第三章第三章 字母表示数字母表示数 拱河大坝的横断面是梯形，已知这个梯形拱河大坝的横断面是梯形，已知这个梯形的上底的上底a=18m，下底，下底b=36m，高，高h=20m，你能，你能求出这个横断面的面积吗？求出这个横断面的面积吗？ 在现实生活中，常会遇到类似于求大坝横在现实生活中，常会遇到类似于求大坝横断面的面积问题，当这些线段的长度用字母表断面的面积问题，当这些线段的长度用字母表示时，我们如何进行计算呢？为了解决这类问示时，我们如何进行计算呢？为了解决这类问题，让我们一起来学习本章的内容吧！题，让我们一起来学习本章的内容吧！一、字母能表示什么一、字母能表示什么n一用字母表示数n我们可以使用一个字母a，让它来表示任意一个数字。n现实生活中存在的一些数量关系或规律不可能用具体的数意一一表示出来，这就需要我们用“字母”来代替数，提示它们的规律，用字母表示数量关系就是从具体的问题中抽象出数量之间的运算关系，用字母和数学符号表示出来。它的优点是具有一般性和简明性，值得注意的是:在同一问题中，同一个字母只能表示同一量。n例：小明步行的速度是v米/秒，而他骑车的速度是步行的3倍，那么他骑车的速度是 米/秒n例：某药店上月盈利a元，本月比上月多挣100元，则本月盈利 元n点评 用上月盈利加上100元即得本月盈利，注意结果后面若有单位，而结果本身又有“+”、“-”相连，则需加上括号n二用字母表示运算律和公式n1.用字母来表示运算律，可以使运算律的表述更简明，更具有代表性，如设a、b、c表示任意的三个数，加法交换律：a+b=b+a，加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c），乘法交换律：ab=ba，乘法结合律：（ab）c=a（bc），乘法分配律：a（b+c）=ab+acn2.用字母还可以表示我们学过的各种公式n例如，长方形的周长C=2（a+b），长方形的面积S=ab，其中a、b分别表示长方形长、宽。长方体的表面积S=2（ab+bc+ac），长方体的体积V=abc，其中a、b、c分别表示长方体的长、宽、高n例如，圆柱的侧面积、表面积，体积公式：n其中r，h分别表示圆柱的底面半径和高n例：n3.字母表示数经常用于探索数字规律的问题n例：图是用小木棒搭的正方形，用n表示正方形的个数，那么搭n个这样的正方形需要多少根木棒？n n分析 由具体图形分析出正方形个数与木棒根数的一般关系n解 方法一： n4+3（n-1）根n方法二： nn+n+（n+1）根n方法三： n4n-（n-1）根n方法四： n（3n+1）根n点评 方法一：第一个正方形用4根，以后每增加一个正方形就增加3根，搭n个正方形就增加了3（n-1）根，所以共用4+3（n-1）根；方法二：搭n个正方形上面和下面一排都用了n根，中间竖直摆了（n+1）根，所以共用n+n+（n+1）根；方法三：若这n个正方形都是完整的，需用4n根木棒，除第一个正方形外，后面（n-1）个正方形，都减少了一根木棒，所以实际用了4n-（n-1）根；方法四：搭成n个正方形，可将第一根单独拿出，后面就有n个3根木棒，所以共需（3n+1）根木棒。以上四个结果虽然表面不相同，学完后，实际上都可化为（3n+1）的形式。n类型一 用字母表示数量关系n如果三个连续自然数中最小的一个是a，则这三个数的平均数是（ ）n分析 最小的一个是a，那么另外两个连续自然数分别为（a+1），（a+2）n本题的关键是另两个数用含字母a的式子来表示；平均数的求法是所有数的和除以所有数的个数n类型二 用字母表示数在实际生活中的应用n已知树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表（树苗原高100厘米）年数年数a高度高度h（单位：厘米）（单位：厘米）1115213031454n（1）填出第4年树苗可能达到的高度n（2）根据这种长势，10年后这棵树可能达到的高度是 厘米n（3）请用含a的代数式表示：a年后树的高度h=n点评 我们可以把表格中的115看成100+15,130看成100+215,145看成100+315，规律就显而易见了n类型三 用字母表示数在探究规律中的应用n研究下列算式，你会发现什么规律？