第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析3.1时间响应及其组成3.2一阶系统的时间响应3.3二阶系统的时间响应3.4二阶系统的性能指标3.5高阶系统的时间响应3.6系统误差分析与计算3.7函数在时间响应中的作用3.1 时间响应及其组成一、概念时间响应：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式。在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。二、组成自由响应强迫响应零输入响应零状态响应时间响应的一般形式时间响应的一般形式零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应若系统的输入为单位阶跃函数单位阶跃函数，因为单位阶跃函数是单位脉冲函数的积分，即则根据传递函数的定义和拉氏变换积分定理可得即得系统对输入信号积分的响应，等于对该输入信号响应的积分；系统对输入信号积分的响应，等于对该输入信号响应的积分；系统对输入信号微分的响应，等于对该输入信号响应的微分。系统对输入信号微分的响应，等于对该输入信号响应的微分。l按振动形式，时域响应可分为：按振动形式，时域响应可分为：自由响应：由系统结构、参数所决定的输出自由响应：由系统结构、参数所决定的输出强迫响应：由外加输入所决定的输出强迫响应：由外加输入所决定的输出l按输入形式，时域响应可分为：按输入形式，时域响应可分为：零输入响应：无输入时系统初态引起的输出零输入响应：无输入时系统初态引起的输出零状态响应：系统初态为零仅由输入引起的输出零状态响应：系统初态为零仅由输入引起的输出l 按响应形态，时域响应可分为：按响应形态，时域响应可分为：瞬态响应瞬态响应: :在输入作用下系统输出从初始状态到稳定状在输入作用下系统输出从初始状态到稳定状态的响应过程态的响应过程. . 稳态响应稳态响应: :在输入作用下系统在时间趋于无穷大时的输在输入作用下系统在时间趋于无穷大时的输出出. .系统的时间响应都是由瞬态响应瞬态响应和稳态响应稳态响应两部分组成三、瞬态响应与稳态响应系统微分方程的特征根就是系统传递函数的极点不同特征根对应不同的自由响应特性（收敛性、振荡）特征根的实部影响自由响应项的收敛性：若所有特征根均具有负实部，则系统自由响应项收敛；若存在特征根的实部为正，则系统自由响应项发散；若存在特征根的实部为零，其余的实部为负，则系统自由响应项为等幅振荡；系统稳定时，特征根实部绝对值的大小决定了自由响应衰减的快慢程度。特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况：虚部绝对值越大，自由响应项的振荡越剧烈。四、控制系统中的典型输入信号1 单位脉冲信号2 单位阶跃信号10t13 单位斜坡信号5 正弦信号4 单位抛物线信号6 某些随机信号3.2 一阶系统的时间响应一阶系统的数学模型( (只包含瞬态项只包含瞬态项) )1 1、单位脉冲响应、单位脉冲响应2 2、单位阶跃响应、单位阶跃响应稳态分量稳态分量瞬态分量瞬态分量l T T 瞬态分量瞬态分量 瞬态响应时间瞬态响应时间 极点距虚轴距离极点距虚轴距离 ； l T T 瞬态分量瞬态分量 瞬态响应时间瞬态响应时间 极点距虚轴距离极点距虚轴距离 。1) 1) 1) 1) 阶跃响应的质量取决于特征参数阶跃响应的质量取决于特征参数T T2 2 2 2）响应曲线的响应曲线的斜率斜率反映了信号加入瞬间系统对输入的反应速度反映了信号加入瞬间系统对输入的反应速度3 3）调整时间（信号加入到输出稳定所需时间）调整时间（信号加入到输出稳定所需时间）t ts st=T xo(t)=63.2% 实验法求实验法求Tt=3T xo (t)=95% 允许误差允许误差 5% 调整时间调整时间 ts=3Tt=4T xo(t)=98.2% 允许误差允许误差 2% 调整时间调整时间 ts=4T3 3、单位斜坡响应、单位斜坡响应瞬态分量瞬态分量经 过 足 够 长 的 时 间(4T)，输出增长速率近似与输入相同；输出相对于输入滞后时间T;稳态误差= T. 稳态分量稳态分量(对于一阶系统)输入信号微分输入信号微分 系统响应微分系统响应微分输入信号积分输入信号积分 系统响应积分系统响应积分积分时间常数由零初始条件确定积分时间常数由零初始条件确定。