福建省福建省高等代数（线性代数）高等代数（线性代数）教学研讨会教学研讨会消元法与中国古代方程论辛 林福建师大数学与计算机科学学院福建师大数学与计算机科学学院 作为线性代数的基本方法，消元法是重要的方法作为线性代数的基本方法，消元法是重要的方法之一。这一方法也常称为高斯之一。这一方法也常称为高斯- -约当消元法。约当消元法。1 1、线性方程组，通过、线性方程组，通过“ “消元消元” ”，转化为同解的三角，转化为同解的三角形方程组，从而导出方程组的解。形方程组，从而导出方程组的解。2 2、矩阵计算中，通过、矩阵计算中，通过“ “消元消元” ”，转化为可判断的标，转化为可判断的标准形，可用于计算矩阵秩、矩阵的逆阵等。准形，可用于计算矩阵秩、矩阵的逆阵等。3 3、行列式计算中，通过、行列式计算中，通过“ “消元消元” ”，转化为上（下），转化为上（下）三角形三角形 ，从而计算出行列式的值。，从而计算出行列式的值。高斯简介高斯简介 高斯（高斯（高斯（高斯（Gauss C.F. 1777.4.30-1855.2.23Gauss C.F. 1777.4.30-1855.2.23）德国数学家、物理）德国数学家、物理）德国数学家、物理）德国数学家、物理学家、天文学家。高斯是近代数学奠基人之一，在历史上影学家、天文学家。高斯是近代数学奠基人之一，在历史上影学家、天文学家。高斯是近代数学奠基人之一，在历史上影学家、天文学家。高斯是近代数学奠基人之一，在历史上影响很大，足以与阿基米德、牛顿、欧拉并列。响很大，足以与阿基米德、牛顿、欧拉并列。响很大，足以与阿基米德、牛顿、欧拉并列。响很大，足以与阿基米德、牛顿、欧拉并列。17951795年年年年1818岁进岁进岁进岁进入哥丁根大学学习，第二年就发现正十七边形的尺规作图法，入哥丁根大学学习，第二年就发现正十七边形的尺规作图法，入哥丁根大学学习，第二年就发现正十七边形的尺规作图法，入哥丁根大学学习，第二年就发现正十七边形的尺规作图法，17991799年获博士学位，证明了代数基本定理，还发明了最小二年获博士学位，证明了代数基本定理，还发明了最小二年获博士学位，证明了代数基本定理，还发明了最小二年获博士学位，证明了代数基本定理，还发明了最小二乘法原理，还将数学应用于天文学、大地测量学和磁学等。乘法原理，还将数学应用于天文学、大地测量学和磁学等。乘法原理，还将数学应用于天文学、大地测量学和磁学等。乘法原理，还将数学应用于天文学、大地测量学和磁学等。其数学研究几乎遍及数学的所有领域，一生中共发表其数学研究几乎遍及数学的所有领域，一生中共发表其数学研究几乎遍及数学的所有领域，一生中共发表其数学研究几乎遍及数学的所有领域，一生中共发表155155篇篇篇篇论文，还有许多作品在生前并未发表，如椭圆函数的双周期论文，还有许多作品在生前并未发表，如椭圆函数的双周期论文，还有许多作品在生前并未发表，如椭圆函数的双周期论文，还有许多作品在生前并未发表，如椭圆函数的双周期性的发现，非欧几何等。性的发现，非欧几何等。性的发现，非欧几何等。性的发现，非欧几何等。高斯-约当消元法早期人们对高斯消元法一直用于大地测量学，因此被认为早期人们对高斯消元法一直用于大地测量学，因此被认为测地学发展的一部分。高斯消元法最早出现在测地学发展的一部分。高斯消元法最早出现在Wilhelm Wilhelm JordanJordan撰写的测地学手册中。为此人们通常将其称为高斯撰写的测地学手册中。为此人们通常将其称为高斯- -约当消元法。这里的约当消元法。这里的Wilhelm JordanWilhelm Jordan不是法国数学家不是法国数学家Camille Jordan(Camille Jordan(后者有约当标准形，后者有约当标准形，Jordan-HolderJordan-Holder定理定理等等) )公元前3世纪，算筹已经普遍使用，算筹记数法采用十进位值制，这是世界上最早使用十进位值制的记数体系之一:如下是竖式和横式两种1-9数字 奇数位用竖式，偶数位用横式，零置空孙子算经孙子算经（公元（公元4 4世纪）描述算筹记数法：世纪）描述算筹记数法： 一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。 例：为表示例：为表示548548，则算筹记数是，则算筹记数是到了汉代出现正数用红筹而负数用黑筹，到15世纪珠算普及前，算筹制度在中国沿用了2000多年。