第二章第二章 误差和分析数据的处理误差和分析数据的处理第一节第一节 定量分析的误差定量分析的误差 分析结果与真实值之间的差值称为误差。分析结果与真实值之间的差值称为误差。分析结果大于真实值，误差为正；分析结果分析结果大于真实值，误差为正；分析结果小于真实值，误差为负。小于真实值，误差为负。(一一)准确度与误差准确度与误差1 1准确度准确度准确度准确度：指测量结果与真值的接近程度：指测量结果与真值的接近程度：指测量结果与真值的接近程度：指测量结果与真值的接近程度2 2误差误差误差误差 衡量测量准确度高低的尺寸衡量测量准确度高低的尺寸衡量测量准确度高低的尺寸衡量测量准确度高低的尺寸（1 1）绝对误差）绝对误差）绝对误差）绝对误差：测量值与真实值之差：测量值与真实值之差：测量值与真实值之差：测量值与真实值之差 （2 2）相对误差相对误差相对误差相对误差：绝对误差占真实值的百分比：绝对误差占真实值的百分比：绝对误差占真实值的百分比：绝对误差占真实值的百分比 注：注：注：注：1 1）测高含量组分，）测高含量组分，）测高含量组分，）测高含量组分，RERE可小；测低含量组分，可小；测低含量组分，可小；测低含量组分，可小；测低含量组分，RERE可大可大可大可大 2 2）仪器分析法）仪器分析法）仪器分析法）仪器分析法测低含量组分，测低含量组分，测低含量组分，测低含量组分，RERE大大大大 化学分析法化学分析法化学分析法化学分析法测高含量组分，测高含量组分，测高含量组分，测高含量组分，RERE小小小小一、准确度与精密度一、准确度与精密度注：注：未知，未知，已知，可用已知，可用代替代替绝对误差与相对误差的计算绝对误差与相对误差的计算0.0215g0.0217gB0.2173g0.2175gA相对误差相对误差(RE%)绝对误差绝对误差()真值真值()测量值测量值(x)物品物品0.0002g0.0002g0.1%1%当测量值的绝对当测量值的绝对当测量值的绝对当测量值的绝对误差恒定时，误差恒定时，误差恒定时，误差恒定时，被被被被测定的量越大，测定的量越大，测定的量越大，测定的量越大，相对误差越小，相对误差越小，相对误差越小，相对误差越小，测定的准确性也测定的准确性也测定的准确性也测定的准确性也就越高。就越高。就越高。就越高。仪器的绝对误差通常是一个定值，我们可以仪器的绝对误差通常是一个定值，我们可以用称（量）取较大质量（体积）的试样，使用称（量）取较大质量（体积）的试样，使测量的相对误差较少，在实际工作中意义较测量的相对误差较少，在实际工作中意义较大。大。（二）精密度与偏差（二）精密度与偏差1 1精密度精密度精密度精密度：平行测量的各测量值间的相互接近程度：平行测量的各测量值间的相互接近程度：平行测量的各测量值间的相互接近程度：平行测量的各测量值间的相互接近程度2 2偏差偏差偏差偏差表示数据的离散程度表示数据的离散程度 （1 1）绝对偏差）绝对偏差）绝对偏差）绝对偏差 ：单次测量值与平均值之差：单次测量值与平均值之差：单次测量值与平均值之差：单次测量值与平均值之差 （有正、负之分）（有正、负之分）（4 4）标准偏差：）标准偏差：）标准偏差：）标准偏差： （5 5）相对标准偏差（变异系数）相对标准偏差（变异系数）相对标准偏差（变异系数）相对标准偏差（变异系数） （2 2）平均偏差：各测量值绝对偏差的算术平均值）平均偏差：各测量值绝对偏差的算术平均值）平均偏差：各测量值绝对偏差的算术平均值）平均偏差：各测量值绝对偏差的算术平均值 （3 3）相对平均偏差：平均偏差占平均值的百分比）相对平均偏差：平均偏差占平均值的百分比）相对平均偏差：平均偏差占平均值的百分比）相对平均偏差：平均偏差占平均值的百分比已知已知 n 未知未知且且n20平均偏差平均偏差计算简便，但不能考虑极大和极小现象计算简便，但不能考虑极大和极小现象did1d2d3d4d5d6d7d8d9d10A+0.1+0.40.0-0.3+0.2-0.3+0.2-0.2-0.4+0.3B-0.1-0.2+0.90.0+0.1+0.10.0+0.1-0.7-0.2不能反映大偏差对精密度的影响不能反映大偏差对精密度的影响ABS0.240.400.240.28练习练习偏差计算示例偏差计算示例序号12345Fe(%)37.4037.2037.3037.5037.30平均值37.34偏差di+0.06-0.14-0.04+0.16-0.04平均值平均值平均偏差平均偏差相对平均偏差相对平均偏差标准偏差标准偏差相对标准偏差（变异系数）相对标准偏差（变异系数）举例：举例： 有一标样含有有一标样含有SiO2(%)标准值为标准值为61.32，让甲、乙两，让甲、乙两位化验员测此标样，得到如下结果：位化验员测此标样，得到如下结果：甲（%）61.5161.5261.50乙（%）61.3661.3061.33试通过计算比较两位化验员的分析结果的情况。