天体物理中的辐射机制天体物理中的辐射机制授课教师：吴学兵（北大天文系）授课教师：吴学兵（北大天文系）研究生课程研究生课程2011.12.2 &9.http:/vega.bac.pku.edu.cn/wuxb/radiation.htm12月月2&9日复习题日复习题六、复合辐射和复合线六、复合辐射和复合线参考：尤峻汉书：第7章Rybicki & Lightman书：第9, 10章Frank Shu书：第10, 26, 27章六、复合辐射和复合线六、复合辐射和复合线复合辐射复合辐射(radiative recombination): 动能为动能为Ei的自由的自由电子飞过带电电子飞过带电+Ze的离子近旁时，可能被离子俘获，的离子近旁时，可能被离子俘获，复合成净电荷为复合成净电荷为+(Z-1)e的离子，同时产生辐射。伴的离子，同时产生辐射。伴随辐射的复合过程也是热等离子体的冷却方式之一。随辐射的复合过程也是热等离子体的冷却方式之一。若复合后的离子处在主量子数为若复合后的离子处在主量子数为n的激发态上，该态的激发态上，该态能量为能量为-IZ-1,n, 则此复合过程辐射的光子能量为：则此复合过程辐射的光子能量为：h = Ei + IZ-1,n由于由于Ei可连续取值，故光子能量可取大于可连续取值，故光子能量可取大于IZ-1,n的任意的任意值，即值，即复合辐射谱是边界频率为复合辐射谱是边界频率为IZ-1,n/h的连续谱的连续谱。复合辐射过程中，电子的终态成为束缚态，因此复合辐射过程中，电子的终态成为束缚态，因此复合复合辐射又称为自由辐射又称为自由-束缚跃迁束缚跃迁(free-bound transition)过过程。程。复合辐射与轫致辐射的物理过程相似，但两者常有不复合辐射与轫致辐射的物理过程相似，但两者常有不同的辐射频段。同的辐射频段。如如T10000K时，轫致辐射主要辐射射电波段连续谱，时，轫致辐射主要辐射射电波段连续谱，而复合辐射除主要辐射光学波段连续谱外，复合辐射而复合辐射除主要辐射光学波段连续谱外，复合辐射可在复合到高激发态后通过向低能级跃迁可在复合到高激发态后通过向低能级跃迁(级联跃迁级联跃迁过程过程)发射谱线。发射谱线。天体物理中相当多的光学谱线和射电谱线是通过这种天体物理中相当多的光学谱线和射电谱线是通过这种复合复合-级联方式级联方式产生的。另一种发射谱线的机制是通产生的。另一种发射谱线的机制是通过自由电子和离子、原子的过自由电子和离子、原子的碰撞激发碰撞激发(collisional excitation)来实现的。来实现的。1、氢、氢(或类氢或类氢)离子的复合辐射离子的复合辐射复合截面复合截面氢离子：氢离子：90%等离子体等离子体类氢离子：轨道电子全部脱落，原子核类氢离子：轨道电子全部脱落，原子核Ze裸露裸露(如如二次电离二次电离He原子，记为原子，记为He+或或He III)。对飞到离子近旁的自由电子，若发生终态能量对飞到离子近旁的自由电子，若发生终态能量 的轫致辐射，或发生到高激发态的复合过程的轫致辐射，或发生到高激发态的复合过程(电离电离能能 )，此两类过程在物理上无严格区分，共，此两类过程在物理上无严格区分，共同特征为电子最后在离子近旁作缓慢运动。因此，同特征为电子最后在离子近旁作缓慢运动。因此，在在 极限下的轫致辐射截面应和极限下的轫致辐射截面应和 极限下极限下的复合辐射截面相等的复合辐射截面相等。对一初速为对一初速为 的自由电子，若发生终态能量的自由电子，若发生终态能量 的的轫轫致辐射致辐射，利用，利用“高频高频”近似公式得到截面为：近似公式得到截面为：其中，其中， 是精细结构常数，是精细结构常数， 。 若电子入射后发生复合过程落在主量子数为若电子入射后发生复合过程落在主量子数为 的的态上，假定态上，假定n取较大值，即处于高激发态，由于电离取较大值，即处于高激发态，由于电离能能 (其中其中 是氢原子的基态电离是氢原子的基态电离能能) ，故，故 。