- 1 - 第 1 讲 平均数(一)一、知识要点 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记： 平均数=总数量总份数 总数量=平均数总份数 总份数=总数量平均数 二、精讲精练 【例题 1】 有 4 箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱 42 个，梨、橘子、桃平均每箱 36 个，苹果和桃平均每箱 37 个。一箱苹果多少个？ 【思路导航】 （1）1 箱苹果1 箱梨1 箱橘子=423=136（个） ； （2） 1 箱桃1 箱梨1 箱橘子=363=108 （个） （3） 1 箱苹果1 箱桃=372=72 （个） 由（1） （2）两个等式可知： 1 箱苹果比 1 箱桃多 126108=18（个） ，再根据等式（3）就可以算出：1 箱桃有（7418）2=28（个） ，1 箱苹果有 2818=46（个） 。 1 箱苹果和 1 箱桃共有多少个：372=74（个） 1 箱苹果比 1 箱桃多多少个：42336=18（个） 1 箱苹果有多少个：2818=46（个） 练习 1： 1.一次考试，甲、乙、丙三人平均分 91 分，乙、丙、丁三人平均分 89 分，甲、丁二人平均分 95 分。问：甲、丁各得多少分？ 2.甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重 120 千克，甲、丙、丁三人共重126 千克，丙、丁二人的平均体重是 40 千克。求四人的平均体重是多少千克？ 【例题 2】 一次数学测验，全班平均分是 91.2 分，已知女生有 21 人，平均每人 92分；男生平均每人 90.5 分。求这个班男生有多少人？ 【思路导航】女生每人比全班平均分高 9291.2=0.8（分） ，而男生每人比全班平均数学奥数培训资料 箭金学堂 - 2 - 分低 91.290.5=0.7（分） 。全体女生高出全班平均分 0.821=16.8（分） ，应补给每个男生 0.7 分，16.8 里包含有 24 个 0.7，即全班有 24 个男生。 练习 2： 1.两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳 152 下。甲组有 6 人，平均每人跳 140 下，乙组平均每人跳 160 下。乙组有多少人？ 2.有两块棉田， 平均每亩产量是 92.5 千克， 已知一块地是 5 亩， 平均每亩产量是 101.5千克；另一块田平均每亩产量是 85 千克。这块田是多少亩？ 【例题 3】 某 3 个数的平均数是 2.如果把其中一个数改为 4，平均数就变成了 3。被改的数原来是多少？ 【思路导航】原来三个数的和是 23=6，后来三个数的和是 33=9，9 比 6 多出了3.是因为把那个数改成了 4。因此，原来的数应该是 43=1。 练习 3： 1.已知九个数的平均数是72.去掉一个数之后，余下的数的平均数是 78。去掉的数是多少？ 2.有五个数，平均数是 9。如果把其中的一个数改为 1.那么这五个数的平均数为 8。这个改动的数原来是多少？ 【例题 4】 五一班同学数学考试平均成绩 91.5 分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的 98 分误作 89 分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是 91.7 分，五一班有多少名同学？ 【思路导航】98 分比 89 分多 9 分。多算 9 分就能使全班平均每人的成绩上升 91.791.5=0.2（分） 。9 里面包含有几个 0.2.五一班就有几名同学。 练习 4： 1.五（1）班有 40 人，期中数学考试，有 2 名同学去参加体育比赛而缺考，全班平均分为 92 分。缺考的两位同学补考均为 100 分，这次五（1）班同学期中考试的平均分是多少分？ 2.某班的一次测验，平均成绩是 91.3 分。复查时发现把张静的 89 分误看作 97 分计算，经重新计算，该班平均成绩是 91.1 分。问全班有多少同学？ - 3 - 【例题 5】 把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三个数的平均数是 27，后三个数的平均数是 48。中间一个数是多少？ 【思路导航】先求出五个数的和：385=190，再求出前三个数的和：273=81.后三个数的和：483=144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个数就算了两次，必然比 190 多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。 练习 5： 1.甲、乙、丙三人的平均年龄为 22 岁，如果甲、乙的平均年龄是 18 岁，乙、丙的平均年龄是 25 岁，那么乙的年龄是多少岁？ 2.下图中的内有五个数 A、B、C、D、E，内的数表示与它相连的所有中的平均数。求 C 是多少？ 课后作业 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 4 - 思考题 - 5 - 第 2 讲 平均数 二、精讲精练 【例题 1】 小明前几次数学测验的平均成绩是 84 分，这次要考 100 分，才能把平均成绩提高到 86 分。问这是他第几次测验？ 【思路导航】100 分比 86 分多 14 分，这 14 分必须填补到前几次的平均分 84 分中去，使其平均分成为 86 分。每次填补 8684=2（分） ，14 里面有 7 个 2.所以，前面已经测验了 7 次，这是第 8 次测验。 练习 1： 1.老师带着几个同学在做花，老师做了21 朵，同学平均每人做了5 朵。如果师生合起来算，正好平均每人做了7 朵。求有多少个同学在做花？ 2.一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94 分，如果数学算在内，平均每门 95 分。已知他数学得了 100 分，问这位同学一共考了多少门功课？ 【例题 2】 小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89 分，政治、数学两科平均 91.5 分，政治、英语两科平均 86 分，英语比语文多 10 分。小亮的各科成绩是多少分？ 【思路导航】因为语文、英语两科平均分 84 分，即语文英语=168 分，而英语比语文多 10 分，即英语语文=10 分，所以，语文是（16810）2=79 分，英语是 7910=89分。又因为政治、英语两科平均 86 分，所以政治是 86289=83 分；而政治、数学两科平均分 91.5 分，数学是 91.5283=100 分；最后根据五科的平均成绩是 89 分可知，自然分是 895（798983100）=94 分。 练习 2： 1.甲、乙、丙三个数的平均数是 82.甲、乙两数的平均数是 86，乙、丙两数的平均数是 77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？ 2.小华的前几次数学测验的平均成绩是 80 分，这一次得了 100 分，正好把这几次的平均分提高到 85 分。这一次是他第几次测验？ 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 6 - 【例题 3】 两地相距 360 千米，一艘汽艇顺水行全程需要 10 小时，已知这条河的水流速度为每小时 6 千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米？ 【思路导航】用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。显然，要求往返的平均速度必须先求出逆水行全程时所用的时间。因为 36010=36（千米）是顺水速度，它是汽艇的静水速度与水流速度的和，所以，此汽艇的静水速度是 366=30（千米） 。而逆水速度=静水速度水流速度，所以汽艇的逆水速度是 306=24（千米） 。逆水行全程时所用时间是 36024=15（小时） ，往返的平均速度是 3602（1015）=28.8（千米） 。 练习 3： 1.甲、乙两个码头相距 144 千米，汽船从乙码头逆水行驶 8 小时到达甲码头，已知汽船在静水中每小时行驶 21 千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小时到达乙码头？ 2.一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行 165 千米。已知客轮的静水速度是每小时 30千米，水速每小时 3 千米。现在正好是顺流而行，行全程需要几小时？ 【例题 4】 幼儿园小班的 20 个小朋友和大班的 30 个小朋友一起分饼干，小班的小朋友每人分 10 块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多 2 块。求一共分掉多少块饼干？ 【思路导航】只要知道了大、小班小朋友分得的平均数，再乘（3020）人就能求出饼干的总块数。因为大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多 2 块，30 个小朋友一共多 230=60（块） ，这 60 块平均分给 20 个小班的小朋友，每人可得 6020=3（块） 。因此， 大、 小班小朋友分得平均块数是 103=13 （块） 。 一共分掉 13 （3020） =650 （块） 。 练习 4： 1.数学兴趣小组里有4 名女生和 3 名男生，在一次数学竞赛中，女生的平均分是90分，男生的平均分比全组的平均分高2 分，全组的平均分是多少分？ 2.两组同学跳绳，第一组有25 人，平均每人跳80 下；第二组有 20 人，平均每人比两组同学跳的平均数多5 下，两组同学平均每人跳几下？ - 7 - 【例题 5】 王强从 A 地到 B 地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行12 千米。剩下的步行，每小时走 4 千米。王强行完全程的平均速度是每小时多少千米？ 【思路导航】求行完全程的平均速度，应该用全程除以行全程所用的时间。由于题中没有告诉我们 A 地到 B 地间的路程，我们可以设全程为 24 千米（也可以设其他数） ，这样，就可以算出行全程所用的时间是 1212124=4（小时） ，再用 244 就能得到行全程的平均速度是每小时 6 千米。 练习 5： 1.小明去爬山，上山时每小时行 3 千米，原路返回时每小时行 5 千米。求小明往返的平均速度。 2.运动员进行长跑训练，他在前一半路程中每分钟跑 150 米，后一半路程中每分钟跑100 米。求他在整个长跑中的平均速度。 课后作业 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 8 - 思考题 - 9 - 第 3 讲 长方形、正方形的周长 一、知识要点 同学们都知道，长方形的周长=（长宽）2.正方形的周长=边长4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。 二、精讲精练 【例题 1】 有 5 张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长 6 厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。 【思路导航】 根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图 b） ，转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来 5 个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是 184=72 厘米。 练习 1: 1.下图由 8 个边长都是 2 厘米的正方形组成，求这个图形的周长。 2.下图由 1 个正方形和 2 个长方形组成，求这个图形的周长。 【例题 2】 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去 4 厘米，截掉的面积为 192 平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？ 