古语：“运筹帷幄”早先就是刻画数学家有非常的筹算能力算经十书周髀算经， 九章算术海鸟算经， 孙子算经张邱建算经， 五曹算经五经算术， 辑古算经数术记遗 (原缀术)，夏侯阳算经 下面是九章算术中典型的盈亏问题：“今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几何？”最优秀之作九章算术： 全书九章，共246题。本题含义： 今有若干人共买一物，若每人出今有若干人共买一物，若每人出8 8元，则剩余元，则剩余3 3元；若每人出元；若每人出7 7元，则差元，则差4 4元；问共有多少人，该物元；问共有多少人，该物多少价？多少价？ 如果用现代代数方程的方法，可得如下解：设x人，物价为y, 则得线性方程组 8x - y = 3 y - 7x = 4 但古代线性方程组是九章算术九章算术又例：又例： 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗六斗六斗六斗. . 问上、中、下禾实一秉各几何？问上、中、下禾实一秉各几何？问上、中、下禾实一秉各几何？问上、中、下禾实一秉各几何？ 注：题中的注：题中的注：题中的注：题中的“ “禾禾禾禾” ”为黍米，为黍米，为黍米，为黍米，“ “秉秉秉秉” ”为捆，为捆，为捆，为捆，“ “实实实实” ”为打下来的粮食。为打下来的粮食。为打下来的粮食。为打下来的粮食。按现代方程求解：按现代方程求解： 若设上中下禾各一秉打出的粮食分别为若设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x,y,zx,y,z斗，斗，则按现代线性方程组形式就是则按现代线性方程组形式就是 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z =26 但按古代应立方程：用算筹列式如下： 中国古代数学泰斗刘徽（公元263年左右）称这类问题是“群物总杂，各列有数，总言其实”，处理方法是 “令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。” 就是说，将这些数按类一行一行的列出来，有几个未知数就排上几行，各行称之为率，可以按比例扩大或缩小，刘徽把这样的数字方阵称为“方程”。刘徽创造了刘徽创造了“遍乘直除法遍乘直除法”解线性方程组解线性方程组.“遍乘直除”，实际上相当于现在的线性方程组上进行“倍法变换”然后再“消法变换”。因此“遍乘直除”实际上是进行一种“消元法”，而方程组的目标也是“化上三角形”，故这是典型的“高斯-约当消元法”.遍乘直除法对非线性方程表示及解法当属元朝数学家-李冶、朱世杰的方法出名。李冶：李冶：1192-1279. 1192-1279. 代表作：代表作：测圆海镜测圆海镜益古演益古演段段。方程未知数称为天元，求解方程求未知数的。方程未知数称为天元，求解方程求未知数的算法称为天元术。算法称为天元术。 常数项旁置一常数项旁置一“ “太太” ”，一次项旁置一，一次项旁置一“ “元元” ”. .如如 元增乘开方法朱世杰（朱世杰（1313世纪末世纪末-14-14世纪初），著有世纪初），著有算学启蒙算学启蒙和和四元玉鉴四元玉鉴. .他创造以他创造以“ “天地人物天地人物” ”四元建四元建立四元高次方程，并以娴熟的立四元高次方程，并以娴熟的“ “剔销剔销” ”、“ “易位易位” ”、“ “互隐通分互隐通分” ”、“ “内外行乘积内外行乘积” ”等多种方法进行消等多种方法进行消元计算。元计算。 朱世杰的具体做法是：立天元一为勾，地元一为朱世杰的具体做法是：立天元一为勾，地元一为股，人元一为弦，物元一为开数股，人元一为弦，物元一为开数. .太地天人物太 y x zw . .xzyzxwwy . . . .如：如：太太参考文献杜瑞芝主编，数学史，山东教育出版社，杜瑞芝主编，数学史，山东教育出版社，20002000年年李文林，数学史教程，高等教育出版社，李文林，数学史教程，高等教育出版社，20002000年年张景中主编，好玩的数学（全套），科学出版社，张景中主编，好玩的数学（全套），科学出版社，20022002年年张顺燕，数学的源与流，高等教育出版社，张顺燕，数学的源与流，高等教育出版社，20002000年年张顺燕，数学的美与理，北京大学出版社，张顺燕，数学的美与理，北京大学出版社，20042004年年谢谢 谢！谢！