2.2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解和全响应的概念及求解l 重点重点3.3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解1.1.动态电路方程的建立及初始条件的确定动态电路方程的建立及初始条件的确定返 回含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路。含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路。1 1. . 动态电路动态电路7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 当电路从一种状态经历一个过程才能达到当电路从一种状态经历一个过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过渡过程过程。下 页上 页特点返 回Oti过渡期为零过渡期为零电阻电路电阻电路下 页上 页+-USR1R2（t = 0）i返 回电容电路电容电路下 页上 页S+uCUSRCi (t = 0)+- -返 回i = 0 , uC= USi = 0 , uC = 0S接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：到新的稳定状态：S未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新的稳定状态t1USuCtO?有一过渡期有一过渡期uL= 0, i=US /Ri = 0 , uL = 0S接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：电感视为短路：S未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：电感电路电感电路下 页上 页前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新的稳定状态t1US/RitO?有一过渡期有一过渡期返 回- -S+uLUSRLi (t = 0)+下 页上 页S未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：uL= 0, i=US /RS断开瞬间断开瞬间i = 0 , uL =工程实际中在切断电容或电感电路时工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。会出现过电压和过电流现象。注意返 回 (t )+uLUSRLi+- -S+uLUSRLi (t )+过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因 电路含有储能元件电路含有储能元件 L、C，电路在换路时能量，电路在换路时能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。的储存和释放都需要一定的时间来完成。换路换路 电路从一种过度另一种状态电路从一种过度另一种状态电路参数变化电路参数变化下 页上 页返 回若以电流为变量若以电流为变量2. 动态电路的方程动态电路的方程下 页上 页 (t 0)+uCuSRCi+- -RC电路电路返 回若以电感电压为变量若以电感电压为变量下 页上 页RL电路电路返 回 (t 0)+uLuSR i+- -含源含源 电阻电阻 电路电路 一个动一个动态元件态元件一阶一阶电路电路下 页上 页结论 含有一个动态元件电容或电感的线性电含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称为一阶电路。为一阶电路。返 回二阶电路二阶电路下 页上 页RLC电路电路应用应用KVL和元件的和元件的VCR得得 含有二个动态元件的线性电路，其电路方程含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称为二阶电路。为二阶线性常微分方程，称为二阶电路。返 回 (t 0)+uLuSR i+- -CuC一阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件一阶电路中只有一个动态元件, ,描述描述电路的方程是一阶线性微分方程。电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程。动态电路方程的阶数通常等于电路中动动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。态元件的个数。二阶电路二阶电路二阶电路中有二个动态元件二阶电路中有二个动态元件, ,描述描述电路的方程是二阶线性微分方程。电路的方程是二阶线性微分方程。下 页上 页结论返 回高阶电路高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。电路的方程是高阶微分方程。动态电路的分析方法动态电路的分析方法根据根据KVL、KCL和和VCR建立微分方程。建立微分方程。下 页上 页返 回复频域分析法复频域分析法时域分析法时域分析法求解微分方程。求解微分方程。 经典法经典法状态变量法状态变量法 数值法数值法 卷积积分卷积积分拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法状态变量法状态变量法傅氏变换傅氏变换本章本章采用采用 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。