第二节 概率的加法公式与事件的独立性一 概率的加法公式1 互不相容情形概率的加法公式与事件的独立性定义 事件“A与B至少有一个发生”称为事件A与B的和，记作A+B或 。事件“ 至少有一个发生”称为事件 的和，记作 或 或 事件 “至少有一个发生”称为事件 的和，记作 或 概率的加法公式与事件的独立性例如，掷两枚匀称的硬币，设A=“正好一个正面朝上”，B=“两个都是正面朝上”，C=“至少一个正面朝上”，则 C=A+B又如，向一目标连续射击30次，设 Ai=“第i次击中目标” A=“至少有一次击中目标”则概率的加法公式与事件的独立性再如，一射手向某一目标连续射击，决心射中为止，设A1=“第一次射中”， ，Ak=“前 次都没射中，而第k次射中”， ；B=“终于命中”，则事件的“和”概念相当于集合的“并集”概念。 概率的加法公式与事件的独立性定义 若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B互不相容。若事件 两两互不相容，则称事件 互不相容。若事件 两两互不相容，则称事件 互不相容。概率的加法公式与事件的独立性例如，掷两枚匀称的硬币，A=“两枚都是正面朝上”，B=“两枚都是反面朝上”，则A与B互不相容。再设C=“恰好一个正面朝上”，则A，B，C互不相容。事件的互不相容性相当于集合的互不相交性。概率的加法公式与事件的独立性概率的可加性：若事件A与B互不相容，则 P(A+B)=P(A)+P(B)直观上，概率的可加性可由概率的统计定义推得。概率的加法公式与事件的独立性概率的有限可加性：设事件 互不相容，则概率的加法公式与事件的独立性概率的完全可加性：设 为一列两两互不相容的事件，则概率的加法公式与事件的独立性2 对立事件技巧定义 事件“A不发生”称为事件A的对立事件，记作例如，掷一颗均匀的骰子，设A=“出现的点数小于3”，则 =“出现的点数 3”又如，掷两枚匀称的硬币，设A=“至少一个正面朝上”，则 =“两个都是反面朝上”对立事件概念相当于集合论中的余集概念。概率的加法公式与事件的独立性对立事件技巧公式：概率的加法公式与事件的独立性例1 设有一批产品100件，其中有5件次品，现从中任取50件。问：取到的至少有一件次品的概率是多少？概率的加法公式与事件的独立性三 一般情形定义 事件“A与B同时发生”称为事件A与B的积，记作 或AB或 。事件“ 同时发生”称为事件 的积，记作 。事件“ 同时发生”称为事件 的积，记作概率的加法公式与事件的独立性例如，掷两枚匀称的硬币，设A=“至多一个正面朝上”，B=“至少一个正面朝上”，C=“正好一个正面朝上”，则C=AB又如，向一目标连续射击30次，设Ai=“第i次击中目标”，A=“每次都击中目标”，则事件的积概念相当于集合论中的交集概念。概率的加法公式与事件的独立性概率的加法公式：概率的加法公式与事件的独立性例2 袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地取4次，求取到的四球里没有红球或没有黄球的概率。概率的加法公式与事件的独立性例3 某地有甲、乙两种报纸，据统计，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，其中有8%兼读甲、乙报。求该地成年人至少读一种报纸的概率。概率的加法公式与事件的独立性二 事件的独立性 1 条件概率定义 对事件A,B,称在事件B发生的前提下事件A发生的概率为条件概率，记作 P(A|B).概率的加法公式与事件的独立性古典概型中的条件概率计算公式：概率的加法公式与事件的独立性例4 盒中装有16个球，其中6个玻璃球，另外10个是木质球。而玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的。现从中任取一个。已知取到的是蓝色球，求取到的是玻璃球的概率。概率的加法公式与事件的独立性在古典概型中，显然还有由此，我们不难总结出一般情形下的条件概率计算公式：概率的加法公式与事件的独立性例5 设某种灯泡能使用1000小时以上的概率为0.6，能使用1100小时以上的概率为0.5。求已使用了1000小时以上的这种灯泡能使用到1100小时以上的概率。概率的加法公式与事件的独立性2 乘法公式由条件概率计算公式立即得乘法公式： P(AB)=P(A|B)P(B) P(AB)=P(B|A)P(A)例6 某厂生产的产品中有4%废品，而在100件合格品中有75件一等品。求任取一件产品是一等品的概率。概率的加法公式与事件的独立性3 独立性在例4中，已算出P(A|B)=4/11。不难知P(A)=6/16。这表明：一般说来，条件概率P(A|B)与概率P(A)并不一定相等。即：事件B的发生往往要影响事件A发生的概率。但也存在着P(A|B)=P(A)的大量实际例子。概率的加法公式与事件的独立性例7 从10件产品（7件正品，3件次品）中每次取一件，有放回地取两次。设B=“第一次取到正品”，A=“第二次取到正品”。问：P(A|B)=P(A)成立吗？概率的加法公式与事件的独立性当P(A|B)=P(A)时，表明事件B的发生并不影响事件A发生的概率。而当P(B|A)=P(B)成立时，表明事件A的发生并不影响事件B发生的概率。这就是事件A与B的所谓独立性。概率的加法公式与事件的独立性由条件概率计算公式不难知， P(A|B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(AB)=P(A)P(B)这三个等式是相互等价的。于是我们引入定义 如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与B相互独立（简称独立）。概率的加法公式与事件的独立性两事件独立的直观意义：两事件的发生互不影响。通常所谓互不干扰、彼此无关等都是指独立性。实际中正是根据这些来判断独立性的，并不需要复杂的计算。概率的加法公式与事件的独立性例8 甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5。求敌机被击中的概率及恰有一人击中敌机的概率。概率的加法公式与事件的独立性独立性概念可由两个事件的情形推广到多个事件的情形。定义 设 为n个事件。若对任意的 ，其中任意k个事件的乘积的概率均等于这k个事件的概率的乘积 ，即对任意的 均有则称事件 相互独立（简称独立）。概率的加法公式与事件的独立性显然，若事件 相互独立，则n个事件独立的直观意义：这n个事件的发生与否互不影响（互不干扰、彼此无关）。概率的加法公式与事件的独立性对偶律：对偶律的推广形式：概率的加法公式与事件的独立性例9 某一种型号的元件，每个元件不断电的概率都是0.6，现若干个元件并联起来。问：欲以99%以上的把握保证总电路不断电，至少需要几个元件？概率的加法公式与事件的独立性P148: 16 布置作业：概率的加法公式与事件的独立性