三角形中位线三角形中位线三角形中位线三角形中位线1 1、什么叫三角形的中线？有几条？、什么叫三角形的中线？有几条？2、三角形的中线有哪些性质？、三角形的中线有哪些性质？ABCDEF连结三角形的顶点和对边中点的线段连结三角形的顶点和对边中点的线段叫叫三角形的中线三角形的中线. .三角形的每一条中线把三角形的面积平分三角形的每一条中线把三角形的面积平分.三角形的中线相交于同一点三角形的中线相交于同一点.FE连结三角形两边中点的线段叫连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形的中位线。思考：思考：1、一个三角形有几条中位线？、一个三角形有几条中位线？2、这三条中位线把三角形分成几个三角形？、这三条中位线把三角形分成几个三角形？ABCDDE是是ABC的中位线的中位线三角形的中位线与三角形的中线有三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？什么区别？中位线是中位线是两个中点两个中点的连线，而中线是的连线，而中线是一个一个顶点顶点和对边和对边中点中点的连线。的连线。如图在等边如图在等边ABC中，中，AD=BD，AE=EC，BCDEAADE是什么三角形？是什么三角形？DE与与BC有什么样的位置关系和数量关系？有什么样的位置关系和数量关系？等边三角形等边三角形DEBC一般的三角形的中位线与第三边有什么一般的三角形的中位线与第三边有什么样的位置关系和数量关系呢？样的位置关系和数量关系呢？DE是是ABC的什么线？的什么线？中位线中位线观察猜想观察猜想在在ABCABC中，中位线中，中位线DE和边和边BC什么关系什么关系?DE和边和边BC关系关系数量关系：数量关系：位置关系：位置关系：DEBCABCDE平行平行DEDE是是BCBC的一半的一半猜想：猜想：三角形的中位线平行于第三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。三边，并且等于第三边的一半。ABCEDF证明：如图，延长证明：如图，延长DE至至F,使使EF=DE，连接连接CD、AF、CFAE=ECDE=EF四边形四边形ADCF是平行四边形是平行四边形ADFC又又D为为AB中点，中点，DBFC四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形 DE/BC且且DE=EF=1/2BC返回三角形的中位线的性质三角形的中位线平行于第三边，三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半并且等于它的一半用符号语言表示用符号语言表示DABCEAE=EBAD=DCDEBC，DE=BC.21BDAECF(1) DEF的周长与的周长与 ABC的周长有什么关系的周长有什么关系?(2) DEF的面积与的面积与 ABC的面积有什么关系的面积有什么关系?例例1：口答：口答（1）三角形的周长为）三角形的周长为18cm，这个三角形这个三角形的三条中位线围成三角形的周长是多少？为的三条中位线围成三角形的周长是多少？为什么？什么？（2）如图，）如图，E是平行四边形是平行四边形ABCD的的AB边上的边上的中点，且中点，且AD=10cm，那么那么OE=cm。ABDCEO5（3）如图：如果）如图：如果AE=AB，AD=AC，DE=2cm，那么那么BC=cm。ABDCEHG8（4）在在ABC中，中，E、F、G、H分别为分别为AC、CD、BD、AB的中点，若的中点，若AD=3，BC=8，则则四边形四边形EFGH的周长是的周长是。ABDCEFGH11练一练练一练1.ABC中中,D、E分别是分别是AB、AC的中点，的中点， BC=10cm，则，则DE=_.A AE ED DC CB B(1)B BD DA AE EC C(2)(2)2. ABC中中,D、E分别是分别是AB、AC的中点，的中点，A=50, B=70,则则AED=_. AB问问题题：A A、B B两两点点被被池池塘塘隔隔开开, ,如如何何测量测量A A、B B两点距离呢？为什么两点距离呢？为什么? ?ABC测出测出MNMN的长，就可知的长，就可知A A、B B两点的距离两点的距离MN在在ABAB外选一点外选一点C C，使，使C C能直接到达能直接到达A A和和B B，连结连结ACAC和和BCBC，并分别找出并分别找出ACAC和和BCBC的中点的中点M M、N.N.若若若若MN=36 mMN=36 m，则，则，则，则AB=AB=2MN=72 m2MN=72 m如果，如果，如果，如果，MNMN两点之间还有阻两点之间还有阻两点之间还有阻两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？隔，你有什么解决办法？隔，你有什么解决办法？隔，你有什么解决办法？例例2：已知：如图：已知：如图AD是是ABC的中线，的中线，EF是中位线，是中位线，求证：求证：AD与与EF互相平分互相平分ABCDEF例例3 3：已知：已知 ABCDABCD中，中，ACAC、BDBD相交相交于点于点O O，E E、F F、G G、H H分别是分别是ABAB、OBOB、CDCD、ODOD的中点。