湘教版七年级下数学2.1.2幂的乘方与积的乘方am an ( (a a a) )n个个a = ( (a a a) )m个个a= a a a( (m+n) )个个a= a m+n幂的意义幂的意义: aa a n个个aan=同底数幂乘法的运算性质同底数幂乘法的运算性质：am an=am+n（m,n都是正整数都是正整数）.2a2am m合并同类项法则合并同类项法则a a8 8同底数幂乘法的同底数幂乘法的法则法则填空：填空：1. am+am=_,依据依据_.2. a3a5=_ ,依据依据_ 计算下列各式，并说明理由计算下列各式，并说明理由 .（1） ( (62) )4 ; （2） ( (a2) )3 ; （3）( (am) )2 .解解：( (1) ) ( (62) )4 ( (2) () (a2) )3( (3) () (am) )2= 6262 6262= 62+2+2+2= 68,= a2a2a2= a2+2+2= a6,=am am= am+m= a2m .amn.( (am) )n 幂的意义幂的意义同底数幂的乘法同底数幂的乘法( (102) )3=102102102=102+2+2=1023=106.( (根据根据 ) ).( (根据根据 ) ).同底数幂的乘法性质同底数幂的乘法性质幂的意义幂的意义2、( (102) )3=106，为什么？为什么？1、( (102) )3代表什么意义？代表什么意义？ 怎样计算怎样计算( (a3) )4？ (a3)4 =(a3a3a3a3)(乘方的意义乘方的意义)4个个a3= a3+3+3+3( (同底数幂的乘法法则同底数幂的乘法法则) )= a34 =a12. 也就是也就是( (a3) )4=a34. 如何证明刚才的猜想呢如何证明刚才的猜想呢? ?( (am) )n = am am am= am+m+m= amn( (m，n都是正整数都是正整数).). n个个am n个个m （幂的意义）（幂的意义）（同底数幂的乘法性质）（同底数幂的乘法性质）你能归纳下这个法则吗？你能归纳下这个法则吗？(am)n= =amn (m, ,n是正整数是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘幂的乘方，底数不变，指数相乘于是，我们得到于是，我们得到幂的乘方法则：幂的乘方法则：( (am) )n=amn( (m，n都是正整数都是正整数) ).幂的乘方，底数不变，幂的乘方，底数不变，指数相乘指数相乘即：即：am an = am+n （m，n都是正整数都是正整数).). 同底数幂相乘，底数不变，同底数幂相乘，底数不变，指数相加指数相加.同底数幂的乘法和幂的乘方的区别：同底数幂的乘法和幂的乘方的区别：即：即：( (am) )n=amn( (m，n都是正整数都是正整数) ).同底数幂同底数幂的乘法法的乘法法则与幂的则与幂的乘方法则乘方法则有什么相有什么相同点和不同点和不同点？同点？1、从底数看：、从底数看：底数不变底数不变（共同点）（共同点）2、从指数看、从指数看同底数幂的乘法，指数相加同底数幂的乘法，指数相加幂的乘方，指数相乘幂的乘方，指数相乘（不同点（不同点）( (1) () (102) )3( (2) () (b5) )5( (3) () (an) )3= 1023= 106 ;解：解：( (102) )3= b55= b25 ; ( (b5) )5解：解：= an3= a3n ;解：解：( (an) )3例例1 计算：计算：( (4) ) - -( (x2) )m( (5) ) ( (y2) )3 y ( (6) ) 2( (a2) )6 - -( (a3) )4= - -x2m= - -x2m ;解：解：- -( (x2) )m= y23 y= y6 y= y7;解：解：( (y2) )3 y=2a26 - -a34=2a12- -a12=a12.解：解： 2( (a2) )6 ( (a3) )4不对不对不对不对不对不对不对不对 1.1.1.1. 判断判断下面计算是否正确？如果不对，怎样改正？下面计算是否正确？如果不对，怎样改正？下面计算是否正确？如果不对，怎样改正？下面计算是否正确？如果不对，怎样改正？ （1） ( (x x3 3) )3 3 = = x x6 6 ； （2）(104)3= 107 ； （3）a a6 6 a a4 4 = = a a2424 ；（4）(x2)3 (-x)2 = -x82. 2. 填空：填空： （1）(104)3= ；（2）(a3)3= ；（3）-(x3)6= ；（4）(x2)3 (-x)3= . 1012a9x18- - x9应该是：应该是：x9 应该是：应该是：1012 应该是：应该是：a10 应该是：应该是：x81016x4ma10221x18(ab)81.计算：计算： (104)4 (xm)4（m是正整数）是正整数） (a2)5 (23)7 (x3)6 (ab)24【例例例例2 2 2 2】计算：计算：计算：计算： (2) ( x2)3 =(1)(x3)2= x32= x6.(3) (y2)3=y 23=y6.- -x23=- -x6.(4) (y 3)2 = y6.