下 页上 页返 回 t = 0与与t = 0的概念的概念认为换路在认为换路在t=0时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间3.3.电路的初始条件电路的初始条件初始条件为初始条件为 t = 0时，时，u 、i 及其各阶导及其各阶导数的值。数的值。下 页上 页注意Of(t)00t返 回图示为电容放电电路，电容原先带有电压图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo，求开关闭合后电容电压随时间的变化。求开关闭合后电容电压随时间的变化。例例1-1解解特征根方程：特征根方程：通解：通解：代入初始条件得：代入初始条件得： 在动态电路分析中，初始条件是得在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。到确定解答的必需条件。下 页上 页明确R+CiuC(t=0)返 回t = 0+ 时刻时刻iuCC+-电容的初始条件电容的初始条件0下 页上 页当当i()为有限值时为有限值时返 回q (0+) = q (0)uC (0+) = uC (0) 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前、后保持不变。则电容电压（电荷）换路前、后保持不变。q =C uC电荷电荷守恒守恒下 页上 页结论返 回电感的初始条件电感的初始条件t = 0+时刻时刻0下 页上 页当当uL为有限值时为有限值时返 回iLuLL+-L (0)= L (0)iL(0)= iL(0)磁链磁链守恒守恒 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前、后保持不变。则电感电流（磁链）换路前、后保持不变。下 页上 页结论返 回 =LiL(2)由换路定律由换路定律 uC (0+) = uC (0)=8V(1) 由由0电路求电路求 uC(0)uC(0)=8V例例1-2求求 iC(0+)。电电容容开开路路下 页上 页+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效电路等效电路+-10ViiC10k返 回iL(0+)= iL(0) =2A例例1- 3t = 0时闭合开关时闭合开关S , ,求求 uL(0+)。先求先求应用换路定律应用换路定律: :解解电感电感短路短路下 页上 页iL10V14+-返 回iL+uL-L10VS14+-求初始值的步骤求初始值的步骤: :1.1.由换路前电路（稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求uC(0)和和iL(0)。2.2.由换路定律得由换路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+)。3.3.画画0+等效电路。等效电路。4.4.由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。(2)电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。(1)换路后的电路换路后的电路; ;（取（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。感电流方向相同）。下 页上 页小结返 回iL(0+) = iL(0) = iSuC(0+) = uC(0) = RiSuL(0+)= - RiS求求 iC(0+) , uL(0+)。例例1-4解解由由0电路得电路得下 页上 页由由0+电路得电路得RiS0电路电路uL+iCRiSRiS+返 回S(t=0)+uLiLC+uCLRiSiC例例1-5求求S闭合瞬间各支路电流和电感电压。闭合瞬间各支路电流和电感电压。解解下 页上 页由由0电路得电路得由由0+电路得电路得iL2+-48V32+uC返 回iL+uL-LS2+-48V32C12A24V+-48V32+-iiC+-uL求求S闭合瞬间流过它的电流值。闭合瞬间流过它的电流值。解解确定确定0值值给出给出0等效电路等效电路下 页上 页例例1-6iL+20V-10+uC1010返 回1A10V+uLiC+20V-10+1010iL+20V-LS10+uC1010C7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅有动换路后外加激励为零，仅有动态元件初始储能产生的电压和态元件初始储能产生的电压和电流。电流。1.1.RC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC (0)=U0 uR= Ri零输入响应零输入响应下 页上 页iS(t=0)+uRC+uCR返 回特征根特征根特征方程特征方程RCp+1=0则则下 页上 页代入初始值代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0A=U0返 回iS(t=0)+uRC+uCR下 页上 页或或返 回tU0uCOI0tiO令令 =RC , , 称称 为一阶电路的时间常数。为一阶电路的时间常数。电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数。电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数。响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关。有关。