13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间两点之间,线段最短线段最短()两点在一条直线异侧已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的两侧，的两侧，在在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。 P连接连接AB,线段线段AB与直线与直线L的交点的交点P，就是所求。，就是所求。思考？思考？为什么这样做就能得到最短距为什么这样做就能得到最短距离呢？离呢？根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短.如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点所以泵站建在点P P可使输气管线最短可使输气管线最短应用问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知探索新知BAl追问追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 探索新知探索新知BAl（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和； 探索新知探索新知追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？ 探索新知探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图） BAlC追问1对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？ 探索新知探索新知问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ BlA追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？ 探索新知探索新知问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？ BlA作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ BlABC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABC证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC 在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABCC若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + BC 最小最小 探索新知探索新知BlABCC追问追问1证明证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC AC+ +BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 探索新知探索新知追问追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？ BlABCC 问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短 练习练习请你自己动手 试一试！()一点在两直线内部已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：分析：当当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体现在三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小一条直线上时，三角形的周长最小()一点在两相交直线内部已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点分别作点A关于关于OM，ON的对称的对称点点A，A；连接；连接A，A，分别交，分别交OM，ON于点于点B、点、点C，则点，则点B、点点C即为所求即为所求3.3.某班举行晚会，桌子摆成两直条某班举行晚会，桌子摆成两直条( (如图中的如图中的AOAO，BO)BO)，AOAO桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了桔子，OBOB桌面上摆满桌面上摆满了糖果，坐在了糖果，坐在C C处的学生小明先拿桔子再拿糖处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？路线，使其所走的总路程最短？作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点D, 2. 作点作点C关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E, 3.连接连接DE分别交直线分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOB. .EDMNGH4. 如图：如图：C为马厩，为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。天的最短路线。作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点F, 2. 作点作点D关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E, 3.连接连接EF分别交直线分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD CEGHABA/B/PQ最短路线：最短路线：A P Q BA P Q BlMN证明：在直线证明：在直线OA 上另外任取一点上另外任取一点G，连接，连接点点F,点点C关于直线关于直线OA对称，点对称，点G.M在在OA上，上，GF=GC,FM=CM, 同理同理HD=HE，ND=NE,CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形在四边形EFGH中，中，FG+GH+HEFE（两点之间，线段最短），（两点之间，线段最短），即即CG+GH+HDCM+MN+ND即即CM+MN+ND最短最短FAOBD CEMNGH