=- -y 32(am)n = amn (m,n都是正整数都是正整数)注意符号注意符号解：解：-1010a12-a10-218x181.计算：计算： (-102)5 (-a3)4 -(a2)5 -(23)6 (x3)6 2.下列计算是否正确，如有错误，请改正下列计算是否正确，如有错误，请改正. (a5)2a7; (a5)2a10 a5a2a10；a5a2a7 (a2)3a6； (a2)3a6 a7a3a10；无法计算无法计算计算：计算：(1) x2x4(x3)2; 解：解：x2x4 (x3)2 =x24 +x32 =x6+x6=2x6;-合并同类项合并同类项幂的乘方幂的乘方同底数幂相乘同底数幂相乘-幂的乘方幂的乘方-同底数幂相乘同底数幂相乘(2) (a3)3(a4)3.=a33a43=a9a12 =a9+12=a21.解：(a3)3(a4)3（3）xx4 x2 x3 .计算：计算：若若 (am) n=am n=an m=(a m)n则则 a mn=(a n)m6245113例如例如:x12=(x2)( ) =(x6)( )=(x3)( ) =(x4)( )=x7x( ) =xx( )(am)np=(amn)p=amnp（m,n,p为正整数）为正整数）同样：同样：am+n = am an （m，n都是正整数都是正整数). 例：例：( (a amm) )n n = = = =a amn mn 幂的乘方幂的乘方 幂的乘方，底数不变，幂的乘方，底数不变，指数相乘指数相乘同底数幂相乘，底数不变，同底数幂相乘，底数不变，指数相加指数相加.即：即：am an = am+n （m，n都是正整数都是正整数). 2.1.2 2.1.2 幂的乘方与积的乘方幂的乘方与积的乘方第2课时 积的乘方幂的意义幂的意义: :aa an个个a an = 幂的乘方运算法则幂的乘方运算法则幂的乘方运算法则幂的乘方运算法则: :(am)n= ( (mm、n n都是正整数都是正整数都是正整数都是正整数) )amn 同底数幂的乘法运算法则：同底数幂的乘法运算法则：同底数幂的乘法运算法则：同底数幂的乘法运算法则：am an= am+n（mm, ,n n都是正整数都是正整数都是正整数都是正整数）同底数的幂相乘法则同底数的幂相乘法则( ( ( (abab) ) ) )3 3= = = = abab abab abab （2 2） 为了计算为了计算为了计算为了计算( ( ( (化简化简化简化简) ) ) )abab abab abab，可以应用乘法的交换律，可以应用乘法的交换律，可以应用乘法的交换律，可以应用乘法的交换律和结合律和结合律和结合律和结合律. .又可以把它写成什么形式又可以把它写成什么形式又可以把它写成什么形式又可以把它写成什么形式? ? ? ?= = = =a a a a a a b b b b b b= = = =a a3 3 b b3 3 3 3（3 3）由特殊的）由特殊的）由特殊的）由特殊的 ( ( ( (abab) ) ) )3 3= =a a3 3b b3 3 出发，你能想到一般的公式吗出发，你能想到一般的公式吗出发，你能想到一般的公式吗出发，你能想到一般的公式吗? ? ? ? 猜想猜想猜想猜想( (ab) )n= = anbn（1） 根据乘方的定义根据乘方的定义( (幂的意义幂的意义) )，( (ab) )3表示什么表示什么? ?（4） 在在( (ab) )3运算过程中你用到了哪些知识？运算过程中你用到了哪些知识？ ( (ab) )3 =( (ab) )( (ab) )( (ab) ) ( (幂的意义幂的意义) )=( (a a a)()(b b b) ) ( (乘法交换律和结合律乘法交换律和结合律) )= a3b3. ( (幂的意义幂的意义) )3个个ab3个个a3个个b （5）怎样计算）怎样计算( (2b) )3？在运算过程中你用到了哪些知识在运算过程中你用到了哪些知识？ ( (2b) )3 =( (2b) )( (2b) )( (2b) ) ( (幂的意义幂的意义) )=( (2 2 2)()(b b b) ) ( (乘法交换律和结合律乘法交换律和结合律) )= 23b3. ( (幂的意义幂的意义) )3个个2b3个个23个个b= 8b3. ( (乘方的运算乘方的运算) ) 把上面的运算过程推广到一般情况，即把上面的运算过程推广到一般情况，即 ( (ab) )n = ( (ab) ) ( (ab) ) ( (ab) )n个个ab= ( (a a a )()(b b b) )n个个an个个b= anbn ( (n为正整数为正整数) ). （6）怎样计算）怎样计算( (ab) )n ？在运算过程中你用到了哪些知识在运算过程中你用到了哪些知识？( (幂的意义幂的意义) )( (乘法交换律和结合律乘法交换律和结合律) )( (幂的意义幂的意义) )积的乘方积的乘方积的乘方积的乘方乘方的积乘方的积乘方的积乘方的积(ab)n = = anbn（mm, ,n n都是正整数都是正整数都是正整数都是正整数）积的乘方法则积的乘方法则用自己的语言叙述用自己的语言叙述一下积的乘方法则一下积的乘方法则? 