下 页上 页表明返 回时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = RC 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大大（ C一定一定） i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长U0tuCO 小 大C 大大（R一定一定） W=Cu2/2 储能大储能大物理含义物理含义下 页上 页返 回 :电容电压衰减到原来电压电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。工程上认为工程上认为, , 经过经过 3 5 , 过渡过程结束。过渡过程结束。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t0 2 3 5U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 下 页上 页注意返 回例例2-1图示电路中的电容原充有图示电路中的电容原充有24V电压，求电压，求S闭合后，闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有零输入响应问题，有+uC45Fi1t 0等效电路等效电路下 页上 页i3S3+uC265Fi2i1返 回分流得分流得下 页上 页返 回+uC45Fi1i3S3+uC265Fi2i1下 页上 页例例2-2求求:(1)图示电路图示电路S闭合后各元件的电压和电流闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律随时间变化的规律; ;(2）电容的初始储能和最电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。终时刻的储能及电阻的耗能。解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有零输入响应问题，有u (0+)=u(0)=-20V返 回U1(0-) =4VuSC1=5F+-iC2=20FU2(0-) =24V250k+下 页上 页uS4F+-i-20V 250k返 回下 页上 页初始储能初始储能最终储能最终储能电阻耗能电阻耗能返 回JJ2.2. RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0特征根特征根 代入初始值代入初始值A= iL(0+)= I0t 0下 页上 页返 回iLS(t=0)USL+uLRR1+-iL+uLRtI0iLO电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数。电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数。下 页上 页表明-RI0uLtO返 回iL+uLR衰减快慢与衰减快慢与L/R有关。有关。下 页上 页令令 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数 = L/R时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。的大小反映了电路过渡过程时间的长短。L大大 W=LiL2/2 初始能量大初始能量大R小小 p=Ri2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢，放电慢， 大大 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义电流初始值电流初始值iL(0)一定：一定：返 回能量关系能量关系电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。设设 iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：下 页上 页返 回iL+uLRiL (0+) = iL(0) = 1 AuV (0+)= 10000V 造成造成V损坏。损坏。例例2-3t=0时时, ,打开开关打开开关S，求求uV。电压表量程：。电压表量程：50V。解解下 页上 页返 回iLS(t=0)+uVL=4HR=10VRV10k10ViLLR10V+ +- -例例2-4t=0时时, ,开关开关S由由12，求求电感电压和电流及电感电压和电流及开关两端电压开关两端电压u12。解解下 页上 页t 0返 回i+uL66HiLS(t=0)+24V6H3446+uL212下 页上 页返 回iLS(t=0)+24V6H3446+uL212i+uL66H一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的响应引起的响应, , 都是由初始值衰减为零的指数衰都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。减函数。iL(0+)= iL(0)uC (0+) = uC (0)RC电路：电路：RL电路：电路：下 页上 页小结返 回衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 。下 页上 页小结 = R C = L/RRC电路电路RL电路电路返 回动态元件初始能量为零，由动态元件初始能量为零，由t 0时刻时刻电路中外加激励作用所产生的响应。电路中外加激励作用所产生的响应。