n根据这些算式，我们还可以再写一些：n从而发现规律：设第一个数为nn解 其中n为大于或等于1的整数n由特殊到一般，发展合情推理能力，用代数式表示这种规律是发展符号感的一个重要方面二、代数式二、代数式n1.代数式的概念n 用基本的运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫代数式，特别地，单独的一个数或字母也是代数式n重点：n1.代数式中不含“=”“”“”“0n3.代数式中除含有运算符号（加、减、乘、除、乘方等）外，还含有括号，因为有时需要用括号指明运算顺序n例：指出下列各式中哪些是代数式，哪些不是代数式n解 （1）（3）（5）（6）（7）是代数式，（2）（4）不是代数式n点评 判断是否是代数式应根据概念，同时别忘了“单独一个数或一个字母也是代数式”n2.列代数式n根据所给的语句表达的含义列出正确的代数式，并能用语言叙述代数式所表达的含义n用代数式表示：n（1）比8小x的数n（2）m个学生数学考试的总分是n分，这些学生数学考试的平均分n（3）菜场上黄瓜每千克a元，白菜每千克b元，某食堂要买30kg黄瓜、50kg白菜，需支付的钱数n（4）长方形的长为acm，宽为bcm，该长方形的周长和面积n（5）小明骑自行车上学，学校与家相距s（km），小明的速度为v（km/s）小明上学路上所花时间n（6）x的 倍n点评 同一字母，可以在不同的问题中代表不同的量（如a这个字母，在第（3）小题中表示黄瓜的单价，在第（4）小题中表示长方形的长）；但同一问题中，不同的量必须用不同的字母表示n3.代数式书写格式的五个规定n重点:n1.在代数式中出现的乘号,若是数字与数字相乘,则要用“”。若是数字与字母、字母与字母相乘，通常简写成“”或省略不写n2数字与字母相乘时，数字应写在前；字母与字母相乘时，一般按字母表的顺序n3.带分数与字母相乘时，要先把带分数化成假分数后，再与字母相乘n4.在代数式中出现除法运算时，一般按分数写法来写n5.代数式后若有单位，对有和差形式的代数式应添上括号n分数线具有“”和括号的双重作用，所以代数式中的分数形式可以省略括号n例：在式子中n中，符合代数式书写要求的有（ ）nA1个 B2个 C3个 D4个n（1）符合n（2）应写为分数形式，不符合n（3）符合n（4）把数字放在前面，不符合n（5）应把带分数化为假分数，不符合n应选Bn4.代数式的意义及实际意义n代数式的意义并无明确规定，在不引起误解的前提下，把代数式这个符号语言转化为文字语言。一般地，代数式意义有两种读法：（1）按运算顺序读，如3x+4读作“x的3倍加4”（2）按运算结果来读，就把3x+4读作“x的3倍与4的和”n代数式的实际意义就是将代数式中的字母及运算符号赋予具体的含义，如代数式a+b可表示为“七年级（1）班学生人数a人与（2）班学生人数b人，两班学生的总人数为（a+b）人”n类型一 列代数式表示数量关系n例：用代数式表示：n（1）x与y的5倍的和除以zn（2）a，b两数的平方差与a、b的和的平方的积n类型二 列代数式求阴影部分的面积n类型三 列代数式表示数字问题n列代数式时的数字问题：如个位数字为a，十位数为b，百位数为c，则这个三位数表示为100c+10b+a，切不可写成cban个位数字是a，十位数字是b的两位数可表示为 ，交换个位与十位数字后的两位数是n解 10b+a 10a+bn点评 正确表示数字是解此类题的关键三、代数式求值三、代数式求值n1.代数式的值的概念及求代数式的值的步骤n用具体的数值代替代数式里德字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做这个代数式的值。