【思路导航】 把截掉的 192 平方厘米分成 A、B、C数学奥数培训资料 箭金学堂 - 10 - 三块（如图） ，其中 AB 的面积是 19244=176（平方厘米） 。把 A 和 B 移到一起拼成一个宽 4 厘米的长方形， 而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。1764=44（厘米） ，现在这块木板的周长是442=88 （厘米） 。 练习 2： 1.有一个长方形，如果长减少4 米，宽减少 2 米，面积就比原来减少44 平方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。 2.有两个相同的长方形，长是8 厘米，宽是 3 厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？ 【例题 3】 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？ 【思路导航】 从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。三条横着的线段和是（ab）2.三条竖着的线段和是 b2。所以，整个图形的周长是（ab）2b2.即 2a4b。 练习 3： 1.一个长 12 厘米，宽 2 厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图（1）所示长方形，求所拼长方形的周长。 2.求下面图形（图2）的周长（单位：厘米） 。 【例题 4】 下图是边长为 4 厘米的正方形， 求正方形中阴影部分的周长。 【思路导航】 我们把阴影部分周长中左边的 5 条线段全部平移到左边，其和正好是 4 厘米。再把下面的线段全部平移到下面，其和也正好是 4 厘米。图（1） 图（2） - 11 - 因此，阴影部分的周长与边长是 4 厘米的正方形的周长是相等的。 练习 4： 1.求下面图形的周长（单位：厘米） 。 2.在（ ）里填上“” 、 “”或“=” 。甲的周长（ ）乙的周长 3.下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。 【例题 5】 如下图， 阴影部分是正方形， DF=6 厘米， AB=9 厘米，求最大的长方形的周长。 【思路导航】根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。因为 BC=EF，CF=DE，所以，ABBCCF=ABFEED=96=15（厘米） ，这正好是最大长方形周长的一半。因此，最大长方形的周长是（96）2=30（厘米） 。 练习 5： 1.下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的周长发生了什么变化？（单位：厘米） 2.下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5 厘米，零件长 35 厘米，高 30 厘米。这个零件的周长是多少厘米？ 3.有两个相同的长方形，长 7 厘米，宽 3 厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周长。 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 12 - 课后作业 思考题 - 13 - 第 4 讲 长方形、正方形的面积 一、知识要点 长方形的面积=长宽，正方形的面积=边长边长。掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。 但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补” 、“平移” 、 “旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。 二、精讲精练 【例题 1】 已知大正方形比小正方形边长多 2 厘米，大正方形比小正方形的面积大40 平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？ 【思路导航】从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的 40 平方厘米，可以分成三部分，其中 A 和 B 的面积相等。因此，用 40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以 2 就能得到长方形 A 和 B 的面积，再用 A 或 B 的面积除以 2 就是小正方形的边长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。 练习 1： 1.有一块长方形草地，长 20 米，宽 15 米。在它的四周向外筑一条宽 2 米的小路，求小路的面积。 2.正方形的一组对边增加 30 厘米，另一组对边减少 18 厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米？ 【例题 2】 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形， 其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。 【思路导航】因为 AECE=6，DEEB=35，把两个式子相乘 AECEDEEB=356，而 CEEB=14，所以 AEDE=35614=15。 练习 2： 1.下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是 24 平方厘米、30 平方厘米和 32 平方厘米，求阴影部分的面积。 2.下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示（单位：平数学奥数培训资料 箭金学堂 - 14 - 方厘米） ，求 A 和 B 的面积。 3.下图中阴影部分是边长 5 厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是 8 厘米，求整个图形的面积。 【例题 3】 把 20 分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差 40 平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？ 【思路导航】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。 两个正方形的面积差 40 平方分米就是图中的 A 和 B 两部分，如图。如果把 B 移到原来小正方形的上面，不难看出，A 和 B 正好组成一个长方形，此长方形的面积是 40 平方分米，长 20 分米，宽是 4020=2（分米） ，即大、小两个正方形的边长相差 2 分米。因此，大正方形的边长就是（20+2）2=11（分米） ，面积是 1111=121（平方分米） 。 练习 3： 1.一块正方形，一边划出1.5 米，另一边划出10 米搞绿化，剩下的面积比原来减少了 1350 平方米。这块地原来的面积是多少平方米？ 2.一个正方形，如果它的边长增加5 厘米，那么，面积就比原来增加95平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？ 3.有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80 平方米。求草坪的面积。 【例题 4】 有一个正方形 ABCD 如下图，请把这个正方形的面积扩大 1 倍，并画出来。 【思路导航】由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边长或面积。我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。以正方形的四条边为准，分别作出4 个等腰直角三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方形面积的2 倍。 练习 4： - 15 - 1.四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面积分别是 49 平方米和 4 平方米，求其中一个长方形的宽。 2.正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且 28 条边的长都相等。如果此图的周长是 56 厘米，那么，这个图形的面积是多少？ 3.正图中，正方形 ABCD 的边长 4 厘米，求长方形 EFGD 的面积。 【例题 5】 有一个周长是 72 厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的。一个正方形的面积是多少平方厘米？ 【思路导航】 三个同样大小的正方形拼成的长方形， 它的周长是原正方形边长的 8 倍，正方形的边长为 728=9（厘米） ，一个正方形的面积就是 99=81（平方厘米） 。 练习 5：1.五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是 36 厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米？ 2.有一张长方形纸，长 12 厘米，宽 10 厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？ 3.有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形 ABCD（如下图） ，已知大长方形的面积是 35 平方厘米， 且周长比原来小长方形的周长多 10 厘米。求原来小长方形的面积。 课后作业 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 16 - 思考题 - 17 - 第 5 讲 分类数图形 一、知识要点 我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确。但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。 二、精讲精练 【例题 1】 下面图形中有多少个正方形？ 【思路导航】图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有 63=18 个，22 的正方形有 52=10 个，33 的正方形有 41=4 个。因此图中共有 18104=32 个正方形。 练习 1： 1.下图中共有多少个正方形？ 2.下图中共有多少个正方形？ 3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？ 【例题 2】 下图中共有多少个三角形？ 【思路导航】为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。 （1）图中共有 6 个小三角形； （2）由两个小三角形组合的三角形有 3 个； （3）由三个小三角形组合的三角形有 4 个； （4）由六个小三角形组合的三角形有 1 个。 所以共有 6341=14 个三角形。 练习 2： 1.下面图中共有多少个三角形？ 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 18 - 2.数一数，图中共有多少个三角形。 3.数一数，图中共有多少个三角形？ 【例题 3】 数出下图中所有三角形的个数。 【思路导航】和三角形 AFG 一样形状的三角形有 5 个；和三角形ABF 一样形状的三角形有 10 个；和三角形 ABG 一样形状的三角形有 5个； 和三角形 ABE 一样形的三角形有 5 个； 和三角形 AMD 一样形状的三角形有 5 个，共 35 个三角形。 练习 3： 数出下面图形中分别有多少个三角形。 【例题 4】 如下图，平面上有 12个点， 可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？ 