1对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分2对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分3对面积的曲面积分对面积的曲面积分4对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分5基本公式：格林公式、高斯公式和斯托克斯公式基本公式：格林公式、高斯公式和斯托克斯公式一、本章要点一、本章要点1对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分积分形式积分形式积分方法积分方法(1)平面曲线积分平面曲线积分(1)平面曲线积平面曲线积分分(2)空间曲线积空间曲线积分分直角坐标系：设曲线直角坐标系：设曲线 ，其中，其中 具有连续导数，则具有连续导数，则 参数方程：设曲线参数方程：设曲线 ，其中，其中 具有连续导数，则具有连续导数，则极坐标：设曲线极坐标：设曲线 ，其中，其中 具有连续导数，则具有连续导数，则(2)空间曲线积分空间曲线积分具有连续导数，则具有连续导数，则设曲线设曲线 ，其中，其中2对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分积分形式积分形式 (1)平面曲线平面曲线 设有向曲线设有向曲线 ，则曲线积分，则曲线积分为为(2)空间曲线空间曲线 设有向曲线设有向曲线 ，则，则曲线积分为曲线积分为积分方法积分方法(1)平面曲线平面曲线具有连续导数，则具有连续导数，则设曲线为设曲线为 ，其中，其中(2)空间曲线空间曲线设曲线设曲线 ，其中其中 具有连续导数，则具有连续导数，则3对面积的曲面积分对面积的曲面积分积分形式积分形式积分方法积分方法 设曲面设曲面 的方程为的方程为 在在 面上面上投影区域为投影区域为 ，则，则4对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分其中：上侧取正，下侧取负其中：上侧取正，下侧取负积分形式积分形式积分方法积分方法 设曲面设曲面 的方程为的方程为 在在 面上面上投影区域为投影区域为 ，则，则5基本公式基本公式1)格林公式格林公式曲线积分与路径无关条件：曲线积分曲线积分与路径无关条件：曲线积分设设 是平面上的有界闭区域，函数是平面上的有界闭区域，函数在在 上有连续偏导，则上有连续偏导，则与与路径无关路径无关此时此时全微分求积全微分求积满足满足 为全微分为全微分此时此时2)高斯公式高斯公式设设 是空间的有界闭区域，函数是空间的有界闭区域，函数 在在 上有连上有连续偏导，则续偏导，则向量场向量场 的散度的散度3)斯托克斯公式斯托克斯公式设设 为为分片分片光滑曲面，函数光滑曲面，函数 在在 上有连续偏上有连续偏导，则导，则向量场向量场 的旋度的旋度课内练习课内练习: 计算计算其中其中L为圆周为圆周提示提示: 利用极坐标利用极坐标 ,原式原式 =说明说明: 若用参数方程计算若用参数方程计算, 则则P246 题题3(1)计算计算其中其中L为摆线为摆线上对应上对应 t 从从 0 到到 2 的一段弧的一段弧.提示提示:P246 题题3(3)计算计算其中其中 由平面由平面 y = z 截球面截球面提示提示: 因在因在 上有上有故故原式原式 = 从从 z 轴正向看沿逆时针方向轴正向看沿逆时针方向.P246 题题3(6)计算计算其中其中L为上半圆周为上半圆周提示提示: :沿逆时针方向沿逆时针方向.(也也可直接用可直接用Green公式公式. )P246 题题3(5)求力求力沿有向闭曲线沿有向闭曲线 所作的所作的功功, 其中其中 为平面为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三被三个坐标面所截成三提示提示: 方法方法1从从 z 轴正向看去沿轴正向看去沿顺时针方向顺时针方向.利用对称性利用对称性角形的整个边界角形的整个边界,P247 题题11设三角形区域为设三角形区域为 , 方向方向向上向上, 则则方法方法2 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式(三三) 对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算: 1. 化成二重积分化成二重积分: 一投、二代、三变换一投、二代、三变换 (1) 确定曲面的单值函数的表达式确定曲面的单值函数的表达式; (2) 将曲面向作为自变量的两变量所确定的坐标平将曲面向作为自变量的两变量所确定的坐标平面投影面投影,得投影区域得投影区域; (3) 将曲面方程代入被积函数和曲面将曲面方程代入被积函数和曲面 面积元素面积元素dS中中, 得二重积分的被积表达式得二重积分的被积表达式,曲面在坐标面上的投曲面在坐标面上的投影区域为二重积分的积分区域影区域为二重积分的积分区域 ; (4) 计算二重积分计算二重积分.例例1解解例例2 2. 特殊计算法特殊计算法:解解 由对称性，由对称性，解解 依对称性知：依对称性知：例例3例例4解解练习练习 计算曲面积分计算曲面积分中中 是球面是球面解解 利用对称性利用对称性用重心公式用重心公式利用轮换对称性简化第一类曲面积分利用轮换对称性简化第一类曲面积分轮换不变性轮换不变性 若曲面若曲面有轮换对称性有轮换对称性, , 则则上的第一类曲上的第一类曲面积分有轮换不变性面积分有轮换不变性. .例例5解解由积分的轮换不变性知由积分的轮换不变性知(四四).对坐标的曲面积分的计算对坐标的曲面积分的计算: 1. 化为二重积分化为二重积分: 一投、二代、三定号一投、二代、三定号 (1) 选准曲面的投影方向选准曲面的投影方向; (2) 将曲面的方程表示成相应变量的单值函数将曲面的方程表示成相应变量的单值函数,代入代入 被积函数中去被积函数中去; (3) 根据曲面的侧的方向确定二重积分的符号根据曲面的侧的方向确定二重积分的符号.例例6解解 利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系2. 利用两类曲面积分之间的联系利用两类曲面积分之间的联系:3. 利用利用Gauss公式公式:例例7解解 由由Gauss公式，公式，例例8解解由由Gauss公式，公式，练习练习:其中其中 为半球面为半球面的上侧的上侧.且取下侧且取下侧 , 提示提示: 以半球底面以半球底面原式原式 =P246 题题4(2) 同样可利用高斯公式计算同样可利用高斯公式计算.记半球域为记半球域为 ,高斯公式有高斯公式有计算计算为辅助面为辅助面, 利用利用P246 题题4(3)例例9设设 为曲面为曲面取上侧取上侧, 求求 解解 作取下侧的辅助面作取下侧的辅助面用用柱坐标柱坐标用用极坐标极坐标合一投影法合一投影法将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的二重积分二重积分. .另两种情形类似另两种情形类似作业第十一章 大作业