第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用1 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称微分学中值定理，它们在理论上和应用上都有统称微分学中值定理，它们在理论上和应用上都有着重大意义，尤其是拉格朗日中值定理，它刻划了着重大意义，尤其是拉格朗日中值定理，它刻划了函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间的联系，是研究函数性质的理论依据。的联系，是研究函数性质的理论依据。学习时，可借助于几何图形来帮助理解定理的学习时，可借助于几何图形来帮助理解定理的条件，结论以及证明的思路；并由此初步掌握应用条件，结论以及证明的思路；并由此初步掌握应用微分学中值定理进行论证的思想方法。微分学中值定理进行论证的思想方法。2第第一一节节 中中值值定定理理 一一、费费马马引引理理第一节第一节 微分中值定理微分中值定理一、费马引理：一、费马引理：设函数设函数 f (x) 在点在点 x0 的某邻域的某邻域U(x0) 内有定义内有定义, 并且在点并且在点 x0 可导。如果对任意的可导。如果对任意的有有定义定义 导数为零的点称为函数的驻点（或导数为零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点）。稳定点、临界点）。3不妨设不妨设 证明：证明：证毕证毕4二、罗尔定理5R-Th 的几何意义：的几何意义：ABxy06证：证： f (x) 在在 闭区间闭区间 a, b 上连续，上连续，f (x)在在 a, b 上必有最大值上必有最大值M及最小值及最小值m,有两种情况有两种情况: (1) M = m ;(2) M m .(1) 若若 M = m ， 则则 m = f (x) = M ,f (x) 为常数，即有为常数，即有 那么那么 ( a, b ) 内任一点都可取作内任一点都可取作 ， M = m 时，定理必成立。时，定理必成立。7(2) 若若 M m ，M , m 中至少有一个不等于中至少有一个不等于 f (a) 或或 f (b),不妨设不妨设 M f (a) , (设设 m f (a) 同样可证）同样可证）又设有又设有 f () = M, 因此，对任意因此，对任意 f (a) = f (b) ,有有从而由费马引理可知从而由费马引理可知证毕。证毕。8 9例1011例1213 若若 f (x) 在在0, 1上有二阶导数，且上有二阶导数，且 f (1) = 0,设设 F (x) = x2 f (x)，试证在（试证在（0, 1）内）内至少存在一点至少存在一点 ，使使例例证：证： F (x) 在在0,1上上连续连续, ,在在(0, 1)内内可导可导( (由题意由题意),),则由罗尔定理，则由罗尔定理，又由罗尔定理又由罗尔定理，14 三、拉格朗日定理 L-Th 的几何意义：的几何意义：15 1617 18192021例：例：设设 f (x) 在在a, b上连续，在上连续，在(a, b)内可导，内可导，证明存在一点证明存在一点22由罗尔定理，存在由罗尔定理，存在证明：证明：由条件知由条件知F(x) 在在a, b上连续，在上连续，在(a, b)内可导，且内可导，且23 此此类类问问题题的的关关键键是是构构造造合合理理的的辅辅助助函函数数，可可采采用用反反向向演演绎绎的的思思维维方方式式，多掌握一些函数的导数形式，如多掌握一些函数的导数形式，如24例：例：设设 f (x) 在在a, b上连续，在上连续，在(a, b)内可导，内可导，证明存在一点证明存在一点2526例例 证：证：27例例 证明：证明：分析：分析： 出现函数出现函数 arctan x 在在a, b上的增量上的增量,可用可用 L定理证明定理证明 。由由L 定理：定理：令令证证 ：2829例例 证明恒等式证明恒等式证：证：则则= 0所以由前面的定理可知：所以由前面的定理可知：在在-1 x 0.试证试证 分析：分析：39所以如令所以如令对它们在对它们在a, b上应用柯西中值定理即可。上应用柯西中值定理即可。请同学们自己完成证明过程。请同学们自己完成证明过程。