【思路导航】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出： （1）最小的正方形有 6 个； （2）由 4 个小正方形组合而成的正方形有 2 个； （3）中间还可围成 2 个正方形。 所以共有 622=10 个。 练习 4： - 19 - 1.下图中共有 8 个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？ 2.下图中共有 6 个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形？ 3.下图中共有 9 个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多少个梯形？ 【例题 5】 数一数，下图中共有多少个三角形？ 【思路导航】我们可以分类来数： 1.单一的小三角形有 16 个；2.两个小三角形组合的有 10 个； 3.四个小三角形组合的有 8 个；4.八个小三角形组合的有 2 个。 所以，图中一共有 161082=36 个三角形。 练习 5： 1.图中共有（ ）个三角形。 2.图中共有（ ）个三角形。 3.图中共有（ ）个正方形。 课后作业 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 20 - 思考题 - 21 - 第 6 讲 尾数和余数 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数； 除法中， 被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题 1】 写出除 213 后余 3 的全部两位数。 【思路导航】因为 213=2103.把 210 分解质因数：210=2357，所以，符号题目要求的两位数有 25=10，27=14，35=15，37=21.57=35，235=30，237=42.一共有 7 个两位数。 练习 1： 1.写出除 109 后余 4 的全部两位数。 2.178 除以一个两位数后余数是3.适合条件的两位数有哪些？ 【例题 2】 （1）125125125125100 个 25积的尾数是几？ （2） （2126）（2126）（2126）100 个（2126）积的尾数是几？ 【思路导航】 （1）因为个位 5 乘 5，积的个位仍然是 5，所以不管多少个 125 相乘，个位还是 5； （2）每个括号里 21 乘 26 积的个位是 6，我们只要分析 100 个 6 相乘，积的尾数是几就行了。因为个位 6 乘 6，积的个位仍然是 6，所以不管多少个（2126）连乘，积的个位还是 6。 练习 2： 1.2121212150 个 21积的尾数是几？ 2.1.51.51.51.5200个 1.5积的尾数是几？ 3.（1263）（1263）（1263）（1263）1000 个（1263）积的尾数是几？ 【例题 3】 （1）444450 个 4积的个位数是几？ （2）999951 个 9积的个位数是几？ 【思路导航】 （1）我们先列举前几个 4 的积，看看个位数在怎样变化，1 个 4 个位就数学奥数培训资料 箭金学堂 - 22 - 是 4；44 的个位是 6；444 的个位是 4；4444 的个位是 6由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。502=25 没有余数，说明 50 个 4 相乘，积的个位是 6。 （2）用上面的方法可以发现，51 个 9 相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，512=251.余数是 1.说明 51 个 9 本乘积的个位是 9。 练习 3： 1.242424242001个 24，积的尾数是多少？ 2.1239899，积的尾数是多少？ 3.94949494102 个 94494949101 个 49，差的个位是多少？ 【例题 4】 把 1/7 化成小数，那么小数点后面第 100 位上的数字是多少？ 【思路导航】因为 1/70.142857142857，化成的小数是一个无限循环小数，循环节“142857”共有 6 个数字。由于 1006=164，所以，小数点后面的第 100 位是第17 个循环节的第 4 个数字，是 8。 练习 4： 1.把 1/11 化成小数，求小数点后面第2001 位上的数字。 2.5/7 写成循环小数后，小数点后第50 个数字是几？ 3.有一串数：5、8、13、21、34、55、89，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000 个数被 3 除后所得的余数是多少？ 【例题 5】 555552001 个 513.当商是整数时，余数是几？ 【思路导航】如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。 - 23 - 从竖式中可以看出，余数是按 3、9、4、6、0、5 这六个数字不断重复出现。20016=3333.所以，当商是整数时，余数是 4。 练习 5： 1.44446100 个 4，当商是整数时，余数是几？ 2.当商是整数时，余数各是几？ （1）66664100 个 6 （2）444474200 个 4 （3）88887200 个 8 课后作业 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 24 - 思考题 - 25 - 第 7 讲 一般应用题（一） 一、知识要点 一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法） ；也可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法） 。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。 二、精讲精练 【例题 1】 五年级有六个班，每班人数相等。从每班选16 人参加少先队活动，剩下的同学相当于原来 4 个班的人数。原来每班多少人？ 【思路导航】从每班选 16 人参加少先队活动，6 个班共选 166=96（人） 。剩下的同学相当于原来 4 个班的人数，那么，96 人就相当于原来（64）个班人人数，所以，原来每班 962=48（人） 。 练习 1： 1.五个同学有同样多的存款，若每人拿出16 元捐给“希望工程”后，五位同学剩下的钱正好等于原来3 人的存款数。原来每人存款多少？ 2.把一堆货物平均分给6 个小组运，当每个小组都运了68 箱时，正好运走了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱？ 3.老师把一批树苗平均分给四个小队栽，当每队栽了6 棵时，发现剩下的树苗正好是原来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少棵？ 【例题 2】 某车间按计划每天应加工 50 个零件，实际每天加工 56 个零件。这样，不仅提前 3 天完成原计划加工零件的任务，而且还多加工了 120 个零件。这个车间实际加工了多少个零件？ 【思路导航】如果按原计划的天数加工，加工的零件就会比原计划多 563120=288（个） 。为什么会多加工 288 个呢？是因为每天多加工了 5650=6（个） 。因此，原计划加工的天数是 2886=48（天） ，实际加工了 5048120=1520（个）零件。 练习 2： 1.汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行 40 千米，实际每小时多行了 10 千米，这样数学奥数培训资料 箭金学堂 - 26 - 比原计划提前 2 小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米？ 2.小明骑车上学，原计划每分钟行 200 米，正好准时到达学校，有一天因下雨，他每分钟只能行 120 米，结果迟到了 5 分钟。他家离学校有多远？ 3.加工一批零件，原计划每天加工 80 个，正好按期完成任务。由于改进了生产技术，实际每天加工 100 个，这样，不仅提前 4 天完成加工任务，而且还多加工了 100 个。他们实际加工零件多少个？ 【例题 3】 甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工 6 个零件，乙中途停了 15 天没有加工。40 天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。这时两人各加工了多少个零件？ 【思路导航】甲工作了 40 天，而乙停止了 15 天没有加工，乙只加工了 25 天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲 20 天加工的零件和乙 25 天加工的零件同样多。由于甲每天比乙多加工 6 个，20 天一共多加工 620=120（个） 。这 120 个零件相当于乙25-20=5 （天） 加工的个数， 乙每天加工 120 （25-20） =24 （个） 。 乙一共加工了 2425=600（个） ，甲一共加工了 6002=1200（个） 练习 3： 1.甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10 个。途中乙因事休息了5 天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2 倍，这时两人各加工帽子多少个？ 2.甲、乙两车同时从 A、B 两地相对开出，甲车每小时比乙车多行 20 千米。途中乙因修车用了 2 小时，6 小时后甲车到达两地中点，而乙车才行了甲车所行路程的一半。A、B两地相距多少千米？ 3.甲、乙两人承包一项工程，共得工资 1120 元。已知甲工作了 10 天，乙工作了 12天，且甲 5 天的工资和乙 4 天的工资同样多。求甲、乙每天各分得工资多少元？ 【例题 4】 服装厂要加工一批上衣，原计划 20 天完成任务。实际每天比计划多加工60 件，照这样做了 15 天，就超过原计划件数 350 件。原计划加工上衣多少件？ 【思路导航】 由于每天比计划多加工60件， 15天就比原计划的15天多加工6015=900（件） ，这时已超过计划件数 350 件，900 件中去掉这 350 件，剩下的件数就是原计划（2015）天中的工作量。所以，原计划每天加工上衣（ 900350）（2015）=110（件） ，原计划加工 11020=2200（件） 。 练习 4： - 27 - 1.用汽车运一堆煤，原计划 8 小时运完。实际每小时比原计划多运 1.5 吨，这样运了6 小时就比原计划多运了 3 吨。原计划 8 小时运多少吨煤？ 2.汽车从甲地开往乙地，原计划 10 小时到达。实际每小时比原计划多行 15 千米，行了 8 小时后，发现已超过乙 20 千米。甲、乙两地相距多少千米？ 【例题 5】 王师傅原计划每天做 60 个零件，实际每天比原计划多做 20 个，结果提前5 在完成任务。王师傅一共做了多少个零件？ 【思路导航】按实际做法再做 5 天，就会超产（6020）5=400（个） 。为什么会超产 400 个呢？是因为每天多生产了 20 个，400 里面有几个 20，就是原计划生产几天。40020=20（天） ，因此，王师傅一共做了 6020=1200（个）零件。 练习 5： 1.食堂准备了一批煤，原计划每天烧 0.8 吨，实际每天比原计划节约了 0.1 吨，这样比原计划多烧了 2 天。这批煤一共有多少吨？ 2.造纸厂生产一批纸，计划每天生产 13.5 吨，实际每天比原计划多生产 1.5 吨，结果提前 2.5 天完成了任务。实际用了多少天？ 课后作业 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 28 - 思考题 - 29 - 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 30 - 第 8 讲 一般应用题（二） 一、知识要点 较复杂的一般应用题，往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起，但是，再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠拢。