1第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 4.2 复变函数项级数复变函数项级数一、一、基本概念基本概念二、二、幂级数幂级数三三、幂级数的性质幂级数的性质2第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 一、一、基本概念基本概念1. 复变函数项级数复变函数项级数(2) 称称 为区域为区域 G 内内(1) 称称 为区域为区域 G 内的内的复变函数序列复变函数序列。定义定义 设复变函数设复变函数 在区域在区域 G 内有定义，内有定义，的的复变函数项级数复变函数项级数，简记为简记为3第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 一、一、基本概念基本概念2. 复变函数项级数收敛的定义复变函数项级数收敛的定义(1) 称称 为级数为级数 的的部分和部分和。定义定义 设设 为区域为区域 G 内的内的复变函数项级数复变函数项级数，称级数称级数 在在 点收敛点收敛。z0则称级数则称级数 在区域在区域 D 内收敛内收敛。(3) 如果存在区域如果存在区域 D G ， 有有此时，称此时，称(2) 如果对如果对 G 内的某一点内的某一点 ，有，有z0则则为为和函数和函数，D 为为收敛域收敛域。4第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 二、二、幂级数幂级数1. 幂级数的概念幂级数的概念其中，其中， 为复常数。为复常数。定义定义 称由下式给出的复变函数项级数为称由下式给出的复变函数项级数为幂级数幂级数：( ( I I ) )特别地，当特别地，当 时有时有( () )注注 (1) 下面主要是对下面主要是对 型幂级数进行讨论，所得到的结论型幂级数进行讨论，所得到的结论( () )只需将只需将 换成换成 即可应用到即可应用到 型幂级数。型幂级数。( ( I I ) )z(2) 对于对于 型幂级数，在型幂级数，在 点肯定收敛。点肯定收敛。( () )5第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 二、二、幂级数幂级数2. 阿贝尔阿贝尔 ( Abel ) 定理定理(1) 如果级数在如果级数在 点收敛，则它在点收敛，则它在 上上绝对收敛绝对收敛；对于幂级数对于幂级数 ，有，有定理定理(2) 如果级数在如果级数在 点发散，则它在点发散，则它在 上上发散。发散。则存在则存在 M，使对所有的，使对所有的 n 有有即得即得 收敛。收敛。证明证明 (1) 由由 收敛，有收敛，有其中其中 ，当当 时，时， P83定理定理 4.5 推论推论( (阿贝尔与伽罗华阿贝尔与伽罗华) )6第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 对于幂级数对于幂级数 ，有，有二、二、幂级数幂级数2. 阿贝尔阿贝尔 ( Abel ) 定理定理(1) 如果级数在如果级数在 点收敛，则它在点收敛，则它在 上上绝对收敛；绝对收敛；定理定理(2) 如果级数在如果级数在 点发散，则它在点发散，则它在 上上发散。发散。证明证明 (2) 反证法反证法：与已知条件矛盾。与已知条件矛盾。已知级数在已知级数在 点发散，点发散，假设假设存在存在使得级数在使得级数在 点收敛，点收敛，由定理的第由定理的第 (1) 条有，条有，级数在级数在 上上绝对收敛；绝对收敛；级数在级数在 点收敛，点收敛，7第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 二、二、幂级数幂级数3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径发散发散发散发散收敛收敛收敛收敛分析分析8第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 二、二、幂级数幂级数3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径发散发散发散发散收敛收敛收敛收敛定义定义 如图设如图设 CR 的半径为的半径为 R，(1) 称圆域称圆域为为收敛圆收敛圆。(2) 称称 R 为为收敛半径收敛半径。R注意注意 级数在收敛圆的边界上级数在收敛圆的边界上各点的收敛情况是不一定的。各点的收敛情况是不一定的。约定约定表示级数仅在表示级数仅在 z = 0 点收敛；点收敛；表示级数在整个复平面上表示级数在整个复平面上 收敛。收敛。9第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 例例 考察级数考察级数 的收敛性。的收敛性。对任意的对任意的解解都有都有收敛半径为收敛半径为( (必要条件必要条件?) )例例 考察级数考察级数 的收敛性。的收敛性。由由 收敛，收敛，因此级数因此级数 在全平面上收敛，在全平面上收敛，收敛，收敛，故级数故级数 仅在仅在 点收敛，点收敛，收敛半径为收敛半径为对对任意固定任意固定的的解解当当 时，有时，有10第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 级数的部分和为级数的部分和为解解级数发散。级数发散。