8.7立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直第八章立体几何与空间向量基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一 向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2.用向量证明空间中的平行关系用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合) .(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l .知识梳理非零v1v2存在两个实数x，y，使vxv1yv2(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或l .(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则 . 3.用向量证明空间中的垂直关系用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2 .(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l .(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则 .vuu1 u2v1v2v1v20vuu1u20u1u21.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的.( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( )(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行.( )(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.( )题组一思考辨析题组一思考辨析基础自测1245632.P104T2设u，v分别是平面，的法向量，u(2,2,5)，当v(3，2,2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_.题组二教材改编题组二教材改编12456解析3答案解析解析当v(3，2,2)时，uv(2,2,5)(3，2,2)0.当v(4，4，10)时，v2u.12456答案3.P111T3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.3垂直解析题组三易错自纠题组三易错自纠4.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是 解析12456答案3解析解析设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，xyz.故选C.解析解析由an知，na，则有l，故选B.5.直线l的方向向量a(1，3,5)，平面的法向量n(1,3，5)，则有 A.l B.lC.l与斜交 D.l或l12456答案3解析6.已知平面，的法向量分别为n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则 A. B.C.，相交但不垂直 D.以上均不对解析124563解析解析n1n2，且n1n22(3)315(4)230，既不平行，也不垂直.答案题型分类深度剖析典典例例如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB平面EFG.题型一利用空间向量证明平行问题师生共研师生共研证明若本例中条件不变，证明平面EFG平面PBC.证明又EF平面PBC，BC平面PBC，EF平面PBC，同理可证GFPC，从而得出GF平面PBC.又EFGFF，EF，GF平面EFG，平面EFG平面PBC.引申探究引申探究(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.思维升华思维升华跟跟踪踪训训练练如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD.证明命题点命题点1证线面垂直证线面垂直典典例例 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.证明题型二利用空间向量证明垂直问题多维探究多维探究命题点命题点2证面面垂直证面面垂直典典例例如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPD AD，设E，F分别为PC，BD的中点.(1)求证：EF平面PAD； 证明证明又PAPD，PDCDD，PD，CD平面PDC，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.(2)求证：平面PAB平面PDC.证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.思维升华思维升华跟跟踪踪训训练练 如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD； 证明(2)平面PAD平面PAB.证明题型三利用空间向量解决探索性问题师生共研师生共研典典例例 (2018桂林模拟)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1； 证明(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.解答对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.思维升华思维升华跟跟踪踪训训练练(2016北京)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD .(1)求证：PD平面PAB； 证明证证明明平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，ABAD，AB平面ABCD，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD.又PAPD，PAABA，且PA，PB平面PAB，PD平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；解答BM平面PCD，BM平面PCD，解答典典例例 (12分)如图1所示，正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB，如图2所示.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？证明你的结论. 利用向量法解决立体几何问题思想方法思想方法思想方法指导规范解答课时作业1.已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是 A.P(2,3,3) B.P(2,0,1)C.P(4,4,0) D.P(3，3,4)基础保分练点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内.解析答案123456789101112132.设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量.若，则t等于 A.3 B.4 C.5 D.6答案解析解析，则uv262(4)4t0，t5.解析123456789101112133.(2017西安模拟)如图，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1FDE，则有 A.B1EEBB.B1E2EBC.B1E EBD.E与B重合 答案解析123456789101112134.(2017广州质检)已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_.解析答案解析解析设平面的法向量为m(x，y，z)，m(1,1,1)，mn，mn，.12345678910111213解析答案12345678910111213解析答案123456789101112137.(2018青海质检)正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.求证：MN平面A1BD.证明123456789101112138.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAAB PD.证明：平面PQC平面DCQ.证明123456789101112139.(2017郑州调研)如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD ，E为PD上一点，PE2ED.(1)求证：PA平面ABCD； 证明PA2AD2PD2，即PAAD.又PACD，ADCDD，AD，CD平面ABCD，PA平面ABCD.12345678910111213(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.解答12345678910111213解析A.相交 B.平行C.垂直 D.MN在 平 面BB1C1C内答案技能提升练1234567891011121311.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和为_.解析答案112345678910111213解析答案拓展冲刺练1234567891011121313.(2018东莞质检)如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AMMP，则点P形成的轨迹长度为_.12345678910111213答案解析