值得注意的是：我们不能笼统地说“一个代数式的值是多少”，而只能说当代数式中的字母取什么值时，求得这个代数式的值是多少，如代数式2xy，当x=1，y=2时对应代数式的值为212=4，而当x=3，y=-2时，对应的代数式的值为23（-2）=-12n求代数式值的步骤为：（1）代入；（2）计算。在求代数式的值时要注意下面的几个问题:(1)代数式中的字母取值必须保证代数式有意义，如代数式 中，字母x就不能取0，因为字母x等于零，代数式无意义n（2）代数式中字母的取值要符合实际意义，如代数式 ，若x表示人数，则x不能取负数和小数（3）如果字母的取值是负数或分数时，别忘了，该添上括号的必须添上括号（4）代数式中原来省略的乘号，代入数值时需添上，如当a=3时，2a=23，而不是2a=23n例：根据下列条件求代数式n点评：1求代数式的值时，只需把有关的字母换成给定的数值，其他字母和运算符号不变，然后按照运算顺序计算出结果即可n2在把数值代入代数式后，有些乘方或原来省略乘号的地方，需要添加上括号或乘号n2.数值转换机n有关数值转换机问题，必须搞清楚从数据的输入到结果的输出的过程中，有关的运算和运算顺序n如图所示，计算开始输入n的值为3，则最后输出的结果是n 否n 是输入n计算 200输出结果n分析 本题的关键是搞清楚该数值转换机的运算程序，当输入3时，计算结果为6，小于200，所以再返回去计算，n=6时的值为21，结果仍小于200，再返回去计算n=21时的值为231，大于200，所以就可输出结果，输出结果为231n类型一 利用列代数式求值解决实际问题n甲、乙两地相距100km，一辆汽车的行驶速度为vkm/h。根据下列条件列代数式，并求值：n（1）用代数式表示这辆汽车从甲地到乙地需行驶的时间n（2）若速度增加5km/h，则需多长时间？速度增加后比原来可早到多长时间？分别用代数式表示n（3）当v=50km/h时，分别计算上面各个代数式的值，并指明其意义n分析 路程=速度时间，这三者的关系是解本题的关键n点评 1.把文字“翻译”成代数式时，首先要根据有关数学概念正确地理解题目的含义，然后根据题目中各个量之间的关系，列出代数式。如本题主要是根据速度、时间、路程三者之间的关系来列式的。2.一个代数式中，字母的取值不能使代数式失去它所表示的实际意义，如本例中，v分之100中v不能取0，因为分母不能为0；另一方面，v不能取负值，因为速度的值不能为负n类型二 利用代数式求值研究代数式值的变化速度问题n分别求出当n=1、2、3、4、5时， 与20n+6的值，并估计一下，随着n的增大，哪个分数式的值会先超过600？n类型三 结合倒数、绝对值、相反数求代数式的值n启示 本题综合考查了前面学习过的绝对值、倒数、相反数、几个非负数和为0的性质，这就要求我们要时常温习学过的知识，另外，因为b有两个值，所以本题解答时分为两种情况，用到了分类讨论的思想方法n类型四 求规律性代数式的值n我们知道：2129=609；2327=621；2525=625n根据下面所给a，b，c的值，求代数式100a（a+1）+bc的值n1.a=2，b=1，c=9；2.a=2，b=3，c=7n根据下面所给a，b，c的值，求代数式（10a+b）（10a+c）的值n3.a=2，b=1，c=9；4.a=2，b=3，c=7n以上两题你能发现什么规律？由此规律再算一下3337,6367的值n分析 先由以上两题的结果观察出（10a+b）和（10a+c）的积的规律，再求3337和6367的值n解：1.当a=2，b=1，c=9时，n100a（a+1）+bc=1002（2+1）+19=600+9=609n2.当a=2，b=3，c=7时，n100a（a+1）+bc=1002（2+1）+37=600+21=621n3.当a=2，b=1，c=9时，n（10a+b）（10a+c）=（102+1）（102+9）=2129=609n4.