3.1 3.1 中值定理中值定理3.2 3.2 洛必达法则洛必达法则3.3 3.3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值3.4 3.4 导数在经济中的应用导数在经济中的应用结束第第3章章 中值定理、导数应用中值定理、导数应用 前页前页结束结束后页后页定理定理1 1 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件(3) (3) (1) (1) 在闭区间在闭区间 上连续；上连续；(2) (2) 在开区间在开区间 内可导内可导; ;则在内至少存在一点则在内至少存在一点 ，3.1.1 3.1.1 罗尔定理罗尔定理 ab使得使得前页前页结束结束后页后页则在区间则在区间 内至少存在内至少存在(1) (1) 在闭区间在闭区间 上连续；上连续；(2) (2) 在开区间在开区间 内可导；内可导；定理定理2 2 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件一点一点 ，使得使得3.1.2 3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理前页前页结束结束后页后页例： 设在处连续，且，则= 2 前页前页结束结束后页后页2.2.在开区间在开区间 内可导，内可导，1.1.在闭区间在闭区间 上连续；上连续；定理定理3 Cauchy3 Cauchy中值定理中值定理则在区间则在区间 内定有点内定有点使得使得3.1.3 3.1.3 柯西中值定理柯西中值定理设函数设函数 与与 满足如下条件：满足如下条件：前页前页结束结束后页后页 如果在某极限过程下如果在某极限过程下, ,函数函数f ( x)与与g(x)同时趋于零或同时趋于零或者同时趋于无穷大，通常把者同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极的极限称为未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。一般分为三种类型讨论：一般分为三种类型讨论：3.2 洛必达法则1 1 型不定式型不定式2 2型不定式型不定式3 3其它型不定式其它型不定式前页前页结束结束后页后页定定理理1 1 设设函函数数与与在在的的某某空空心心邻邻域域内内有有定定义义，且且满足如下条件：满足如下条件：存在存在或为或为1 1 型未定式型未定式前页前页结束结束后页后页（ 为任意实数）为任意实数） 例例1 1 求求解解例例2 2 求求解解前页前页结束结束后页后页例例3 求求 解解 此定理的结论对于此定理的结论对于 时时 型未定式同样适用。型未定式同样适用。 例例4 求求解解 前页前页结束结束后页后页2型不定式型不定式的某空心邻域内有定义，且满足如下条件的某空心邻域内有定义，且满足如下条件与与在该邻域内都存在，且在该邻域内都存在，且则则 定理定理2 2 设函数设函数与在点在点前页前页结束结束后页后页3 3其它型不定式其它型不定式未定式除未定式除和和型外，还有型外，还有 型型、 、 型型、 、等五种类型。等五种类型。 型型、 型型、 、 型型、 、前页前页结束结束后页后页型或者型或者 型型型：型：变为变为例例8 8 求求解解前页前页结束结束后页后页型型:通分相减变为通分相减变为 型型例例9 9 求求（ 型）型）解解 前页前页结束结束后页后页3.33.3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 定理定理1 1 设函数设函数f ( (x) )在闭区间在闭区间 a, ,b 上连续，在开区上连续，在开区间间(a,b)内可导，则：内可导，则：1.若在若在(a,b)内内 ,则则f (x)在区间在区间(a,b)内单调增内单调增加加2.若在若在(a,b)内内 ,则则f (x)在区间在区间(a,b)内单调减少。内单调减少。abab3.3.1 函数的单调性及判别法函数的单调性及判别法前页前页结束结束后页后页例例2 2 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间.可导，可导， 且等号只在且等号只在 x= =0 成立成立. . 解解 因为所给函数在区间因为所给函数在区间 上连续，在上连续，在 内内例例1 1 判定函数判定函数 在区间在区间 上的单调性上的单调性. .所以所以函数函数 在区间在区间 上单调增加上单调增加. .解解 所以当所以当 x = -1, x = 1时时 x (-,-1) -1(-1,1) 1(1,+)f(x) + 0 - 0 +f(x)前页前页结束结束后页后页 反之，如果对此邻域内任一点反之，如果对此邻域内任一点 ，恒有，恒有 则称则称 为函数为函数 的一个极小值，的一个极小值， 称为极小值点。称为极小值点。 3.3.2 3.3.2 函数的极值函数的极值定义定义 设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，若对此的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点邻域内每一点 ，恒有，恒有 ，则称，则称 是函数是函数 的一个极大值，的一个极大值， 称为函数称为函数 的一个极的一个极大值点；大值点； 函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。小值点统称为极值点。前页前页结束结束后页后页 ABCDE极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。都是极值点。从图中可看出从图中可看出,极小值极小值不一定小于极大值，如不一定小于极大值，如图中图中D点是极小值，点是极小值，A点是极大值。点是极大值。