l 线性定常系统的一个性质线性定常系统的一个性质不同时间常数下的响应情况一阶系统的性能指标：调整时间：一阶系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的（1-）所需要的时间。调整时间反映系统响应的快速性实验法求传递函数4、单位加速度响应瞬态分量瞬态分量稳态分量稳态分量传递函数传递函数:微分方程微分方程：3.3 二阶系统的时间响应特征参数：特征方程：特征根：（1）欠阻尼情况：（2）零阻尼情况：（3）临界阻尼情况：（4）过阻尼情况：1. 单位脉冲响应欠阻尼欠阻尼：0 1无阻尼无阻尼： =0临界阻尼临界阻尼： =1两个一阶系统的并联特点：均无稳态项；t=0时的斜率均不为零；除无阻尼为等幅振荡外，其余三种情况均可随着时间增加而衰减至零，即稳态误差为零；临界阻尼和过阻尼时，响应幅值为单一符号（恒正）。2.单位阶跃响应（1）欠阻尼情况：特点特点: :无稳态误差；无稳态误差；含含有有衰衰减减的的复复指指数数振振荡荡项项, ,其其振振幅幅衰衰减减的的快快慢慢由由和和n n决决定定, ,振荡幅值随振荡幅值随减小而加大减小而加大; ;d d和和 可可由由传传递递函函数数的的极极点点来来确定确定.称称 n 为为衰减系数衰减系数（2）零阻尼情况系统以无阻尼自然频率作等幅振荡（3）临界阻尼情况系统达到衰减振荡的极限而不再振荡（4）过阻尼情况其中二阶系统在不同阻尼比情况下对单位阶跃信号的时间响应曲线（5 5）负阻尼）负阻尼( (00) )情况情况特征根实部大于零，响应发散，系统不稳定特征根实部大于零，响应发散，系统不稳定 -10-10振荡发散振荡发散-1-1单调发散单调发散（6 6）几点结论）几点结论3 3）二阶系统的阻尼比）二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：决定了其振荡特性：0阶跃响应发散，系统不稳定阶跃响应发散，系统不稳定= 0等幅振荡等幅振荡01欠阻尼欠阻尼：0 1临界阻尼临界阻尼： =1无阻尼无阻尼：=03.4 二阶系统的性能指标 一般对机械工程系统有三个方面的性能要求，即稳定性、快速性和准确性。准确性用误差来衡量，而系统的瞬态响应则反应了系统本身的动态性能，表征了相对稳定性和快速性。1.瞬态响应的性能指标通常，在下面两个假设下定义系统的瞬态响应的性能指标（1）系统在单位阶跃信号（工作状况较恶劣）作用下的瞬态响应；（2）初始条件为零，即在阶跃信号作用前，系统处于静止状态，输出量及各阶导数均为零。瞬态响应的性能指标：(1) 延迟时间td：单位阶跃响应第一次达到其稳态值的50所需时间；(2) 上升时间tr：单位阶跃响应第一次从稳态值的10上升到90（过阻尼情况），或从0上升到100（欠阻尼情况）所需时间;(3) 峰值时间tp：单位阶跃响应超过其稳态值而达到第一个峰值所需时间；(4) 超调量Mp：单位阶跃响应第一次超过稳态值而达到的峰值时，对稳态值的偏差与稳态值之比，即：Mp， ts表征了系统的相对稳定性； td， tr， tp表征了系统的快速性。(5) 调整时间ts：单位阶跃响应与稳态值之差进入允许的误差范围所需的时间。允许误差通常取5或2。2.二阶系统的瞬态响应性能指标（1）上升时间tr当t tr时,（2）峰值时间tp输出达到峰值时，阶跃响应的导数为零，即（3）超调量Mp由超调量的定义：（4）调整时间ts调整时间ts的表达式难以确切求出，用近似的方法.对于欠阻尼系统：瞬态响应为衰减振荡，曲线是该瞬态响应的包络线。设允许误差范围为由调整时间的定义：(5) 振荡次数对系统性能指标的影响当 时， ， 都比较小，故称为最佳阻尼比。分析设计二阶系统时，通常先根据要求的超调量确定 ，然后通过调整 使其达到快速性要求。例3.3 设系统如图所示，其中 当有一单位阶跃输入时，求最大超调量Mp，上升时间tr，峰值时间tp和调整时间ts解：误差范围取5时，误差范围取2时，例3.4 如图所示系统，在质量块m上施加F3N的阶跃力后，时间响应x（t）如图所示。根据响应曲线，确定质量m，粘性阻尼系数B和弹簧刚度系数k。解：解：（1）列写传递函数（2）求k（3）求m和B例3.5 有一位置随动系统，其方块图如下所示，当输入单位阶跃时，要求（1）校核该系统的各参数是否满足要求；（2）在原系统中增加一微分负反馈，求满足要求的负反馈时间系数 。解：解：（1）系统的闭环传递函数为：该系统不满足设计要求。