40第二节洛洛必必达达法则第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 现用现用C-Th来导出求这类极限的简便方法即来导出求这类极限的简便方法即:洛必达法则洛必达法则414243 44例例 注注: 1,可见用洛必达法则求极限当分子分母都是次数较可见用洛必达法则求极限当分子分母都是次数较 高的多项式时可避免繁硕的因式分解高的多项式时可避免繁硕的因式分解; 2,用洛必达法则求极限时每做一步都要查看一下用洛必达法则求极限时每做一步都要查看一下 是否还为不定型是否还为不定型,若不是就不能用洛必达法则若不是就不能用洛必达法则,否则否则 会出错会出错4546例4748例4950例5152但若用洛必达法则但若用洛必达法则:极限不存在。此例说明洛必达法则不是万能的极限不存在。此例说明洛必达法则不是万能的.53可见一味用洛必达法则，则永远无结果。可见一味用洛必达法则，则永远无结果。 所以洛必达法则并不是万能的，一旦所以洛必达法则并不是万能的，一旦做不下去必须改用其它方法。做不下去必须改用其它方法。若用消去无穷因子法：若用消去无穷因子法：54原定理只说原定理只说存在等于存在等于A或或，则，则显然后者极限不存在，此时洛必达法则不能用！显然后者极限不存在，此时洛必达法则不能用！但当但当不存在，则不能说不存在，则不能说此时需要用其它方法求极限。此时需要用其它方法求极限。55作作业业作作 业业P174页：页：3-2(A)1(单单), 2P175页：页：3-2(B)1(单单), 2, 4, 656可补充的例5758 第第三三节节 泰泰勒勒公公式式第三节第三节 泰勒公式泰勒公式59泰勒泰勒 ( Taylor ) ( 1685 1731 )英国数学家英国数学家60 不论在近似分析或理论分析中，不论在近似分析或理论分析中，我们总希望能用一个简单的函数近我们总希望能用一个简单的函数近似地表达一个比较复杂的函数，而似地表达一个比较复杂的函数，而在函数中又以多项式较为简单。若在函数中又以多项式较为简单。若能用多项式来近似表达一个函数会能用多项式来近似表达一个函数会给研究带来很大方便。那么又怎样给研究带来很大方便。那么又怎样从函数本身找到我们所需要的多项从函数本身找到我们所需要的多项式呢？式呢？61在微分应用中知，在微分应用中知，此式左端是一函数，而右端是此式左端是一函数，而右端是 x x 的一次多项式。的一次多项式。即用一次多项式来近似代替函数。即用一次多项式来近似代替函数。但这种表达式的精度不高，它所产生的误差仅但这种表达式的精度不高，它所产生的误差仅是关于是关于x - -x0 的高阶无穷小，且无法具体估计出的高阶无穷小，且无法具体估计出误差的大小。误差的大小。 为此，我们用满足一定要求的高次多项式为此，我们用满足一定要求的高次多项式来近似表达函数，并给出误差的计算公式。来近似表达函数，并给出误差的计算公式。62来近似表达来近似表达 f (x).63首先，可定出系数：首先，可定出系数：64为此，我们有为此，我们有 Taylor 中值定理：中值定理：65展开展开拉格朗日型余项拉格朗日型余项。66余项余项Rn(x)又可写成：又可写成：67这种形式的余项这种形式的余项Rn(x)称为称为皮亚诺型余项皮亚诺型余项。68称为称为麦克劳林公式麦克劳林公式。6970例例(1)71727374观察这三条曲线在观察这三条曲线在 x = 0 附近的弥合程度：附近的弥合程度：误差不超过误差不超过则有则有xf ( x )075同理可求得：同理可求得：7677 我们已求得了一些函数的麦克劳林公式我们已求得了一些函数的麦克劳林公式, , 我们我们还可以类似得到以下函数麦克劳林公式：还可以类似得到以下函数麦克劳林公式： 78利用已知的带有皮亚诺余项的麦克劳林公利用已知的带有皮亚诺余项的麦克劳林公式，可以计算一些极限：式，可以计算一些极限：79作作 业业P184页：页：3-31, 3, 5, 8(1)(3) 80第第四四节节 函函数数的的单单调调性性和和曲曲线线的的凸凸性性第四节第四节 函数的单调性与凸性的判别法函数的单调性与凸性的判别法 由于中值定理建立了函数在一个区间上的增量与由于中值定理建立了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点的导数之间的联系，因此就为我函数在这区间内某点的导数之间的联系，因此就为我们提供了一种可能性：利用导数来研究函数值的变化们提供了一种可能性：利用导数来研究函数值的变化情况，并由此对函数及其图形的某些性态作出判断。