方程：方程：7-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 解答形式为：解答形式为：1.1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应非齐次方程特解非齐次方程特解齐次齐次方程方程通解通解下 页上 页iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=0+非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程返 回与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。变化规律由电路参数和结构决定。变化规律由电路参数和结构决定。的通解的通解通解（自由分量，瞬态分量）通解（自由分量，瞬态分量）特解（强制分量）特解（强制分量）的特解的特解下 页上 页返 回全解全解uC (0+)=A+US= 0 A= US由初始条件由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数定积分常数 A下 页上 页从以上式子可以得出从以上式子可以得出返 回USuCuCUStiOtuCO电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：数；电容电压由两部分构成：连续连续函数函数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）瞬态分量（自由分量）瞬态分量（自由分量）下 页上 页表明+返 回响应变化的快慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定； 大，大，充电慢，充电慢， 小充电就快。小充电就快。响应与外加激励成线性关系。响应与外加激励成线性关系。能量关系：能量关系：电容储存能量电容储存能量 电源提供能量电源提供能量 电阻消耗能量电阻消耗能量 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。转换成电场能量储存在电容中。下 页上 页表明RC+-US返 回例例3-1t=0时时, ,开关开关S闭合，已知闭合，已知 uC(0)=0，求求(1)电容电容电压和电流电压和电流；(2) uC80V时的充电时间时的充电时间t 。解解(1)(1)这是一个这是一个RC电路零电路零状态响应问题，有：状态响应问题，有：(2)(2)设经过设经过t1秒秒，uC80V下 页上 页50010F+-100VS+uCi返 回2. . RL电路的零状态响应电路的零状态响应已知已知iL(0)=0，电路方程为，电路方程为tiLO下 页上 页返 回iLS(t=0)US+uRL+uLR+uLUStO下 页上 页返 回iLS(t=0)US+uRL+uLR+例例3-2t=0时时, ,开关开关S打开，求打开，求t 0后后iL、uL的变化规律。的变化规律。解解这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有电路零状态响应问题，先化简电路，有t 0下 页上 页返 回iLS+uL2HR8010A200300iL+uL2H10AReq例例3-3t=0开关开关S打开，求打开，求t 0后后iL、uL及电流源的电压。及电流源的电压。解解 这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有电路零状态响应问题，先化简电路，有下 页上 页t 0返 回iLS+uL2H102A105+uiL+uL2HUocReq+7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。加激励源作用时电路中产生的响应。以以RC电路为例，电路微分方程：电路为例，电路微分方程：1. 1. 全响应全响应全响应全响应下 页上 页解答为解答为 uC(t) = uC + uC特解特解 uC = US通解通解 = RC返 回S(t=0)US+uRC+uCRiuC (0)=U0uC (0+)=A+US=U0A=U0 - US由初始值定由初始值定A下 页上 页强制分量强制分量( (稳态解稳态解) )自由分量自由分量( (瞬态解瞬态解) )返 回2. 2. 全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式uC-USU0瞬态解瞬态解uCUS稳态解稳态解U0uC全解全解tuCO全响应全响应 = 强制分量强制分量( (稳态解稳态解) )+ +自由分量自由分量( (瞬态解瞬态解) )着眼于电路的两种工作状态着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰物理概念清晰下 页上 页返 回全响应全响应 = = 零状态响应零状态响应 + + 零输入响应零输入响应着眼于因果关系着眼于因果关系便于叠加计算便于叠加计算下 页上 页零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应S(t=0)USC+RuC (0)=U0返 回S(t=0)USC+RuC (0)=0+S(t=0)USC+RuC (0)=U0零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuCOUS零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0下 页上 页返 回例例4-1t=0 时时 , ,开关开关S打开，求打开，求t 0后的后的iL、uL。