第第5 5章章 误差理论基本知识误差理论基本知识本本章章内内容容：误误差差分分类类及及其其特特性性、算算术术平平均均值值、衡衡量量精精度度的的标标准准、误误差差传传播播定律、误差理论应用。定律、误差理论应用。5-1 测量误差概述测量误差概述1. 1. 基本概念基本概念误差的定义：误差的定义：被观测量的观测值与其真值之被观测量的观测值与其真值之差。差。真值：真值：被观测量的真实大小，属理论值。被观测量的真实大小，属理论值。三大客观条件：三大客观条件：仪器条件、观测条件、外界仪器条件、观测条件、外界条件。条件。误差产生原因误差产生原因：实践表明实践表明，由于三大客观条由于三大客观条件的存在，对同一量进行观测多次时，测量件的存在，对同一量进行观测多次时，测量结果总是存在着差异。结果总是存在着差异。5-1 测量误差概述测量误差概述1. 1. 基本概念基本概念粗差：粗差：读错、记错、测错等错误，统称粗差。读错、记错、测错等错误，统称粗差。粗差在测量中不允许出现，它不属于误差的粗差在测量中不允许出现，它不属于误差的范畴。范畴。等精度观测：等精度观测：三大客观条件相同的观测。三大客观条件相同的观测。不等精度观测：不等精度观测：三大客观条件不同的观测。三大客观条件不同的观测。 5-1 测量误差概述测量误差概述2. 2. 误差的分类误差的分类 误差按性质分为：系统误差、随机（偶误差按性质分为：系统误差、随机（偶然）误差。然）误差。2.1 2.1 系统误差系统误差 定义定义 在相同的观测条件下，对某量进行一系在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若误差出现的符号、数值的大小列的观测，若误差出现的符号、数值的大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。为系统误差。5-1 测量误差概述测量误差概述 性质性质 系统误差具有累积性。它可以通过适当系统误差具有累积性。它可以通过适当的观测方法或计算方法加以消除。的观测方法或计算方法加以消除。5-1 测量误差概述测量误差概述2.2 2.2 随机（偶然）误差随机（偶然）误差 定义定义 在相同的观测条件下，对某量进行一系在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若误差出现的大小和符号均不一列的观测，若误差出现的大小和符号均不一致，且从表面上看没有任何规律性，这种误致，且从表面上看没有任何规律性，这种误差称为随机误差。差称为随机误差。 例如，估读误差、气泡居中误差、照准例如，估读误差、气泡居中误差、照准误差等。误差等。5-1 测量误差概述测量误差概述 性质性质 随机误差表面上无规律可寻，但受其内随机误差表面上无规律可寻，但受其内部必然规律的支配。部必然规律的支配。实践表明：实践表明：对某量进行多次观测，在只含有对某量进行多次观测，在只含有随机误差的情况下，其误差出现统计学上的随机误差的情况下，其误差出现统计学上的规律性。观测次数越多，规律性越明显。规律性。观测次数越多，规律性越明显。 例如，掷硬币，出现正反面的机会，随例如，掷硬币，出现正反面的机会，随次数的增多而趋于相等。次数的增多而趋于相等。 正面反面正面反面反面正面正面反面反面5-1 测量误差概述测量误差概述 随机误差的特性随机误差的特性 有界性有界性在一定的观测条件下，随机误在一定的观测条件下，随机误差的绝对值不会超过一定限度。差的绝对值不会超过一定限度。 范围性范围性在一定的观测条件下，绝对值在一定的观测条件下，绝对值较小的随机误差出现的概率比绝对较小的随机误差出现的概率比绝对值较大的误差出现的概率大。值较大的误差出现的概率大。5-1 测量误差概述测量误差概述 对称性对称性在一定的观测条件下，绝对值相等的在一定的观测条件下，绝对值相等的正、负误差出现的概率相等。正、负误差出现的概率相等。+-+- 抵偿性抵偿性 在一定的观测条件下，同一量的等精在一定的观测条件下，同一量的等精度观测，其随机误差的算术平均值，随着度观测，其随机误差的算术平均值，随着观测次数的增多而趋于观测次数的增多而趋于0 0，即，即其中，其中， 为总和的意思，相当于为总和的意思，相当于“”5-1 测量误差概述测量误差概述+-+-3. 3. 