能控性和能观性 在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要的概念，它是卡尔曼的概念，它是卡尔曼的概念，它是卡尔曼的概念，它是卡尔曼(Kalman)(Kalman)在在在在1960196019601960年提出的，是最年提出的，是最年提出的，是最年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。优控制和最优估计的设计基础。优控制和最优估计的设计基础。优控制和最优估计的设计基础。能观性针对的是系统状态空间模型中的状态能观性针对的是系统状态空间模型中的状态能观性针对的是系统状态空间模型中的状态能观性针对的是系统状态空间模型中的状态x x的能的能的能的能观测性，它反映系统的内部状态观测性，它反映系统的内部状态观测性，它反映系统的内部状态观测性，它反映系统的内部状态x x（通常是不可以（通常是不可以（通常是不可以（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量直接测量的）被系统的输出量直接测量的）被系统的输出量直接测量的）被系统的输出量y y(t)(t)（通常是可以直（通常是可以直（通常是可以直（通常是可以直接测量的）所反映的能力。接测量的）所反映的能力。接测量的）所反映的能力。接测量的）所反映的能力。能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入u u(t)(t)对系统内部状态对系统内部状态对系统内部状态对系统内部状态x x(t)(t)的控制能力，另一种是控制输的控制能力，另一种是控制输的控制能力，另一种是控制输的控制能力，另一种是控制输入入入入u u(t)(t)对系统输出对系统输出对系统输出对系统输出y y(t)(t)的控制能力。但是一般没有的控制能力。但是一般没有的控制能力。但是一般没有的控制能力。但是一般没有特别指明时，指的都是状态特别指明时，指的都是状态特别指明时，指的都是状态特别指明时，指的都是状态x x的能控性。的能控性。的能控性。的能控性。1.1.能控性的定义能控性的定义线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统的能控性定义 在有限时间段在有限时间段t0, tf内内,通过改变通过改变u，若能使，若能使x,由由任意初态任意初态 x(t0)转移到终态转移到终态x(tf)0，则称系，则称系统状态完全能控。反之，只要有一个状态不能统状态完全能控。反之，只要有一个状态不能控，就称系统不能控。控，就称系统不能控。 若在有限时间若在有限时间t0, tf内内,通过改变通过改变u，能使，能使x,由由初态初态 x(t0)0转移到终态转移到终态x(tf)为为任意值，则称系统任意值，则称系统状态完全能达。状态完全能达。x3x1x20x(t0)x(tf)x3x1x20x(t0)x(tf)2.2.能观性定义能观性定义能观性定义能观性定义 在有限的时间段在有限的时间段在有限的时间段在有限的时间段 t t0 0，t tf f 内内内内, , 通过观测通过观测通过观测通过观测 y y能唯能唯能唯能唯一确定系统全部初始状态一确定系统全部初始状态一确定系统全部初始状态一确定系统全部初始状态 x x( (t t0 0) )，则称系统是状，则称系统是状，则称系统是状，则称系统是状态完全能观测的。态完全能观测的。态完全能观测的。态完全能观测的。 若在有限时间段若在有限时间段若在有限时间段若在有限时间段 t t0 0，t tf f 内内内内, , 通过观测通过观测通过观测通过观测 y y能唯一能唯一能唯一能唯一确定系统全部终端状态确定系统全部终端状态确定系统全部终端状态确定系统全部终端状态 x x( (t tf f ) )，则称系统是状态完，则称系统是状态完，则称系统是状态完，则称系统是状态完全能检测的。全能检测的。全能检测的。全能检测的。 对线性定常连续系统，能观性与能检性是完对线性定常连续系统，能观性与能检性是完对线性定常连续系统，能观性与能检性是完对线性定常连续系统，能观性与能检性是完全等价的。全等价的。全等价的。全等价的。3.能控标准型与能观标准型一一.单输入系统的能控标准型单输入系统的能控标准型1.能控标准能控标准型型将系统变成能控型其中其中 【例【例【例【例3-123-12】试将状态空间表达式变换成能控标准】试将状态空间表达式变换成能控标准】试将状态空间表达式变换成能控标准】试将状态空间表达式变换成能控标准型型型型2.