解解 这是这是RL电路全响应问题，电路全响应问题，有有零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：全响应：全响应：下 页上 页返 回iLS(t=0)+24V0.6H4+-uL8或求出稳态分量或求出稳态分量全响应全响应代入初值有代入初值有62AA=4例例4-2t=0时时 , ,开关开关S闭合闭合，求求t 0后的后的iC、uC及电及电流源两端的电压流源两端的电压（uC(0)=1V，C=1F）。解解这是这是RC电路全响电路全响应问题，有应问题，有下 页上 页稳态分量：稳态分量：返 回+10V1A1+uC1+u1下 页上 页全响应：全响应：返 回+10V1A1+uC1+u13. 3. 三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：令令 t = 0+其解答一般形式为：其解答一般形式为：下 页上 页特特解解返 回 分析一阶电路问题转为求解电路的三分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。个要素的问题。用用0+等效电路求解等效电路求解用用t的的稳态稳态电路求解电路求解下 页上 页直流激励时：直流激励时：A注意返 回例例4-3已知：已知：t=0 时合开关，求换路后的时合开关，求换路后的uC(t)。解解tuC2(V)0.667O下 页上 页1A213F+-uC返 回例例4-4t =0时时 , ,开关闭合，求开关闭合，求t 0后的后的iL、i1、i2。解法解法1三要素为三要素为下 页上 页三要素公式三要素公式返 回iL+20V0.5H55+10Vi2i1下 页上 页返 回iL+20V0.5H55+10Vi2i1三要素为三要素为下 页上 页返 回0等效电路等效电路+20V2A55+10Vi2i1解法解法2例例4-5已知：已知：t=0时开关由时开关由12，求换路后的求换路后的uC(t)。解解三要素为三要素为下 页上 页4+4i12i1u+2A410.1F+uC+4i12i18V+12返 回下 页上 页例例4-6已知：已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。解解三要素为三要素为返 回+1H0.25F52S10Vi下 页上 页返 回+1H0.25F52S10Vi已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能t = 0 时合时合S1 , t =0.2s时合时合S2 ，求两次换路后的电感电流，求两次换路后的电感电流i(t)。0 t 0.2s下 页上 页返 回i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-(0 t 0.2s)下 页上 页it / s0.25/A1.262O返 回7-5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0 i(0+)=0已知：已知：1. 1. 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：以电容电压为变量：电路方程：电路方程：以电感电流为变量：以电感电流为变量：下 页上 页返 回RLC+-iuC特征方程：特征方程：电路方程：电路方程：以电容电压为变量时的以电容电压为变量时的初始条件：初始条件：uC(0+)=U0i(0+)=0以电感电流为变量时的以电感电流为变量时的初始条件：初始条件：i(0+)=0uC(0+)=U0下 页上 页返 回2. 2. 零状态响应的三种情况零状态响应的三种情况过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼特征根：特征根：下 页上 页返 回下 页上 页返 回U0tuC设设 |p2|p1|下 页上 页O电容电压电容电压返 回t=0+ iC=0 , t= iC=0iC0 t = tm 时时iC 最大最大tmiC下 页上 页tU0uCO电容和电感电流电容和电感电流返 回U0uCtm2tmuLiC0 t 0，t tm i 减小减小, uL 0t=2 tm时时 uL 最大最大下 页上 页tO电感电压电感电压返 回RLC+-iC=i 为极值时，即为极值时，即 uL=0 时的时的 tm 计算如下计算如下:由由 duL/dt 可确定可确定 uL 为极小时的为极小时的 t 。下 页上 页返 回能量转换关系能量转换关系0 t tm uC减小减小 ，i 减小减小。下 页上 页tU0uCtm2tmuLiCO返 回RLC+-RLC+-uC 的解答形式：的解答形式：经常写为：经常写为：下 页上 页共轭复根共轭复根返 回0下 页上 页，的的关系关系返 回t=0 时时 uC=U0uC =0：t = ，2 . n t22OU0uC下 页上 页返 回t22OU0uC iC uL=0：t = ，+，2+ . n+iC=0：t =0，2 . n ，为为 uC极值点，极值点，iC 的极值点为的极值点为 uL 零点零点。下 页上 页返 回能量转换关系：能量转换关系：0 t t - t 0+电路的微分方程。电路的微分方程。求通解。求通解。求特解。求特解。全响应全响应= =强制分量强制分量+ +自由分量。自由分量。上 页返 回上 页由初始值由初始值 。7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应1. 1. 单位阶跃函数单位阶跃函数l 定义定义t (t)O1l 单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟t (t-t0)t0O1下 页上 页返 回t = 0 合闸合闸 i(t) = IS(t)在电路中模拟开关的动作。在电路中模拟开关的动作。