此复合过程伴随的辐射频率为。此复合过程伴随的辐射频率为 ，复合辐射频率范围是，复合辐射频率范围是 。 如将电子俘获到如将电子俘获到 高激发态的总复合截面记为高激发态的总复合截面记为 ，应有，应有 。利用利用“高频高频”轫致辐射截面公式得到：轫致辐射截面公式得到： 即所求的到能级即所求的到能级n的微分复合截面，修正因子的微分复合截面，修正因子 称为复合冈特因子，称为复合冈特因子， ，误差小于，误差小于10%。 可见，入射电子动能越大，复合截面越小。可见，入射电子动能越大，复合截面越小。Z越大，越大，截面越大。且截面越大。且n值小的低激发态复合截面比高激发态值小的低激发态复合截面比高激发态要大，即要大，即电子俘获到高激发态的概率很小电子俘获到高激发态的概率很小。因。因n大的大的束缚态电子轨道半径大，故离子与电子库仑引力较弱，束缚态电子轨道半径大，故离子与电子库仑引力较弱，对电子束缚作用小。对电子束缚作用小。对给定初动能对给定初动能Ei的入射电子，大的入射电子，大n值时复合截面正比值时复合截面正比于于n-3。但小但小n值时，值时，Ei已远小于该态电离能，已远小于该态电离能， ，辐射光子能量为辐射光子能量为 ，复合截面正比于，复合截面正比于n-1。因此由等式因此由等式 可得到临界可得到临界n值为：值为：复合截面与主量子数的关系近似为：复合截面与主量子数的关系近似为：可见电子到低激发态的复合更为重要。这种复合过程可见电子到低激发态的复合更为重要。这种复合过程主要产生光学主要产生光学(和紫外和紫外)辐射。辐射。如将如将 代入截面公式，代入截面公式，得到：得到：若温度为若温度为 ， ，远比氢原子几，远比氢原子几何截面何截面( )小。小。复合速率系数复合速率系数如等离子体内氢如等离子体内氢(或类氢或类氢)离子及自由电子的数密度分离子及自由电子的数密度分别用别用Nz,Ne表示，由于复合作用，单位时间自由电子表示，由于复合作用，单位时间自由电子和离子数的减少率与和离子数的减少率与Nz,Ne成正比，成正比，比例系数比例系数 即复合速率系数即复合速率系数(单位：单位：cm3/s)。它是确定它是确定一处于电离一处于电离-复合平衡的等离子体性质的重要参量。复合平衡的等离子体性质的重要参量。假定自由电子气具有假定自由电子气具有Maxwell分布，即速率分布函数分布，即速率分布函数为：为：其中其中T为电子温度。因此总的复合速率系数为：为电子温度。因此总的复合速率系数为：其中其中 表示到能级表示到能级n的复合速率系数。的复合速率系数。代入各参量表达式，可算出总的以及到单个能级的代入各参量表达式，可算出总的以及到单个能级的复合速率系数复合速率系数 及及 。如对复合到氢如对复合到氢(Z=1)的第的第n能级的复合速率系数是：能级的复合速率系数是：其中其中 是氢原子第是氢原子第n激发能级的电离电势，激发能级的电离电势，K(t)是指数积分：是指数积分：对电子速度分布求平均及对所有对电子速度分布求平均及对所有n求和，得到总的求和，得到总的复合系数为：复合系数为：其中其中 , 5.3E-9cm是是H原子玻原子玻尔半径，尔半径， 表示类表示类H原子电离能与电子平均动能比。原子电离能与电子平均动能比。 表示平均复合冈特因子，表示平均复合冈特因子， ，误差小于，误差小于10%。对对“低温低温”情况情况( ，即，即 )在很在很“低低”温度下，温度下，Y1, 即平均电子动能即平均电子动能(如如T10000K，kT1eV, 远小于远小于H原子电离能原子电离能13.6eV)复合系数与温度复合系数与温度T的依赖关系可写成：的依赖关系可写成：因此因此“低低”温时近似有温时近似有 ，温度升高，复，温度升高，复合速率下降。