因此，我们在解答一般应用题时要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确解答。 二、精讲精练 【例题 1】 工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子铺需要25 根，用短管子铺需要 35 根。已知这两种管子的长相差2 米，这段排水管道长多少米？ 【思路导航】因为每根长管子比每根短管子长 2 米，25 根长管子就比 25 根短管子长50 米。而这 50 米就相当于（3525）根短管子的长度。因此，每根短管子的长度就是 50（3525）=5（米） ，这段排水管道的长度应是 535=175（米） 。 练习 1： 1.生产一批零件，甲单独生产要用 6 小时，乙单独生产要用 8 小时。如果甲每小时比乙多生产 10 个零件，这批零件一共有多少个？ 2.一班的小朋友在操场上做游戏，每组 6 人。玩了一会儿，他们觉得每组人数太少便重新分组，正好每组 9 人，这样比原来减少了 2 组。参加游戏的小朋友一共有多少人？ 3.甲、乙二人同时从 A 地到 B 地，甲经过 10 小时到达了 B 地，比乙多用了 4 小时。已知二人的速度差是每小时 5 千米，求甲、乙二人每小时各行多少千米？ 【例题 2】 甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、乙都比丙多拿24 千克。结帐时，甲和乙都要付给丙24 元，每千克苹果多少元？ 【思路导航】三人拿同样多的钱买苹果应该分得同样多的苹果。 2423=16（千克） ，也就是丙少拿 16 千克苹果，所以得到 242=48 元。每千克苹果是 4816=3（元） 。 练习 2： 1.甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了13 支，乙拿了 7支，因此，甲又给了乙6 角钱。每支铅笔多少钱？ 2.春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6 个面包，中午发现小红没有带食品，结果 - 31 - 三人平均分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各 2.2 元钱。每个面包多少元？ 【例题 3】 甲城有 177 吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是 5 吨，小卡车的载重量是 2 吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是 10 升和 5 升。用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？ 【思路导航】大汽车一次运 5 吨，耗油 10 升，平均运 1 吨货耗油 105=2（升） ；小汽车一次运 2 吨，耗油 5 升，平均运 1 吨货耗油 52=2.5（升） 。显然，为耗油量最少应该尽可能用大卡车。1775=35（辆）2 吨，余下的 2 吨正好用小卡车运。因此，用35 辆大汽车和 1 辆小汽车运耗油量最少。 练习 3： 1.五名选手在一次数学竞赛中共得404 分，每人得分互不相同，并且都是整数。如果最高分是 90 分，那么得分最少的选手至少得多少分？ 2.用 1 元钱买 4 分、8 分、1 角的邮票共 15 张，那么最多可以买 1 角的邮票多少张？ 【例题 4】 有一栋居民楼，每家都订 2 份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中北京日报 34 份，江海晚报 30 份，电视报 22 份。那么订江海晚报和电视报的共有多少家？ 【思路导航】这栋楼共订报纸 34+30+22=86（份） ，因为每家都订 2 份不同的报纸，所以一共有 862=43 家。在这 43 家居民中，有 34 家订了北京日报，剩下的 9 家居民一定是订了江海晚报和电视报。 练习 4： 1.五（1）班全体同学每人带2 个不同的水果去慰问解放军叔叔，全班共带了三种水果，其中苹果40 个，梨 32 个，桔子 26 个。那么，带梨和桔子的有多少个同学？ 2.在一次庆祝 “六一” 儿童节活动中， 一个方队的同学每人手里都拿两种颜色的气球，共有红、黄、绿三种颜色。其中红色有56 只，黄色的有 60 只，绿色的有 46 只。那么，手拿红、绿两种气球的有多少个同学？ 【例题 5】 一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已进水 800桶。一台抽水机每分钟抽水 18 桶，另一台每分钟抽水 14 桶，50 分钟把水抽完。每分钟进水多少桶？ 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 32 - 【思路导航】50 分钟内，两台抽水机一共能抽水（1814）50=1600（桶） 。1600桶水中，有 800 桶是开始抽之前就漏进的，另 800 桶是 50 分钟又漏进的，因此，每分钟漏进水 80050=16（桶） 。 练习 5： 1.一个水池能装8 吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。两管齐开，20 分钟能把一池水放完。已知进水管每分钟往池里进水 0.8 吨，求出水管每分钟放水多少吨？ 2.某工地原有水泥 120 吨。因工程需要，又派 5 辆卡车往工地送水泥，平均每辆卡车每天送 25 吨，3 天后工地上共有水泥 101 吨。这个工地平均每天用水泥多少吨？ 课后作业 - 33 - 思考题 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 34 - 第 9 讲 一般应用题（三） 一、知识要点 解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行： 1.弄清题意，找出已知条件和所求问题； 2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径； 3.拟定解答计划，列出算式，算出得数； 4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。 二、精讲精练 【例题 1】 甲、 乙两工人生产同样的零件， 原计划每天共生产 700 个。由于改进技术，甲每天多生产 100 个，乙的日产量提高了 1 倍，这样二人一天共生产 1020 个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？ 【思路导航】二人实际每天比原计划多生产 1020700=320（个） 。这 320 个零件中，有 100 个是甲多生产的，那么 320100=220（个）就是乙日产量的 1 倍，即乙原来的日产量，甲原来每天生产 700220=480（个） 。 练习 1： 1.工厂里有 2 个锅炉，原来每月烧煤5.6 吨。进行技术改造后，1 号锅炉每月节约1吨煤，2 号锅炉每月烧煤量减少了一半，现在每月共烧煤3.5 吨。原来两个锅炉每月各烧煤多少吨？ 2.甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产80 个。由于更换了机器，甲每天多做 40 个，乙每天生产的是原来的4 倍，这样二人一天共生产零件300 个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？ 3.甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖 100 米，实际甲队因有人请假，每天比计划少挖 15 米，而乙队由于增加了人，每天挖的是原计划的 2 倍，这样两队每天一共挖了 150 米。求两队原计划每天各挖多少米？ 【例题 2】 把一根竹竿插入水底，竹竿湿了 40 厘米，然后将竹竿倒转过来插入水底，这时，竹竿湿的部分比它的一半长 13 厘米。求竹竿的长。 【思路导航】因为竹竿先插了一次，湿了 40 厘米，倒转过来再插一次又湿了 40 厘米，所以湿了的部分是 402=80（厘米） 。这时，湿的部分比它的一半长 13 厘米，说明竹竿的长度是（8013）2=134（厘米） 。 - 35 - 练习 2： 1.有一根铁丝，截去一半多10 厘米，剩下的部分正好做一个长8 厘米，宽 6 厘米的长方形框架。这根铁丝原来长多少厘米？ 2.有一根竹竿，两头各截去 20 厘米，剩下部分的长度比截去的 4 倍少 10 厘米。这根竹竿原来长多少厘米？ 3.两根电线一样长，第一根剪去 80 米，第二根剪去 320 米，剩下部分第一根是第二根长度的 4 倍。两根电线原来各长多少米？ 【例题 3】 将一根电线截成 15 段。一部分每段长 8 米，另一部分每段长 5 米。长 8米的总长度比长 5 米的总长度多 3 米。这根铁丝全长多少米？ 【思路导航】设这 15 段中有 X 段是 8 米长的，则有（15X）段是 5 米长的。然后根据“8 米的总长度比 5 米的总长度多 3 米”列出方程，并进行解答。 练习 3： 1.某人过一个小山坡共用了20 分钟，他上坡每分钟走80 米，下坡每分钟走102 米。上坡路比下坡路少220 米。这段小坡路全长多少米？ 2.食堂里买来 15 袋大米和面粉，每袋大米25 千克，每袋面粉10 千克。已知买回的大米比面粉多165 千克，求买回大米、面粉各多少千克？ 3.老师买回两种笔共16 支奖给三好学生，其中铅笔每支 0.4 元，圆珠笔每支 1.2 元，买圆珠笔比买铅笔共多用了 1.6 元。求买这些笔共用去多少钱？ 【例题 4】 甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去 2.5 小时改装机器，因此前 4 小时甲比乙少做 400 个零件。又同时加工 4 小时后，甲总共加工的零件反而比乙多 4200 个。甲、乙每小时各加工零件多少个？ 【思路导航】 （1）在后 4 小时内，甲一共比乙多加工了 4200+400=4600（个）零件，甲每小时比乙多加工 46004=1150 个零件。 （2）在前 4 小时内，甲实际只加工了 42.5=1.5 小时，甲 1.5 小时比乙 1.5 小时应多做 11501.5=1725 个零件，因此，1725400=2125 个零件就是乙 2.5 小时的工作量，即乙每小时加工 21252.5=850 个，甲每小时加工 8501150=2000 个。 练习 4： 1.甲、乙二人同时从 A 地去 B 地，前 3 小时，甲因修车 1 小时，因此乙邻先于甲 4 千米。又经过 3 小时，甲反而领先了乙 17 千米。求二人的速度。 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 36 - 2.师徒二人生产同一种零件，徒弟比师傅早 2 小时开工，当师傅生产了 2 小时后，发现自己比徒弟少做 20 个零件。二人又生产了 2 小时，师傅反而比徒弟多生产了 10 个。师傅每小时生产多少个零件？ 3.甲每小时生产 12 个零件，乙每小时生产 8 个零件。一次，二人同时生产同样多的零件，结果甲比乙提前 5 小时完成了任务。问：甲一共生产了多少个零件？ 【例题 5】 加工一批零件，单给甲加工需 10 小时，单给乙加工需 8 小时。已知甲每小时比乙少做 3 个零件，这批零件一共有多少个？ 【思路导航】因为甲每小时比乙少做 3 个零件，8 小时就比乙少做 38=24（个）零件， 所以， 24 个零件就是甲 （108） 小时的工作量。 甲每小时加工 24 （108） =12 （个） ，这批零件一共有 1210=120（个） 。 练习 5： 1.快、慢两车同时从甲地开往乙地，行完全程快车只用了 4 小时，而慢车用了 6.5 小时。已知快车每小时比慢车多行 25 千米。甲、乙两地相距多少千米？ 2.妈妈去买水果，她所带的钱正好能买 18 千克苹果或 25 千克的梨。已知每千克梨比每千克苹果便宜 0.7 元，妈妈一共带了多少钱？ 3.师徒二人加工零件，已知师傅 6 小时加工的零件和徒弟 8 小时加工的零件相等。