当a=2，b=3，c=7时，n（10a+b）（10a+c）=（102+3）（102+7）=2327=621n10a+b和10a+c都是两位数，且这两个数的十位上的数字相同，若个位上的数字之和为10，则有（10a+b）（10a+c）=100a（a+1）+bcn所以3337=1003（3+1）+37=1200+21=1221,6367=1006（6+1）+37=4200+21=4221n启示 由特殊到一般是总结规律的方法，需要认真观察，从特殊的个例中发现内在规律四、合并同类项四、合并同类项n1.代数式中有关项及各项系数的概念n2.同类项的概念n含有相同字母，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项n判断下列各组中的两项是否是同类项：n解：（1）不是（2）不是（3）是（4）不是n点评 判断同类项的标准有两条：1.所含字母相同；2.相同字母的指数也分别相同，两条标准缺一不可。n3.合并同类项概念及法则n把同类项合并成一项就叫做合并同类项n合并同类项的法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变点评点评 合并同类项的要点：合并同类项的要点：1.同同类项的系数相加；类项的系数相加；2字母和字母字母和字母的指数不变的指数不变n4.应用合并同类项化简代数式再求值n求代数式的值时，若有同类项应先合并化简后，再代入求值，这样可使运算简便n求多项式n类型一 利用同类项的概念求代数式的值n类型二 由代数式中项的特点求待定字母的值n类型三 比较复杂代数式的同类项合并问题n合并下列各式中的同类项n分析 先寻找式中的同类项，并作上记号，然后根据合并同类项的法则进行合并n类型四 在实际问题中列代数式，合并同类项探究问题n李明的父亲是做服装生意的。一次他将甲、乙两件上衣同时卖出，卖价均为a元，其中甲种上衣盈利25%，而乙种上衣却亏损25%，请你帮李明的父亲算一算，他做这次生意是赚了还是赔了？若赚了，赚了多少？若赔了，又赔了多少？n分析 分别求出两种上衣的进价，再与售价进行比较五、去括号五、去括号n1.去括号法则及去括号的意义n去括号法则n括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变n去括号的意义n在代数式的运算过程中遇到有括号时，往往无法先进行括号内的运算，或先算括号内的却相对复杂，而先去括号再进行运算能使运算得以顺利进行n例如：化简8a+2b+（5a-b），括号内的5a与-b不是同类项，不能合并，同时，我们又看到8a与5a，2b与-b是同类项，但如果没去括号同类项无法进行合并，因此此题必须先去括号才能合并同类项，从而把原代数式化简n化简：3x+（-x+2x+1）-（2x+2x-1）n分析 先按去括号法则去括号，然后合并同类项n解 原式=3x-x+2x+1-2x-2x+1n =（3-1-2）x+(2-2)x+(1+1)n =2n启示 去括号时应注意括号里各项符号不能出错n例：化简3（4x-2）-3（-1+8x）的结果是( )nA36x-9 B36x-3 C-12x-9 D-12x-3n分析 两个括号可以利用乘法分配律去掉n解 Dn点评 此题中有2个括号，分别按照区括号法则去掉后，合并同类项即可，即3（4x-2）-3（-1+8x）=12x-6+3-24x=-12x-3，故选Dn例：化简2a-3b-3a-（2b-a）-2an分析 根据区括号法则，可有由里向外或由外到里的两种去法。n解法一 原式=2a-3b-3a-2b+a-2an =2a-3b-4a-2b-2an =2a-3b-4a+2b-2an =2a-33b-6an =2a-9b+18an =20a-9bn解法二 原式=2a-3b+33a-(2b-a)+6an =8a-3b+9a-3(2b-a)n =17a-3b-6b+3an =20a-9bn点评 化简多项式时,如果题中含有多重括号,可由里向外逐层去括号,也可由外向里逐层去括号,但这时要注意将内层括号看成一项来处理n类型一 利用去括号化简代数式n设A=3x+4xy,B=x+3xy-y.