1 1 1 1. . . .1 1 1 1一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程苏科版苏科版九年级数学上九年级数学上苏州市振华中学校苏州市振华中学校什么是方程？什么是方程的解（或根）？什么是方程？什么是方程的解（或根）？答：含有未知数的等式叫做方程。使方程答：含有未知数的等式叫做方程。使方程两边成立的未知数的值叫做方程的解。两边成立的未知数的值叫做方程的解。曾学过哪些方程？曾学过哪些方程？分式方程，一元一次方程，二元一次方程。分式方程，一元一次方程，二元一次方程。什么叫做一元一次方程？什么叫做一元一次方程？问问题题(1) (1) 有有一一块块矩矩形形铁铁皮皮, ,长长100100, ,宽宽5050, ,在在它它的的四四角角各各切切去去一一个个正正方方形形, ,然然后后将将四四周周突突出出部部分分折折起起, ,就就能能制制作作一一个个无无盖盖方方盒盒, ,如如果果要要制制作作的的方方盒盒的的底底面面积积为为36003600平平方方厘厘米米, ,那那么么铁铁皮皮各各角角应应切切去多大的正方形去多大的正方形? ?1001005050x x36003600分析分析:设切去的正方形的边长为设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为则盒底的长为 ,宽宽为为 .(100-2x)cm(50-2x)cm根据方盒的底面积为根据方盒的底面积为3600cm2,得得即即问题问题(2) (2) 要组织一次排球邀请赛要组织一次排球邀请赛, ,参赛的每两队之参赛的每两队之间都要比赛一场间都要比赛一场, ,根据场地和时间等条件根据场地和时间等条件, ,赛程计划赛程计划安排安排7 7天天, ,每天安排每天安排4 4场比赛场比赛, ,比赛组织者应邀请多少比赛组织者应邀请多少个队参加比赛个队参加比赛? ?分析分析:全部比赛共全部比赛共 47=28场场设应邀请设应邀请x个队参赛个队参赛,每个队要与其他每个队要与其他 个队个队各赛各赛1场场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛是同一场比赛,所以全部比赛共所以全部比赛共 场场.(x-1)即即一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为为m，宽为，宽为m如果地毯中央长方形图案的面积如果地毯中央长方形图案的面积为为m2 ，则花边多宽，则花边多宽?你怎么解决这个问题？x8m110m7m6m解：由勾股定理可知，滑动前梯解：由勾股定理可知，滑动前梯 子底端距墙子底端距墙m如果设梯子底端滑动如果设梯子底端滑动X m，那么滑，那么滑 动后梯子底端距墙动后梯子底端距墙m根据题意，可得方程：根据题意，可得方程：72(X6)21026X6如图，一个长为如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为直距离为8m如果梯子的顶端下滑如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多，那么梯子的底端滑动多少米？少米？10m数学化由上面四个问题，我们可以得到四个方程：由上面四个问题，我们可以得到四个方程：(x)22102 x2 12 x 15 0.上述三个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方上述三个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方程和分式方程有什么区别？程和分式方程有什么区别？特点特点:都是整式方程都是整式方程;只含一个未知数只含一个未知数;未知数的最高次数是未知数的最高次数是2.1、上面四个方程整理后含有 _未知数,它们的最高次数 是 _ ,等号两边是 _ 式。2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？ 请定义。一个一个2整整一元二次方程的概念一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式像这样的等号两边都是整式, , 只含有只含有一个未知数一个未知数( (一元一元) )，并且未知数的最，并且未知数的最高次数是高次数是2(2(二次二次) )的整式方程叫做的整式方程叫做一元一元二次方程。二次方程。 都是都是整式整式方程方程; ; 只含只含一一个未知数个未知数; ;未知数的最高次数是未知数的最高次数是2.2.即：一元二次方程即：一元二次方程的共同特点的共同特点:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)判断下列方程是一元二次方程吗判断下列方程是一元二次方程吗? 一般地一般地一般地一般地, , , ,任何一个关于任何一个关于任何一个关于任何一个关于x x x x的一元二次方程都可以化的一元二次方程都可以化的一元二次方程都可以化的一元二次方程都可以化为为为为 , , , ,的形式的形式的形式的形式, , , ,我们把我们把我们把我们把axaxaxax2 2 2 2+bx+c=0 +bx+c=0 +bx+c=0 +bx+c=0 (a,b,c(a,b,c(a,b,c(a,b,c为常数，为常数，为常数，为常数，a a a a00）称为称为称为称为一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式. . . .为什么要限制为什么要限制a0a0，b,cb,c可以为零吗？可以为零吗？可以为零吗？可以为零吗？想一想想一想其中其中ax2 ，bx, , c分别称为二次项，分别称为二次项，一次项，常数项一次项，常数项. . ax2 + bx + c = 0注意注意:要确定一元二次方程的系数和常数项要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必必须先将方程化为一般形式须先将方程化为一般形式二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数 常数项常数项(a0) 在写一元二次方程的一般形式时在写一元二次方程的一般形式时, ,通常按未通常按未知数的知数的次数从高到低排列次数从高到低排列, ,即即先写先写二次项二次项, ,再写再写一次项一次项, ,最后是最后是常数项。常数项。一般形式：一般形式：常数项常数项二次项，二次项， 二次项系数二次项系数一次项，一次项， 一次项系数一次项系数 把一元二次方程（把一元二次方程（把一元二次方程（把一元二次方程（x-5 x-5 ）（）（）（）（x+5 x+5 ）+ +（2x-12x-1）2 2=0=0化为一般形式，正确的是（化为一般形式，正确的是（化为一般形式，正确的是（化为一般形式，正确的是（ ）A A、5x5x2 2-4x-4=0-4x-4=0B B、x x2 2-5=0-5=0C C、5x5x2 2-2x+1=0-2x+1=0D D、5x5x2 2-4x+6=0-4x+6=0A一定要把方程化解为一定要把方程化解为一般形式，才能确定！