空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算讲课人：邢启强2两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义O OA AB B学习新知学习新知两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是围是(0,90,而向量的夹角可以是钝角而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是其取值范围是0,180讲课人：邢启强3(2)两个向量的数量两个向量的数量积积注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量. 零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。学习新知学习新知讲课人：邢启强4BB1 1AA1 1(2)两个向量的数量两个向量的数量积积学习新知学习新知讲课人：邢启强5不一定为锐角不一定为锐角不一定为钝角不一定为钝角巩固练习巩固练习讲课人：邢启强6空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 注意：注意：性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据； 性质性质3 3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据； 性质性质(5)(5)是用来求两个向量的夹角是用来求两个向量的夹角对于非零向量对于非零向量对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：，有：，有：学习新知学习新知讲课人：邢启强7空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意注意:数量积不满足结合律即数量积不满足结合律即学习新知学习新知讲课人：邢启强8巩固练习巩固练习讲课人：邢启强9 如图，已知空间四边形如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于的每条边和对角线长都等于1，点，点E、F、G分别是分别是AB、AD、DC的中点。的中点。求下列向量的数量积：求下列向量的数量积：ABCDEFG巩固练习巩固练习讲课人：邢启强10巩固练习巩固练习讲课人：邢启强11例例1：已知：已知m,n是平面是平面 内的两条相交直线，直线内的两条相交直线，直线l与与 的交点为的交点为B，且，且lm，ln，求证：，求证：l 分析：由定义可知，只需证分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线与平面内任意直线g垂直。垂直。n nm mgg gmnll l要证要证l与与g垂直，只需证垂直，只需证lg0而而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对序实数对(x,y)使得使得 g=xm+yn要证要证lg0,0,只需只需l g= = xlm+yln=0=0故故 lg0 0而而lm0 0 ，ln0 0例题讲评例题讲评讲课人：邢启强12n nm mgg gmnll l例例1：已知：已知m,n是平面是平面 内的两条相交直线，直线内的两条相交直线，直线l与与 的交点为的交点为B，且，且lm，ln，求证：，求证：l 例题讲评例题讲评讲课人：邢启强13例例2：已知：在空间四边形：已知：在空间四边形OABC中，中，OABC，OBAC，求证：，求证：OCABA AB BC CO O 例题讲评例题讲评讲课人：邢启强14lOPA 例例3.已知：如图，已知：如图，PO,PA分别是平面分别是平面的的垂垂线线，斜，斜线线,AO是是PA在平面在平面内的射影，内的射影，a例题讲评例题讲评讲课人：邢启强15分析分析:同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎一样证明思路几乎一样,只只不过其中的加法运算不过其中的加法运算用减法运算来分析用减法运算来分析.学习新知学习新知讲课人：邢启强16 1. 1.已知线段已知线段 、在平面、在平面 内内, , , ,线段线段 如果如果 , ,求、之间的距离求、之间的距离. .解解:巩固练习巩固练习讲课人：邢启强17 例例4 4如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段 , ,线段线段 ，线段，线段，如果，求、之间的距离。，如果，求、之间的距离。解：由，可知解：由，可知. .由由 知知 . .例题讲评例题讲评讲课人：邢启强18 2. 2.已知在平行六面体已知在平行六面体 中，中，, ,求对角线的长。求对角线的长。解：解：巩固练习巩固练习讲课人：邢启强193.3.已知空间四边形的每条边和对角已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于线的长都等于 ，点分别是边，点分别是边的中点。求证：的中点。求证： 。证明：因为证明：因为所以所以同理，同理，巩固练习巩固练习讲课人：邢启强204.4.已知空间四边形已知空间四边形，求证：，求证： 。证明：证明：巩固练习巩固练习讲课人：邢启强21巩固练习巩固练习讲课人：邢启强22巩固练习巩固练习6.已知空间向量已知空间向量a，b满足满足|a|=4，|b|=8，a与与b的夹角是的夹角是150，计算：计算：(1)(a+2b)(2a-b)；(2)|4a一一2b|讲课人：邢启强23 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线，将它沿对角线AC折起，使折起，使AB与与CD成成60角，求角，求B，D间的距离间的距离巩固练习巩固练习讲课人：邢启强24 已知空间四边形已知空间四边形OABC中中,M,N,P,Q分别分别为为BC,AC,OA,OB的中点的中点,若若AB=OC,求证：求证：PMQN证明：证明：巩固练习巩固练习