无穷小无穷小(infinitely small)无穷大无穷大(infinitely great)小结小结 思考题思考题 作业作业 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大第一章第一章 函数与极限函数与极限1 拉格朗日曾用无穷小分析的方法拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统系统地建立了动力学基础地建立了动力学基础,创立了创立了“分析力学分析力学”. 牛顿对微积分的探讨牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无可以说使用了无穷小的方法穷小的方法.的理论称为的理论称为“无穷小量分析无穷小量分析”.常常把整个变量常常把整个变量 欧拉于欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以年写的二卷名著书名冠以无穷小分析引论无穷小分析引论.即所谓无穷小量即所谓无穷小量.英国数学家、物理学家英国数学家、物理学家(16421727)牛顿牛顿拉格朗日拉格朗日意大利数学家、力学家意大利数学家、力学家(17361813)瑞士数学家瑞士数学家(1707 1783)欧拉欧拉都可以转化为一种简单而重都可以转化为一种简单而重要的变量要的变量, 数学分析的历史表明数学分析的历史表明,较复杂的变量较复杂的变量,很多变化状态比很多变化状态比无穷小与无穷大无穷小与无穷大21. 定义定义 极限为零的极限为零的变量变量称为称为无穷小量无穷小量, , 简称简称如如,无穷小是指无穷小是指函数变化的趋势函数变化的趋势.无穷小无穷小. .一、无穷小一、无穷小无穷小与无穷大无穷小与无穷大在某个过程中在某个过程中3定义定义1 1记作记作1) 无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆不能与很小很小的数混淆;2) 零是可以作为无穷小的零是可以作为无穷小的唯一的数唯一的数.注注 “无穷小量无穷小量”并不是表达量的大小并不是表达量的大小,而是表而是表达它的变化状态的达它的变化状态的.“无限制变小的量无限制变小的量”无穷小与无穷大无穷小与无穷大42. 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系证证定理定理1 1恒有恒有也即也即无穷小与无穷大无穷小与无穷大5于是于是恒有恒有即即类似可证明类似可证明 的情形的情形.定理定理1 1无穷小与无穷大无穷小与无穷大6例例无穷小与无穷大无穷小与无穷大7在同一过程中在同一过程中, 有限有限个无穷小的代数和个无穷小的代数和证证定理定理2 2仍是无穷小仍是无穷小. .3. 无穷小的运算性质无穷小的运算性质无穷小与无穷大无穷小与无穷大取取恒有恒有恒有恒有恒有恒有的两个无穷小的两个无穷小, ,8无穷多个无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷小的代数和未必是无穷小. .注注不是无穷小不是无穷小.无穷小与无穷大无穷小与无穷大9证证定理定理3 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .则当则当恒有恒有无穷小与无穷大无穷小与无穷大10 在同一过程中在同一过程中, ,有极限的变量与无穷小有极限的变量与无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个有限个无穷小的乘积也是无穷小无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小.推论推论1 1的乘积是无穷小的乘积是无穷小;推论推论2 2推论推论3 3无穷小与无穷大无穷小与无穷大11二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. .如如,是无穷大是无穷大;是无穷大是无穷大.无穷小与无穷大无穷小与无穷大12定义定义2 2记作记作特殊情形特殊情形:正无穷大正无穷大,负无穷大负无穷大 定义定义定义定义无穷小与无穷大无穷小与无穷大13(1) 无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;无穷大一定是无界函数无穷大一定是无界函数,注注(3) 无穷大与无界函数的区别无穷大与无界函数的区别:它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念.未必是某个过程的无穷大未必是某个过程的无穷大.但是无界函数但是无界函数无穷小与无穷大无穷小与无穷大14如如是无界函数是无界函数,但不是但不是无穷大无穷大.因为取因为取而取而取无穷小与无穷大无穷小与无穷大当当所以所以 f (x)不是不是无穷大无穷大! !15证证例例的的图形的图形的铅直渐近线铅直渐近线(vertical asymptote).无穷小与无穷大无穷小与无穷大结结论论16 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;证证定理定理4 4恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系此时对此时对使得当使得当17关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,意义意义无穷小的讨论无穷小的讨论.都可归结为关于都可归结为关于 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;定理定理4 4恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大无穷小与无穷大此时对此时对使得当使得当18 两个正两个正(负负)无穷大之和仍为正无穷大之和仍为正(负负)无穷大无穷大; 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; 有有非零非零极限的变量极限的变量(或无穷大或无穷大)与无穷大之与无穷大之 积仍为无穷大积仍为无穷大; 用用无零值无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大有界变量去除无穷大仍为无穷大.容易证明容易证明例例解解无穷小与无穷大无穷小与无穷大19无穷小的概念无穷小的概念;无穷小的运算无穷小的运算;无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系;无穷大的概念无穷大的概念;无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系.无穷小与无穷大无穷小与无穷大四、小结四、小结20无穷小与无穷大无穷小与无穷大思考题思考题 1993年考研数学三年考研数学三, 3分分A. 无穷小量无穷小量B.无穷大量无穷大量C. 有界量非无穷小量有界量非无穷小量D.无界但非无穷大量无界但非无穷大量D21作业作业习题习题1-4 (411-4 (41页页) ) 2.(2) 3. 4. 5. 6. 无穷小与无穷大无穷小与无穷大22