t = 0 合闸合闸 u(t) = US(t)l 单位阶跃函数的作用单位阶跃函数的作用下 页上 页SUSu(t)u(t)返 回ISSu(t)起始一个函数起始一个函数tf (t)Ot0延迟一个函数延迟一个函数下 页上 页tf(t)Ot0返 回l 用单位阶跃函数表示复杂的信号用单位阶跃函数表示复杂的信号例例7- 1(t)tf(t)1O1t0tf(t)Ot0- (t-t0)例例7- 21t1 f(t)O243下 页上 页返 回解解解解例例7-41t1 f(t)O例例7- 31t1 f(t)O243下 页上 页返 回解解解解例例7-5t1 O2已知电压已知电压u(t)的波形如图，的波形如图，试画出下列电压的波形。试画出下列电压的波形。t1 u(t)O22t1 O11t 1 O1 t1O21下 页上 页返 回解解和和的区别。的区别。2. 2. 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。中产生的零状态响应。阶跃响应阶跃响应下 页上 页iC +uCRuC (0)=0注意返 回tO1itOi下 页上 页tuC1O返 回tiCO激励在激励在 t = t0 时加入，时加入，则响应从则响应从t =t0开始。开始。t- t0( t - t0 )- t不要写为不要写为下 页上 页iC (t -t0)C +uCRt0注意返 回求图示电路中电流求图示电路中电流 iC(t)。例例7-6下 页上 页10k10kuS+-iS100FuC(0)=00.510t/suS/VO5k0.5uS+-iC100FuC(0)=0等效等效返 回解解应用叠加定理应用叠加定理下 页上 页5k+-iC100F5+-iC100F阶跃响应为阶跃响应为返 回5k+-iC100F由齐次性和叠加性得实际响应为由齐次性和叠加性得实际响应为下 页上 页返 回5k+-iC100F5+-iC100F下 页上 页分段表示为分段表示为返 回分段表示为分段表示为t/siC/mAO1-0.6320.5波形波形0.368下 页上 页返 回2. 2. 二阶电路的阶跃响应二阶电路的阶跃响应下 页上 页对电对电路路应应用用KCL列列结结点点电电流方程有流方程有已知图示电路中已知图示电路中uC(0-)=0, , iL(0-)=0，求单求单位阶跃响应位阶跃响应 iL(t)。例例7-7解解返 回iS=0.25H0.22FiRiLiC0.5iC下 页上 页代入已知参数并整理得：代入已知参数并整理得：这这是一个关于是一个关于的二的二阶线阶线性非性非齐齐次方程，其解次方程，其解为为特解特解特征方程特征方程通解通解解得特征根解得特征根返 回下 页上 页代代初始条件初始条件阶跃阶跃响响应应电电路的路的动态过动态过程是程是过过阻尼性阻尼性质质的。的。返 回7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应1. 1. 单位冲激函数单位冲激函数l 定义定义t(t)1O单位脉冲函单位脉冲函数的极限数的极限下 页上 页返 回 / 21/ tp(t)- / 2Ol 单位冲激函数的延迟单位冲激函数的延迟t (t-t0)t0O（1）l 单位冲激函数的性质单位冲激函数的性质冲激函数对时间的积分等于阶跃函数冲激函数对时间的积分等于阶跃函数下 页上 页返 回冲激函数的冲激函数的“筛分性筛分性” 同理同理例例t(t)1Of(t)f(0) f(t)在在 t0 处连续处连续f(0)(t)注意下 页上 页返 回uC不是冲激函数不是冲激函数 , , 否则否则KCL不成立。不成立。分两个时间段考虑冲激响应分两个时间段考虑冲激响应电容充电，方程为电容充电，方程为(1) t 在在 0 0+间间例例8-12. 2. 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中产激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。生的零状态响应。冲激响应冲激响应求求单单位冲激位冲激电电流激励下的流激励下的RC电电路的零状路的零状态态响响应应。解解注意下 页上 页返 回uC(0)=0iCR(t)C+-uC电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。0结论(2) t 0 为零输入响应（为零输入响应（RC放电）放电）iCRC+uC下 页上 页返 回uCtOiCt1O下 页上 页返 回例例8-2求求单单位冲激位冲激电压电压激励下的激励下的RL电电路的零状路的零状态态响响应应。分两个时间段考虑冲激响应分两个时间段考虑冲激响应解解iL不是冲激函数不是冲激函数 , , 否则否则KVL不成立。不成立。注意0下 页上 页返 回(1) t 在在 0 0+间间方程为方程为L+-iLR+-uL电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。结论(2) t 0 RL放电放电下 页上 页返 回LiLR+-uLiLtOuLt1O下 页上 页返 回零状态零状态R(t)3. 3. 单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应单位阶跃响应单位冲激响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激单位冲激 (t)单位阶跃单位阶跃 (t)激励激励响应响应下 页上 页返 回先求单位阶跃响应：先求单位阶跃响应：求求: :iS (t)为单位冲激时电路响应为单位冲激时电路响应uC(t)和和iC (t)。例例8-3解解uC(0+)=0 uC()=R = RC iC(0+)=1 iC()=0 再求单位冲激响应再求单位冲激响应, ,令：令：下 页上 页返 回令令uC(0)=0iCRiS(t)C+-uC0下 页上 页返 回uCRtOiC1tOuCtO冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应iCt1O下 页上 页返 回有限值有限值有限值有限值KVL方程为方程为例例8-44. 