合速率下降。 T对对高温高温情况情况(小的小的Y值值)， 是是Y的幂级数，的幂级数，因此高温下因此高温下( ，即，即Y1), 有：有：即在高温下，复合迅速减少即在高温下，复合迅速减少。在许多情况下，紫外光子的吸收平均自由程比介质在许多情况下，紫外光子的吸收平均自由程比介质的线度小。如电子到基态的复合产生紫外的线度小。如电子到基态的复合产生紫外(Lyman)光光子子, 因能量大于原子电离能，故很容易在传播中被其因能量大于原子电离能，故很容易在传播中被其它原子吸收并产生光致电离它原子吸收并产生光致电离(photo-ionization)。这。这种介质对紫外光子不透明的情况常称为种介质对紫外光子不透明的情况常称为情况情况B (Case B)。情况情况B下到基态的紫外复合对等离子体的电离下到基态的紫外复合对等离子体的电离-复合平衡实际不起作用。复合平衡实际不起作用。在情况在情况B下，总复合速率系数下，总复合速率系数 应应只对各激发态只对各激发态n的求和的求和，所得结果与以前类似，只是式中，所得结果与以前类似，只是式中 应代以应代以 代表到基态的复合对代表到基态的复合对 的贡献，的贡献， 的形的形式是：式是：其中其中K(Y)是指数积分。是指数积分。( )复合辐射连续谱复合辐射连续谱假定自由电子速度具有假定自由电子速度具有Maxwell分布，由于电子被分布，由于电子被类类H离子俘获到静电荷为离子俘获到静电荷为(Z-1)e的离子的第的离子的第n个能级个能级上，单位体积气体产生的频率为上，单位体积气体产生的频率为 的辐射功的辐射功率率(谱发射系数谱发射系数)为：为：注意到注意到 ，得到：，得到：上式只考虑到激发能级上式只考虑到激发能级n的复合，所产生的连续谱形的复合，所产生的连续谱形随频率指数衰减，且在随频率指数衰减，且在 处有一明确边界。总处有一明确边界。总的复合辐射连续谱应计及到各能级的复合的贡献。的复合辐射连续谱应计及到各能级的复合的贡献。因此得到总复合辐射谱发射系数：因此得到总复合辐射谱发射系数：注意求和只对满足条件注意求和只对满足条件 的能级的能级n求和，求和， 。由由 可定出最低复合能级的主量子数可定出最低复合能级的主量子数 。只有这些能级的复合才可能产生给定频率只有这些能级的复合才可能产生给定频率 的辐射。的辐射。以上只考虑类以上只考虑类H离子的复合谱，实际也应当考虑少离子的复合谱，实际也应当考虑少量其它非类量其它非类H离子离子(如如 等等)的作用。可以用的作用。可以用以下近似方法考虑其贡献。以下近似方法考虑其贡献。把非把非H离子主量子数为离子主量子数为n的激发态电离能记为的激发态电离能记为 ，Z是核电荷数是核电荷数(即原子序数即原子序数)，z是离子净电荷。当一净是离子净电荷。当一净电荷为电荷为ze的复杂离子和一电子复合进入能态的复杂离子和一电子复合进入能态n时，可时，可近似认为此净电荷为近似认为此净电荷为(z-1)e的离子在能级的离子在能级n的电离能为：的电离能为： 。因被俘获的电子总在最外层大轨道上，与。因被俘获的电子总在最外层大轨道上，与净电荷为净电荷为z的离子实共同构成一个类的离子实共同构成一个类H系统。系统。近似修正：近似修正：(1)、能级、能级n有有2n2个能态，若原有电子已将个能态，若原有电子已将2n2个能态填个能态填满，由于不相容原理满，由于不相容原理(Pauli exclusion principle)，外来，外来入射电子无法复合到入射电子无法复合到n能级，此时复合截面应为能级，此时复合截面应为0。(2)、若离子、若离子2n2 个能态全空个能态全空(没有电子没有电子)，则可采用类，则可采用类H离子复合截面公式计算截面离子复合截面公式计算截面 。(3)、若离子、若离子2n2个能态被部分填充个能态被部分填充(如填有如填有r个电子，个电子，rn跃迁跃迁的概率。