1.2 有理数有理数1.2.1 有理数有理数1基础课件有了负数以后，我们学过的数有哪些，试举例有了负数以后，我们学过的数有哪些，试举例?思思 考考12答答: 有有 1，2，- - 1，- - 3， - - ，0 等等.2基础课件 在上述列举的数中，可以怎样分类？在上述列举的数中，可以怎样分类？ 方法一方法一: 小学学过的数小学学过的数 正数，正数， 正数前面加负号的数正数前面加负号的数 负数，负数， 既不是正数也不是负数的数既不是正数也不是负数的数 0.3基础课件方法二方法二:正整数，如正整数，如 1，2，3， ；零，零，0； 负整数，如负整数，如 - - 1，- - 2，- - 3， ；正分数，如正分数，如 ， ，4.5， ；负分数，如负分数，如 - - ，- - 2 ，- - 0.3， .1312272274基础课件 正整数、正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数称分数. 整数和分数统称有理数整数和分数统称有理数. 注意注意: 这里的分数特指分母不为这里的分数特指分母不为 1 的分数，整数有的分数，整数有时可以认为是分母是时可以认为是分母是 1 的分数的分数.归归 纳纳5基础课件 如何对有理数进行分类呢？如何对有理数进行分类呢？有如下分类方法有如下分类方法:有理数有理数分数分数整数整数正分数正分数负分数负分数正整数正整数负整数负整数0思思 考考6基础课件或或 有理数有理数负有理数负有理数正有理数正有理数负整数负整数负分数负分数正整数正整数正分数正分数0有如下分类方法有如下分类方法:7基础课件 把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集集. 例如，所有有理数组成的数集叫做有理数集，所有例如，所有有理数组成的数集叫做有理数集，所有整数组成的数集叫做整数集整数组成的数集叫做整数集.归归 纳纳8基础课件 你能解决下列问题吗？谈谈你的看法你能解决下列问题吗？谈谈你的看法. ( (1) ) 0 是整数吗？是正数吗？是有理数吗？是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ ( (2) ) - -5 是整数吗？是负数吗？是有理数吗？是整数吗？是负数吗？是有理数吗？ ( (3) ) 自然数是整数吗？是正数吗？是有理数吗？自然数是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ ( (4) ) 下列有理数中，哪些是整数？哪些是分数？哪下列有理数中，哪些是整数？哪些是分数？哪些是正数？哪些是负数？些是正数？哪些是负数？ - - 7，10.1，89，0，- - 0.67，- - ，1 .16349基础课件 答答: ( (1) ) 0 是整数，不是正数，但是有理数是整数，不是正数，但是有理数. ( (2) ) - -5 是整数，是负数是整数，是负数，同时也是有理数同时也是有理数. ( (3) ) 自然数是整数，但并不是所有的自然数都是正自然数是整数，但并不是所有的自然数都是正数数( (例如例如 0) )，而所有的自然数都是有理数，而所有的自然数都是有理数.10基础课件( (4) ) 整数整数: - - 7，89，0； 分数分数: 10.1，- - 0.67，- - ，1 ； 正数正数: 10.1，89，1 ； 负数负数: - - 7，- - 0.67，- - . 1634341611基础课件例例 题题 1. 把下列各数填入它所属于的集合的大括号内把下列各数填入它所属于的集合的大括号内: + 6，- - 8，25，- - 0.4，0，- - ，9.15，1 .234512基础课件 2. 如图所示，大圆覆盖的如图所示，大圆覆盖的区域表示有理数的范围，中圆区域表示有理数的范围，中圆覆盖的区域表示整数的范围，覆盖的区域表示整数的范围，小圆覆盖的区域表示正整数的小圆覆盖的区域表示正整数的范围范围. 小圆和中圆把大圆覆盖小圆和中圆把大圆覆盖的区域分割为无公共部分的的区域分割为无公共部分的 A、B、C 三个部分，那么三个部分，那么 ( (1) ) A、B、C 分别表示什么区域？分别表示什么区域？