能控标准型将系统变成能控型其中【例【例3-133-13】试将状态空间表达式变换成能控标准】试将状态空间表达式变换成能控标准型型计算计算二.单输出系统的能观标准型1.能观标准能观标准型型若若S S(A A b C)是是能观的能观的,则通过则通过 将将S S(A A b C)化化为能观为能观型型【例【例3-143-14】试将状态空间表达式变换成能观标准】试将状态空间表达式变换成能观标准型型 和例和例和例和例3-133-13求得的能控求得的能控求得的能控求得的能控型相比较型相比较型相比较型相比较, ,可知两可知两可知两可知两者之间互为对偶。者之间互为对偶。者之间互为对偶。者之间互为对偶。能观能观能观能观型型型型能观能观能观能观型型型型 与能控与能控与能控与能控 型型型型 相对偶相对偶相对偶相对偶能控能控能控能控 型型型型 能观能观能观能观型型型型 2.能观标准型其中其中 若若S S(A b C)是能观的是能观的,则通过则通过 将将S S(A b C)化为能观化为能观型型能观能观能观能观型型型型与能控与能控与能控与能控 型相比较型相比较型相比较型相比较, ,可知两者之间互为对偶。可知两者之间互为对偶。可知两者之间互为对偶。可知两者之间互为对偶。 和和能控能控型一样，根据能观型一样，根据能观型，也可直型，也可直接写出传递函数：接写出传递函数：例例3-14 3-14 试将状态空间表达式变换成能观标准试将状态空间表达式变换成能观标准型型直接写出计算计算能观能观能观能观型型型型 和例和例和例和例3-123-12求得的能控求得的能控求得的能控求得的能控 型相比较型相比较型相比较型相比较, ,可知两者可知两者可知两者可知两者之间互为对偶。之间互为对偶。之间互为对偶。之间互为对偶。能控能控能控能控 型型型型 能观能观能观能观型型型型 能观能观能观能观型型型型 与能控与能控与能控与能控 型型型型 相对偶相对偶相对偶相对偶能控能控能控能控型型型型 与能观与能观与能观与能观型型型型 相对偶相对偶相对偶相对偶4.传递函数矩阵的实现问题一一.实现问题的基本概念实现问题的基本概念 对于给定的传递函数阵对于给定的传递函数阵W(s)，若有一状态空间表达式，若有一状态空间表达式 S S：使其满足使其满足 则称该状态空间表达式则称该状态空间表达式则称该状态空间表达式则称该状态空间表达式S S S S为传递函数阵为传递函数阵为传递函数阵为传递函数阵WW(s)(s)的一个实现。的一个实现。的一个实现。的一个实现。(1)传函阵传函阵W(s)中的每个元中的每个元Wik(s)(i=1,2m;k=1,2, r)的分子分母多项式的系数均为实常数。的分子分母多项式的系数均为实常数。(2) W(s)中的每个元素中的每个元素Wik(s)均为均为s的真有理分式的真有理分式,nm 当当nm时，对应时，对应 D=0 当当n=m时时, 对应对应 根据严格真有理分式传递函数阵根据严格真有理分式传递函数阵 C(sI - -A)-1B =W(s) - - D寻求形式为寻求形式为S S(A,B,C)的实现。的实现。 需指出,并不是任意一个W(s)阵都能找到实现，它必须满足物理可实现条件，即将将W(s)化为严格化为严格 的真有理分式。的真有理分式。解解 根据式根据式(3-126)得得二. 系统的标准型实现其能控标准型实现其能控标准型实现1.单变量系统单变量系统其能观标准型实现其能观标准型实现2. 多变量系统的标准型实现 对具有个对具有个r 输入和输入和m个输出的多变量系统，个输出的多变量系统，可把可把mr 维的传递函数阵维的传递函数阵W(s)写成和单变量系写成和单变量系统相类似的形式，即统相类似的形式，即分母多项式分母多项式该传递函数阵的特征多项式。该传递函数阵的特征多项式。能控标准型实现能观标准型实现例例3-18 3-18 试求的能控标准型和能观标准型实现试求的能控标准型和能观标准型实现r =2 m =2 n =33.将系数代入式将系数代入式(3-128) (3-130),得能控标准型实现得能控标准型实现能控标准型实现4. 4.能观标准型实现能观标准型实现三. 最小实现1. 1. 定义定义定义定义设设W(s)的一个实现为的一个实现为(3-134)如果如果W(s)不存在其它实现不存在其它实现(3-135)2.