加入了微分负反馈后相当于增大了阻尼比，改善了系统的相对稳定性，减小了超调量，而没有改变系统的无阻尼自然频率（2）加上负反馈后含零点的欠阻尼二阶系统：在典型二阶系统上增加了一个零点单位阶跃响应：为典型二阶系统的单位阶跃响应。系统的响应不仅与 而且与 的变化率有关。3.零点对二阶系统瞬态响应的影响当典型二阶系统含有零点时，系统的瞬态响应不仅与极点分布有关，还与零点和极点的相对位置有关。例3.6 一位置伺服系统，为了提高系统阻尼分别在前向通道和反馈通道采用比例微分控制器，试分别求：各系统的阻尼比、无阻尼固有频率、单位阶跃响应的超调量、峰值时间和调整时间。解：(1)由图（a）可得系统闭环传递函数则：(2)由图（b）可得系统闭环传递函数则：(3) 由图（c）可得系统闭环传递函数单位阶跃输入令 得G2(s)G1(s)G3(s)例3.7 已知二阶系统传递函数为试分别用Matlab求其阶跃响应，并分析零点的影响。零点对系统响应的影响：（1）超调量增大，上升时间和峰值时间减小；（2）附加零点越靠近虚轴对系统影响越大；（3）附加零点离虚轴很大时，其影响可以忽略。3.5 高阶系统的时间响应高阶系统：三阶及三阶以上的系统。用高阶微分方程描述。不易得到时间响应的表达式定性分析极点对系统性能的影响特征根：设有n1个实数根，n2对共轭复根，则n=n1+2n2单位阶跃响应：高阶系统的响应可看成多个一阶环节和二阶环节响应的叠加。3）若离虚轴最近的极点，实部小于其它极点实部的1/5，且附近不存在零点，则该极点称为主导极点。系统的响应特性主要由主导极点决定。共轭：高阶二阶1）系统的极点均位于s平面的左半平面时，第二、三项衰减。衰减的快慢取决于极点离虚轴的距离。2）幅值与极点、零点均有关。极点离原点越远，幅值越小，对过渡过程影响越小；当零点和极点很近时，幅值也很小，这一对零极点对过渡过程影响将很小。讨论：讨论：例：利用matlab分析下面三个系统单位阶跃响应。阶跃响应基本相同响应近似为一阶系统响应近似为二阶系统3.6 系统误差分析与计算系统在输入信号作用下，时间响应的瞬态分量反映了系统的动态性能，而稳态分量的值反映了系统的准确性。控制系统希望的输出值与实际的输出值之间的偏差，称为误差。瞬态误差：调整时间之间的误差；稳态误差：调整时间之后的误差。u内因：系统本身的结构；u外因：输入量及其导数的连续变化。1、误差与偏差误差：以输出端为基准来定义偏差：以输入端为基准来定义偏差与误差的关系：单位反馈：2、稳态误差与稳态偏差稳态误差：系统进入稳态后的误差稳态偏差：3、与输入有关的稳态偏差（1）单位阶跃输入位置无偏系数（2）单位斜坡输入速度无偏系数（3）单位加速度输入加速度无偏系数无偏系数：用一个系数来表示输入某种信号而引起的稳态偏差。无偏系数越大，精度越高，稳态偏差越小。无偏系数为零，则稳态偏差为，不能跟踪输出；无偏系数为，则稳态偏差为零。系统结构系统结构开环传递函数对稳态偏差的影响开环传递函数对稳态偏差的影响无差度：表征系统的结构特征（能够跟踪的信号的阶数）0、I、II、III型系统标准形式！开环增益：（1）单位阶跃输入0型：I、II型：（2）单位斜坡输入0型：I型：II 型：（3）单位加速度输入0型、I型：II 型：不同类型系统在不同输入时的稳态偏差主对角线上：对角线以上：对角线以下：（1）系统的稳态偏差与输入信号、系统的结构特征及开环增益有关。（2）当系统存在几个输入作用时，可按叠加原理进行计算；系统存在干扰作用时，总的偏差等于给定输入和干扰分别作用引起的偏差之和。（3）对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。对于非单位反馈系统，利用二者之间的关系把稳态偏差换算为稳态误差，而不能把系统化为单位反馈系统，再由计算偏差得到误差。求振荡系统在单位阶跃、单位恒速、单位恒加速输入时的稳态误差。单位阶跃输入：单位恒速输入：单位恒加速输入：或：按定义4、与干扰有关的稳态偏差H(s)单位反馈系统在阶跃干扰下的稳态偏差为了增加系统的抗干扰能力，必须增大干扰作用点之前的回路的放大倍数K1，以及增加这一段回路中积分环节的数目。而增加干扰作用点之后到输出量之间的这一段回路的放大系数K2或增多这一段回路中积分环节的数目，对减小干扰引起的误差没有好处。3.7 函数在时间响应中的作用例4.1 系统的脉冲响应函数为 ，系统的输入 如图所示，求系统的输出