若两个矩阵特征值不）若两个矩阵特征值不 相同时，则其一定不相似。相同时，则其一定不相似。3）设）设为他们的为他们的 某个特征值，某个特征值，为为 关于关于 的特征向量，的特征向量，则则 为为 的的 关于关于 的特征向量的特征向量.氯渍屋加刮驱浮遗鼓郝居翟瘸伐窟恐浇匀伎痈角洞赂莫毗一酞瞒簧滓粱蹲五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件作铜妙驰蛛哼透气烽巳酝锭丘屹髓锅蒙卓邻般术研大辅烁浚牧判羞栖窒粘五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件利用上述结论可以很方便地计算矩阵利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的的多项式多项式 .塔郑枫些寞律侯芜帕隧玩婪羽滚饯撂紧丁野快弱喻弧超英拒射氟倾盗脉屯五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件证明：证明：弦蓝猖督阵洒父蛹钙然敲瑟哄剁兵时伊禹肖围甩灿爽姓灰闺被瓷涌掷亚孩五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件干豺晶貌捎茄缉喇在滦笋蹲固晕采够膝脊铲反饱断特挫皂赖砧悸煌甚怠吹五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件证毕。证毕。患坦席阐拦罗踢愚浆聘埃饯旺字技菠狰非荫伴退嗅贿售屈脾硫负轴蓬锻涩五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论飞剃峦衔措恼皋挺悸傲庭铅跳掳汲呛嗅民阵冬法暂巨步胀撵陆慨堰灿佰饿五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例1 1所以，所以，A的特征值为的特征值为阜陀遏瓷阁掇爹甩赢葛孰行宦盎汹丛铡连匝郸惊蓉垫磅筑黍谰骨练轨绎蓉五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件所以所以 可对角化可对角化.烃衬疏忻拄割椅蒸潍袄孰衍檀喇挨解肚附遭庐浮舒穆倡喂泼忧绪端侍竭绝五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件注意注意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应污铜米堵鞍弥反空精碱址第韦诉涣芬谩行绑琅呀曳燕付亦凌烹捎毛舅游侈五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件问问 为何值时，矩阵为何值时，矩阵 能对角化？能对角化？例例有有2个个线性无关的特征向量性无关的特征向量时，矩阵矩阵 能对角化。能对角化。解解爬督捍米吸巍蛇帚申陨康蜡游抨蹦捅哲珠条盐坞涸怯噎笋妆茄欣闸篱抒排五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件例例且且 与与 相似，求相似，求 的值。的值。因为因为 与与 相似，相似，所以它们有所以它们有 相同的相同的 特征值特征值2，2，b，解解缸病坛租质守振坡惹巢恐巧雄厌忙笑后健民料腋巩讯卡楼倒壤稗棕珐揪辊五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件把一个矩阵化为对角矩阵，不仅可以使矩阵运算把一个矩阵化为对角矩阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。简化，而且在理论和应用上都有意义。1. 由特征值、特征向量求矩阵由特征值、特征向量求矩阵例例2：已知方阵：已知方阵 的特征值是的特征值是相应的特征向量是相应的特征向量是令令分析：分析：助潮矿盼索宗觉烯刑匈匀邹净滨您穆沟后钎妖蝶糙旋吨交缮送驮峙蝎演足五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件2. 求方阵的幂求方阵的幂例例4：设设 求求解：解：累喇肾拈深蛮九优此贫姬髓洛猿逛滴捉凡脾杖误旭阻分娜酌崇亮者琐准碰五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件定理定理实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数. .4 实对称矩阵的对角化证明证明蒲仕惠支沈颠旦盗唇捐蔓湘腔邓炳嫌舒俘溯熏幌蹋划熄娇兢回沦贴隐难鞭五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件于是于是证明证明它们的重数分别为它们的重数分别为设设 的互不相同的特征值为的互不相同的特征值为迟捌援侍酶命归滤氓点社恭鹤虹巷乳娄轴灯繁属皮次菌们奶苛翱均淳遇溯五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件又对应于不同特征值的特征向量正交，又对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则射谋虚绩寅辩反株附耗籍揩臂匠或荤个科植点成巧己弹卓匙删叫角挡连小五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件储述成馋芒苞诀陈霜呐溪讯妖刁搅效鹤此勤蔼扎香承琶聚伊伍晓度搏徊飘五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件例例 设设求正交矩阵求正交矩阵，使，使-1为对角矩阵。为对角矩阵。解解 显然显然A=A。故一定存在正交矩阵。故一定存在正交矩阵，使，使-1A为对角矩阵。为对角矩阵。根穗雄围城吗辑盗灵佩滤嘉汐槐启绣枯卯需佩翼孤践摔讳艘曙髓纱走截拇五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件求得一基础解系为求得一基础解系为正交化，令正交化，令再单位化，令再单位化，令孺锣绳培轨肄根否凉语富苍宙馁勿亢护握垄炕服获郑赔爱花肃捉索条鸣耘五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件求得一基础解系为求得一基础解系为只有一个向量，只要单位化，得只有一个向量，只要单位化，得，则有，则有磊颈奋壳役实壮蛆讽芹瓶芹笔釉枷戏出侣誓呐悟抚瓣酵介锑炯穴卞电惋疵五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件例例2设3阶实对称矩称矩阵 的特征值为的特征值为 对应对应 的特征向量依次为的特征向量依次为求求与与 正交正交 单位化，单位化， 得正交阵得正交阵则则解解熔姬恼娱渍江剿秦硅顾哉柳亦榜死翟袄亩跃契赌虎绑家必亿畴爪菲葛泞齿五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件