如果师傅每小时比徒弟多加工 3 个零件，那么，徒弟每小时加工多少个零件？ 课后作业 - 37 - 思考题 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 38 - 第 10 讲 数 阵 一、知识要点 填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。 解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。 待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。 试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。 二、精讲精练 【例题 1】 把 5、6、7、8、9 五个数分别填入下图的五个方格里，如图 a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是 21。 【思路导航】先把五格方格中的数用字母 A、B、C、D、E 来表示，根据题意可知：ABCDE=35，AEBCED=212=42。 把两式相比较可知，E=4235=7，即中间填 7。然后再根据 59=68 便可把五个数填进方格，如图 b。 练习 1： 1.把 110 各数填入“六一”的 10 个空格里，使在同一直线上的各数的和都是 12。 2.把 19 各数填入“七一”的 9 个空格里，使在同一直线上的各数的和都是 13。 3.将 17 七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。 【例题 2】 将 110 这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是 30。 【思路导航】设中间两个圆中的数为 a、b，则两个大圆的总和是 12310ab=302.即 55ab=60，ab=5。在 110 这十个数中 14=5，23=5。 当 a 和 b 是 1 和 4 时，每个大圆上另外四个数分别是（2.6，8，9） - 39 - 和（3.5，7，10） ；当 a 和 b 是 2 和 3 时，每个大圆上另外四个数分别为（1.5，9，10）和（4，6，7，8） 。 练习 2： 1.把 18 八个数分别填入下图的内，使每个大圆上五个内数的和相等。 2.把 110 这十个数分别填入下图的内，使每个四边形顶点的内四个数的和都相等，且和最大。 3.将 18 八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是 18。 【例题 3】 将 16 这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。 【思路导航】设中间三个圆内的数是 a、b、c。因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两次，根据题意可知：123456（abc）除以 3 没有余数。123456=21.213=7 没有余数，那么 abc 的和除以 3 也应该没有余数。在 16 六个数中，只有 456 的和最大，且除以 3 没有余数，因此 a、b、c 分别为 4、5、6。 （123456456）3=12.所以有下面的填法： 练习 3： 1.将 16 六个数分别填入下图的内，使每边上的三个内数的和相等。 2.将 19 九个数分别填入下图内，使每边上四个内数的和都是17。 3.将 18 八个数分别填入下图的内，使每条安上三个数的和相等。 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 40 - 【例题 4】 将 17 分别填入下图的 7 个内，使每条线段上三个内数的和相等。 【思路导航】首先要确定中心圆内的数，设中心内的数是a，那么，三条线段上的总和是 12345672a=282a，由于三条线段上的和相等，所以（282a）除以 3 应该没有余数。由于283=91.那么 2a 除以 3 应该余 2.因此，a 可以为 1、4 或7。当 a=1 时， （2821）31=9，即每条线段上其他两数的和是9，因此，有这样的填法。 练习 4： 1.将 19 填入下图的中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。 2.将 111 这十一个数分别填进下图的里，使每条线上3 个内的数的和相等。 3.将 18 这八个数分别填入下图内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。 课后作业 - 41 - 思考题 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 42 - 第 11 讲 周期问题 一、知识要点 周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。 二、精讲精练 【例题 1】 流水线上生产小木球涂色的次序是：先 5 个红，再 4 个黄，再 3 个绿，再2 个黑，再 1 个白，然后又依次 5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白如此涂下去，到 2001 个小球该涂什么颜色？ 【思路导航】根据题意可知，小木球涂色的次序是 5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白，即54321=15 个球为一个周期， 不断循环。 因为 200115=1336， 也就是经过 133个周期还余 6 个，每个周期中第 6 个是黄的，所以第 2001 个球涂黄色。 练习 1： 1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50 面该插什么颜色？ 2.有一串珠子，按4 个红的，3 个白的，2 个黑的顺序重复排列，第160 个是什么颜色？ 3.1/7=0.142857142857，小数点后面第100 个数字是多少？ 【例题 2】 有 47 盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？ 【思路导航】 （1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这 9 盏灯看作一组，479=5（组）2（盏） ，余下的两盏是第 6 组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯； （2） 由于 479=5 （组） 2 （盏） ， 所以红灯共有 252=12 （盏） ， 占总数的 12/47；蓝灯共有 45=20（盏） ，占总数的 20/47；黄灯共有 35=15（盏） ，占总数的 15/47。 练习 2： 1.有 68 面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？ 2.黑珠和白珠共2000 颗，按规律排列着：，第2000 - 43 - 颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？ 3.在 100 米长的跑道两侧每隔 2 米站着一个同学。这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。这些同学中共有多少个女生？ 【例题 3】 2001 年 10 月 1 日是星期一，那么，2002 年 1 月 1 日是星期几？ 【思路导航】一个星期是 7 天，因此 7 天为一个周期。10 月 1 日是星期一，是第一个周期的第一天，再过 7 天即 10 月 8 日也是星期一。计算天数时为了方便，我们采用“算尾不算头”的方法，例如 10 月 8 日就用（81）7=1.没有余数说明 8 号仍是星期一。题中说从 2001 年 10 月 1 日到 2002 年 1 月 1 日，要经过 92 天，927=131.余 1 天就是从星期一往后数一天，即星期二。 练习 3： 1.2002年 1 月 1 日是星期二，2002 年的六月一日是星期几？ 2.如果今天是星期五，再过80 天是星期几？ 3.以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？ 【例题 4】 将奇数如下图排列，各列分别用 A、B、C、D、E 为代表，问：2001 所在的列以哪个字母为代表？ 【思路导航】 这列数按每 8 个数一组有规律排列着。2001 是这一列数中的第 1001 个数，10018=1251.即 2001 是这列数中第 126 组的第一个数，所以它所在的那一列是以字母 B 为代表的。 练习 4： 1.将偶数 2、4、6、8、按下图依次排列，2014 出现在哪一列？ 2.把自然数按下列规律排列，865 排在哪一列？ A B C D E 1 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 A B C D E 8 6 4 2 10 12 14 16 24 22 20 18 26 28 30 32 A B C D 1 2 3 6 5 4 7 8 9 12 11 10 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 44 - 【例题 5】 8888100 个 87，当商是整数时，余数是几？ 【思路导航】 从竖式中可以看出，被除数除以 7，每次除得的余数以 1、4、6、5、2、0 不断重复出现。我们可以用 100 除以 6，观察余数就知道所求问题了。1006=164 余数是 4 说明当商是整数时，余数是 1、4、6、5、2、0 中的第 4 个数，即 5。 练习 5： 1.4444100 个 43 当商是整数时，余数是几？ 2.4444100 个 46 当商是整数时，余数是几？ 课后作业 - 45 - 思考题 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 46 - 第 12 讲 盈亏问题 一、知识要点 盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈） ；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏） ，求物品的数量和分配对象的数量。例如：把一代饼干分给小班的小朋友，每人分 3 块，多 12 块；如果每人分 4 块，少 8 块。小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。 盈亏问题的基本数量关系是： （盈亏）两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1.两盈：两次分配都有多余；2.两不足：两次分配都不够；3.盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。 一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住： 1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差两次分得的差=参与分配对象总数； 2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差两次分得的差=参与分配对象总数； 3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和两次分得的差=参与分配对象总数。 二、精讲精练 【例题 1】 某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名学生？ 【思路导航】 （1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：女生比男生多 2 人； （2） “少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多22=4 人，这时男生为女生人数的一半，即现在女生有42=8 人。原来女生有 81=7 人，男生有 72=5 人，共有 75=12 人。 练习 1：1.