一般形式，才能确定！注意：注意：例例1 1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式、把下列方程化成一元二次方程的一般形式, ,并写出它的二次项系数并写出它的二次项系数, ,一次项系数和常数项一次项系数和常数项. .1 1）移项，整理得）移项，整理得9x9x2 2+4x-5=0+4x-5=0 二次项系数是二次项系数是9 9，一次项系数是，一次项系数是4 4，常数项是，常数项是-5-5。2 2）移项，整理得）移项，整理得3y3y2 2 2 2 y+1=0 y+1=0二次项系数是二次项系数是3 3，一次项系数是，一次项系数是-2-2 ，常数项是，常数项是1 1。3 3）移项，整理得）移项，整理得4x4x2 2-5=0-5=0二次项系数是二次项系数是4 4，一次项系数是，一次项系数是0 0，常数项是，常数项是-5-5。4 4）移项，整理得）移项，整理得-3x-3x2 2+2x+5=0+2x+5=0二次项系数是二次项系数是3 3，一次项系数是，一次项系数是2 2，常数项是，常数项是5 5。注意：注意：1.1.要先化成要先化成 ax ax +bx+c=0 +bx+c=0 的一般形式。的一般形式。2.2.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。写系数时，要带上前面的符号。数项。写系数时，要带上前面的符号。 1 1、把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它、把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：的二次项系数、一次项系数和常数项：方程方程一般形式一般形式二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数项常数项3x3x2 2=5x-1=5x-1(x+2)(x-1)=6(x+2)(x-1)=64-7x4-7x2 2=0=0练一练练一练3x3x2 2-5x+1=0-5x+1=0x x2 2+x-8=0+x-8=0-7x-7x2 2+4=0+4=03 3-5-51 1-8-84 41 11 1-7-70 0方程方程方程方程一般形式一般形式一般形式一般形式二次项二次项二次项二次项系数系数系数系数一次项一次项一次项一次项系数系数系数系数常数常数常数常数项项项项练一练练一练例例2 2、已知，关于、已知，关于x的方程的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程是一元二次方程, , 求求m m的取值范围的取值范围. .解：解：原方程是一元二次方程原方程是一元二次方程mm2 2m-m-1 10 01.关于关于x的方程的方程(k3)x2 2x10,当当k时，是一元二次方程时，是一元二次方程2.关于关于x的方程的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当当k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程当当k 时，是一元一次方程时，是一元一次方程3113.m为何值时，方程（m-1）xm2+1+3x+2=0是关于x的一元二次方程？4.若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。练习巩固练习巩固 一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的的未知数的值叫一元二次方程的解解或或根根。判断判断: :当未知数的值当未知数的值x=-1x=-1或或x=0x=0时，方程时，方程x x -2=x-2=x的两的两边是否相等。边是否相等。当当x=0x=0时，左边时，左边=0=0 -2=-2 -2=-2 右边右边=0=0 因为：左边因为：左边右边右边解：当解：当x=-1x=-1时，左边时，左边= =（-1-1） -2=1-2=-1 -2=1-2=-1 右边右边=-1=-1 因为：左边因为：左边= =右边右边所以所以x=-1x=-1是方程的解。是方程的解。所以所以x=0x=0不是方程的解。不是方程的解。1、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：（1 1）x x2 2-3x+2=0 (x-3x+2=0 (x1 1=1 x=1 x2 2=2 x=2 x3 3=3)=3)练一练练一练2 2、已知关于、已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+ax+a=0+ax+a=0的一的一个根是个根是3 3，求，求a a的值。的值。解：由题意得解：由题意得把把x=3x=3代入方程代入方程x x2 2+ax+a=0+ax+a=0得，得，3 32 2+3+3a+a=0a+a=09+49+4a=0a=04 4a=a=- -9 9axaxbxbxc c(a, b(a, b，c c为常数为常数, , aa) )2 2、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的一般形式 、一元二次方程的定义、一元二次方程的定义 3 3、会用一元二次方程表示实际生活中的数、会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系量关系畅谈收获畅谈收获 已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程 ax ax2 2+bx+c=0 (a0)+bx+c=0 (a0)一个一个根为根为1, 1, 求求a+b+ca+b+c的值的值. . 解：由题意得解：由题意得思考思考: :若若 a+b+c=0, a+b+c=0,你能通过观察你能通过观察, ,求出方程求出方程axax2 2+bx+c=0 +bx+c=0 (a0)(a0)一个根吗一个根吗? ? 解：由题意得解：由题意得方程方程axax2 2+bx+c=0 (a0)+bx+c=0 (a0)一个根是一个根是1.1.拓展拓展: :若若 a-b +c=0, a-b +c=0, 你能通过观察你能通过观察, ,求出方求出方程程axax2 2+bx+c=0 (a0)+bx+c=0 (a0)一个根吗一个根吗? ? 4a+2b +c=04a+2b +c=0拓展练习拓展练习