级数收敛；级数收敛；(1) 当当 时，时，和函数为和函数为(2) 当当 时，时，故级数收敛半径为故级数收敛半径为11第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 二、二、幂级数幂级数4. 求收敛半径的方法求收敛半径的方法(1) 比值法比值法如果如果则收敛半径为则收敛半径为对于幂级数对于幂级数 ，有，有推导推导 考虑正项级数考虑正项级数利用利用达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法：当当 即即 时，级数收敛；时，级数收敛；当当 即即 时，级数发散。时，级数发散。P85 12第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 (2) 根值法根值法如果如果则收敛半径为则收敛半径为二、二、幂级数幂级数4. 求收敛半径的方法求收敛半径的方法(1) 比值法比值法如果如果则收敛半径为则收敛半径为对于幂级数对于幂级数 ，有，有( (利用正项级数的利用正项级数的柯西判别法柯西判别法即可得到即可得到) )13第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 例例 求幂级数求幂级数的收敛半径与收敛圆。的收敛半径与收敛圆。由由解解收敛圆为收敛圆为收敛半径为收敛半径为例例 求幂级数求幂级数的收敛半径与收敛圆。的收敛半径与收敛圆。由由解解收敛圆为收敛圆为收敛半径为收敛半径为得得得得P86 例例4.3 部分部分 14第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 例例 求幂级数求幂级数的收敛半径与收敛圆。的收敛半径与收敛圆。收敛圆为收敛圆为故级数的收敛半径为故级数的收敛半径为由于由于解解15第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 令令则在则在 内有内有三三、幂级数的性质幂级数的性质1. 幂级数的运算性质幂级数的运算性质P86 16第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 2. 幂级数的分析性质幂级数的分析性质即即(3) 在收敛圆内可以在收敛圆内可以逐项积分逐项积分，即即(1) 函数函数在收敛圆在收敛圆 内内解析解析。设设性质性质则则(2) 函数函数 的导数可由其幂函数的导数可由其幂函数逐项求导逐项求导得到，得到，三三、幂级数的性质幂级数的性质P87 17第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 3. 幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)性质性质 在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。又设函数又设函数 在在 内解析，且满足内解析，且满足设级数设级数 在在 内收敛，内收敛，和函数和函数为为性质性质当当 时，有时，有则则三三、幂级数的性质幂级数的性质18第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 解解 方法一方法一 利用乘法运算性质利用乘法运算性质方法二方法二 利用逐项求导性质利用逐项求导性质19第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 解解其收敛半径为其收敛半径为收敛圆为收敛圆为20第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 轻松一下吧21第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 附：附：人物介绍人物介绍 阿贝尔阿贝尔挪威数学家 (18021829)阿贝尔N. H. Abel 天才的数学家天才的数学家。 关于椭圆函数理论的研究工作在当时是函数论的关于椭圆函数理论的研究工作在当时是函数论的最高成果之一。最高成果之一。22第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 附：附：人物介绍人物介绍 阿贝尔阿贝尔 很少有几个数学家能使自己的名字同近世数学中很少有几个数学家能使自己的名字同近世数学中如此多的概念和定理联系在一起。如此多的概念和定理联系在一起。阿贝尔群阿贝尔群阿贝尔积分阿贝尔积分阿贝尔函数阿贝尔函数阿贝尔级数阿贝尔级数阿贝尔可和性阿贝尔可和性阿贝尔积分方程阿贝尔积分方程阿贝尔部分和公式阿贝尔部分和公式阿贝尔基本定理阿贝尔基本定理阿贝尔极限定理阿贝尔极限定理23第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 附：附：人物介绍人物介绍 阿贝尔阿贝尔 阿贝尔只活了短短的阿贝尔只活了短短的 27 年，一生中命途坎坷。年，一生中命途坎坷。 他的才能和成果在生前没有被公正的承认。他的才能和成果在生前没有被公正的承认。 为了纪念阿贝尔诞辰为了纪念阿贝尔诞辰 200 周年，挪威政府于周年，挪威政府于 2003 年设立年设立了一项数学奖了一项数学奖 阿贝尔奖。每年颁发一次，奖金高达阿贝尔奖。每年颁发一次，奖金高达 80 万美元，是世界上奖金最高的数学奖。万美元，是世界上奖金最高的数学奖。24第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 附：附：人物介绍人物介绍 伽罗华伽罗华 天才的数学家。