的概率。NGC 4151 (AGN)NGC1501(Planetary Nebula)对低密度的稀薄等离子体，辐射跃迁概率远超过碰撞对低密度的稀薄等离子体，辐射跃迁概率远超过碰撞跃迁，系统偏离局部热动平衡，必须求解一组跃迁，系统偏离局部热动平衡，必须求解一组复合复合-级联方程级联方程才能求出各激发态才能求出各激发态n上的原子数上的原子数Nn。在稳定条件下，各能级在稳定条件下，各能级n上原子数密度上原子数密度Nn不随时间变不随时间变化，进入能级化，进入能级n的原子数应与离开的相等。的原子数应与离开的相等。进入能级进入能级n的的三条途径三条途径：自由电子直接复合到能级：自由电子直接复合到能级n；从高激发态到能级从高激发态到能级n的自发跃迁；吸收频率为的自发跃迁；吸收频率为 的的Lyman光子光子 从基态跃迁到从基态跃迁到n态。故单位时间单位体态。故单位时间单位体积跃迁到能级积跃迁到能级n的总数为：的总数为：对低密度及辐射场不太强的等离子体，可忽略碰撞跃对低密度及辐射场不太强的等离子体，可忽略碰撞跃迁及感应辐射跃迁，原子只能通过向低能级的自发跃迁及感应辐射跃迁，原子只能通过向低能级的自发跃迁离开能级迁离开能级n。单位时间单位体积内离开的原子数为：单位时间单位体积内离开的原子数为：因此得到用来确定各能级原子数的复合因此得到用来确定各能级原子数的复合-级联方程：级联方程：其中复合速率系数其中复合速率系数 由下式给出：由下式给出：式中式中 ， 为指数积分。为指数积分。复合复合-级联方程中的自发跃迁系数级联方程中的自发跃迁系数 也可从理也可从理论上计算得到。已知论上计算得到。已知H原子在能级原子在能级k和和n之间的振子之间的振子强度为：强度为：式中式中 是能级是能级k的权重，的权重， 。自发发射系。自发发射系数数 可由与阵子强度可由与阵子强度 的关系求得：的关系求得：复合复合-级联方程中的感应跃迁系数级联方程中的感应跃迁系数 和辐射场强度和辐射场强度 的确定分两种情况：的确定分两种情况：(1)、情况、情况A(Case A)：等离子体很稀薄，对所有频等离子体很稀薄，对所有频率的辐射都是光学薄的。此时感应吸收项率的辐射都是光学薄的。此时感应吸收项 可略去。可略去。(2)、情况、情况B(Case B)：等离子体对等离子体对Lyman光是光学厚光是光学厚的，但对其它波长仍是透明的。因在不太高的温度下，的，但对其它波长仍是透明的。因在不太高的温度下，原子绝大多数处于基态原子绝大多数处于基态(n=1)，只可能吸收紫外只可能吸收紫外Lyman光子而产生激发或光致电离，对可见光或红外光子而产生激发或光致电离，对可见光或红外光则几乎不吸收。光则几乎不吸收。在情况在情况B下，等离子体以下，等离子体以Lyman线辐射的光子很快在线辐射的光子很快在介质中被吸收。假定光深足够大，使介质中被吸收。假定光深足够大，使1-n的吸收跃迁的吸收跃迁数和数和n-1的跃迁数相等，的跃迁数相等，复合复合-级联方程可写为：级联方程可写为：在以上两种情况下，方程均不含在以上两种情况下，方程均不含 项。项。求解复合求解复合-级联方程的方法可进一步简化级联方程的方法可进一步简化按沙哈按沙哈(Saha)公式，对热平衡公式，对热平衡H原子等离子体，能级原子等离子体，能级n上的原子数密度上的原子数密度Nn为：为：式中是式中是Ne电子密度，电子密度，N(H+)是基态是基态H离子密度，离子密度， 是能级是能级n的简并度，而的简并度，而 是能级是能级n的电离能。的电离能。利用利用Saha公式，将各能级公式，将各能级n上的原子数密度上的原子数密度Nn写成：写成：其中其中e的指数为的指数为 ，而，而bn表示对温度为表示对温度为T的热平衡分布的热平衡分布(Saha公式公式)偏离程度的一修正因子。