试通过计算比较两位化验员的分析结果的情况。解：解：解：解：5151. .6161= = = =甲甲甲甲X X%3 3. . 0 0%1001003232. .61613232. .61615151. .6161= = = =- - - -= = = =RERE %0101. . 0 0%1001005151. .61613 3/ / ) )0101. . 0 00101. . 0 00000. . 0 0( (%= = = =+ + + + + + += = = =RdRd 3333. .6161= = = =乙乙乙乙X X02%02%. . 0 0100%100%3232. .61613232. .61613333. .6161= = = =- - - -= = = =RERE%0303. . 0 0%1001003333. .61613 3/ / ) )0000. . 0 00303. . 0 00303. . 0 0( (%= = = = + + + + + + += = = =Rd Rd 甲的相对误差大，但相对平均偏差较小；说明甲的相对误差大，但相对平均偏差较小；说明精密度虽然较好，但测定不够准确。精密度虽然较好，但测定不够准确。乙的相对误差较少，虽然相对平均偏差比甲大，乙的相对误差较少，虽然相对平均偏差比甲大，但对于化学分析来讲是可以接受的；因此，但对于化学分析来讲是可以接受的；因此，乙乙的分析结果比较可靠。的分析结果比较可靠。（三）准确度与精密度的关系（三）准确度与精密度的关系1. 1. 准确度高，要求精密度一定高准确度高，要求精密度一定高准确度高，要求精密度一定高准确度高，要求精密度一定高 但精密度好，准确度不一定高但精密度好，准确度不一定高但精密度好，准确度不一定高但精密度好，准确度不一定高2. 2. 准确度反映了测量结果的正确性准确度反映了测量结果的正确性准确度反映了测量结果的正确性准确度反映了测量结果的正确性 精密度反映了测量结果的重现性精密度反映了测量结果的重现性精密度反映了测量结果的重现性精密度反映了测量结果的重现性精密度好，准确度亦高精密度好，准确度亦高精密度好，准确度亦高精密度好，准确度亦高精密度好，但准确度低精密度好，但准确度低精密度好，但准确度低精密度好，但准确度低精密度差，准确度亦低精密度差，准确度亦低精密度差，准确度亦低精密度差，准确度亦低精密度差，准确度高不可信精密度差，准确度高不可信精密度差，准确度高不可信精密度差，准确度高不可信二、误差类型二、误差类型（一）（一）系统误差系统误差（可定误差）（可定误差）: 由可定原因产生由可定原因产生由可定原因产生由可定原因产生1 1特点：特点：特点：特点：具单向性（大小、正负一定具单向性（大小、正负一定具单向性（大小、正负一定具单向性（大小、正负一定 ） 可消除（原因固定）可消除（原因固定）可消除（原因固定）可消除（原因固定） 重复测定重复出现重复测定重复出现重复测定重复出现重复测定重复出现2 2 2 2分类分类分类分类: : : :( ( ( (按来源分按来源分按来源分按来源分) ) ) ) a a a a方法误差方法误差方法误差方法误差：方法不恰当产生：方法不恰当产生：方法不恰当产生：方法不恰当产生 b b b b仪器误差仪器误差仪器误差仪器误差：仪器不精确引起：仪器不精确引起：仪器不精确引起：仪器不精确引起 c c c c试剂误差试剂误差试剂误差试剂误差：试剂中含被测组分或不纯组分产生：试剂中含被测组分或不纯组分产生：试剂中含被测组分或不纯组分产生：试剂中含被测组分或不纯组分产生 d. d. d. d. 