情况，并由此对函数及其图形的某些性态作出判断。81一一,函函数数的的单单调调性性判判定定(上升上升)（下降）（下降）ababy0x0xy82从几何上看从几何上看, y = f(x) 在在 a, b 上单增上单增(或单减或单减)，其图形是一条沿其图形是一条沿 x 轴正向上升轴正向上升(或下降或下降)的曲线。的曲线。上升的曲线每点处的切线斜率均为正，上升的曲线每点处的切线斜率均为正，下降的曲线每点处的切线斜率均为负，下降的曲线每点处的切线斜率均为负，83定理定理1 （单调性判定）（单调性判定）8485 86例8788利利用用单单调调性性证证明明不不等等式式利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式8990例 9192例 9394作业 作作 业业P194页：页：3-4(A)1, 4(2)(4)P195页：页：3-4(B)1(2), 2, 4(1)(3), 595 二二,曲曲线线的的凸凸性性与与拐拐点点 1,曲曲线线的的凸凸性性,曲线的凸性曲线的凸性同样单增的函数，有时弯曲的方向不一样。同样单增的函数，有时弯曲的方向不一样。xy0xy0下凸下凸x1x2弦上弧下弦上弧下,则曲线为下凸；则曲线为下凸；上凸上凸x1x2弦下弧上弦下弧上,则曲线为上凸则曲线为上凸 。969798PQ(I)(II)特别地特别地,若取弦的中点若取弦的中点 Q与曲线弧上的相应点与曲线弧上的相应点 P定义定义1* 设设f(x)在区间在区间I上连续上连续,对对I上任意两点上任意两点x1,x2,恒有恒有则称则称f(x)在在I上的图形是下凸上的图形是下凸,如如(I)PQ则称则称f(x)在在I上的图形是上凸上的图形是上凸,如如(II)xy0xy0下凸下凸x1x2上凸上凸x1x299曲线的凹凸性亦可用曲线和切线的位置来描述曲线的凹凸性亦可用曲线和切线的位置来描述:xy0xy0下凸下凸上凸上凸直接用定义判别函数的凸性较困难，下面给出利用函数的一阶及二阶导数的性质来判别函数的凸性的方法：100凸凸性性判判别别定定理理定理定理 2（凸性的第一判别法）（凸性的第一判别法）定理2的证明可见教材P191页。101（凸性的第二判别法）（凸性的第二判别法）102 103104例105例106函数的凸性可以用来证明不等式函数的凸性可以用来证明不等式:1071082,曲曲线线的的拐拐点点, 曲线的拐点曲线的拐点定义定义 2连续函数下凸弧与上凸弧的分界点连续函数下凸弧与上凸弧的分界点称为这曲线的称为这曲线的 拐点拐点（或扭转点）。（或扭转点）。说明：说明：(2) 拐点在曲线上，而不在拐点在曲线上，而不在x轴上，轴上，其坐标为其坐标为(x0,y0)。109拐点的判别拐点的判别 设具有二阶连续导数的曲线设具有二阶连续导数的曲线 y = f(x)在在 x = x0 处有处有则则 (x0,f(x0) 是是 y = f(x) 的拐点。的拐点。则则 (x0,f(x0) 不是不是 y = f(x) 的拐点。的拐点。拐拐点点的的判判别别110 设设y=f(x)在在x0处三阶可导，处三阶可导，则则 (x0,f(x0) 是是y = f(x) 的拐点。的拐点。111例112113例114此例强调虽然函数的二阶导数不存在此例强调虽然函数的二阶导数不存在,但若函数在但若函数在x0点的二阶点的二阶导数异号且在导数异号且在x0点连续点连续,则则(x0,f(x0)为拐点为拐点.例例115例 116例例: 利用函数图形的凸性证明不等式：利用函数图形的凸性证明不等式：故函数图形是下凸的，故函数图形是下凸的，117作作业业 作作 业业P194页：页：3-4(A)7(双双), 8(单单), 9P195页：页：3-4(B)10(1), 11118第第五五节节 函函数数的的极极值值和和最最大大最最小小值值 一一,函函数数的的极极值值第五节第五节 函数的极值与最大、最小值函数的极值与最大、最小值一一,函数的极值及其求法函数的极值及其求法若若f(x) f(x0),则称则称f(x0)为为f(x)的一个的一个极小值极小值,x0称为极小值点。