学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少 10 盒，彩色粉笔增加 8 盒，两种粉笔就同样多；如果再买 10 盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的 5 倍。学校买来两种粉笔各多少盒？ 2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加 80 吨，乙堆增加 25 吨，则两堆货物一样重；苦甲、乙两堆各运走 5 吨，剩下的乙堆正好是甲堆的 3 倍。两堆货物一共有多少吨？ 【例题 2】 幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给小朋友，则少 4 个；如果每个小朋友只发给 4 个，则老师自己也能留下 4 个。有多少个小朋友？共有多少个苹果？ - 47 - 【思路导航】如果平均分给小朋友，则少 4 个，说明小朋友人数大于 4；如果每个小朋友只发给 4 个，则教师也能留下 4 个，说明每人少拿若干个，就少拿 44=8 个苹果。因为小朋友人数大于 4，所以，一定是每人少拿 1 个，有 81=8 个小朋友，有 844=36个苹果。 练习 2：1.给小朋友分梨，如果每人分 4 个，则多 9 个；如果每人分 5 个，则少 6 个。有多少个小朋友？有多少个梨？ 2.老把一些铅笔奖给三好学生。每人 5 支则多 4 支，每人 7 支则少 4 支。老师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？ 【例题 3】 幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的学生每人5 个余 10个；如果分给小班的学生每人 8 个缺 2 个。已知大班比小班多 3 人，这筐苹果有多少个？ 【思路导航】如果大班减少 3 人，则大班和小班的人数同样多。这样，大班每人 5 个就多余 3510=25 个。由于两班人数相等，小班每人多分 3 个就要多分（252）个苹果，用（252）（85）就能得到小班同学的人数是 9 人，再用 982 就求出了这筐苹果有多少个。 练习 3： 1.一些学生搬一批砖，每人搬 4 块，其中 5 人要搬两次；如果每人搬 5 块，就有两人没有砖可搬。这些学生有多少人？这批砖有多少块？ 2.老师给幼儿园小朋友分糖，每人 3 块还多 10 块；如果减少 2 个小朋友再分，每人 4块还多 7 块。原来有多少个小朋友？有多少块糖？ 【例题 4】 幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得 6 块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4 块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？ 【思路导航】这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得 6 块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可多分 4 块。说明中班的人数是小班人数的 64=1.5 倍。因此，这箱饼干分给小班的小朋友，每位小朋友可多分到 61.5=9 块，一共可分到 69=15 块饼干。 练习 4：1.老师把一批书借给甲组同学，平均每人借 4 本。如果只借给甲组的女同学，每人可借 6 本。如果只借给甲组的男生，平均每人借到几本？ 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 48 - 2.甲、乙两组同学做红花，每人做 8 朵，正好送给五年级每个同学一朵。如果把这些红花让甲组同学单独做，每人要多做 4 朵。如果把这些红花让乙组同学单独做，每人要做几朵？ 【例题 5】 全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐 9 个同学；如果增加一条船，每条船正好坐 6 个同学。这个班有多少个同学？ 【思路导航】根据题意可知：每船坐 9 人，就能减少一条船，也就是少 9 个同学；每船坐 6 人，就要增加一条船，也就是多出 6 个同学。因此，每船坐 9 人比每船坐 6 人可多坐 96=15 人，15 里面包含 5 个（96） ，说明有 5 条船。知道了有 5 条船，就可以求全班人数：9（51）=36 人。 练习 5：1.老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分得5 个；如果增加一个同学，正好每人分得4 个。这篮苹果一共有多少个？ 2.五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐 7 人；如果减少一只船，正好每只船上价 8 人。五年级共有多少人？ 课后作业 - 49 - 思考题 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 50 - 第 13 讲 长方体和正方体（一） 一、知识要点 在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点： 1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来； 2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化； 3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。 二、精讲精练 【例题 1】 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米） 【思路导航】 （1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是 1042=80（立方厘米） ，右边的长方体的体积是 10（62）2=80（立方厘米） ，整个零件的体积是802=160（立方厘米） ； （2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是（10610422）2=232（平方厘米） 。想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？ 练习 1：1.一个长 5 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体，被切去一块后（如图） ，剩下部分的表面积和体积各是多少？ 2.把一根长 2 米的长方体木料锯成 1 米长的两段，表面积增加了 2 平方分米，求这根木料原来的体积。 3.有一个长 8 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图） ，求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？ 【例题 2】 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图） ，你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米） - 51 - 【思路导航】 （1）先求出长方体的体积，856=240（立方厘米） ，由于挖去了一个孔，所以体积减少了 222=8（立方厘米） ，这个零件的体积是 2408=232（立方厘米） ； （2）长方体完整的表面积是（858665）2=236 （平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（22）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5 个 （22） 平方厘米的面， 因此，这个零件的表面积是236 224=252（平方厘米）。 练习 2：1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。 （单位：厘米） 。 2.有一个棱长是4 厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是 1 厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？ 3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图） ，那么得到的物体的体积和表面积各是多少？ 【例题 3】 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体， 拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50 平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？ 【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了 4 块正方形的面积， 每块正方形的面积是 504=12.5 （平方厘米） 。 正方体有 6 个这样的面，所以，原来正方体的表面积是 12.56=75（平方厘米） 。 练习 3：1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46 平方厘米，而长是原来长方体的2 倍。如果拼成的长方体的长是24 厘米，那么它的体积是多少立方厘米？ 2.一根长 80 厘米，宽和高都是 12 厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？ 3.把 4 块棱长都是 2 分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？ 【例题 4】 把 11 块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288 立数学奥数培训资料 箭金学堂 - 52 - 方厘米，求大长方体的表面积。 【思路导航】要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。我们用 a、b、h 分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即 h=1/4a,2a=3b 即 b=2/3a，砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由 1/6a3=288 可知，a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。 大长方体的长是 122=24 厘米，宽 12 厘米，高是 83=11 厘米，表面积就不难求了。 练习 4：1.一块小正方体的表面积是 6 平方厘米，那么，由 1000 个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？ 2.一个长方体的体积是 385 立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。 3.有 24 个正方体，每个正方体的体积都是 1 立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？用图画出来。 【例题 5】 一个长方体，前面和上面的面积之和是 209 平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？ 【思路导航】长方体的前面和上面的面积是长宽长高=长（宽高） ，由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有 209=1119=11（172） ，即长、宽、高分别为 11、17、2 厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。 练习 5：1.有一个长方体，它的前面和上面的面积和是 88 平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？ 