操作误差操作误差操作误差操作误差: : : : 操作方法不当引起操作方法不当引起操作方法不当引起操作方法不当引起（二）（二）偶然误差偶然误差（随机误差，不可定误差）：（随机误差，不可定误差）： 由不确定原因引起由不确定原因引起由不确定原因引起由不确定原因引起特点：特点：特点：特点：1)1)不具单向性（大小、正负不定）不具单向性（大小、正负不定）不具单向性（大小、正负不定）不具单向性（大小、正负不定）2)2)不可消除（原因不定）不可消除（原因不定）不可消除（原因不定）不可消除（原因不定） 但可减小（测定次数但可减小（测定次数但可减小（测定次数但可减小（测定次数 ）3) 3) 分布服从统计学规律（正态分布）分布服从统计学规律（正态分布）分布服从统计学规律（正态分布）分布服从统计学规律（正态分布）测定方法测定方法测定方法测定方法分析分析分析分析方法方法方法方法相对相对相对相对误差误差误差误差含铁量含铁量含铁量含铁量(%) (%) Fe%=50%Fe%=50%Fe%=0.5%Fe%=0.5%E (%)E (%)Fe(%)Fe(%)E (%)E (%)Fe(%)Fe(%)重铬酸钾法重铬酸钾法重铬酸钾法重铬酸钾法（化学分析）（化学分析）（化学分析）（化学分析）0.2%0.2%分光光度法分光光度法分光光度法分光光度法（仪器分析）（仪器分析）（仪器分析）（仪器分析） 2% 2% 0.1 149.950.14951灵敏度太低灵敏度太低无法测定无法测定 0.010.490.51 例：例：测测Fe含量含量 三、提高分析结果准确度的方法三、提高分析结果准确度的方法1 1选择合适的分析方法选择合适的分析方法选择合适的分析方法选择合适的分析方法 不同方法的灵敏度和准确度不同不同方法的灵敏度和准确度不同不同方法的灵敏度和准确度不同不同方法的灵敏度和准确度不同 需考虑其它共存物质的干扰需考虑其它共存物质的干扰需考虑其它共存物质的干扰需考虑其它共存物质的干扰高含量组分高含量组分高含量组分高含量组分相对误差小的分析方法相对误差小的分析方法相对误差小的分析方法相对误差小的分析方法；低含量组分低含量组分低含量组分低含量组分灵敏度较高的分析方法，灵敏度较高的分析方法，灵敏度较高的分析方法，灵敏度较高的分析方法， 相对误差可允许稍大一些相对误差可允许稍大一些相对误差可允许稍大一些相对误差可允许稍大一些。v化学分析：化学分析：化学分析：化学分析：准确度高，灵敏度低准确度高，灵敏度低准确度高，灵敏度低准确度高，灵敏度低 常量组分分析常量组分分析常量组分分析常量组分分析v仪器分析：仪器分析：仪器分析：仪器分析：灵敏度高，准确度低灵敏度高，准确度低灵敏度高，准确度低灵敏度高，准确度低 微（痕）量组分分析微（痕）量组分分析微（痕）量组分分析微（痕）量组分分析2减小测量误差减小测量误差1）称量）称量 例例：天天平平一一次次的的称称量量误误差差为为 0.0001g，两两次次的的称称量量误误差差为为0.0002g，RE% 0.1%，计算最少称样量？计算最少称样量？ 2）滴定）滴定 例：滴定管一次的读数误差为例：滴定管一次的读数误差为0.01mL，两次的读数误差为两次的读数误差为0.02mL，RE% 0.1%，计算最少移液体积？计算最少移液体积？ 3 3增加平行测定次数，一般测增加平行测定次数，一般测3 34 4次以减小偶然误差次以减小偶然误差4 4消除测量过程中的系统误差消除测量过程中的系统误差1 1）与经典方法进行比较）与经典方法进行比较2 2）校准仪器：消除仪器的误差）校准仪器：消除仪器的误差3 3）空白试验：消除试剂误差）空白试验：消除试剂误差4 4）对照试验：消除方法误差）对照试验：消除方法误差5 5）回收实验：加样回收，以检验是否存在方法误差）回收实验：加样回收，以检验是否存在方法误差 试验：试验：试验：试验： 试样试样试样试样 + + 溶剂溶剂溶剂溶剂 + + 试剂试剂试剂试剂空白空白空白空白试验：试验：试验：试验： + + 溶剂溶剂溶剂溶剂 + + 试剂试剂试剂试剂对照对照对照对照试验：试验：试验：试验： 标标标标 + + 溶剂溶剂溶剂溶剂 + + 试剂试剂试剂试剂回收回收回收回收试验：试样（标样）试验：试样（标样）试验：试样（标样）试验：试样（标样）+ + 溶剂溶剂溶剂溶剂 + + 试剂试剂试剂试剂一、有效数字的意义及位数一、有效数字的意义及位数1.有效数字位数有效数字位数:所有准确数字和一位欠准数字所有准确数字和一位欠准数字 例：滴定读数例：滴定读数20.30mL，最多可以读准三位最多可以读准三位 第四位欠准（估计读数）第四位欠准（估计读数）1个单位个单位个单位个单位2.