第第1 1章章 矢量分析矢量分析一、矢量的运算法则一、矢量的运算法则二、矢量微分元：线元，面元，体元二、矢量微分元：线元，面元，体元三、标量场的梯度, ,散度，和旋度散度，和旋度* *四、重要的场论公式四、重要的场论公式工程电磁场电磁波复习标量积（点积）：推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。工程电磁场电磁波复习推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。矢量积（叉积）：工程电磁场电磁波复习矢量微分元：线元、面元、体元例：其中： 和 称为微分元。1. 直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：工程电磁场电磁波复习2. 圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：工程电磁场电磁波复习3. 球坐标系在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：工程电磁场电磁波复习a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1， 即：b. 在柱坐标系中，坐标变量为 , 其中 为角度， 其对应的线元 ，可见拉梅系数为：c.在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为d. 角度，其拉梅系数为：注意：工程电磁场电磁波复习梯度梯度定义定义标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：标量场的梯度标量场的场函数为工程电磁场电磁波复习在柱坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：工程电磁场电磁波复习散度：散度：a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。 b.表达式：c.散度的计算： 散度定理：散度定理：物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。工程电磁场电磁波复习矢量场的旋度矢量场的旋度1. 1. 环量环量： 在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。可见：环量的大小与环面的方向有关。2. 2. 旋度旋度: :定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环 的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。表达式：工程电磁场电磁波复习旋度计算：以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：旋度可用符号表示：斯托克斯定理：斯托克斯定理：工程电磁场电磁波复习七、重要的场论公式七、重要的场论公式1. 1. 两个零恒等式两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。 任何矢量场的旋度的散度恒为零。 工程电磁场电磁波复习常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式 工程电磁场电磁波复习一、场量的定义和计算一、场量的定义和计算( (一一) ) 电场电场( (二二) ) 电位电位( (三三) ) 磁场磁场 ( (四四) ) 矢量磁位矢量磁位 二、麦克斯韦方程组的建立二、麦克斯韦方程组的建立( (一一) ) 安培环路定律安培环路定律( (二二) ) 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律( (三三) ) 电场的高斯定律电场的高斯定律( (四四) ) 磁场的高斯定律磁场的高斯定律( (五五) ) 电流连续性方程电流连续性方程第第2 2章章 电磁学基本理论电磁学基本理论三、麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式三、麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式工程电磁场电磁波复习库仑定律 其中： 为真空中介电常数。电场强度的计算 其中：其中： 是源电荷指向场点的方向。是源电荷指向场点的方向。(1) (1) 点点电荷周围电场强度的计算公式：电荷周围电场强度的计算公式：工程电磁场电磁波复习电流元电流元 在空间所产生的磁感应强度为： 该式称为毕奥萨伐尔定律。安培力实验定律： 磁感应强度的计算其中： 为真空磁导率。得到：比较工程电磁场电磁波复习2. 矢量磁位的引入根据矢量恒等式：引入矢量 ，令 则：该矢量 称为矢量磁位，单位为韦伯/米（Wb/m）。 3. 矢量磁位的计算规范条件：对线电流的情况：已知：a.线电流矢量磁位计算工程电磁场电磁波复习利用矢量恒等式：则：矢量磁位：该式为线电流产生的磁场中的矢量磁位计算公式。为零！工程电磁场电磁波复习（二）麦克斯韦方程组的微分形式 积分形式:微分形式:注意：麦克斯韦方程的微分形式只适用于媒体的物理性质 不发生突变的区域。 微分形式的麦克斯韦方程组给出了空间某点场量之间及场量与场源之间的关系。 工程电磁场电磁波复习第第3 3章章 媒质的电磁性质和边界条件媒质的电磁性质和边界条件一、一、 导体导体, ,电磁介质电磁介质( (物态方程，电导率，磁导率等概念）物态方程，电导率，磁导率等概念）二、媒质中的麦克斯韦方程组二、媒质中的麦克斯韦方程组三、电磁场的边界条件三、电磁场的边界条件( (三类，三类，8 8个边界条件）个边界条件）引言引言工程电磁场电磁波复习四、媒质中的麦克斯韦方程组四、媒质中的麦克斯韦方程组 积分形式 微分形式三个物态方程： 工程电磁场电磁波复习电磁场的边界条件电磁场的边界条件 决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。 1. 电场法向分量的边界条件 如图所示，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律故：若规定为从媒质指向媒质为正方向，则 因为：工程电磁场电磁波复习2. 电场切向分量的边界条件 在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd ,在此回路上应用法拉第电磁感应定律 因为 故： 该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。 或因为若媒质为理想导体时：理想导体表面没有切向电场。工程电磁场电磁波复习3. 标量电位的边界条件 在两种媒质分界面上取两点，分别为A和B，如图 ，从标量电位的物理意义出发 该式表明：在两种媒质分界面处，标量电位是连续的。 