学习误差理论知识的目的学习误差理论知识的目的 了解随机误差的特性；了解随机误差的特性； 正确处理观测值，得出最可靠结果，正确处理观测值，得出最可靠结果，衡量精度；衡量精度； 用误差理论指导实践，规划测量作业，用误差理论指导实践，规划测量作业，达到预期精度。达到预期精度。5-1 测量误差概述测量误差概述OY(k/n/d)X()1.1.算术平均值算术平均值 在等精度观测条件下，对某量进行多在等精度观测条件下，对某量进行多次观测，通常取其平均值作为最后结果，次观测，通常取其平均值作为最后结果，认为是最可靠的。例如，对某量丈量认为是最可靠的。例如，对某量丈量4 4次，次，观测值为观测值为l1，l2，l3，l4 则算术平均值为则算术平均值为5-2 观测值的算术平均值观测值的算术平均值 若观测若观测n n次，则次，则2. 2. 观测值的改正数观测值的改正数v v改正数的定义改正数的定义：观测值与算术平均值之差。：观测值与算术平均值之差。即即 5-2 观测值的算术平均值观测值的算术平均值 上式两端取和有：上式两端取和有：因因所以所以即即，观观测测值值的的改改正正数数之之和和为为0 0，它它可可以以作作为计算工作的检核。为计算工作的检核。所谓精度所谓精度，即是指误差分布的集中，即是指误差分布的集中与离散程度，误差分布集中，说与离散程度，误差分布集中，说明观测值精度好（高），误差分明观测值精度好（高），误差分布离散，说明观测值精度低。布离散，说明观测值精度低。标准有：标准有： 方差或方差或中误差、相对误差、极中误差、相对误差、极限误差限误差5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准1. 1. 方差与方差与中误差中误差 在在同同精精度度观观测测条条件件下下，对对某某量量进进行行了了n n次次观观测测，得得观观测测值值为为l1,l2,ln，设设其其真真误误差差分分别别为为1 1，2 2，n n，则则定定义该组观测值的精度为：义该组观测值的精度为：5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准方差方差其中其中1. 1. 方差与方差与中误差中误差 当当n n有有限限时时，用用均均方方差差，即即中中误误差差m m来来衡衡量精度，即菲列罗公式：量精度，即菲列罗公式：5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准1. 1. 方差与方差与中误差中误差菲列罗公式：菲列罗公式：5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准注意注意：m m代表一组观测值的精度代表一组观测值的精度。即这组观。即这组观测值中的每一个观测值都具有这样的精度，测值中的每一个观测值都具有这样的精度，或者说，同精度观测值具有相同的精度。或者说，同精度观测值具有相同的精度。 彼此并不相同彼此并不相同，这是由于随机误差的，这是由于随机误差的性质所决定的。性质所决定的。 m m的取位，要取的取位，要取2-32-3位有效数字。位有效数字。 1. 1. 方差与方差与中误差中误差例例1 1：设对某个三角形用两种不同的精度分设对某个三角形用两种不同的精度分别对它们进行别对它们进行1010次观测，求得每次观测所次观测，求得每次观测所得的三角形内角和真误差为：得的三角形内角和真误差为：第第1 1组：组： +3+3、-2-2、-4-4、+2+2、00、-4-4、+3+3、+2+2、-3-3、-1-1第第2 2组：组： 00、-1-1、-7-7、+2+2、+1+1、+1+1、-8-8、00、+3+3、-1-1试求这两组观测值的中误差，并比较精度高试求这两组观测值的中误差，并比较精度高低。低。5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准解：依据菲列罗公式得解：依据菲列罗公式得 m m1 1= =2.72.7 m m2 2= =3.63.6故故 第第1 1组观测值精度高于第组观测值精度高于第2 2组观测值精度。组观测值精度。5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准白塞尔公式白塞尔公式： 通常观测值的真值是不知道的。如某一通常观测值的真值是不知道的。