有效数字位数的确定有效数字位数的确定:必须根据必须根据测定方法测定方法和和测量仪器的准确度测量仪器的准确度来确定来确定在测量准确度的范围内，有效数字的位数越在测量准确度的范围内，有效数字的位数越多，测量也越准确多，测量也越准确第三节第三节 有效数字和运算规则有效数字和运算规则有效数字有效数字: :实际可以测得的数字实际可以测得的数字20.29 20.31 20.29 20.31 结果结果结果结果 绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差 相对误差相对误差相对误差相对误差 有效数字位数有效数字位数有效数字位数有效数字位数 0.51800 0.51800 0.51800 0.51800 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.002% 50.002% 50.002% 50.002% 5 0.5180 0.5180 0.5180 0.5180 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.02% 40.02% 40.02% 40.02% 4 0.518 0.518 0.518 0.518 0.001 0.001 0.001 0.001 0.2% 30.2% 30.2% 30.2% 3记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确地反映测量的精确程度。确地反映测量的精确程度。 有效数字有效数字位数的确定位数的确定1. 1. 有效数字位数包括所有准确数字和一位欠准数字有效数字位数包括所有准确数字和一位欠准数字有效数字位数包括所有准确数字和一位欠准数字有效数字位数包括所有准确数字和一位欠准数字2. 2. 在在在在0909中，只有中，只有中，只有中，只有0 0既是有效数字，又是无效数字既是有效数字，又是无效数字既是有效数字，又是无效数字既是有效数字，又是无效数字 例：例：例：例： 0 0. .0 06050 6050 四位有效数字四位有效数字四位有效数字四位有效数字 定位定位定位定位 有效位数有效位数有效位数有效位数 例：例：例：例：3600 3.6103600 3.6103 3 两位两位两位两位 3.60103.60103 3 三位三位三位三位3 3单位变换不影响有效数字位数单位变换不影响有效数字位数单位变换不影响有效数字位数单位变换不影响有效数字位数 例：例：例：例：10.00mL10.00mL0 0. .00001000L 1000L 均为四位均为四位均为四位均为四位4 4数据的首位为数据的首位为数据的首位为数据的首位为8 8和和和和9 9时，有效数字可以多计一位时，有效数字可以多计一位时，有效数字可以多计一位时，有效数字可以多计一位 例：例：例：例：9.87 9.87 ，可示为四位有效数字，可示为四位有效数字，可示为四位有效数字，可示为四位有效数字5 5pHpH，pMpM，pKpK，lgClgC，lgKlgK等对数值，其有效数字的等对数值，其有效数字的等对数值，其有效数字的等对数值，其有效数字的位数取决于位数取决于位数取决于位数取决于小数部分小数部分小数部分小数部分（尾数）数字的（尾数）数字的（尾数）数字的（尾数）数字的位数位数位数位数，整数部分，整数部分，整数部分，整数部分只代表该数的方次只代表该数的方次只代表该数的方次只代表该数的方次 例：例：例：例：pH = 11.20 HpH = 11.20 H+ += 6.310= 6.310-12-12mol/L mol/L 两位两位两位两位6计算过程中，可暂时多保留一位有效数字计算过程中，可暂时多保留一位有效数字计算过程中，可暂时多保留一位有效数字计算过程中，可暂时多保留一位有效数字7 7 误差或偏差取误差或偏差取误差或偏差取误差或偏差取 1212 位有效数字即可位有效数字即可位有效数字即可位有效数字即可8 8非测量得到的数字非测量得到的数字非测量得到的数字非测量得到的数字 ，可看作无限多位或无误差数字，可看作无限多位或无误差数字，可看作无限多位或无误差数字，可看作无限多位或无误差数字9.