CBA13基础课件 解解: 整数集合整数集合 + 6，- - 8，25，0， ； 分数集合分数集合 - - 0.4，- - ， 9.15，1 ， ； 非负数集合非负数集合 + 6，25，0，9，15，1 ， ； 正数集合正数集合 + 6，25，9.15，1 ， ； 负数集合负数集合 - - 8，- - 0.4，- - ， .234545452314基础课件 A 区域表示的数是有理数但不是整数，于是区域表示的数是有理数但不是整数，于是 A 区域区域表示的数应该是分数；表示的数应该是分数； B 区域表示的数是整数但不是正整数，于是区域表示的数是整数但不是正整数，于是 B 区域区域应该是非正整数应该是非正整数( (0 和负整数和负整数) )； C 区域显然是正整数区域显然是正整数.CBA15基础课件( (2) ) 请将下列各数填入相应的区域内请将下列各数填入相应的区域内:- - 7.3，- - 4，- - 5 ，0，+ 2.4，+ 3，+ 5，+ .1317A: - - 7.3，- - 5 ，+ 2.4，+ ； B: 0，- - 4；C: + 3、+ 5.131716基础课件 1. 有理数的概念及其分类；有理数的概念及其分类； 2. 掌握掌握 有理数的两种分类方法，并能够对所给的有理数的两种分类方法，并能够对所给的数进行分类数进行分类.小小 结结17基础课件1.2.2 数数 轴轴18基础课件1. 观察温度计，请读出此时温度计所显示的温度观察温度计，请读出此时温度计所显示的温度.观观 察察19基础课件 温度计上的刻度与一些有理数建立了对应的关系，温度计上的刻度与一些有理数建立了对应的关系，即温度计上的每一个刻度都表示一个有理数即温度计上的每一个刻度都表示一个有理数.归归 纳纳20基础课件 2. 在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东东 3 m 和和 7.5 m 处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西西 3 m 和和 4.8 m 处处分别有一棵槐树和分别有一棵槐树和一根电线杆，试画一根电线杆，试画图表示这一情境图表示这一情境.21基础课件 观察温度计的刻度规律，从中你能发现什么观察温度计的刻度规律，从中你能发现什么? 答答: 温度计可看作是表示正数、温度计可看作是表示正数、0 和负数的直线和负数的直线. 即即: 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.思思 考考22基础课件 数轴的规范画法数轴的规范画法: 1. 三要素：原点、正方向和单位长度；三要素：原点、正方向和单位长度； 2. 刻度要在直线上，且是细短线；数字在下，字母刻度要在直线上，且是细短线；数字在下，字母在上在上.归归 纳纳23基础课件1. 动手操作，画一条数轴动手操作，画一条数轴.24基础课件2. 判断下列哪些图形是数轴判断下列哪些图形是数轴?- -2 - -1 0 1 2( (1) )0( (2) )( (3) )0- -111( (4) )0 1( (5) )答答: 只有只有( (5) )是正确的是正确的( (注注: 数轴不一定非要水平放置数轴不一定非要水平放置) ).25基础课件 1. 画出一个单位长度是画出一个单位长度是 1 厘米的数轴，并用刻度尺厘米的数轴，并用刻度尺画出表示下列各数的点画出表示下列各数的点: - - 1.5，0，2，- - 2，2.5.例例 题题- - 1.5- - 4 - - 3 - - 2 - - 1 0 1 2 3 4 52.526基础课件 2. 如图，如图，- -4 - -3 - -2 - -1 0 1 2 3 4 5 6E A D F C B ( (1) ) 写出数轴上写出数轴上 A、B、C、D、E、F 所表示的有所表示的有理数理数. A: - - 3，B: 5.5，C: 3，D: - - 1.5，E: - - 3.5，F: 0.27基础课件 2. 如图，如图，- -4 - -3 - -2 - -1 0 1 2 3 4 5 6E A D F C B ( (2) ) 点点 G 使线段使线段 BG 的长度是单位长度的的长度是单位长度的 ，点，点 H 使线段使线段 HA 的长度是单位长度的的长度是单位长度的 ，试求出点，试求出点 G、H 表示的有理数表示的有理数.455628基础课件 解解:点点G 使线段使线段 BG 的长度是单位长度的的长度是单位长度的 ，由于，由于点点 G 既可能在点既可能在点 B 的左边，也可能在点的左边，也可能在点 B 的右边，因的右边，因此点此点 G 表示的数是表示的数是 5.5 + 0.8 = 6.3 或或 5.5 - - 0.8 = 4.7，即，即点点 G 表示的数是表示的数是 6.3 或或 4.7； 点点 H 使线段使线段 HA 的长度是单位长度的的长度是单位长度的 ，由于点，由于点 H 可能在点可能在点 A 的左边也可能在其右边，因此点的左边也可能在其右边，因此点 H 表示表示的数是的数是 - - 3 - - = - - 或或 - - 3 + = - - ，即点即点 H 表表示的数是示的数是 - - 或或 - - .4556562365613623613629基础课件 1. 