一阶常微分方程一阶常微分方程初等解法初等解法2011.11.12一阶常微方程的初等解法一阶常微方程的初等解法u变量分离方程与变量变换u线性微分方程与常数变易法u恰当微分方程与积分因子u一阶隐式微分方程与参数表示重点重点：变量分离方程、线性微分方程、常数变易法、恰当微分方 程、积分因子、一阶隐式微分方程与参数解法；难点难点：变量变换、积分因子、分项组合法、建立微分方程模型.总 结1：变量分离方程与变量变换：变量分离方程与变量变换在上一张我们已经了解了微分方程的一些基本特点，下面我们来看一个题来回忆一下微分方程：例例 求解方程 . 可以变化为： ，解解两边积分，即得 ，因而，通解为 . 1.1变量分离方程变量分离方程的方程，称为变量分离方程变量分离方程，这里分别是连续函数.形如如果我们可将（2.1）改写成这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到（ 为常数）下面来做几道题来来练习一下变量分离方程，例例1解解 将方程变量分离，得到 两边积分得这里 是任意常数，从上式解出 可得显示通解为这里 是一个任意常数，此外， 也是方程的解，它可以被包含在通解中（取 ）.例例2解解 方程可变量分离为积分得这里 为任意 常数，上式可化为其中 .因方程还有特解 .并考虑到条件 于是方程的通解为这里为任意常数.时，代如得即解为或写成 如果考虑方程的满足初值条件的解，可将初值条件1.2 可化为变量分离的方程类型可化为变量分离的方程类型这里只介绍两种简单的情形形如的方程，称为齐次微分方程，齐次微分方程，这里是的连续函数.作变量变换于是原方程变为这是一个变量分离方程，这样就可以用前面的方法求解.例例3求解方程解解这是齐次微分方程，以及代入，则原方程变为即将上式变量分离，有两边积分有令得到代入原来的变量，得到原来方程的通解为例例4求解方程解解将方程改写为这是齐次微分方程.以及代入则原方程变为分离变量，得到两边积分，得到通解当时，此外，方程还有解代回原来的变量，原方程的通解为即形如的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，这里均为常数.我们分三种情形来讨论：（常数）情形.这是方程化为有通解为其中为任意常数.令这时有是变量分离方程.如果方程中不全为零，方程右端分子、分母的一次多项式，因此代表平面上两条相交的直线，设交点为若令则上式化为从而方程变为因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可的原方程的解.上述方法也适用于如下方程：例例5求解方程解解解方程组得令代入方程，有再令则化为两边积分，得则此外也是解原方程的通解为其中为任意常数.返回2.线性微分方程与常数变易法线性微分方程与常数变易法一阶线性微分方程其中在考虑的区间上是的连续函数.若方程变为称为一阶齐次线性微分方程一阶齐次线性微分方程.称为一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程.现在讨论非齐次线性微分方程通解的求法.我们知道是齐次线性微分方程的通解.将常数变易为的待定函数令微分之，得到这样就可以得到即积分后得到这里是任意常数，将上式代入到原方程得到通解这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法.常数变易法实际上也是一种变量变换的方法，通过变换可将方程化为变量分离方程.例例6求方程的通解，这里n为常数.解解将方程改写为首先，求其次线性微分方程的通解，为其次应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解.把上式中的看成的待定函数即微分得将其代入到前式中，可得到积分之，得到因此，将所求的代入原方程，其通解为这里是任意常数.返 回3.3.恰当微分方程与积分因子恰当微分方程与积分因子3.1 恰当微分方程恰当微分方程如果方程的左端恰好是某个二元函数我们把一阶方程写成微分的形式或把平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程的全微分，即则称方程为恰当微分方程.容易验证，原方程的通解就是（ 是任意常数）.例例7的通解.解解这里这时因此方程是恰当微分方程.现在求是它同时满足如下两个方程：前一个式子，对 积分，得到将得到的方程对 求导，并使它满足上一个方程，即得于是积分后可得因此，方程的通解为这里 是任意常数.往往在判定方程式恰当微分方程后，并不需要按照上述一般方法来求解，而是采用“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分，这种方法要求熟记一些简单的二元函数的全微分，如例例8用“分项组合”的办法，求解例7.解解把方程重新“分项组合”，得到即或者写成于是，方程的通解为这里 是任意常数.3.2 积分因子积分因子如果存在连续可微的微的函数使得为一恰当微分方程，即存在函数 ，使则称为方程的积分因子积分因子.这里是方程的通解.则 我们可以知道方程的积分因子有只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的.例例 9求解方程解解 方程可以改写为 容易看出，此方程有积分因子以 乘之得故通解为例例 10 求解方程解解 这里方程不是恰当的.因为只与 有关，故方程有只与 有关的积分因子以乘方程两边，得到因此，通解为将方程改写为左端有积分因子积分可以得到因此，通解为将方程改写为这是齐次微分方程，令代入得到即因此，通解为代回原来变量，即得把 看作未知数， 看作自变量，方程变为线性微分方程同样解得此外，易见也是原方程的解.返回4.一阶隐式微分方程与参数表示一阶隐式微分方程与参数表示一阶隐式微分方程的一般形式可表示为4.1 可以解出可以解出 （或（或 ）的方程）的方程1. 首先讨论形如的方程的解法，这里假设函数有连续的偏导数.引进参数则变为将两边对求导数，并以代入，得到方程是关于的一阶微分方程.若已求得的通解形式为将它代入得这就是的通解.若求得的通解形式为则得到的参数形式的通解为其中 是参数， 为任意常数.若求得的通解形式为则得到的参数形式的通解其中 是参数， 为任意常数.例例 11求方程的解.两边对 求导，得到当时，上式乘以 得到积分之，注意到中间一项为得到解解 解出 ，并令得到解出 ，得到将它代入得到因此，得到方程的参数形式的通解当时，由直接推知也是方程的解.2. 形如的方程的解法，这里假设函数有连续的偏导数.引进参数则变为将两边对求导数，并以代入，得到方程是关于的一阶微分方程.设求得通解为则得到的参数形式的通解其中 是参数， 为任意常数.例例 12求方程的解.解解 解出 ，并令得到两边对 求导，得到积分之，即有代入求得所以，方程的通解为此外，还有解4.2 可以解出可以解出 （或（或 ）的方程）的方程3 . 现在讨论形如的方程的解法.记从几何的观点看，代表平面上的一条曲线.设把这曲线表为适当的参数形式这里 为参数，再注意到，沿方程（4.9）的任何一条积分曲线上，恒满足基本关系以（4.10）代入上式得两边积分，得到于是得到方程（4.9）的参数形式的通解为 为任意常数.例例 13 求解方程这里解解 令则由方程得从而于是积分之，得到因此方程的通解表成参数形式4. 形如的方程，其求解方法与上面一样.记参数形式引入参数 ，将方程表示为由关系式得由此得于是为方程的参数形式的通解，其中 为任意常数.此外，不难验证，若有实根则也是方程的解.例例 14 求解方程解解 令则与原微分方程消去 后，有由此得并且这是微分方程的参数形式的通解.因此积分之，得到于是求得方程的参数形式的通解为或者消去参数 得其中 为任意常数.此外，当原方程变为于是也是方程的解.返 回常微分方程是高等院校信科专业的一门科学，对一阶常微分方程初等解法的学习引导学生对疑难点深入研究，学会探究不同方法之间的区别与联系，以培养学生的发散思维和探究能力.