填写分析报告时填写分析报告时填写分析报告时填写分析报告时, ,分析结果的标准分析结果的标准分析结果的标准分析结果的标准: : 对于高含量对于高含量对于高含量对于高含量(10%)(10%)的测定的测定的测定的测定, ,一般保留一般保留一般保留一般保留四位四位四位四位有效数字有效数字有效数字有效数字 中含量组分中含量组分中含量组分中含量组分(1% 10%)(1% 10%)一般保留一般保留一般保留一般保留三位三位三位三位有效数字有效数字有效数字有效数字 对于微量含量（对于微量含量（对于微量含量（对于微量含量（1% 1% ），一般保留），一般保留），一般保留），一般保留二位二位二位二位有效数字有效数字有效数字有效数字二、有效数字的修约规则二、有效数字的修约规则1 1四舍六入五考虑四舍六入五考虑四舍六入五考虑四舍六入五考虑例：例：例：例：0.374560.37456 ， 0.37450.3745 均修约至三位有效数字均修约至三位有效数字均修约至三位有效数字均修约至三位有效数字0.3740.3740.3750.375数字修约规则数字修约规则”： 四舍六入四舍六入 五考虑五考虑 五后非零则进一五后非零则进一五后非零则进一五后非零则进一 18.085218.09 ( (五五五五后后后后无无无无数数数数）视视视视奇奇奇奇偶偶偶偶五五五五后后后后皆皆皆皆零零零零五前为奇则进一五前为奇则进一五前为奇则进一五前为奇则进一 10.210.23 350 10.2450 10.24五前为偶则舍弃五前为偶则舍弃五前为偶则舍弃五前为偶则舍弃 250.250.6 650 250.650 250.62 2只能对数字进行一次性修约只能对数字进行一次性修约只能对数字进行一次性修约只能对数字进行一次性修约 6.5 6.5 2.52.5例：例：例：例：6.5496.549， 2.4512.451 一次修约至两位有效数字一次修约至两位有效数字一次修约至两位有效数字一次修约至两位有效数字3 3当对标准偏差修约时，修约后会使标准偏差结果当对标准偏差修约时，修约后会使标准偏差结果当对标准偏差修约时，修约后会使标准偏差结果当对标准偏差修约时，修约后会使标准偏差结果 变差，从而提高可信度变差，从而提高可信度变差，从而提高可信度变差，从而提高可信度 例：例：例：例：s = 0.134s = 0.134 修约至修约至修约至修约至0.140.14，可信度，可信度，可信度，可信度 三、运算规则三、运算规则1.加减运算加减运算:以以以以小数点后小数点后小数点后小数点后位数位数位数位数最少最少最少最少的数为准（即以的数为准（即以的数为准（即以的数为准（即以 绝对误差最大的数为准）绝对误差最大的数为准）绝对误差最大的数为准）绝对误差最大的数为准）例：例：例：例： 50.1 + 1.45 + 0.5812 = 50.1 + 1.45 + 0.5812 = ？ 50.50.1 1 绝对误差：绝对误差：绝对误差：绝对误差：0.10.1 1.4 1.45 5 0.01 0.01 + +） 0.5810.5812 2 0.0001 0.0001 52. 52.13131 12 2应为：应为：应为：应为：50.1+1.4+0.6=52.50.1+1.4+0.6=52.1 12. 乘除运算时乘除运算时以以以以有有有有效效效效数数数数字字字字位位位位数数数数最最最最少少少少的的的的数数数数为为为为准准准准（即即即即以以以以相相相相对对对对误误误误差差差差最最最最大大大大的数为准）的数为准）的数为准）的数为准） 例：例：例：例：( ( ( (0.03250.03250.03250.0325 5.1031)/ 139.82 = 0.00118 5.1031)/ 139.82 = 0.00118 5.1031)/ 139.82 = 0.00118 5.1031)/ 139.82 = 0.0011839393939 三个数相对误差为三个数相对误差为三个数相对误差为三个数相对误差为: : : : 0.0325 0.0001/0.0325 0.0325 0.0001/0.0325 0.0325 0.0001/0.0325 0.0325 0.0001/0.0325 100%=0.3% 100%=0.3% 100%=0.3% 100%=0.3% 5.1031 0.0001 /5.1031 5.1031 0.0001 /5.1031 