掌握数轴的三要素掌握数轴的三要素: 原点原点、正方向和单位长度；正方向和单位长度； 2. 掌握单位长度的确定方式掌握单位长度的确定方式.小小 结结30基础课件1.2.3 相反数相反数31基础课件 1. 观察课件演示观察课件演示:观观 察察 如果向前为正，如果向前为正，向前走向前走 5 步，向后走步，向后走 5 步各记作什么步各记作什么? 向前走向前走 5 步记作步记作 + 5 步，向后走步，向后走 5 步记作步记作 - - 5 步步.32基础课件 2. 观察下列各对数观察下列各对数: 6 和和 - - 6，2 和和 - - 2 ，7 和和- - 7， 和和 - - ，并在数轴上标出这些数，并在数轴上标出这些数.2323575706- -623223 - -27- -757 - -5733基础课件3. 回答下列问题回答下列问题:( (1) ) 上述各对数之间有什么特点上述各对数之间有什么特点?( (2) ) 表示每对数的两个点在数轴上有什么特点表示每对数的两个点在数轴上有什么特点?( (3) ) 你能写出具有上述特点的数吗你能写出具有上述特点的数吗?答答: ( (1) ) 上述各对数只有数字前面的符号不同；上述各对数只有数字前面的符号不同；( (2) ) 在原点的两侧，并到原点的距离相同；在原点的两侧，并到原点的距离相同；( (3) ) a 和和 - -a.34基础课件 只有符号不同的两个数叫做互为相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数. ( (因为因为 0 没没有符号问题，所以特别规定有符号问题，所以特别规定 0 的相反数是的相反数是 0) )归归 纳纳35基础课件34- - 30- - 22- - 4 1. 在前面画的数轴上任意标出在前面画的数轴上任意标出 4 个数，然后标出它个数，然后标出它们的相反数们的相反数. - -0.50.536基础课件 2. 分别说出分别说出 9，- - 7，0，- - 0.2 的相反数的相反数. - - 9，7，0，0.2. 3. 指出指出 - - 2.4， ，- - 1.7，1 分别是什么数的相反数分别是什么数的相反数?35 2.4，- - ，1.7，- - 1.35 4. 猜想一下猜想一下: 如果字母如果字母 a 表示一个有理数，那么它表示一个有理数，那么它的相反数是什么？的相反数是什么？ - - a.37基础课件 5. 说说下面几个式子的意义说说下面几个式子的意义: - -( (+ 5) )，- -( (- - 7) )，- - 0，- - - -( (- - 2). 答答: 求求 + 5 的相反数，的相反数， 求求 - - 7 的相反数，的相反数， 求求 0 的相反数，的相反数， 求求 - - 2 的相反数的相反数的相反数的相反数.38基础课件 求一个数的相反数的方法是在这个数的前面添加一求一个数的相反数的方法是在这个数的前面添加一个个 “- -” 号，新的数就是原数的相反数号，新的数就是原数的相反数.归归 纳纳39基础课件 巩固练习巩固练习: 1. - -( (+ 4) )是是 _ 的相反数；的相反数； 2. - - + 是是 _ 的相反数；的相反数； 3. - -( (- - 7.1) )是是 _ 的相反数；的相反数； 4. - -( (- - 100) )是是 _ 的相反数的相反数.( )15415- - 7.1- - 10040基础课件说出下列各式的意义，然后化简说出下列各式的意义，然后化简:( (1) ) - - - -( (- - 3)；( (2) ) + - - - -( (+ 5)；( (3) ) - - - - - - - -( (- - 6)()(共共 n 个负号个负号) ).41基础课件 解解:( (1) ) - -3 的相反数的相反数，原式的相反数的相反数，原式 = - - 3； ( (2) ) 5 的相反数的相反数，原式的相反数的相反数，原式 = 5； ( (3) ) 原式原式 = 6 ( (当有偶数个负号时当有偶数个负号时) )，- - 6( (当有奇数个负号时当有奇数个负号时) ).42基础课件 规律规律: 当当在在一一个个数数的的前前面面加加 “+” 或或 “- -” 时时，其其结结果果的的符符号号与与前前面面 “- -” 的的个个数数有有关关. 