天才的数学家。 群论的创始人与奠基者群论的创始人与奠基者。 对函数论、方程式理论和数论等作出了重要贡献对函数论、方程式理论和数论等作出了重要贡献。法国数学家 (18111832)伽罗华variste Galois25第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 伽罗华只活了短短的伽罗华只活了短短的 21 年。年。 他的成果在生前没有人能够理解。他的成果在生前没有人能够理解。 1829 年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交法国科学院。群论初步研究结果的论文提交法国科学院。当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人，当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人，最后不了了之。最后不了了之。科学院委托科学院委托附：附：人物介绍人物介绍 伽罗华伽罗华26第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 伽罗华只活了短短的伽罗华只活了短短的 21 年。年。 他的成果在生前没有人能够理解。他的成果在生前没有人能够理解。 1830 年年 2 月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文文提交法国科学院。提交法国科学院。秘书傅立叶。秘书傅立叶。未能发现伽罗华的手稿未能发现伽罗华的手稿。科学院将科学院将论文寄给当时科学院终身论文寄给当时科学院终身但傅立叶在当年但傅立叶在当年 5 月去世，在他的遗物中月去世，在他的遗物中附：附：人物介绍人物介绍 伽罗华伽罗华27第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 伽罗华只活了短短的伽罗华只活了短短的 21 年。年。 他的成果在生前没有人能够理解。他的成果在生前没有人能够理解。又得到了一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这又得到了一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这 1831 年年 1 月，伽罗华在寻求确定方程的可解性问题上，月，伽罗华在寻求确定方程的可解性问题上，篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊松为理解这篇论文绞尽脑汁。传说泊松将这篇数学家泊松为理解这篇论文绞尽脑汁。传说泊松将这篇论文看了四个月，最后结论居然是论文看了四个月，最后结论居然是“完全不能理解完全不能理解”。附：附：人物介绍人物介绍 伽罗华伽罗华28第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 友写信，仓促地把自己所有的数学研究心得扼要写出，友写信，仓促地把自己所有的数学研究心得扼要写出， l832 年年 3 月月 16 日，伽罗华卷入了一场决斗。他连夜给朋日，伽罗华卷入了一场决斗。他连夜给朋他在天亮之前最后几个小时写出的东西，为一个折磨了他在天亮之前最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案。数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案。 伽罗华只活了短短的伽罗华只活了短短的 21 年。年。 他的成果在生前没有人能够理解。他的成果在生前没有人能够理解。附：附：人物介绍人物介绍 伽罗华伽罗华29第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 伽罗华只活了短短的伽罗华只活了短短的 21 年。年。 他的成果在生前没有人能够理解。他的成果在生前没有人能够理解。刘维尔领悟到了这些演算中迸发出的天才思想。刘维尔刘维尔领悟到了这些演算中迸发出的天才思想。刘维尔 1846 年，即在年，即在伽罗华去世伽罗华去世十四年之后，才由法国数学家十四年之后，才由法国数学家花了好几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最后将花了好几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最后将这些论文编辑发表在他的极有影响的这些论文编辑发表在他的极有影响的纯粹与应用数学纯粹与应用数学杂志杂志上，并向数学界推荐。上，并向数学界推荐。附：附：人物介绍人物介绍 伽罗华伽罗华30第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数 约当根据伽罗华的思想，写成了约当根据伽罗华的思想，写成了论置换与代数方程论置换与代数方程 1870 年，即年，即伽罗华去世三伽罗华去世三十八年之后，才由法国数学家十八年之后，才由法国数学家一书，该书将伽罗华的思想作了进一步的阐述。一书，该书将伽罗华的思想作了进一步的阐述。 伽罗华只活了短短的伽罗华只活了短短的 21 年。年。 他的成果在生前没有人能够理解。他的成果在生前没有人能够理解。附：附：人物介绍人物介绍 伽罗华伽罗华( (返回返回) )