试求:n(1)A-B;(2)-A+2Bn解:(1)A-B=(3x+4xy)-(x+3xy-y)n =3x+4xy-x-3xy+yn =2x+xy+yn （2）-A+2B=-（3x+4xy）+2（x+3xy-y）n =-3x-4xy+2x+6xy-2yn =-x+2xy-2yn点评 将A、B代入后，去括号、合并同类项即可n类型二 与有理数有关概念的综合应用问题n有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b|-|a-b|-|b-c|n a 0 b cn分析 由a、b、c在数轴上的位置可知：a0bc,且|a|74，所以选择第二种收费方式比较合算.n点评 1.每种收费要搞清楚收费的方式;2.要注意单位的统一六、探索规律六、探索规律n1.探索规律的一般方法n（1）从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律n（2）由此及彼，合理联想n（3）善于类比，从不同事物中发现其相似或相同点n（4）总结规律，大胆猜想，作出结论，并验证结论正确与否n（5）在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，收到事半功倍的效果n2.解“探索规律性问题”的一般步骤n（1）观察：n探索、发现规律往往是从观察开始的，要善于观察，勤于观察，对于猜测出的结果，可取值进行验证。对一列数，可观察它前后几项的和、差、积、平方等特点，注意数的大小、结构的变化，进行多角度的观察、调整，才能迅速找到解题突破口n（2）归纳：n从已知量的有限个数据中去寻找数量或图形之间的关系，进行归纳n（3）猜想：n对归纳出的数量关系进行大胆猜想，得出它们的共同表达式n（4）验证：n列举符合条件的数据，检验猜想的表达式的正确性，然后得出结论n3.日历中的规律n日历中的数的规律：横行中相邻两数相差1；竖列中相邻两数相差7；斜向中从左上到右下的斜向相邻两数相差8，从右上到左下的斜向相邻两数相差6n例：如图2010年6月份的日历，现有一矩形在日历任意框出4个数 a bn c dn请用一个等式表示a，b，c，d之间的关系是日日 一一 二二 三三 四四 五五 六六 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 2627 28 29 30n分析 由日历中数的规律中寻找四个数之间的关系n解：a+d=b+cn点评 这四个数的关系，还可以用其他等式，如c-a=d-b来表示n4.图形中的规律n用同样大小的黑、白棋子摆设如图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子的枚数用含n的代数式表示是n分析 关键是观察，观察的角度不同解法也不同n n n n n n第一个 第二个 第三个 第n个 n方法1：观察第1个图案，可知白色棋子有8个，即4（1+1）个，第2个图案中白色棋子有12个，即4(2+1)个，第3个图案白色棋子有16个，即4（3+1）个，所以第n个图案中白色棋子的个数是4（n+1）个，即（4n+4）个。n方法2：第1个图案白色棋子的枚数为3-1=8n第2个图案白色棋子的枚数为4-2=12n第3个图案白色棋子的枚数为5-3=16，n第n个图案白色棋子的枚数为（n+2）-n=4n+4n解 （4n+4）个n点评 细心观察、合理猜想是解此类题目的关键n类型一 数列中找规律n类型二 等式中的规律性问题n观察下列等式：n2=2=12n2+4=6=23n2+4+6=12=34n2+4+6+8=20=45nn（1）可以猜想，从2开始到第n（n为自然数）个连续偶数的和是n（2）当n=10时，从2开始到第10个连续偶数的和是n分析 从n=1，2，3观察等式的规律n解 (1)n(n+1) (2)110n点评 根据题目所给的等式可以看出：从2开始，n个连续偶数的和就等于n（n+1）n类型三 求n个数和的规律问题n例：计算：1+2+3+80