若若有有奇奇数数个个 “- -”，则则最最后后结结果果为为 “- -” ；若若有有偶偶数数个个 “- -”，则则最最后后结结果果为为 “+”，它与，它与“+” 的个数无关的个数无关.43基础课件 1. 有理数有理数 m，- - 3，n 在数轴上的位置如图所示，请在数轴上的位置如图所示，请将将 m，- - 3，n 的相反数在数轴上表示出来，并将这六个的相反数在数轴上表示出来，并将这六个数用数用 “” 连接起来连接起来.例例 题题- -3 m 0 n44基础课件 解解: 如图，如图，- - 3- - nm- - mn3.- -m- -3 m 0 n 3- -n45基础课件 1. 对于相反数的理解对于相反数的理解 相反数的代数意义相反数的代数意义: 只有符号不同的两个数；只有符号不同的两个数； 相反数的几何意义相反数的几何意义: 在数轴上的原点两侧，且到原在数轴上的原点两侧，且到原点的距离相等的两个数互为相反数点的距离相等的两个数互为相反数. 2. 掌握化简符号的规律掌握化简符号的规律.小小 结结46基础课件1.2.4 绝对值绝对值47基础课件1. 他们所走的路程是否相同他们所走的路程是否相同?2. 若向右为正，则该如何表示他们的位置若向右为正，则该如何表示他们的位置?3. 他们所走的路程有何关系他们所走的路程有何关系?答答: 1. 相同；相同；2. - - 2，+ 2；3. 到出发点的距离相同到出发点的距离相同.思思 考考48基础课件 在数轴上画出一对互为相反数的有理数的点，观在数轴上画出一对互为相反数的有理数的点，观察两个点的位置关系察两个点的位置关系.观观 察察 可以发现，两个点分别在原点的两侧，且两个点可以发现，两个点分别在原点的两侧，且两个点到原点的距离相等或者说两个点到原点有相同倍的单到原点的距离相等或者说两个点到原点有相同倍的单位长度位长度.- - 1 0 149基础课件 绝对值绝对值: 一般地，数轴上表示数一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的的点与原点的距离叫做数距离叫做数 a 的绝对值，记作的绝对值，记作| |a| |( (几何定义几何定义) ).归归 纳纳50基础课件 根据绝对值的定义，求根据绝对值的定义，求 + 4，- - 3，- - 2，+ 3 和和 0 的绝对值的绝对值.12 解解: + 4 对应的点到原点的距离是对应的点到原点的距离是 4 个单位长度，个单位长度，则则 + 4 的绝对值就是的绝对值就是 4，即，即| |+ 4| |= 4； - - 3 对应的点到原点的距离是对应的点到原点的距离是 3 个单位长度，则个单位长度，则 - - 3 的绝对值就是的绝对值就是 3，即，即| |- - 3| |= 3；51基础课件 - - 2 对应的点到原点的距离是对应的点到原点的距离是 2 个单位长度，则个单位长度，则 - - 2 的绝对值就是的绝对值就是 2，即，即 | |- - 2| |= 2； + 3 对应的点到原点的距离是对应的点到原点的距离是 3 个单位长度，个单位长度，则则 + 3 的绝对值就是的绝对值就是 + 3 ，即，即 + 3 = 3 ； 因为因为 0 对应的点就是原点，可以认为它到原点的距对应的点就是原点，可以认为它到原点的距离是离是 0 个单位长度，所以个单位长度，所以 | |0| |= 0.12121212121252基础课件填空填空:( (1)|)|3| |= _； ( (2)|)|1.5| |= _；( (3)|)|- - 3| |= _； ( (4)|)|- - 1.5| |= _； ( (5)|)|0| |= _.3 1.5 3 1.5 0 53基础课件正有理数的绝对值是它本身；正有理数的绝对值是它本身；负有理数的绝对值是它的相反数；负有理数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是的绝对值是 0.即即 | |a|=|= a a0；0 a = 0；- -a a0.归归 纳纳54基础课件 不论有理数不论有理数 a 取何值，它的绝对值总是正数或取何值，它的绝对值总是正数或 0( (统称为非负数统称为非负数) )，即总有，即总有| |a| |0.55基础课件1. 