偏离程度的一修正因子。将上式代入复合将上式代入复合-级联方程得到关于级联方程得到关于bn(n=2,3,4.)的方程组，求出的方程组，求出bn ，就可定出就可定出Nn。当。当n- 时时, bn-1。因此对给定参数因此对给定参数T，Ne及及N(H+)，可求得可求得n 3的各能的各能级上的级上的H原子数原子数Nn。利用利用 ，即可求出各，即可求出各Balmer谱线的线强。谱线的线强。下表中列出各下表中列出各Balmer谱线对于谱线对于H 线的相对强度值线的相对强度值 (Jn随随n增大而减小增大而减小Balmer减缩减缩)。为求谱线绝对强度，可用公式为求谱线绝对强度，可用公式 求求出每条谱线的发射系数。出每条谱线的发射系数。对对Balmer线系的第二条谱线线系的第二条谱线H ，谱线发射系数为：谱线发射系数为：如果如果T=10000K，且属情况且属情况B(对对Lyman线辐射，等线辐射，等离子体是光学厚的离子体是光学厚的)，可求出，可求出 。将此。将此 值代值代入上式并采用一些近似表示，可得到：入上式并采用一些近似表示，可得到：3、射电复合谱线、射电复合谱线对复合到激发态的电子，若通过级联跃迁到其它能对复合到激发态的电子，若通过级联跃迁到其它能级级n，就产生相应其它线系就产生相应其它线系(如帕邢如帕邢Pachen线系，线系，n=3), 只不过其重要性不如只不过其重要性不如Balmer线系。线系。此外，此外，高激发态之间的复合高激发态之间的复合-级联跃迁产生的射电级联跃迁产生的射电复合线复合线也很重要，对它们的研究可了解等离子体内也很重要，对它们的研究可了解等离子体内部物理条件部物理条件(如电子温度等如电子温度等)。射电复合发射线的频率为：射电复合发射线的频率为：其中其中R是里德伯是里德伯(Rydberg)常量常量( )，z是相对是相对于处在高激发态的电子于处在高激发态的电子(有大的轨道有大的轨道)而言的离子所而言的离子所具有的净电荷数具有的净电荷数(近似看作类近似看作类H系统系统)。考虑到电子折合质量略低于其静止质量，使得考虑到电子折合质量略低于其静止质量，使得里德里德伯常量随不同原子略有差异伯常量随不同原子略有差异，即：，即：其中其中A是原子量，是原子量，me, mp分别是电子、质子质量。分别是电子、质子质量。若考虑相邻两高激发态的跃迁，即若考虑相邻两高激发态的跃迁，即 ，则称之为则称之为n 跃迁，跃迁，n取低能级取低能级n1的值。当的值。当 ，即即 ，则称为，则称为n 跃迁。与之相应的谱线称为跃迁。与之相应的谱线称为n 线、线、 n 线等等。为表征是哪个元素原子的谱线，在谱线线等等。为表征是哪个元素原子的谱线，在谱线记号前标上元素符号，如记号前标上元素符号，如 等。等。由于由于n1，n2都取大值，都取大值， n通常较小，辐射频率可很通常较小，辐射频率可很好地近似为：好地近似为：因此当电子被任何一种因此当电子被任何一种z=1的一次电离元素原子的一次电离元素原子(如如 等等)俘获，且复合到高激发态俘获，且复合到高激发态(n1)情况情况下，只要下，只要n1值相同，值相同， 也一样，则各种不同也一样，则各种不同元素原子的跃迁频率很接近，比元素原子的跃迁频率很接近，比H重的元素原子的发重的元素原子的发射线比射线比H原子的相应发射线略移向高频端。原子的相应发射线略移向高频端。求谱线辐射强度，需解辐射转移方程。谱线线心处求谱线辐射强度，需解辐射转移方程。谱线线心处强度由谱线强度与连续谱在该频率处强度两部分组强度由谱线强度与连续谱在该频率处强度两部分组成：成： 。因此在线心处有：。