2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是 96 立方厘米，求它的表面积。 3.一个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分别是 6 分米、4 分米、25 分米，求正方体体积。 课后作业 - 53 - 思考题 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 54 - 第 14 讲 长方体和正方体（二） 一、知识要点 在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。 解答上述问题，必须掌握这样几点： 1.将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗） ，体积不变； 2.两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和； 3.物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。 二、精讲精练 【例题 1】 有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长 40 厘米，宽 32 厘米，水面高 20 厘米；乙水箱长 30 厘米，宽 24 厘米，深 25 厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？ 【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）水面的高度。这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积：403220=25600（立方厘米） ，再除以两只水箱的底面积和：40323024=2000（平方厘米） ，就能得到后来水面的高度。 练习 1： 1.有两个水池，甲水池长 8 分米、宽 6 分米、水深 3 分米，乙水池空着，它长 6 分米、宽和高都是 4 分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？ 2.有一个长方体水箱，从面量长 40 厘米、宽 30 厘米、深 35 厘米，箱中水面高 10 厘米。放进一个棱长 20 厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？ 3.一段钢材长 15 分米，横截面面积是 1.2 平方分米。如果把它煅烧成一横截面面积是 0.1 平方分米的钢筋，求这根据钢筋的长。 【例题 2】 将表面积分别为 54 平方厘米、96 平方厘米和 150 平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗） ，求这个大正方体的体积。 【思路导航】因为正方体的六个面都相等，而 54=69=6（33） ，所以这个正方体的棱是 3 厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6（44） ，棱长是 4 厘米； - 55 - 150=6（55） ，棱长是 5 厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于它们的体积和。 练习 2： 1.有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24 平方厘米、54 平方厘米和 294 平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。 2.将表面积分别为216 平方厘米和 384 平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13 厘米，宽 7 厘米，求它的高。 【例题 3】 有一个长方体容器，从里面量长 5 分米、宽 4 分米、高 6 分米，里面注有水，水深 3 分米。如果把一块边长 2 分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？ 【思路导航】铁块的体积是 222=8（立方分米） ，把它浸入水中后，它就占了 8 立方分米的空间，因此，水上升的体积也就是 8 立方分米，用这个体积除以底面积（ 54）就能得到水上升的高度了。 练习 3： 1.有一个小金鱼缸，长4 分米、宽 3 分米、水深 2 分米。把一块假山石浸入水中后，水面上升 0.8 分米。这块假山石的体积是多少立方分米？ 2.有一个正方体容器，边长是 24 厘米，里面注满了水。有一根长 50 厘米，横截面是12 平方厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溶出多少立方厘米的水？ 【例题 4】 有一个长方体容器（如下图） ，长 30 厘米、宽 20 厘米、高 10 厘米，里面的水深 6 厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？ 【思路导航】首先求出水的体积：30206=3600（立方厘米） 。当容器竖起来以后，水流动了，但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是 2010=200 平方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。 练习 4： 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 56 - 1.有两个长方体水缸，甲缸长 3 分米，宽和高都是 2 分米；乙缸长 4 分米、宽 2 分米，里面的水深 1.5 分米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？ 2.有一块边长 2 分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体，这长方体的截面是一个长 4 厘米、宽 2 厘米的长方形，求它的长。 【例题 5】 长方体不同的三个面的面积分别为 10 平方厘米、15 平方厘米和 6 平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【思路导航】长方体不同的三个面的面积分别是长宽、长高、宽高得来的。因此，15106=（长宽高）（长宽高） ，而 15106=900=3030。所以，这个长方体的体积是 30 立方厘米。 练习 5： 1.一个长方体，不同的三个面的面积分别是25 平方厘米、18 平方厘米和 8 平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 2.一个长方体， 不同的三个面的面积分别是35 平方厘米、 21 平方厘米和 15 平方厘米，且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 课后作业 - 57 - 思考题 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 58 - 第 15 讲 长方体和正方体(三) 一、知识要点 解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。 二、精讲精练 【例题 1】 一个棱长为 6 厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2 厘米的正方体若干块，表面积增加多少厘米？ 【思路导航】 把棱长为 6 厘米的正方体锯成棱长为 2 厘米的正方体，可以按下图中的线共锯 6 次，每锯一次就增加两个 66=36 平方厘米的面，锯 6 次共增加 3626=432 平方厘米的面积。因此，锯好后表面积增加 432 平方厘米。 练习 1： 1.把 27 块棱长是 1 厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？ 2.有一个棱长是1 米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的 8 个小正方体，表面积增加多少平方米？ 3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成 4 个同样的小长方体，没有涂颜色的面积是 60 平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？ 【例题 2】 有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了 24 平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？ 【思路导航】把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面积是 242=12平方厘米，而正方体有 6 个这样的面。所以原正方体的表面积是 126=72 平方厘米。 练习 2： 1.把三个棱长都是2 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 2.有一个正方体木块，长 4 分米、宽 3 分米、高 6 分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？ - 59 - 3.有三块完全一样的长方体积木，它们的长是 8 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米，现把三块积木拱成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平方厘米？ 【例题 3】 有一个正方体，棱长是 3 分米。如果按下图把它切成棱长是 1 分米的小正方体，这些小正方体的表面积的和是多少？ 想一想：在切的过程中，每切一切，就会增加两个 33 平方分米的面，你能用这种思路来计算所求问题吗？ 练习 3： 1.用棱长是 1 厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？如果要摆一个棱长是6 厘米的正方体，需要多少个小正方体？ 2.有一个长方体，长10 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米，如果把它锯成棱长是1 厘米的小正方体，一共能锯多少个？这些小正方体的表面积和是多少？ 3.把 24 个棱长是 1 厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积至少是多少平方厘米？ 【例题 4】 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中： （1）三个面涂有红色的有几个？ （2）二个面涂有红色的有几个？ （3）一个面涂有红色的有几个？ （4）六个面都没有涂色的有几个？ 【思路导航】按题中的要求切，切成的小正方体一共有 333=27 个。 （1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有 8 个； （2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有 112=12 个； （3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有 16=6 个； （4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有 27（8126）=1 个。 练习 4： 1.把一个棱长是5 厘米的正方体的六个面涂满红色， 然后切成 1 立方厘米的小正方体，这些小正方体中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？ 2.把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上红色的小正方体共有 24 个，那么，这些小正方体一共有多少个？ 