三角形全等三角形全等完整复习完整复习知识点知识点三角形全等的证题思路：三角形全等的证题思路：基本基本图形图形演变演变例1：如图，E=F=90，B=C,AE=AF,给出下列结论：1=2; BE=CF; ACNABM; CD=DN.其中正确的结论是 _CBFEAD12MNABEACF AC=ABACNABMAEMAFNAM=ANMC=NBMDC= NDBMDCNDBCD=BDDN=DM 例2、在ABC中，AC=5,中线AD=4，则边AB的取值范围是（ ） A 1AB9 B 3AB13 C 5AB13 D 9AB13ADBCEABDECDAB=CEAE-ACCEAE+AC8-5CE8+53CE13（三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）B延长AD到E，使得AD=DE(2)当DEF旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；ACBDEF图图D B(E)FCAOADB(E)OFC图ABCDBFABFDBCBC=BFBA=BDABC=DBFABF=DBCBAF=BDCFAO=CDOAOF=DOCAFD=DCA(3)在图中，连接BO、AD，探索BO、AD之间有怎样的位置关系，并证明。ADB(E)OFC连接BO，AD由（2）知：ABCDBF121=2，AB=DB,AC=DF343=4AO=DO又，BO平分AD即BO垂直平分AD.AO=DOBA=BDBO=BOBOBOB=B例3 如图 点C在线段AB上，DAAB， EBAB ,FCAB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB, AFB=51,求DFE的度数。DABEFCDFE= AFB- AFD- EFB分析： DA=BCFC=ABRtDABRtBCFBD=BFDBA=BFCBDA=FBCDBF= DBA+FBC= 90BDF=BFD=45DFA=51-45=6同理：DFB=6DFE=51-6-6=39证明：在RtDAB和RtBCF中巩固基础1、如图，AOB中，B=30，将AOB绕点O顺时针旋转52得到 ,则 的度数为_303052三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。82例4（1）求证：ABEDACBDEFMN (2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。A=DNCD=90ANE=DNC在ANP 和DNC中P证明:APN=NCD=90ABEDPANCDN例5、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC和DEF，将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF绕点B顺时针旋转，这时AC与DF相交于点O。（1）当旋转至如图位置，点B(E)，C,D,在同一条直线上时，AFD与DCA的数量关系是_ACBDEF图图D B(E)FCAO相等ADB(E)OFC(2)当DEF旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；ACBDEF图图D B(E)FCAOADB(E)OFC图ABCDBFABFDBCBC=BFBA=BDABC=DBFABF=DBCBAF=BDCFAO=CDOAOF=DOCAFD=DCA(3)在图中，连接BO、AD，探索BO、AD之间有怎样的位置关系，并证明。ADB(E)OFC连接BO，AD由（2）知：ABCDBF121=2，AB=DB,AC=DF343=4AO=DO又，BO平分AD即BO垂直平分AD.AO=DOBA=BDBO=BOBOBOB=B基础夯实1、如图，AOB中，B=30，将AOB绕点O顺时针旋转52得到 ,则 的度数为_303052三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。822、如图，OA=OB，OC=OD，O=60, C=25,则BED等于_ODCBAE6025CBD=60+25=85OA=OBOC=ODO=OAODBOCC=D=25BED=180-85-25=70703、如图，把大小为44的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1，请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把44的正方形方格图形分成两个全等图形。画法1画法4画法3图1画法2两部分有何关系？关于正方形中心对称4、如图，ABE和ADC是ABC分别沿着AB、AC边翻折180形成的，若1： 2 ：3=28：5：3，则 的度数为_EDPCBA132a1=140 2=253=15805、如图，在ABC中，ADBC于D,CEAB于E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3,AE=4.则CH的长是（ ）A、 1 B 、 2 C、3 D、4 ACHEBDAE=CE=4AEHCEBCE-EH=4-3=1A6、如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE, 1=2=3,则DE的长等于（ ）A、DC B、BC C、AB D 、AE+AC132EADBCFD=180-DFA-1B=180-BFA-21=2=3D= B AC=CE1=2=3BCA=DCEDCE=BCAABCEDCDE=ABC点评：要寻找与已知条件相关的一对全等三角形。7、如图，ABCD,ACDB,AD与BC交于O，AEBC于E，DFBC于F，那么图中全等的三角形有（ ）对A 5 B 6 C 7 D 8CDBAEFOC8、两块含30角的相同直角三角板，按如图位置摆放，使得两条相等的直角边AC、C1A1共线（1)图中有多少对全等三角形？并将它们写出来；（2）选择其中一对（ABCA1B1C1除外）进行证明。