寻求最小实现的步骤(1)(1)先求先求先求先求WW(s)(s)的能控标准型的能控标准型的能控标准型的能控标准型( (或能观标准型或能观标准型或能观标准型或能观标准型) )实现实现实现实现, , ( (若若若若r r mm采用能控实现采用能控实现采用能控实现采用能控实现; ;若若若若m m r r采用能观实现采用能观实现采用能观实现采用能观实现) )。再判断其能观性再判断其能观性再判断其能观性再判断其能观性( (或能控性或能控性或能控性或能控性 ), ),若为能控又能观若为能控又能观若为能控又能观若为能控又能观, ,则则则则S S S S( (A A B CB C) )便是最小实现。便是最小实现。便是最小实现。便是最小实现。 (2)(2)否则的话否则的话否则的话否则的话, ,对以上对以上对以上对以上S S S S( (A A B CB C) )进行结构分解进行结构分解进行结构分解进行结构分解, ,找找找找出出出出既能控又能观的子系统既能控又能观的子系统既能控又能观的子系统既能控又能观的子系统 , ,从而得到最从而得到最从而得到最从而得到最小实现。小实现。小实现。小实现。m m r r采用能观实现采用能观实现采用能观实现采用能观实现 A Anmnm=3 =3 , , 若用能控若用能控若用能控若用能控 A Anrnr=6=6【例3-19】试求W(s)的最小实现。能观标准型实现能观标准型实现 m = 1 n =3【例例3-203-20 】试求下列传递函数阵的最小实现。试求下列传递函数阵的最小实现。解解 1.先将先将W(s)化为严格的真有理分式化为严格的真有理分式,并写并写出出 能控标准型。能控标准型。r =2 m =2 n =3由例3-18，得能控标准型 ,所以该能控标准型实现不是所以该能控标准型实现不是最小实现。为此必须按能观性进行结构分解。最小实现。为此必须按能观性进行结构分解。3. 根据式根据式(3-114)构造变换阵构造变换阵 ,将系统按能将系统按能观性进行分解。观性进行分解。2. 判断能控标准型实现的状态是否完全能观测。3. 根据式根据式(3-114)构造变换阵构造变换阵 ,将系统按能将系统按能观性进行分解。取观性进行分解。取于是得变换后的各矩阵于是得变换后的各矩阵经检验，经检验， 是能控且能观的子系统，是能控且能观的子系统，因此因此W(s)的最小实现为的最小实现为: 据上列据上列Am , Bm , Cm , D求系统传递函数阵，求系统传递函数阵，则可检验所得结果。则可检验所得结果。4. 检验所得结果检验所得结果 当系统阶数等于当系统阶数等于W(s)阵的阶数时，称该系统阵的阶数时，称该系统为为W(s)的一个最小实现。的一个最小实现。3-10 能控性、能观性与传递函数阵的关系单输入单输出系统单输入单输出系统单输入单输出系统单输入单输出系统S S S S( (A A, , b b, , C C) )定理：系统定理：系统定理：系统定理：系统S S S S( (A A, , b b, , C C) )能控又能观的充要条件能控又能观的充要条件能控又能观的充要条件能控又能观的充要条件是是是是 WW(s)(s)中没有零点、极点对消。中没有零点、极点对消。中没有零点、极点对消。中没有零点、极点对消。由上述定理可得以下两个结论由上述定理可得以下两个结论由上述定理可得以下两个结论由上述定理可得以下两个结论: : (1)(1)WW( (s s) )表示的是该系统既能控又能观的那一部分表示的是该系统既能控又能观的那一部分表示的是该系统既能控又能观的那一部分表示的是该系统既能控又能观的那一部分 子系统。子系统。子系统。子系统。 (2) (2) WW( (s s) )中若有零、极点对消，则视状态变量的选中若有零、极点对消，则视状态变量的选中若有零、极点对消，则视状态变量的选中若有零、极点对消，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控择不同，系统或是不能控择不同，系统或是不能控择不同，系统或是不能控, ,或是不能观或是不能观或是不能观或是不能观; ;或是既不或是既不或是既不或是既不能控又不能观。能控又不能观。能控又不能观。能控又不能观。例 设系统传递函数判断系统能控、能观性。判断系统能控、能观性。解解 (1) 因因是不能控还是不能观是不能控还是不能观?视状态变量的选取而定。视状态变量的选取而定。(2)上述上述W(s)的一个实现为的一个实现为系统能控但不能观。系统能控但不能观。(3) W(s)的实现又可以是的实现又可以是系统不能控、能观。系统不能控、能观。系统不能控、不能观。系统不能控、不能观。(4) W(s)的实现还可以是的实现还可以是