因此在线心处有：而在紧邻的连续谱区有：而在紧邻的连续谱区有：假定等离子体均匀，温度、密度处处相同，则可得假定等离子体均匀，温度、密度处处相同，则可得线心处的强度为：线心处的强度为：其中其中同样可得紧邻谱线的连续谱区的强度为：同样可得紧邻谱线的连续谱区的强度为：由于由于 ，故，故谱谱线强度与连续谱强度在同一频率线强度与连续谱强度在同一频率处之比为：处之比为：因高激发态寿命较长，远大于碰撞时间，故即使对因高激发态寿命较长，远大于碰撞时间，故即使对低密度等离子体，碰撞跃迁也为主要过程。此情况低密度等离子体，碰撞跃迁也为主要过程。此情况下可应用局部热动平衡假定。下可应用局部热动平衡假定。由由Kirchhoff定律，定律，对光学厚情况，对光学厚情况， 和和 ，故，故 ，不会有，不会有发射线出现。发射线出现。在光学薄时，在光学薄时，强度比可从观测得到，而光深强度比可从观测得到，而光深 和和 与等离子体中与等离子体中电子密度及温度有关，从而由上式可推求等离子体内电子密度及温度有关，从而由上式可推求等离子体内部物理条件。部物理条件。射电天文学中一般用亮温度射电天文学中一般用亮温度TB代替强度，代替强度，假定等离子体均匀，强度比公式可改写为：假定等离子体均匀，强度比公式可改写为：射电波段，连续谱辐射基本上来自轫致辐射，故由射电波段，连续谱辐射基本上来自轫致辐射，故由Kirchhoff定律定律 可求出可求出 值。值。对低频情况对低频情况 ，代入近似的平均冈特因子表示，代入近似的平均冈特因子表示式，得到：式，得到：由于由于 对对 和和T的依赖关系很弱，以上表示式可的依赖关系很弱，以上表示式可大为简化。大为简化。对对0.1 50GHz和和6000T18000K, 得到：得到：其中其中 为接近为接近1的慢变因子，误差的慢变因子，误差10%.线吸收系数线吸收系数 的计算公式为的计算公式为：由于高激发态寿命较长，碰撞跃迁概率远大于辐射由于高激发态寿命较长，碰撞跃迁概率远大于辐射跃迁，粒子数分布遵从跃迁，粒子数分布遵从Boltzmann公式：公式：在射电波段，在射电波段， ，故，故能级能级n上的原子数上的原子数Nn可由可由Saha-Boltzmann方程给出，方程给出，在局部热动平衡条件下：在局部热动平衡条件下：其中其中 分别是电子和分别是电子和H离子数密度，而离子数密度，而 是是H原子在能级原子在能级n的电离能，的电离能， 是能级是能级n的简并的简并度。通常温度在度。通常温度在 的气体，离子配分函数的气体，离子配分函数 ，且，且 ，故，故 因此可得到线吸收系数为：因此可得到线吸收系数为：利用求得的线吸收系数和连续谱吸收系数，对利用求得的线吸收系数和连续谱吸收系数，对H原原子子(Z=1)相邻能级的跃迁，相邻能级的跃迁， ，得到：，得到：在通常等离子体中，在通常等离子体中，H占多数，占多数， ，吸收振子强度吸收振子强度fnm可由理论求得。对可由理论求得。对50n1)对对X射线的光电吸收变得射线的光电吸收变得重要，它们是重要，它们是 的的X射线辐射的重要吸收源射线辐射的重要吸收源。作为多电子原子的重原子，其内层电子的电离势很高作为多电子原子的重原子，其内层电子的电离势很高(主量子数主量子数n=1,2,3的内壳层分别称为的内壳层分别称为K,L,M壳层壳层)，只，只有软有软X射线和远紫外波段光子才可能使其电离。在近射线和远紫外波段光子才可能使其电离。在近似估计重原子内壳层电子的似估计重原子内壳层电子的X射线光电吸收截面时，射线光电吸收截面时，可采用类可采用类H离子公式，只需计及内壳层电子的库仑屏离子公式，只需计及内壳层电子的库仑屏蔽作用对序数蔽作用对序数Z的适当修正即可，也即相当于略去重原的适当修正即可，也即相当于略去重原子外层大玻尔轨道上电子的存在对截面的修正，因为子外层大玻尔轨道上电子的存在对截面的修正，因为主量子数主量子数n大的外层电子远离原子核大的外层电子远离原子核( )，对内层，对内层电子的物理性质影响极小。电子的物理性质影响极小。