写出下列各数的绝对值写出下列各数的绝对值: - - 7 ，+ ，- - 4.75，10.5.12110解解:- - 712= 7 ； 12+= ； 110110| |- - 4.75| |= 4.75；| |10.5| |= 10.5.56基础课件2. 化简化简:( (2) )- - - - 1 .13( (1) ) - - + ；( ( ) )12解解: ( (1) ) - - + = ；( ( ) )121213( (2) )- - - - 1 = - - 1 .1357基础课件( ( ) )3. 计算计算:12- - + - - 1 .13解解: 原式原式 = = .12432358基础课件数轴上的点所表示的有理数有何特点数轴上的点所表示的有理数有何特点? 答答: 例如，例如，- - 3 的绝对值是的绝对值是 3，- - 2 的绝对值是的绝对值是 2，因而，因而 3 的绝对值大于的绝对值大于 - - 2 的绝对值；而表示的绝对值；而表示 - - 3 的点在表的点在表示示 - - 2 的点的左边，的点的左边，- - 3 小于小于 - - 2. 即即 - - 3 的绝对值大，但的绝对值大，但它本身反而比它本身反而比 - - 2 小小. 在数轴上表示有理数，它们从左到在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数的数.思思 考考59基础课件1. 正数大于正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；大于负数，正数大于负数；2. 两个负数绝对值大的反而小；两个负数绝对值大的反而小；3. 两个正数绝对值大的大两个正数绝对值大的大.归归 纳纳60基础课件比较下面各组数的大小比较下面各组数的大小.( (1) )- - 和和 - - ；71034( (2) )- - 和和 - - 3.13.227 分析分析: 分别求出两个负数的绝对值，再根据绝对值分别求出两个负数的绝对值，再根据绝对值的大小来比较各组数的大小的大小来比较各组数的大小.61基础课件- - = = ， 解解:( (1) )分别求出两个负数的绝对值，并化为同分母分别求出两个负数的绝对值，并化为同分母的分数，有的分数，有7107101420- - = = . 15203434因为因为 ，14201520即即 - - - - ，71034所以所以 - - - - .7103462基础课件 ( (2) )分别求出两个负数的绝对值，并化为小数的形分别求出两个负数的绝对值，并化为小数的形式，有式，有- - = = 3.14， 227227| |- -3.13| |= 3.13.因为因为 3.143.13，即即 - - | |- - 3.13| |，227所以所以 - - - - 3.13.22763基础课件 1. 正式排球比赛对所有使用的排球的重量是有严正式排球比赛对所有使用的排球的重量是有严格规定的，检查格规定的，检查 5 个排球的质量，超过规定的重量克个排球的质量，超过规定的重量克数记为正数，不足规定的数记为正数，不足规定的重量克数记为负数，检查重量克数记为负数，检查结果如下结果如下:例例 题题64基础课件 请指出哪一个排球的质量好一些请指出哪一个排球的质量好一些? 请用绝对值的知请用绝对值的知识来说明这个问题识来说明这个问题. 答答: 第第 2 个排球更好一些，因为它的绝对值最小，个排球更好一些，因为它的绝对值最小，说明它最接近于规定的重量说明它最接近于规定的重量.+ 15- - 10+ 30- - 20- - 4065基础课件 2. 已知数轴上有已知数轴上有 A 和和 B 两点，它们之间的距离为两点，它们之间的距离为1，点，点 A 和原点的距离为和原点的距离为 2，那么所有满足条件的点，那么所有满足条件的点 B对应的数有哪些对应的数有哪些? 解解: 点点 A 和原点的距离为和原点的距离为 2，说明点，说明点 A 表示的数表示的数的绝对值是的绝对值是 2，则这个数为，则这个数为 2 或或 - - 2. 所以满足条件的所以满足条件的点点 B 对应的数是对应的数是 - - 3、- - 1、1、3.66基础课件1. 初步理解绝对值的概念初步理解绝对值的概念( (包括代数定义和几何定义包括代数定义和几何定义) )；2. 会求已知数的绝对值；会求已知数的绝对值；3. 会用绝对值比较两个负数的大小会用绝对值比较两个负数的大小.小小 结结67基础课件