BB1OEFAA1C1C(1)3对AC1=A1CA=A1(2)AEC1A1FC9、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示位置，图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连结DC.(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；DEABC图1图2（2）证明：DCBE图1又ACB=45ABE=ACD=45 ACB+ACD=45+45=90由(1)ABEACDDEABC图210、在ABC中，ACB=90AC=BC,直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD+BE证明：2131+3=901+2=90， 2=3又ADC= CEB=90,AC=BC ADCCEB AD=CE,CD=BE DE=CD+CE=AD+BE即，DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD-BE证明：BCE+CBE=90ACD+BCE=90， ACD=CBE ADCCEB AD=CE,CD=BE DE=CE-CD=AD-BE即，DE=AD-BE又ADC= CEB=90,AC=BC(3)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。DE=BE-AD提示：能力拓展：11、在ABC中，高AD和BE 交于H点，且BH=AC，则ABC=_ABCHDE9090=BDHADCAD=BDABC=BAD=45ADBCEH13545或13512、如图，已知AE平分BAC，BEAE于E，EDAC, BAE=36，那么BED=_CEBADFBED= BFC = ABF +BAF= ABF +2BAE =90-36 +236=126126EDAC,（同位角相等）13、如图，D是ABC的边上一点，DF交AC于点E，给出三个论断：DE=FE；AE=CE; FCAB,以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确的个数是_FCEBAD 314、如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围是_BADCEADCEDBAC=EB=3AB-EBAEAB+EB5-3AE5+32AE8提示：延长AD到E，使得AD=DE，并连 接BE1AD41AD421/2AEAD，下列结论中正确的是（）、CB-CD B、=CB-CD C、 CB-CDBE=AB-AE=AB-ADCB-CDA17、考查下列命题：全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。其中正确的个数有（ ）A、 4个 B、3个 C、2 个 D、 1个B18、若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是（ ）A、相等 B、互余 C、互补 D、 相等或互补D相等互补19、如图，ABC中，D是BC的中点，DEDF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。AFEBDCPBDECDP延长ED至P，使DP=DE,并连接FP,CPEDFPDFEF=PFBE=CP在PFC中，PFCP+CF即EFCP+CFDP=DEBDE=CDPBD=CDDP=DEEDF=PDF=90FD=FD=BE+CF证明：20、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2, ABC=AED=90,求五边形ABCDE的面积。ABCDEF21、如图，在ABC中，ABC=60,AD、CE分别平分BAC、 ACB,求证：AC=AE+CDACEBOD在AC上取CF=CD，连OF证AEOAFO得CODCOF，AOC=120AOE=DOC=60=FOCF22、如图，CD是经过BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上的两点，且BEC=CFA=(1)若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若BCA=90， ，则BE_CF;EF_ (填或者=）如图2，若0 BCA180,请添加一个关于 与BCA关系的条件_，使中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论。（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部， = BCA，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）ADFCBE图1ADFCBE图2BADECF图3(1)证BCECAF，可得BE=CF，EF=BE-AF；（3）证BECCFA可得EF=BE+AF（ 2） a+BCA=180;体会读图、分析图形的能力体会读图、分析图形的能力 问题1：如图，你能找到几个三角形？如果AEDBEC，那么它们的对应边、对应角是什么？这时图中还有没有其他全等三角形？问题2：连结C、D两点，添了一条线段又多了多少个三角形呢？又有多少全等三角形呢？问题3：观察下列图形，说说哪些三角形可能全等？（1 1）有公共边的两个三角形可能全）有公共边的两个三角形可能全等。等。（2 2）有公共角或对顶角的两个三角）有公共角或对顶角的两个三角形也可能全等。形也可能全等。说说我的收获说说我的收获体会分析体会分析 问题4：如图，AB=AC，D、E分别在AB、AC上，BC、CD相交于O，试说明BD=CE。 分析：（1） （2）（3）ADCAEB 体会推理论证和书写过程体会推理论证和书写过程 通过三角形全等，可通过三角形全等，可以得到线段和角的相等，以得到线段和角的相等，有的题目通过说明一对三有的题目通过说明一对三角形全等就可以得出结论，角形全等就可以得出结论，而有的题目，为了说明一而有的题目，为了说明一对三角形全等，还要说明对三角形全等，还要说明另一对三角形全等。