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 60 - 3.把 1 立方米的正方体木块的表面涂上颜色，然后切成 1 立方分米的小正方体，在这些小正方体中，六个面都没有涂色的有多少个？ 【例题 5】 一个长方体的长、宽、高分别是 6 厘米、5 厘米和 4 厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？ 【思路导航】这个长方体原来的表面积是（656454）2=148 平方厘米，每切割一刀，增加 2 个面。切成三个体积相等的小长方体要切 2 刀，一共增加 22=4 个面。要求表面积和最大，应该增加 4 个 65=30 平方厘米的面。所以，三个小长方体表面积和最大是 148654=268 平方厘米。 练习 5： 1.有三块完全一样的长方体木块，每块长 8 厘米、宽 5 厘米、高 3 厘米。要把它们粘成一个大的长方体，这个长方体的表面积最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？ 2.把 8 个同样大小的小正方体拼成一个大正方体，已知每个小正方体的表面积是 72平方厘米，拼成的大正方体的表面积是多少平方厘米？ 3.把一个长、宽、高分别为 7 厘米、6 厘米、5 厘米的长方体，截成两个长方体，使这两个长方体的表面积的和最大，求它们的表面积和是多少平方厘米？ 课后作业 - 61 - 思考题 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 62 - 第 16 讲 组合图形面积（一） 一、知识要点 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点： 1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。 二、精讲精练 【例题 1】 一个等腰直角三角形，最长的边是 12 厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 【思路导航】 由于此三角形中只知道最长的边是 12 厘米，所以，不能用三角形的面积公式来计算它的面积。 我们可以假设有 4 个这样的三角形，且拼成了下图正方形。显然，这个正方形的面积是1212.那么，一个三角形的面积就是 12124=36 平方厘米。 练习 1：1.求四边形 ABCD 的面积。 （单位：厘米） 2.已知正方形 ABCD 的边长是 7 厘米，求正方形 EFGH 的面积。 3.有一个梯形，它的上底是 5 厘米，下底 7 厘米。如果只把上底增加 3 厘米，那么面积就增加 4.5 平方厘米。求原来梯形的面积。 【例题 2】 正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12 厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段， 其中长的一段是短的 2 倍。 求中间长方形的面积。 【思路导航】图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可拼得一个大正方形。这两个正方形的边长分别是 12（12）=4（厘米）和 - 63 - 42=8（厘米） 。中间长方形的面积只要用总面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。即：1212（4488）=64（平方厘米） 练习 2： 1.（如下图）已知大正方形的边长是12 厘米，求中间最小正方形的面积。 2.正图长方形 ABCD 的面积是 16 平方厘米，E、F 都是所在边的中点，求三角形 AEF 的面积。 3.求下图（上右图）长方形 ABCD 的面积（单位：厘米） 。 【例题 3】 四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，已知三角形 AFH 的面积是 7 平方厘米。三角形 CDH 的面积是多少平方厘米？ 【思路导航】设大正方形的边长是 a，小正方形的边长是 b。 （1）梯形 EFAD 的面积是（a+b）b2.三角形 EFC 的面积也是（a+b）b2。所以，两者的面积相等。 （2）因为三角形 AFH 的面积=梯形 EFAD 的面积梯形 EFHD 的面积，而三角形 CDH 的面积=三角形 EFC 的面积梯形 EFHD 的面积，所以，三角形 CDH 的面积与三角形 AFH 的面积相等，也是 7 平方厘米。 练习 3： 1.图中两个正方形的边长分别是6 厘米和 4 厘米，求阴影部分的面积。 2.下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。 （单位：厘米） 3.下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？ 【例题 4】 下图中正方形的边长为 8 厘米，CE 为 20 厘米，梯形 BCDF的面积是多少平方厘米？ 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 64 - 【思路导航】要求梯形的面积，关键是要求出上底 FD 的长度。连接 FC 后就能得到一个三角形 EFC，用三角形 EBC 的面积减去三角形 FBC 的面积就能得到三角形 EFC 的面积：8202882=48 平方厘米。FD=48220=4.8 厘米，所求梯形的面积就是（4.88）82=51.2 平方厘米。 练习 4： 1.如下图，正方形ABCD 中，AB=4 厘米，EC=10 厘米，求阴影部分的面积。 2.在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（单位：厘米） 3.图中 BC=10 厘米，EC=8 厘米，且阴影部分面积比三角形 EFG 的面积大 10 平方厘米。求平行四边形的面积。 【例题 5】 图中 ABCD 是长方形，三角形 EFD 的面积比三角形 ABF 的面积大 6 平方厘米，求 ED 的长。 【思路导航】 因为三角形 EFD 的面积比三角形 ABF 的面积大 6 平方厘米，所以，三角形 BCE 的面积比长方形 ABCD 的面积大 6 平方厘米。三角形 BCE 的面积是 646=30 平方厘米，EC 的长则是 3026=10 厘米。因此，ED 的长是 104=6 厘米。 练习 5： 1.如图，平行四边形BCEF 中，BC=8 厘米，直角三角形中，AC=10 厘米，阴影部分面积比三角形 ADH 的面积大 8 平方厘米。求 AH 长多少厘米？ 2.图中三个正方形的边长分别是1 厘米、2 厘米和 3 厘米，求图中阴影部分的面积。 3.正方形的边长是2(a+b)，已知图中阴影部分 B 的面积是 7 平方厘米，求阴影部分 A和 C 的和是多少平方厘米？ - 65 - 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 66 - 第 17 讲 组合图形的面积（二） 一、知识要点 在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点： 1.两个三角形等底、等高，其面积相等； 2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系； 3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。 二、精讲精练 【例题 1】 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。 （单位：厘米） 【思路导航】按照一般解法，首先要求出梯形的面积，然后减去空白部分的面积即得所求面积。其实，只要连接 AC，显然三角形AEC 与三角形 DEC 同底等高其面积相等，这样，我们把两个阴影部分合成了一个三角形 ABC。面积是：632=9 平方厘米。 练习 1： 1.求下图中阴影部分的面积。 2.求图中阴影部分的面积。 （单位：厘米） 3.下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1 米的走道，求植草的面积。 【例题 2】 下图中，边长为 10 和 15 的两个正方体并放在一起，求三角形 ABC（阴影部分）的面积。 【思路导航】三角形 ADC 的面积是 10152=75，而三角形 ABC的高是三角形 BCD 高的 1510=1.5 倍，它们都以 BC 为边为底，所以，三角形 ABC 的面积是三角形 BCD 的 1.5 倍。阴影部分的面积是：7.5（11.5）1.5=45。 练习 2： 1.下图中，三角形 ABC 的面积是 36 平方厘米，三角形 ABE 与三角形 AEC 的面积相等， - 67 - 如果 AB=9 厘米，FB=FE，求三角形 AFE 的面积。 2.图中两个正方形的边长分别是 10 厘米和 6 厘米，求阴影部分的面积。 3.图中三角形 ABC 的面积是 36 平方厘米，AC 长 8 厘米，DE 长 3 厘米，求阴影部分的面积（ADFC 不是正方形） 。 【例题 3】 两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示） ，求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米） 【思路导航】1.因为三角形 ABD 与三角形 ACD 等底等高，所以面积相等。因此，三角形 ABO 的面积和三角形 DOC 的面积相等，也是 6 平方厘米。 2.因为三角形 BOC 的面积是三角形 DOC 面积的 2 倍，所以 BO的长度是 OD 的 2 倍， 即三角形 ABO 的面积也是三角形 AOD 的 2 倍。所以，三角形 AOD 的面积是 62=3 平方厘米。 练习 3： 1.如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4 平方厘米，求梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 2.下图的梯形 ABCD 中，下底是上底的 2 倍，E 是 AB 的中点。那么梯形 ABCD 的面积是三角形 BDE 面积的多少倍？ 3.下图梯形 ABCD 中，AD=7 厘米，BC=12 厘米，梯形高 8 厘米，求三角形 BOC 的面积比三角形 AOD 的面积大多少平方厘米？ 【例题 4】 在三角形 ABC 中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是 20 平方厘米，求三角形 ABC 的面积。 数学奥数培训资料 箭金学堂 - 68 - 【思路导航】 （1）因为 CE=3AE，所以，三角形 ADC 的面积是三角形 ADE 面积的 4 倍，是 20（13）=80 平方厘为； （2）又因为 DC=2BD，所以，三角形 ABD 的面积是三角形 ADC面积的一半，是 802=40 平方厘米。因此，三角形 ABC 的面积是8040=120 平方厘主。 练习 4： 1.把下图三角形的底边BC 四等分，在下面括号里填上“” 、 “”或“=” 。 甲的面积（ ）乙的面积。 2.如图，在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E、F 是 AC 的三等分点。已知三角形的面积是 108 平方厘米，求三角形 CDE 的面积。 3.下图中，BD=2 厘米，DE=4 厘米，EC=2 厘米，F 是 AE 的中点，三角形 ABC 的 BC 边上的高是 4 厘米，阴影面积是多少平方厘米？ 【例题 5】 边长是 9 厘米的正三角形的面积是边长为3 厘米的正三角形面积的多少倍？ 【思路导航】题中的已知条件不能计算出两种三角形的面积，我们可以用边长是 3 厘米的正三角形拼一个边长是 9 厘米的正三角形，从而看出它们之间的倍数关系。从下图中可以看出：边长9 厘米的正三角形是边长 3 厘米的正三角形面积的 9 倍。 练习 5： 1.边长是 8 厘米的正三角形的面积是边长为2 厘米的正三角形面积的多少倍？ 2.一个梯形与一个三角形等高，梯形下底的长是上底的2 倍，梯形上底的长又是三角形底长的 2 倍。这个梯形的面积是三角形面积的多少倍？