4. 二阶电路的冲激响应二阶电路的冲激响应求求单单位冲激位冲激电压电压激励下的激励下的RLC电电路的零状路的零状态态响响应应。解解t 在在0至至0间间下 页上 页返 回RLC+-+-uCiR (t)下 页上 页t0为零输入响应为零输入响应返 回下 页上 页返 回*7-9 卷积积分卷积积分1.1.卷积积分卷积积分l定义定义设函数设函数 f1(t) 、 f2(t) t t0后电路的全部性状后电路的全部性状(响应响应)。状态变量状态变量 X(t)激激 励励 e(t) (tt0) Y(t) (tt0) 响应响应注意这里讲的为数最少的变量必须是互相独立的。这里讲的为数最少的变量必须是互相独立的。返 回已知已知: : 求：求：解解e(0)=10V例例10-1下 页上 页返 回3LCe(t)+iLiC+-uC-uR+-同理可推广至任一时刻同理可推广至任一时刻t1由由 (1)状态变量和储能元件有关。状态变量和储能元件有关。 (2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量。有几个独立的储能元件，就有几个状态变量。 (3)状态变量的选择不唯一。状态变量的选择不唯一。求出求出下 页上 页表明返 回设设 uC、iL 为状态变量。为状态变量。整理得整理得 每一个状态方程中只含有一个状态变量的一每一个状态方程中只含有一个状态变量的一阶导数。对简单电路采用阶导数。对简单电路采用直观编写法。直观编写法。状态方程状态方程下 页上 页2. 2. 状态方程的列写状态方程的列写返 回3LCe(t)+iLiC+-uC-uR+-矩阵形式矩阵形式 联立的一阶微分方程组。联立的一阶微分方程组。 左端为状态变量的一阶导数。左端为状态变量的一阶导数。 右端含状态变量和输入量。右端含状态变量和输入量。下 页上 页特点返 回一般形式一般形式下 页上 页返 回电路的输出方程电路的输出方程代数方程。代数方程。 用状态变量和输入量表示输出量。用状态变量和输入量表示输出量。一般形式一般形式Y=CX+DV下 页上 页特点电路中某些感兴趣的量与状态电路中某些感兴趣的量与状态变量和输入量之间的关系。变量和输入量之间的关系。 返 回3LCe(t)+iLiC+-uC-uR+-下 页上 页例例10-2列出电路的状态方程。列出电路的状态方程。解解对结对结点点列出列出KCL方程方程返 回L1CuS+iS+-uC-R1R2L21212下 页上 页对对回路回路1和回路和回路2列出列出KVL方程方程把以上方程整理成矩把以上方程整理成矩阵阵形式有形式有返 回下 页上 页若以若以结结点点、的的电压电压作作为输为输出，出，则则有有整理并写成矩整理并写成矩阵阵形式有形式有返 回1.1.动态电路微分方程的阶数与电路结构的关系动态电路微分方程的阶数与电路结构的关系 动态电路微分方程的阶数与电路中所含的独立动态电路微分方程的阶数与电路中所含的独立动态元件的个数相等。动态元件的个数相等。下 页上 页*7-11 动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题当一个网络中存在纯电容回路，由当一个网络中存在纯电容回路，由KVL可知其中可知其中必有一个电容电压可由回路中其他元件的电压求必有一个电容电压可由回路中其他元件的电压求出，此电容电压为非独立的电容电压。出，此电容电压为非独立的电容电压。例例返 回下 页上 页当网络中存在纯电感结点，由当网络中存在纯电感结点，由KCL可知其中必可知其中必有一个电感电流可由其他元件的电流求出，此有一个电感电流可由其他元件的电流求出，此电感电流是非独立的。电感电流是非独立的。网络中与独立电压源并联的电容元件，其电压网络中与独立电压源并联的电容元件，其电压uC由由uS决定。决定。网络中与独立电流源串联的电感元件，其网络中与独立电流源串联的电感元件，其iL由由iS决决定。定。返 回 以上四种情况中非独立的以上四种情况中非独立的uC和和iL不能作为状态不能作为状态变量，不含以上四种情况的网络称为常态网络。状变量，不含以上四种情况的网络称为常态网络。状态变量数等于态变量数等于C、L元件总数。含有以上四种情况元件总数。含有以上四种情况的网络称为非常态网络，网络的状态变量数小于网的网络称为非常态网络，网络的状态变量数小于网络中络中C、L元件总数，下面着重讨论常态网络。元件总数，下面着重讨论常态网络。下 页上 页CuS+-uC-R零阶零阶电路电路返 回iSRL2.2.动态电路中初始值的计算动态电路中初始值的计算下 页上 页对对于通常于通常电电路，初始路，初始值值由下面关系确定由下面关系确定在下面情况下在下面情况下 换换路后的路后的电电路有路有纯电纯电容构成的回路，或有由容构成的回路，或有由电电容和独立容和独立电压电压源构成的回路，且回路中各个源构成的回路，且回路中各个电电容上容上电压值电压值uC(0-)的代数和不等于的代数和不等于该该回路中各个回路中各个电压电压源初始源初始值值的代数和。的代数和。返 回上 页换换路后的路后的电电路有路有纯电纯电感构成的感构成的结结点（或割集）或点（或割集）或有由有由电电感和独立感和独立电电流源构成的流源构成的结结点（或割集），点（或割集），且且结结点上各点上各电电感的感的电电流流值值iL(0-)与与电电流源流源电电流的初流的初始始值值的代数和不等于零，的代数和不等于零， 在上述两种情况下，求初始值，必须遵循换路在上述两种情况下，求初始值，必须遵循换路前后电路中电荷守恒和磁通链守恒的约束关系，即前后电路中电荷守恒和磁通链守恒的约束关系，即或或 或或返 回k(0+)=k (0- )