另一对三角形全等。 请同学把上请同学把上题的分析过题的分析过程书写出来，程书写出来，你有何体会你有何体会呢？呢？做一做做一做 1、如图，要识别、如图，要识别ABCADE，除公，除公共角共角A外，把还需要的两个条件及其根外，把还需要的两个条件及其根据写在横线上。据写在横线上。ABCED（1） ， （ ）（2） ， （ ）（3） ， （ ）（4） ， （ ）（5） ， （ ）（6） ， （ ）（7） ， （ ）SAS 2 2、如图，、如图，D为为BC中点，中点，DFAC，且，且DE=DF，B与与C相等吗？为什么？相等吗？为什么？ADCBFE3、如图，如图，AB=AC，BD、CE是是ABC的的角平分线，角平分线，ABDCBE吗？为什么？吗？为什么？BACDE4、如图，、如图，AB=AD，AC=AE，BAE= DAC，ABC与与ADE全等吗？全等吗？BACDE考考你，学得怎样？考考你，学得怎样？1、如图如图1 1，已知，已知AC=BD，1=2，那么那么ABC ，其判定根其判定根据是据是_。2、 如图如图2，ABC中，ADBC于于D，要使，要使ABDACD，若根据，若根据“HL”判定，还需加条件判定，还需加条件_ = _ = _，3、 如右图，已知如右图，已知AC=BD， A =D ，请你添一个直接条件，请你添一个直接条件，_= _= ， 使使AFCDEB4 4、如如图图，已已知知ABABACAC，BEBECECE，延延长长AEAE交交BCBC于于D D，则图中全等三角形共有（），则图中全等三角形共有（）（A A）1 1对对 （B B）2 2对（对（C C）3 3对（对（D D）4 4对对5、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）（A A）一锐角和斜边对应相等（）一锐角和斜边对应相等（B B）两条直角边对应相等）两条直角边对应相等（C C）斜边和一直角边对应相等（）斜边和一直角边对应相等（D D）两个锐角对应相等）两个锐角对应相等6 6、下列四组中一定是全等三角形的为、下列四组中一定是全等三角形的为 （ ）A A三内角分别对应相等的两三角形三内角分别对应相等的两三角形 B B、斜边相等的两直角三角形、斜边相等的两直角三角形C C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形 D D、三边对应相等的两个三角形、三边对应相等的两个三角形问题：如果要证明两个三角形全等，题中只问题：如果要证明两个三角形全等，题中只给出两个条件，现在又不允许添加条件，你给出两个条件，现在又不允许添加条件，你有办法证明两个三角形全等吗？有办法证明两个三角形全等吗？例：如图例：如图AB=AC，AD=AE,你能指出图中你能指出图中哪些三角形全等？哪些三角形全等？ABEDC缺什么条件，缺什么条件，题中能找到吗？题中能找到吗？公共角ABCD例：如图例：如图AB=AC，BD=CD,你能指出图中你能指出图中哪些三角形全等？哪些三角形全等？公共边答：证法错误。答：证法错误。SAS定理应用错误。定理应用错误。例例【99江西江西】已知，如图，已知，如图，求证：，求证：有一同学证法如下：有一同学证法如下：证：连结证：连结AB在在ABC和和ABD中中BC=BDC=DAB=ABABCABD(SAS)AC=AD你认为这位同学的证法对吗？如果错误，你认为这位同学的证法对吗？如果错误，错在哪里，应怎样证明？错在哪里，应怎样证明？（1 1）如图，）如图，ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC，BECEBECE，ADCEADCE于于D D，AD=2.5cm,DE=1.7cmAD=2.5cm,DE=1.7cm。求：。求：BEBE的长。的长。ABCDE练习：练习：（2）如图）如图,在在ABC中中,ACB=90,AO是角平分线是角平分线,点点D在在AC的延长线上的延长线上,DE过点过点O且且DEAB,垂足为垂足为E.(1)请你找出图中一对相等的线段请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等并说明它们相等的理由的理由;ACDOBE解：解：ACB=90BCACAO平分平分BAC又又DEABBCACOE=OC（角角平平分分线线上上的点到角两边的距离相等的点到角两边的距离相等（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，并说明理由并说明理由练习：练习：练习：练习：3、如图，、如图，B=C=90度，度，M是是BC的中点，的中点，DM平分平分ADC，求证：求证：AM平分平分DABADCBME说一说说一说:在一次战役中，我军阵地与在一次战役中，我军阵地与敌人碉堡隔河相望，需要知道碉堡与我敌人碉堡隔河相望，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士利用任何测量工具的情况下，一个战士利用他头上的帽子就测出了我军阵地与敌人他头上的帽子就测出了我军阵地与敌人碉堡的距离。你知道他用的是什么方法碉堡的距离。你知道他用的是什么方法？其中的原理是什么？其中的原理是什么？试一试试一试已知：已知：A A、B B两点之间被一个池塘隔开，两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量无法直接测量A A、B B间的距离，请给出一间的距离，请给出一个适合可行的方案，画出设计图，说明个适合可行的方案，画出设计图，说明依据。依据。ECDCDCD试一试试一试,你准行你准行已知：已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交的延长线交BC于于D，试说明：试说明：BD=CDABDCE解解：在ABE和ACE中AB=AC，EB=EC，AE=AE ABEACE (SSS)BAECAE在ABD和ACD中AB=AC BAE= CAE AD=AD ABD ACD (SAS ) BD = CD