统计物理学基础一、基本概念：热力学系统、外界、宏观量、微观量、平衡态、状态参量、状态方程二、宏观量和微观量的关系：理想气体的微观模型，理想气体的压强，温度的微观意义三、能量均分定理，内能：分子的自由度，能量均分定理，理想气体的内能统计物理学基础四、微观态的描述概率、等概率原理、微观态的描述、三种统计规律1.麦克斯韦-玻尔兹曼分布(M-B分布)2.费米-狄拉克分布(F-D分布)3. 玻色-爱因斯坦分布(B-E分布)4.经典极限：五、麦克斯韦分子速率分布vv2vp vv+dv f (vp)o f (v)v1vpvo f (v)1. 物理意义2.三种速率：(1).最概然速率：(2).平均速率：(3).方均根速率：3.重力场中粒子的分布：六、分子碰撞的统计规律1.平均碰撞频率：2.平均自由程：例题1、设系统由两个近独立的粒子组成，它们的单粒子量子态 有三个，试就这个系统是玻耳兹曼系统，玻色系统和费 米系统的情形，分别列出并讨论系统有哪些微观态。解：（1）玻耳兹曼系统：粒子可分辨。微观态有9个。（2）玻色系统，粒子不可分辨，且每一个量子态上的粒子数不受限制，故微观态有 6个。（3）费米系统，粒子不可分辨，且每一个量子态最多容纳一个粒子，微观态数有3个。例题2、设粒子的能级i为1=0，2=，3=2，并且都是非简 并的。试分析由4个这样的粒子所组成的近独立粒子系， 当系统的能量E=2时，粒子按能级的分布及其相应的微观 态数。假设系统是玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统。解：分布：N1=3，N2=0，N3=1，Ni=0(i4)N1=2，N2=2，Ni=0(i3)(1)(2)(3)费米系统不可能实现这种分布例题3、假想的气体分子，其速率分布如图所示。当 v 5v0 时分子 数为零。试求（1）根据N和 v0 ,表示常数 a 的值；（2）速 率在 2v0 到 3v0 间隔内的分子数；（3）分子的平均速率。Nf(v)v0v02v03v04v05v0a2a3a解：（1）速率分布可表示为：由归一化条件可得：（3）分子的平均速率为（2）速率分布在2v0到3v0间隔内的分子数N为附1、已知一定量的某种理想气体，在温度T1与T2时的分子最概 然速率分别为Vp1和Vp2，分子速率分布函数的最大值分别为 f(Vp1)和f(Vp2)。若T1T2则附2、图示的两条曲线分别表示氦，氧两种气体在相同温度 T 时 分子按速率的分布。问（1）1，2分别表示哪种气体分子的 速率分布曲线？（2）画有斜线的小长条面积表示什么？ （3）分布曲线下所包围的面积表示什么？解：（1）1是氧，2是氦（2）速率在vv+v范围内的分 子数占总分子数的百分率（3）速率在0整个速率区间 内的分子数的百分率总和例题4、根据麦克斯韦速率分布率，试求： （1）平均动能（ mV2 /2 )介于 +d之间的分子数率； （2）平均动能的最概然值 P .解：（1）根据麦克斯韦速率分布率，速率介于vv+dv之间的分子数占分子数的比率为：（2）最概然速率所对应的平均动能为：例题5、半径为R的球型容器里贮有分子有效直径为d的气体，求容 器中最多可容纳多少个分子，才能使分子之间不至相碰。解：为使气体分子之间不相碰，则必须使分子的平均自由程 不小于容器的直径，必须满足：附3、一定量的理想气体，经等压过程从体积V0膨胀到2V0，求： (1)平均自由程之比；(2)平均速率之比；(3)平均动能之比。解：(1)(2)(3)例题6、已知尘埃的质量m=10-21kg，漂浮在空气中。试求尘埃浓 度改变不大于1%的空气层的厚度。（设空气的温度均匀， T=300K)解：根据玻耳兹曼分布律，在重力场中分子数密度按高度的分 布为“-”表明随高度增加（dz0），尘埃浓度减少（dn0）附4、拉萨海拔约为3600m，气温为273K，忽略气温随高度的变 化。当海平面上的气压为1.013105Pa时，试求（1）拉萨的 大气压强；（2）若某人在海平面上每分钟呼吸17次，他在 拉萨应呼吸多少次才能吸入同样质量的空气？（空气的摩 尔质量为M=2910-3kg/mol）解：（1）（2）设某人每次呼吸吸入的空气容积为V0 ,例题7、一容器内某理想气体的温度为T=273K，压强为 p=1.013105Pa，密度为=1.25g/m3，试求（1）气体分子 运动的方均根速率；（2）气体分子的摩尔质量；（3）气 体分子的平均平动动能和转动动能；（4）单位体积内气 体分子的总平动动能；（5）设该气体有0.3mol，气体的 内能?（气体为双原子分子）解：（1）（2）（3）（4）（5）附5、容器内有11kg的二氧化碳和2kg的氢气，已知混合气体的 内能是8.1106J，求(1)混合气体的温度；(2)两种气体分子 的平均动能。解：(1)(2)例题8、有210-3m3刚性双原子分子理想气体，其内能为 6.75102 J（1）求气体的压强（2）设分子总数为 5.41022J.K-1，求分子的平均平动动能及气体的温度。解：(1)设分子数为N由例题9、若某种理想气体分子的方均根速率为450ms-1,气体的压强为 7104Pa，则该气体的密度为多少？解：例例2 2：已知某气体在温度：已知某气体在温度T T时的速率分布函数为时的速率分布函数为 ， 说明下列各表达式的意义说明下列各表达式的意义 (1)(1) (2) (2) (3)(3) (4) (4) (2) (2) 表示在表示在 间隔的分子间隔的分子 (3) (3) 表示某气体分子的速率在表示某气体分子的速率在 间隔内的间隔内的 概率。或者说，速率在概率。或者说，速率在 间隔内的分子数占总分间隔内的分子数占总分 子数的百分比。子数的百分比。 (4) (4) 表示在表示在 间隔内的分子数。间隔内的分子数。解：速率分布函数解：速率分布函数 的物理意义为：气体分子的速率处的物理意义为：气体分子的速率处 于于 附近单位速率区间的概率附近单位速率区间的概率 (1) (1) 表示某气体分子的速率在表示某气体分子的速率在 间隔内的间隔内的 概率。或者说，速率在概率。或者说，速率在 间隔内的分子数占总间隔内的分子数占总 分子数的百分比。分子数的百分比。