如某一段距离、某一角度、某一点高程等，因此，段距离、某一角度、某一点高程等，因此，无法计算真误差无法计算真误差，因而就不能用菲列罗，因而就不能用菲列罗公式计算一组观测值的中误差。但是观测公式计算一组观测值的中误差。但是观测量的最或是值是可求的，这时可用改正数量的最或是值是可求的，这时可用改正数v v来计算中误差，即用来计算中误差，即用白塞尔公式白塞尔公式计算：计算：5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准白塞尔公式白塞尔公式： 5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准1.1.方差与方差与中误差中误差2.结论结论： 已知观测值真值时，用菲已知观测值真值时，用菲列罗公式求观测值得中误差；列罗公式求观测值得中误差； 未知观测值真值时，用白未知观测值真值时，用白塞尔公式求观测值中误差。塞尔公式求观测值中误差。5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准2. 2. 相对误差相对误差 真误差真误差与中误差与中误差m m都是绝对误差。都是绝对误差。相对误差相对误差(k)(k)： 绝对误差的绝对值与相应的测量成果之绝对误差的绝对值与相应的测量成果之比，并化成比，并化成1/N1/N形式，即形式，即5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准相对中误差相对中误差相对误差相对误差2. 2. 相对误差相对误差例例2 2：分别丈量两段距离，其结果为：分别丈量两段距离，其结果为100m100m0.02m0.02m和和200m200m0.02m0.02m，试比较其角，试比较其角度高低。度高低。解解：两者中误差分别为：两者中误差分别为 m m1 1= =0.02 0.02 ， m m2 2= =0.02m0.02m相对误差为相对误差为 5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准通过比较可知，后者较前者精度高。通过比较可知，后者较前者精度高。2. 2. 相对误差相对误差例例3 3：试比较角：试比较角2020352535251010和角和角7070204220421010精度的高低。精度的高低。解解： 因为因为 m m1 1=m=m2 2= =1010 且角度无论大小均为两方向读数之差，且角度无论大小均为两方向读数之差，故只要中误差相等，说明精度相同。故只要中误差相等，说明精度相同。 5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准2. 2. 相对误差相对误差结论结论： 经纬仪测角时，不能用相对误差的概念经纬仪测角时，不能用相对误差的概念衡量精度，相对误差用于衡量与长度、面衡量精度，相对误差用于衡量与长度、面积、体积等有关的量。积、体积等有关的量。5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准3. 3. 极限误差与容许（允许）误差极限误差与容许（允许）误差 根据根据随机误差的有界性随机误差的有界性可知，在一定的可知，在一定的观测条件下观测条件下随机误差的绝对值不会超过一随机误差的绝对值不会超过一定的限度定的限度。 中误差只能代表一组观测值的精度，而中误差只能代表一组观测值的精度，而不能代表某一个观测值的真误差大小，但不能代表某一个观测值的真误差大小，但二者之间有一定的统计学上的关系。二者之间有一定的统计学上的关系。5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准3. 3. 极限误差与容许（允许）误差极限误差与容许（允许）误差在一系列等精度观测误差中：在一系列等精度观测误差中： | |m| |m|的随机误差出现的概率为的随机误差出现的概率为30%30% |2|m| |2|m|的随机误差出现的概率为的随机误差出现的概率为5%5% |3|m| |3|m|的随机误差出现的概率为的随机误差出现的概率为0.3%0.3%5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准3. 3. 