第7讲空间中角与距离的计算考纲要求考点分布考情风向标1.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理( 包括三垂线定理).2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用2011 年新课标以四棱锥为背景，考查求二面角的余弦值的大小；2012 年新课标以三棱柱为背景，考查求二面角的大小；2013 年新课标以三棱柱为背景，考查求线面所成角的正弦值；2014 年新课标以三棱柱为背景，考查求二面角的余弦值；2015 年新课标考查求直线与直线所成角的余弦值；2016 年新课标考查利用空间向量求二面角；2017 年新课标考查利用空间向量求二面角在近年高考试卷中， 立体几何常常以锥体或柱体为载体，命题呈现一题两法的新格局.一直以来立体几何解答题都是让广大考生又喜又忧.为之而喜是因为只要能建立直角坐标系，基本上可以处理立体几何绝大多数的问题；为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大，问题不能得到很好的解决.比较容易建系的就用空间向量(有三线两两垂直或面面垂直的)，否则还是利用传统的推理与证明1.异面直线所成的角过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b.那么直线 a与 b所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)，其范围是_.(0，902.直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于 0.90(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于_.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0，90).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.3.二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做_.直二面角4.点到平面的距离点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.求点到平面的距离通常运用等体积法，即构造一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的高.5.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.1.若 a(1，2，3)是平面的一个法向量，则下列向量中能)作为平面的法向量的是(A.(0，1，2)C.(1，2，3)B.(3，6，9)D.(3，6，8)解析：向量(1，2，3)与向量(3，6，9)共线.B2.若直线 l，且 l 的方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为，则 m()A.4C.8B.6D.8C3.已知平面 上的两个向量 a(2，3，1)，b(5，6，4)，)则平面的一个法向量为(A.(1，1，1)C.(2，1，1) B.(2，1，1)D.(1，1，1)C4.如图 871，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2，AA11，则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为_.图 871考点 1 线面所成角的计算例 1：(2017 年广东惠州三模)如图 872，四棱锥 PABCD的底面是梯形，且 ABCD，AB平面 PAD ，E 是 PB 中点，(1)求证：CE平面 PAB；(2)若 CE ，AB4，求直线 CE与平面 PDC 所成角的大小.图 872，(1)证明：取 AP 的中点 F，连接 DF，EF，如图.因为 PDAD，所以 DFAP.因为 AB平面 PAD ，DF平面 PAD ，所以 ABDF.又因为 APABA，所以 DF平面 PAB.因为点 E 是 PB 中点，所以 EFAB，且 EFAB2.又因为 ABCD，且 CDAB2所以 EFCD，且 EFCD.所以四边形 EFDC 为平行四边形.所以 CEDF，所以 CE平面 PAB.图 D66(2)解：如图 D66，设点 O，G 分别为 AD，BC 的中点，连接 OG，则 OGAB.因为 AB平面 PAD ，AD平面 PAD ，所以 ABAD.所以 OGAD.又因为 AB4，所以 AD2.所以APD 为正三角形.所以 POAD.因为 AB平面 PAD ，PO平面 PAD ，所以 ABPO.又因为 ADABA，所以 PO平面 ABCD.【规律方法】求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法：传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影.空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角.【互动探究】1.(2017 年北京) 如图 873 ，在四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面 PAD 平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD平面 MAC，PA PD ，AB4.(1)求证：M 为 PB 的中点；(2)求二面角 BPDA 的大小；(3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值.图 873(1)证明：设 AC，BD 交点为 E，连接 ME，如图 D68.因为 PD平面 MAC，平面 MAC平面 PBDME，所以PDME.因为 ABCD 是正方形，所以 E 为 BD 的中点.所以 M 为 PB 的中点.图 D68(2)解：取 AD 的中点 O，连接 OP，OE.因为 PA PD，所以 OPAD.又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD，OPAD，且 OP平面 PAD ，所以 OP平面 ABCD.因为 OE平面 ABCD，所以 OPOE.因为 ABCD 是正方形，所以 OEAD.如图 D69，建立空间直角坐标系 Oxyz，图 D69考点 2 面面所成角的计算例2：(2017 年江苏)如图 874，在平行六面体 ABCDBAD120.(1)求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值；(2)求二面角 BA1DA 的正弦值.图 874如图D67，以AE，AD，AA1为正交基底，建立空间直角坐解：在平面 ABCD 内，过点 A 作 AEAD，交 BC 于点 E.因为 AA1平面ABCD，所以 AA1AE，AA1AD. 标系 Axyz.图 D67【规律方法】求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三垂线定理法；射影面积法.(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小.【互动探究】2.(2017 年新课标)如图 875，四棱锥 PABCD 中，侧面ABC90，E 是 PD 的中点.(1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面ABCD 所成锐角为 45 ，求二面角 MABD的余弦值.图 875(1)证明：取 PA 中点 F，连接 EF，BF. 由BADABC90，得 BCAD，所以四边形 BCEF 为平行四边形.所以 CEBF.又 BF平面 PAB，CE 平面 PAB，所以 CE平面 PAB.图 D70难点突破利用空间向量求空间距离例题：(2017 年天津)如图 876，在三棱锥PABC 中，PA 底面 ABC，BAC90.点 D，E，N 分别为棱 PA ，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA AC4，AB2.(1)求证：MN平面 BDE；(2)求二面角 CEMN 的正弦值；图 876(3)已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为，求线段 AH 的长.解：如图877，以A为原点，分别以AB，AC，AP方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.图 877依题意可得 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0).【互动探究】3.已知多面体 SABCD 如图 878，底面 ABCD 为矩形，其中 DC平面 SAD，SDA90，若 P，Q，R 分别是 BC，SA，AD 的中心，其中 ADCD2.(1)证明：ADPQ；(2)若二面角 SBRD 的余弦值为，求 SD 的长.图 878(1)证明：取 SD 的中点 H，连接 QH，HC.因为 ABCD 是正方形，所以 ADBC，ADBC.因为 Q，H 分别是 SA，SD 的中点，所以 QHPC，QHPC.所以四边形 QHCP 是平行四边形.所以 PQHC.因为SDA90，SDDCD，所以 AD平面 SDC.又 HC平面 SDC，所以 ADHC.所以 ADPQ.(2)解：如图 D71，以 D 为原点，射线 DA，DC，DS 分别为 x，y，z 轴正方向，建立空间直角坐标系.设 SDa(a0)，则S(0，0，a)，R(1，0，0)，B(2，2，0).图 D71因为 SD底面 ABCD，所以平面 ABCD 的一个法向量为 m(0，0，1).设平面 SRB 的一个法向量为 n(x，y，z)，