第三章 概率的进一步认识3.1 用树状图或表格求概率(一)青岛市崂山区第八中学 孙涛生活中生活中,有些事情我们先能肯定它一定会有些事情我们先能肯定它一定会发生发生,这些事情称为这些事情称为有些事情我们先能肯定它一定不会发生有些事情我们先能肯定它一定不会发生,这些事情称为这些事情称为有些事情我们事先无法肯定它会不会有些事情我们事先无法肯定它会不会发生发生,这些事情称为这些事情称为必然事件必然事件不可能事件不可能事件不确定事件不确定事件概率是研究大量同类随机现象的概率是研究大量同类随机现象的统计规律的数学学科。统计规律的数学学科。概率是随机事件发生的可能性的数量指标概率是随机事件发生的可能性的数量指标。对于任何事件的概率值一定介于对于任何事件的概率值一定介于0和和1之间之间 0概率值概率值P1第一环节：温故而知新，可以为师矣。第一环节：温故而知新，可以为师矣。问题再现：问题再现： 小明和小凡一起做游戏。在小明和小凡一起做游戏。在一个装有一个装有2 2个红球和个红球和3 3个白球个白球( (每个每个球除颜色外都相同球除颜色外都相同) )的袋中任意摸的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜。摸到白球小凡获胜。 （1 1）这个游戏对双方公平吗？）这个游戏对双方公平吗？（2 2）如果是你，你会设计一个）如果是你，你会设计一个什么游戏活动判断胜负？什么游戏活动判断胜负？ 在一个双在一个双人游戏中，人游戏中，你是怎样理你是怎样理解游戏对双解游戏对双方公平的？方公平的？教师启发第一环节：温故而知新，可以为师矣第一环节：温故而知新，可以为师矣新问题：新问题： 小明、小凡和小颖都想去看小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票。周末电影，但只有一张电影票。三人决定一起做游戏，谁获胜谁三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影。游戏规则如下：就去看电影。游戏规则如下： 连续抛掷两枚均匀的硬币，连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面朝上，则小颖获胜；如果两枚反面朝上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜。上，小凡获胜。你认为这个游戏公平吗？你认为这个游戏公平吗？ 如果不公如果不公平，猜猜谁平，猜猜谁获胜的可能获胜的可能性更大？性更大？教师启发第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园活动内容：活动内容：（1 1）每人抛掷硬币）每人抛掷硬币2020次，并记录次，并记录每次试验的结果，根据记录填写每次试验的结果，根据记录填写下面的表格：下面的表格： 抛掷硬币抛掷硬币应注意什么应注意什么问题？问题？教师启发第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园活动内容：活动内容： （3 3）由上面的数据，请你分别）由上面的数据，请你分别估计估计“两枚正面朝上两枚正面朝上”“”“两枚反两枚反面朝上面朝上”“”“一枚正面朝上、一枚一枚正面朝上、一枚反面朝上反面朝上”这三个事件的概率。这三个事件的概率。由此，你认为这个游戏公平吗？由此，你认为这个游戏公平吗？ 想想，我们想想，我们刚才都经历了哪刚才都经历了哪些过程？你有什些过程？你有什么体会？么体会？活动体会：活动体会：从上面的试验中我们发现，试验次数较从上面的试验中我们发现，试验次数较大时，试验频率基本稳定，而且在一般情况下，大时，试验频率基本稳定，而且在一般情况下，“一枚一枚正面朝上。一枚反面朝上正面朝上。一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事发生的概率大于其他两个事件发生的概率。所以，这个游戏不公平，它对小凡比较件发生的概率。所以，这个游戏不公平，它对小凡比较有利。有利。教师启发第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园深入探究：深入探究：在上面抛掷硬币试验中，在上面抛掷硬币试验中，（1 1）抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？）抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？它们发生的可能性是否一样？（2 2）抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？）抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？它们发生的可能性是否一样？