前页前页结束结束后页后页定理定理3（极值第一判别法）：（极值第一判别法）： 设函数设函数 在点在点 的某邻域内连续，且在此邻的某邻域内连续，且在此邻域内域内 （ 可除外）可导可除外）可导（1）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时， 则则 在在 取得极大值。取得极大值。（）如图所示：如图所示：在在 ，在在 ，在在 取得极大值。取得极大值。前页前页结束结束后页后页 （2）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时， 则则 在在 取得极小值。取得极小值。（）如图所示：如图所示：在在 ，在在 ，在在 取得极小值。取得极小值。（3）如果在）如果在 两侧两侧 的符号不变，则的符号不变，则 不是不是 的极值点，如图示的极值点，如图示（）前页前页结束结束后页后页(4)利用定理利用定理3,判断判断(2)中的点是否为极值点中的点是否为极值点,如果如果是是 求极值点的步骤：求极值点的步骤：(1)求函数的定义域求函数的定义域(有时是给定的区间有时是给定的区间);(3)用用(2)中的点将定义域中的点将定义域(或区间或区间)分成若干个子区间分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点进一步判定是极大值点还是极小值点.(2)求出求出 ,求出使求出使 的点及的点及 不存在的点不存在的点;讨论在每个区间讨论在每个区间 的符号的符号;(5)求出各极值点处的函数值求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值得函数的全部极值.前页前页结束结束后页后页 例例4 求函数求函数 的单调区间和极值的单调区间和极值.解解 函数的定义域为函数的定义域为令令,得驻点得驻点这三个点将定义域这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下分成四个部分区间，列表如下极大值极大值极小值极小值前页前页结束结束后页后页 3.3.3 3.3.3 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者 最小的就是函数在区间最小的就是函数在区间上的最小值。上的最小值。连续函数在区间连续函数在区间上的最大值与最小值可通过比较上的最大值与最小值可通过比较端点处的函数值端点处的函数值 和和 ; ;1.1.区间区间2.2.区间区间内使的点处的函数值；内使的点处的函数值；内使内使 不存在的点处的函数值。不存在的点处的函数值。3.3.区间区间这些值中最大的就是函数在这些值中最大的就是函数在上的最大值上的最大值,上的最大值与最小值是全局性的概念上的最大值与最小值是全局性的概念, ,函数在区间函数在区间如下几类点的函数值得到：如下几类点的函数值得到：前页前页结束结束后页后页 3.4 3.4 导数在经济中的应用导数在经济中的应用 3.4.1 函数的变化率函数的变化率边际函数边际函数定义定义1 1 设函数设函数在点在点处可导，处可导，边际函数值。其含义为边际函数值。其含义为: :当当 时时, ,x改变一个单位，相改变一个单位，相在点在点处的导数处的导数称为称为在点在点处的处的相应地相应地 y 约改变约改变 个单位个单位为为的边际函数的边际函数。称导函数称导函数当当 时时,实际上，实际上， 解解 , ,所以所以, ,在在时的边际函数值。时的边际函数值。,试求试求例例1 1 设函数设函数前页前页结束结束后页后页 边际成本是总成本的变化率。边际成本是总成本的变化率。设设C C为总成本，为总成本，下面介绍几个常见的边际函数下面介绍几个常见的边际函数:1 1边际成本边际成本 为固定成本，为固定成本，则有则有为可变成本，为可变成本，为平均成本，为平均成本， 为边际成本，为边际成本，为产量，为产量，总成本函数总成本函数 平均成本函数平均成本函数 边际成本函数边际成本函数 例例2 2 已知某商品的成本函数为已知某商品的成本函数为, ,求当求当时的总成本，平均成本及边际成本。时的总成本，平均成本及边际成本。解解 由由前页前页结束结束后页后页令令 得得边际成本边际成本于是当于是当 时时总成本总成本 平均成本平均成本 Q 为多少时，平均成本最小为多少时，平均成本最小? ?例例3 3 在例在例1 1中，当产量中，当产量解解 所以所以,当当Q =20=20时平均成本最小。时平均成本最小。前页前页结束结束后页后页2 2收益收益 平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。 设设P P为商品价格，为商品价格，Q 为商品量，为商品量，RR为总收益，为总收益， 为平为平均收益，均收益， 为边际收益，则有为边际收益，则有 需求函数需求函数 总收益函数总收益函数 平均收益函数平均收益函数 边际收益函数边际收益函数 前页前页结束结束后页后页需求与收益有如下关系需求与收益有如下关系: :总收益总收益 平均收益平均收益 边际收益边际收益总收益与平均收益及边际收益的关系为总收益与平均收益及边际收益的关系为前页前页结束结束后页后页求销售量为求销售量为3030时的总收益，平均收益与边际收益。时的总收益，平均收益与边际收益。 例例4 4 设某产品的价格和销售量的关系为设某产品的价格和销售量的关系为解解 总收益总收益 平均收益平均收益 边际收益边际收益 前页前页结束结束后页后页 3 3利润利润在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量的函数，分别记为的函数，分别记为和和，则总利润，则总利润可表可表 示为示为最大利润原则最大利润原则:取得最大值的必要条件为取得最大值的必要条件为 即即所以取得最大利润的必要条件是所以取得最大利润的必要条件是: :边际收益等于边际成本边际收益等于边际成本 前页前页结束结束后页后页 例例5 5 已知某产品的需求函数为已知某产品的需求函数为 成本函数为成本函数为 问产量为多少时总利润问产量为多少时总利润 L L 最大最大? ?解解 已知已知 ,于是有于是有令令 得得所以当所以当Q=20=20时总利润最大时总利润最大前页前页结束结束后页后页例：