故：因为： 在理想导体表面上： （常数） 工程电磁场电磁波复习4. 磁场法向分量的边界条件 在两种媒质分界面处做一小柱形闭合面，如图 在该闭合面上应用磁场的高斯定律则：该式表明：磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的。 因为若媒质为理想导体时,由于理想导体中的磁感应强度为零， 故: 因此，理想导体表面上只有切向磁场，没有法向磁场。工程电磁场电磁波复习5. 磁场切向分量的边界条件 在两种媒质分界面处做一小矩形闭合环路，如图 在此环路上应用安培环路定律 于是： 或：若：即：在理想铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。 工程电磁场电磁波复习6. 矢量磁位的边界条件 矢量磁位在分界面处也应是连续的，即7. 标量磁位的边界条件 在无源区域，安培环路定律的积分和微分形式为: 引入一标量函数，令标量磁位 根据标量磁位定义和磁场的边界条件可得： 和工程电磁场电磁波复习8. 电流密度的边界条件 在两种导电媒质分界面处做一小柱形闭合面。如图 根据电流连续性方程或得：根据：或工程电磁场电磁波复习电磁场中各参量的边界条件，归纳如下。 标量形式 矢量形式工程电磁场电磁波复习第第4 4章章 静态场分析静态场分析静态场的工程应用静态场的工程应用一、静态场特性一、静态场特性二、泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程三、静态场的重要原理和定理三、静态场的重要原理和定理四、镜像法四、镜像法*五、分离变量法五、分离变量法*工程电磁场电磁波复习1.1.静态场的麦克斯韦方程组静态场的麦克斯韦方程组静态场与时变场的最本质区别静态场与时变场的最本质区别：静态场中的电场和磁场：静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。是彼此独立存在的。工程电磁场电磁波复习静电场的泊松方程和拉普拉斯方程静电场的泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程 静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。泊松方程拉普拉斯方程无源区域无源区域 工程电磁场电磁波复习u拉普拉斯算子拉普拉斯算子直角坐标系直角坐标系圆柱坐标系球坐标系工程电磁场电磁波复习3. 3. 惟一性定理惟一性定理u边值问题的分类边值问题的分类 n狄利克雷问题狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值：给定整个场域边界上的位函数值n聂曼问题聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值：给定待求位函数在边界上的法向导数值 n混合边值问题混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合组合u惟一性定理惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解的解 是惟一的。是惟一的。用反证法可以证明。用反证法可以证明。工程电磁场电磁波复习镜像法镜像法u镜像法概念：镜像法概念：u理论依据：理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。惟一性定理是镜像法的理论依据。u应注意的问题：应注意的问题：工程电磁场电磁波复习 待求场域：上半空间 边界： 无限大导体平面 边界条件：1.1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像 导体平面导体平面在空间的电位为点电荷q 和镜像电荷 -q 所产生的电位叠加，即电位满足边界条件导体平面边界上：工程电磁场电磁波复习3.3.点电荷对无限大介质平面的镜像点电荷对无限大介质平面的镜像设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q介质1中任一点的电位和电位移矢量分别为：工程电磁场电磁波复习4.4.线电流对无限大磁介质平面的镜像线电流对无限大磁介质平面的镜像6. 点电荷对导体球面的镜像接地导体球不接地导体球工程电磁场电磁波复习分离变量法分离变量法*u理论基础理论基础u惟一性定理惟一性定理u分离变量法的分离变量法的主要步骤主要步骤根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。的通解，其中含有待定常数。利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。件的特解。工程电磁场电磁波复习第第5 5章章 场论和路论的关系场论和路论的关系一、 欧姆定律二、 焦耳定律三、 电阻,电容，电感的计算*工程电磁场电磁波复习电阻的计算电阻的计算 设和电流线垂直的两个端面为等位面，两端面之间的电压降为： 根据定义可得到两端面间导电媒质的电阻R为： 通过任意横截面S的电流为： 工程电磁场电磁波复习电容电容 1.1.孤立导体的电容孤立导体的电容式中： 为导体所带的电荷量， 为导体的电位。2. 2. 双导体系统的电容双导体系统的电容式中 为带正电导体的电荷量， 为两导体间的电压。 必须求出其间的电场 。 由上式可见： 欲计算两导体间的电容 ， 工程电磁场电磁波复习包括自感 L 和互感 M 。电感电感在正弦交流电路中，若只含一个纯电感时，如图所示。电感上的电压和电流的关系为 当电路包括两个以上电感线圈时，如图所示。电感上的电压和电流的关系为： 1. 1. 概概念念: :工程电磁场电磁波复习第第6 6章章 平面电磁波平面电磁波引言一、平面电磁波的概念三、平面电磁波在无耗介质中的传播特性*二、均匀平面波的特性 四、均匀平面波在有耗媒质中的传播规律*五、均匀平面波的极化特性六、均匀平面波对平面边界的垂直入射*七、多层介质分界面上的垂直入射八、均匀平面波对平面边界的斜入射*工程电磁场电磁波复习第第8 8章章 电磁波的辐射电磁波的辐射一、辐射的基本概念一、辐射的基本概念二、滞后位二、滞后位三、电偶极子的辐射三、电偶极子的辐射* *四、磁偶极子的辐射四、磁偶极子的辐射( (不要求）不要求）五、对称振子天线的辐射五、对称振子天线的辐射* *六、六、 天线阵的辐射天线阵的辐射工程电磁场电磁波复习（4 4）电偶极子远区场）电偶极子远区场电场和磁场与 成反比；电场和磁场的相位相同；电场和磁场在空间相互垂直，其比值等于媒质的本征阻抗; 平均坡印廷矢量:上式表明有能量向外辐射，说明一个做时谐震荡的电流元上式表明有能量向外辐射，说明一个做时谐震荡的电流元可以辐射电磁波。远区场又称为可以辐射电磁波。远区场又称为辐射场辐射场。 在远离电偶极子的区域，当 ， , 此时电磁场可近似为:可见可见：辐射场辐射场工程电磁场电磁波复习