（3 3）在第一枚硬币正面朝上的情况下，）在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？上呢？让我们小组交流一下自己的想法吧！让我们小组交流一下自己的想法吧！教师启发第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园探究体会：探究体会： 由于硬币是均匀的，因此抛掷第一枚硬币出现由于硬币是均匀的，因此抛掷第一枚硬币出现“正面朝上正面朝上”和和“反面朝上反面朝上”的概率相同。无论抛掷第的概率相同。无论抛掷第一枚硬币出现怎样的结果，抛掷第二枚硬币时出现一枚硬币出现怎样的结果，抛掷第二枚硬币时出现“正面朝上正面朝上”和和“反面朝上反面朝上”的概率也是相同的。所以，的概率也是相同的。所以，抛掷两枚均匀的硬币，出现的（正，正）（正，反）抛掷两枚均匀的硬币，出现的（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）四种情况是等可能的。（反，正）（反，反）四种情况是等可能的。因此，我们可以用树状图或表格因此，我们可以用树状图或表格表示所有可能出现的结果。表示所有可能出现的结果。教师启发教师启发第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园利用树状图或表格，我们可以不重复，不利用树状图或表格，我们可以不重复，不遗留地列出所有可能的结果，从而比较方遗留地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率。便地求出某些事件发生的概率。实践与猜想实践与猜想 准备两组相同的牌准备两组相同的牌, ,每组两张每组两张, ,两张牌两张牌面的数字分别是面的数字分别是1 1和和2.2.从两组牌中各摸从两组牌中各摸出一张为一次试验出一张为一次试验. .1212第一组第一组 第二组第二组w用用树状图树状图来研究上述问题来研究上述问题开始开始第一张牌的牌面的数字1 12 2第二张牌的牌面的数字1 12 21 12 2所有可能出现的结果(1,1)(1,1) (1,2)(1,2) (2,1)(2,1) (2,2)(2,2)问题探究问题探究w从上面的从上面的树状图树状图或或表格表格可以看出：可以看出：w（1 1）在摸牌游戏中）在摸牌游戏中, ,一次试验可能出现的结一次试验可能出现的结果共有果共有4 4种：种：(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),w（2 2）每种结果出现的可能性相同）每种结果出现的可能性相同. .也就是说也就是说, ,每种结果出现的概率都是每种结果出现的概率都是1/4.1/4.w（3 3）两张牌面数字之和是）两张牌面数字之和是2 2、3 3、4 4的的概率概率分分别是别是1/41/4、1/21/2、1/41/4第二张牌的牌面数字第二张牌的牌面数字第一张牌的牌面数字第一张牌的牌面数字1 11 12 2(1,1)(1,1)(1,2)(1,2)2 2(2,1)(2,1)(2,2)(2,2)w用用表格表格来研究上述问题来研究上述问题活动内容活动内容2 2：一个盒子中装有一个红球、一个白球。一个盒子中装有一个红球、一个白球。这些球除颜色外都相同，从中随机地摸出一个球，记这些球除颜色外都相同，从中随机地摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球。求：下颜色后放回，再从中随机摸出一个球。求：（1 1）两次都摸到红球的概率；）两次都摸到红球的概率；（2 2）两次摸到不同颜色球的概率；）两次摸到不同颜色球的概率； 只有一张电影票，通过做这样一个只有一张电影票，通过做这样一个游戏，谁获胜谁就去看电影。如果是游戏，谁获胜谁就去看电影。如果是你，你如何选择？你，你如何选择？教师启发第三环节：会当凌绝顶，一览众山小第三环节：会当凌绝顶，一览众山小第四环节：问渠哪得清如许第四环节：问渠哪得清如许 为有源头活水来为有源头活水来1 1、本节课你有哪些收获？有何感想？、本节课你有哪些收获？有何感想？2 2、用列表法求概率时应注意什么情况？、用列表法求概率时应注意什么情况？用列表法求随机事件发生的理论概率用列表法求随机事件发生的理论概率（也可借用树状图分析）（也可借用树状图分析）学会了学会了明白了明白了用列表法求概率时应注意各种情况发生用列表法求概率时应注意各种情况发生的可能性务必相同的可能性务必相同懂得了懂得了合作交流的重要性，体会到了一种精神：合作交流的重要性，体会到了一种精神：就是要勇于暴露自己的思想就是要勇于暴露自己的思想教师启发第五环节：学而时习之，不亦乐乎第五环节：学而时习之，不亦乐乎（探究）一个袋中有（探究）一个袋中有2 2个红球，个红球，2 2个黄球，每个球除颜色个黄球，每个球除颜色外都相同，从中一次摸出外都相同，从中一次摸出2 2个球，个球，2 2个球都是红球的可能个球都是红球的可能性是（）性是（） A A、 B B、 C C、 D D、