称为极小值点。极大值极大值(点点)与极小值与极小值(点点)统称极值统称极值(点点)。119注注: 极大极大(小小)值都是局部性态值都是局部性态,可能出现极大值小于极小值可能出现极大值小于极小值 的情况的情况 极大值不一定是最大值极大值不一定是最大值,极小值也不一定是最小值极小值也不一定是最小值 从图中可见曲线在函数的极值点所对应的那些点处具从图中可见曲线在函数的极值点所对应的那些点处具 有水平切线有水平切线,反之不真反之不真,如如 y = x3 在在x = 0 处有水平切线处有水平切线, 但但 x = 0 不是极值点不是极值点. 120下面给出函数取得极值的必要条件和充分条件下面给出函数取得极值的必要条件和充分条件:Th1 函函数数取取得得极极值值的的必必要要条条件件 121 由上可见求出函数的驻点后还需判别其是否为由上可见求出函数的驻点后还需判别其是否为 极值点极值点,若是极值点还需判别其是若是极值点还需判别其是 极大值还是极小值点极大值还是极小值点.122Th2 判判别别极极值值的的第第一一种种充充分分条条件件123求极值的步骤 124125例126例127Th3 判判别别极极值值的的第第二二种种充充分分条条件件 定理定理3 (判别极值的第二种充分条件判别极值的第二种充分条件 )则则f(x)在在x0处取到极大值；处取到极大值；f(x)在在x0处取到极小值。处取到极小值。（证略）（证略）说明：说明：则本定理失效。用第一充分条件判定。则本定理失效。用第一充分条件判定。128不能判定，不能判定，只能利用第一充分条件判定。只能利用第一充分条件判定。129130二二,函函数数的的最最大大最最小小值值 二二, 函数的最大最小值函数的最大最小值131132133例134例135136137作作业业 作作 业业P205页：页：3-5(A)1(1)(4)(9), 2(1), 7P206页：页：3-5(B)1, 5, 7138第第六六节节 函函数数图图形形的的描描绘绘第六节第六节 函数图形的描绘函数图形的描绘139一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线定义定义 如果曲线如果曲线 C 上的点上的点 M 沿曲线沿曲线 C 离原点无限远离原点无限远离时离时, M 与某一直线与某一直线 L 的距离越来越近，趋近于零，的距离越来越近，趋近于零，则称则称 L 为为 C 的一条的一条渐近线渐近线。kx0则则 x = x0为为 f (x)的的垂直垂直渐近线渐近线.则则y = k为为 f (x)的的水平水平渐近线渐近线.140例：例：解：解：= 0 ， y = 0 为水平渐近线；为水平渐近线； ,0 x = 0 为垂直渐近线为垂直渐近线 。141斜渐近线斜渐近线 L: y = ax + bxy0KML142二、函数图像的描绘二、函数图像的描绘143例列表列表曲线过点曲线过点(0,0)12(1, 2)00+xy y+驻点：驻点：x =1x =2例例: 极大值极大值(拐点拐点)故故 y = 0为水平渐近线为水平渐近线因因144 的图形：的图形：12x0y145 列表列表xyy . 例例 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：解解所以，曲线有垂直渐近线所以，曲线有垂直渐近线 x =00(拐点拐点)+因因00+3极小值极小值+0间断点间断点146 30xy147列表列表xyy 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：解解所以，曲线有水平渐近线所以，曲线有水平渐近线 y =0，因因+0因因 y(x) = y(x)， 图形关于原点对称。图形关于原点对称。1010(拐点拐点)间断点间断点间断点间断点+曲线有垂直渐近线曲线有垂直渐近线 x =1，x = 1x = 0148110xy149作作 业业P213页：页：3-6(A)1(1)(3), 2(2)P206页：页：3-6(B)1(双双), 2(4)作业150151