积的乘方，等于把积的每一个因式分积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘别乘方，再把所得的幂相乘. .公公 式式 的的 拓拓 展展 ( (abc) )n=an bn cn怎样证明怎样证明 ? ?（7 7）三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质）三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质）三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质）三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质? ? （8 8）怎样用公式表示）怎样用公式表示）怎样用公式表示）怎样用公式表示? ? ( (abc) )n = ( (abc) ) ( (abc) )n个个abc =( (a a a) )( (b b b) ) ( (c c c) )n个个an个个bn个个c = anbncn=3=32 2x x2 2 = 9= 9x x2 2 ; ;（1 1） ( ( ( (3 3x x) ) ) )2 2; ;（2 2） ( ( ( (- -2 2b b) ) ) )5 5; ;= = ( ( ( (- -2 2) ) ) )5 5b b5 5= = - -3232b b5 5 ; ;解：解：解：解： ( ( ( (3 3x x) ) ) )2 2解：解：解：解： ( ( ( (- -2 2b b) ) ) )5 5计算：计算：计算：计算：（3 3） ( ( ( (- -2 2xyxy) ) ) )4 4 ; ;解：解：解：解： ( (- -2 2xyxy) ) ) )4 4 = = ( ( ( (- -2 2x x) ) ) )4 4 y y4 4= = ( ( ( (- -2 2) ) ) )4 4 x x4 4 y y4 4=16=16x x4 4 y y4 4 ；（1） ( (- -2x) )3 （2） ( (- -4xy) )2解解 ( (- -2x) )3= ( (- -2) )3 x3= - -8x3.解解 ( (- -4xy) )2= ( (- -4) )2 x2 y2= 16x2y2.1、 计算：计算：（3） ( (xy2) )3 解解 ( (xy2) )3= x3 ( (y2) )3= x3y6. （4） ( (-3ab2c3) )4解解( (- -3ab2c3) )4 = ( (- -3) )4 a4 ( (b2) )4 ( (c3) )4 = 81a4b8c122. 下面的计算对不对？如果不对，应下面的计算对不对？如果不对，应 怎样改正？怎样改正？（1）( (ab3) )2=ab6（2）( (2xy) )3=6x3y3答：不对，应是答：不对，应是( (ab3) )2=a2b6.答：不对，应是答：不对，应是( (2xy) )3=8x3y3.3. 计算：计算： - -( ( xyz ) )4 + ( ( 2x2y2z2 ) )2.解：解： - -( (xyz ) )4 + ( (2x2y2z2 ) )2 = - -x4y4z4 + 4x4y4z4 = 3x4y4z4.1、下列计算正确的是（）下列计算正确的是（） Ax3+x3=x6Ba6+a2=a3C3a+5a=8abD（ab2）3=a3b6 3、化简、化简 - -a ( (- -2a) )3( (- -a) )5 7的结果是的结果是 .- -221a63 4、计算计算： a4a2= .a62、计算、计算 的结果正确的是（的结果正确的是（ ）DC 试用简便方法计算试用简便方法计算试用简便方法计算试用简便方法计算: :(ab)n = = anbn （mm, ,n n都是正整数都是正整数都是正整数都是正整数）逆向使用逆向使用: : anbn = = (ab)n (1)(1) 2 23 3 5 53 3 = (= (2525) )3 3 = 10= 103 3 (2)(2) 2 28 8 5 58 8= (= (2525) )8 8 = 10= 108 8 (3)(3) ( (- -5)5)16 16 ( (- -2)2)1515= (= (-5)5)( (-5)5)( (-2)2) 1515= = -51051015 15 ; ; (4)(4) 2 24 4 4 44 4 ( (- -0.125)0.125)4 4 = 24(= 24(-0.125)0.125)4 4= 1= 14 4= 1 .= 1 .幂的意义幂的意义幂的意义幂的意义: : : :aa an n个个个个a aan=同底数幂的乘同底数幂的乘同底数幂的乘同底数幂的乘法运算法则：法运算法则：法运算法则：法运算法则：am an= =am+n幂的乘方运算法则幂的乘方运算法则幂的乘方运算法则幂的乘方运算法则: : (ab)n=ambn 积的乘方：积的乘方：积的乘方：积的乘方： . . . . 每个因式分别乘方后的积每个因式分别乘方后的积 (ab)n=anbn