极限误差与容许（允许）误差极限误差与容许（允许）误差换言之，换言之， | |m| |m|的随机误差出现的概率为的随机误差出现的概率为70%70% |2|m| |2|m|的随机误差出现的概率为的随机误差出现的概率为95%95% |3|m| |3|m|的随机误差出现的概率为的随机误差出现的概率为99.7%99.7% 5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准3. 3. 极限误差与容许（允许）误差极限误差与容许（允许）误差 故一般认为大于故一般认为大于3m3m的随机误差是不可能的随机误差是不可能的，所以一般取的，所以一般取3m3m为随机误差的为随机误差的极限误差极限误差，即即 |极极|=3|m|=3|m|测量中，取测量中，取2m2m为为的的容许值容许值容容，即，即 |容容|=2|m|=2|m|若观测值的随机误差超过若观测值的随机误差超过2m2m，认为该值不可，认为该值不可靠（但不是错误），应舍去不用。靠（但不是错误），应舍去不用。5-3 衡量精度的标准衡量精度的标准1. 1. 误差传播定律的定义误差传播定律的定义 在实际工作中，某些未知量不能直接观在实际工作中，某些未知量不能直接观测而求得，而是需要用观测值间接求得，测而求得，而是需要用观测值间接求得，如如H HB B= =H HA A+h+h中，中，H HB B是独立观测值是独立观测值h h1 1,h,h2 2, , ,h hn n的函数，那么就需要由观测值的函数，那么就需要由观测值的中误差求出函数的中误差。的中误差求出函数的中误差。定义：定义：阐述观测值中误差与观测值函数中误阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。差之间关系的定律，称为误差传播定律。 5-4 误差传播定律误差传播定律观测值函数的中误差观测值函数的中误差 5-5 误差传播定律的应用误差传播定律的应用求函数中误差的步骤求函数中误差的步骤 根据题意，列出函数式根据题意，列出函数式 求增量，即求全微分。若为线性函数，求增量，即求全微分。若为线性函数，则可省略此步骤则可省略此步骤 应用误差传播定律求出函数中误差应用误差传播定律求出函数中误差5-5 误差传播定律的应用误差传播定律的应用例例1 1：在三角形在三角形ABCABC中，直接观测了角中，直接观测了角A A和和角角B B，其中误差分别为，其中误差分别为m mA A= =33， m mB B= =44，试求角，试求角C C的中误差的中误差m mC C 。解：解： 列函数式：列函数式： C=180C=180-A-B-A-B 求增量（此步可省略）：求增量（此步可省略）：C=-A-BC=-A-B 应用误差传播定律求应用误差传播定律求m mC CABC?mc=55-5 误差传播定律的应用误差传播定律的应用例例2 2：若题为若题为已知已知m mA A= = ，为使，为使C C角具有角具有55的精度，问的精度，问B B角需以多高的精度观测角需以多高的精度观测？分析分析：题中观测量为：题中观测量为A A、B B角，函数为角，函数为C C。ABC?5-5 误差传播定律的应用误差传播定律的应用解题：解题： 列函数式：列函数式： C=180C=180-A-B-A-B 求增量（此步可省略）：求增量（此步可省略）： 应用误差传播定律应用误差传播定律ABC?即即，B B角角需需以以不不低低于于44的的精精度度观观测测，才才能使能使C C角具有角具有55的精度。的精度。5-5 误差传播定律的应用误差传播定律的应用例例3 3：已已知知水水准准测测量量中中，每每测测站站高高差差中中误误差差均均为为m m站站，由由A A测测向向B B共共测测n n站站，求求总总高高差的中误差差的中误差AB13425-5 误差传播定律的应用误差传播定律的应用解：解： 列函数式列函数式AB1342 应用误差传播定律应用误差传播定律5-5 误差传播定律的应用误差传播定律的应用结结论论：水水准准测测量量高高差差的的中中误误差差，与与测测站站数数n n的平方根成正比。的平方根成正比。 同同距距离离丈丈量量一一样样，若若平平坦坦地地区区有有S S公公里里的水准路线，已知的水准路线，已知m mkmkm，则，则AB13425-5 误差传播定律的应用误差传播定律的应用结论结论： 水水准准测测量量高高差差的的中中误误差差与与距距离离S S的的平平方根成正比。方根成正比。AB1342例如：例如：m mkmkm= =20mm20mm，S=25kmS=25km，则，则