求的中点。求 证：证：HEFHEF FGHFGH。例例4：求证顺次连结四边形各边中点所得的四边求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形形是平行四边形。已知：已知：E E、F F、G G、H H分别是四边形分别是四边形ABCDABCD中中ABAB、 BCBC、CDCD、DADA的中点。的中点。求证：求证：EFGHEFGH是平行四边形。是平行四边形。任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是平行四边形平行四边形。例例5：已知：已知:E为平行四边形为平行四边形ABCD中中DC边的延长边的延长线上一点线上一点,且且CE=DC,连结连结AE,分别交分别交BC、BD于于点点F、G，连接连接AC交交BD于于O，连结连结OF.求证求证: AB= 2 OFA AD DB BC CE EGGF FOO提示提示:证明证明证明证明ABFABF ECF,ECF, 得得得得BF=CF,BF=CF,再证再证再证再证OFOF是是是是 ABCABC的中位线的中位线的中位线的中位线. .已知：如图，已知：如图，ABCABC是锐角三角形。分别以是锐角三角形。分别以ABAB，ACAC为边向外侧作等边三角形为边向外侧作等边三角形ABMABM和等边三角形和等边三角形CANCAN。D D，E E，F F分别是分别是MBMB，BCBC，CNCN的中点，连结的中点，连结DEDE，EFEF。A AB BC CD DE EF FN NM M求证：求证：DE=EFDE=EF 挑战自我挑战自我: :1.1.三角形的中位线定义三角形的中位线定义. .2.2.三角形的中位线定理三角形的中位线定理. .3.3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的关系，而且给出了他们的数量关系，在三角边的关系，而且给出了他们的数量关系，在三角形中给出一边的中点时形中给出一边的中点时，要转化为中位线要转化为中位线. .4.4.线段的倍分线段的倍分要转化为相等问题来解决.5.5.三角形的中位线定理三角形的中位线定理的发现过程所用到的数学的发现过程所用到的数学方法（包括画图、实验、猜想、分析、归纳等方法（包括画图、实验、猜想、分析、归纳等.).) 作 业8、12习题习题19.119四边形四边形1、2、3P90练习题练习题16、习题习题19.2例例1求求证证：顺顺次次连连结结四四边边形形四四条条边边的的中中点点，所得的四边形是平行四边形所得的四边形是平行四边形.ABCDEFGH已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，E E、F F、G G、H H分别是分别是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形。证明：连结证明：连结ACACAE=EB、CF=FB,(三角形中位线定理三角形中位线定理)EFAC，EF=AC四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形同同理：理：HGAC，HG=ACEF HG，且EF=HG思考： （1）顺顺次次连连结结平平行行四四边边形形各各边边中中点点所所得得的的四四边边形形是是_？（2）顺次连结顺次连结矩形矩形各边中点各边中点所得的四边形是所得的四边形是_？（3）顺次连结）顺次连结菱形菱形各边中点各边中点所得的四边形是所得的四边形是_？平行四边形平行四边形菱形矩形矩形变式变式练习练习 （4）顺顺次次连连结结正正方方形形各各边边中中点点所所得得的的四四边边 形形 是是 _？ （5）顺次连结顺次连结梯形梯形各边各边中点所得的四边形是中点所得的四边形是_？（6）顺次连结）顺次连结等腰梯形等腰梯形各边中点所得的四边形各边中点所得的四边形是是_？正方形正方形平行四边形平行四边形菱形菱形 （7）顺顺次次连连结结对对角角线线相相等等的的四四边边形形各各边边中中点点所所得得的的四四边形是什么？边形是什么？（9）顺次连结）顺次连结对角线相等且对角线相等且垂直垂直的四边形各边中点所得的四边形各边中点所得的四边形是什么？的四边形是什么？ （8）顺顺次次连连结结对对角角线线垂垂直直的的四四边边形形各各边边中中点点所所得得的的四四边形是什么？边形是什么？菱形矩形正方形总结总结不相等且不互相垂直的四边形各边中点不相等且不互相垂直的四边形各边中点组成组成_对对角角线线平行四边形平行四边形互相垂直的四边形各边中点组成互相垂直的四边形各边中点组成_矩形矩形相等的四边形各边中点组成相等的四边形各边中点组成_菱形菱形相等且互相垂直的四边形各边中点相等且互相垂直的四边形各边中点组成组成_正方形正方形 怎样将一张三角形硬纸片剪成两怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分部分, ,使分成的两部分能拼成一个平行使分成的两部分能拼成一个平行四边形四边形? ?请请动手试动手试一试一试! !