5.1031 0.0001 /5.1031 5.1031 0.0001 /5.1031 100%=0.002% 100%=0.002% 100%=0.002% 100%=0.002% 139.82 0.01 /139.82 139.82 0.01 /139.82 139.82 0.01 /139.82 139.82 0.01 /139.82 100% =0.007% 100% =0.007% 100% =0.007% 100% =0.007%四、有效数字的位数在分析化学中的应用四、有效数字的位数在分析化学中的应用1、正确记录测量数据、正确记录测量数据2、正确选取用量和选用适当仪器正确选取用量和选用适当仪器3、正确表示分析结果、正确表示分析结果例：甲乙两人同时分析一矿物中的含硫量，每次例：甲乙两人同时分析一矿物中的含硫量，每次例：甲乙两人同时分析一矿物中的含硫量，每次例：甲乙两人同时分析一矿物中的含硫量，每次采用试样采用试样采用试样采用试样3.53.5克克克克, ,分析结果的平均值分别为：甲分析结果的平均值分别为：甲分析结果的平均值分别为：甲分析结果的平均值分别为：甲 0.042% 0.042% ；乙；乙；乙；乙 0.04201%0.04201% ，问正确报告应是，问正确报告应是，问正确报告应是，问正确报告应是A A 甲的报告正确甲的报告正确甲的报告正确甲的报告正确 B B 乙的报告正确乙的报告正确乙的报告正确乙的报告正确 一、可疑值的取舍一、可疑值的取舍1 Q 检验法检验法步骤：步骤：步骤：步骤： （1 1） 数据排列数据排列数据排列数据排列 X X1 1 X X2 2 X Xn n （2 2） 求极差求极差求极差求极差 X Xn n X X1 1 （3 3） 求可疑数据与相邻数据之差求可疑数据与相邻数据之差求可疑数据与相邻数据之差求可疑数据与相邻数据之差 X X疑疑疑疑 X X邻邻邻邻 （4 4） 计算计算计算计算：若若若若Q Q Q QX X 舍弃该数据舍弃该数据舍弃该数据舍弃该数据, , （过失误差造成）（过失误差造成）（过失误差造成）（过失误差造成）若若若若Q Q Q QX X 保留该数据保留该数据保留该数据保留该数据, , （偶然误差所致）（偶然误差所致）（偶然误差所致）（偶然误差所致）第三节第三节 分析数据的统计处理基本知识分析数据的统计处理基本知识（5 5）查表确定）查表确定）查表确定）查表确定（n=3 n=3 1010）2 G- 检验法检验法（Grubbs法）法）步骤：步骤：步骤：步骤：（1 1） 求平均值求平均值求平均值求平均值 （包括异常值）（包括异常值）（包括异常值）（包括异常值）（2 2） 求标准偏差求标准偏差求标准偏差求标准偏差 S Sx x （3 3）计算计算计算计算：若若若若G G G GX X 舍弃该数据舍弃该数据舍弃该数据舍弃该数据, , 若若若若G G G GX X 保留该数据保留该数据保留该数据保留该数据, , （4 4）查表确定）查表确定）查表确定）查表确定报告分析结果时，应明确表示一定置信度下一定置信度下真值的置信区间真值的置信区间。报告分析结果时应给出精密度、准确度和测精密度、准确度和测定次数定次数三个必不可少的参数。（一）分析结果的一般表示方法一）分析结果的一般表示方法一）分析结果的一般表示方法一）分析结果的一般表示方法平行测定平行测定平行测定平行测定3 3 3 3 次，要求次，要求次，要求次，要求 , , , ,符合常量分析要求，取符合常量分析要求，取符合常量分析要求，取符合常量分析要求，取平均值作最后测定结果。平均值作最后测定结果。平均值作最后测定结果。平均值作最后测定结果。（二）分析结果的统计处理方法（二）分析结果的统计处理方法（二）分析结果的统计处理方法（二）分析结果的统计处理方法二、分析结果的表示方法二、分析结果的表示方法1.偶然误差的正态分布偶然误差的正态分布正态分布的概率密度函数式正态分布的概率密度函数式正态分布的概率密度函数式正态分布的概率密度函数式1 1x x 表示测量值，表示测量值，表示测量值，表示测量值，y y 为测量值出现的概率密度为测量值出现的概率密度为测量值出现的概率密度为测量值出现的概率密度2 2正态分布的两个重要参数正态分布的两个重要参数正态分布的两个重要参数正态分布的两个重要参数（1 1） 为无限次测量的总体均值，为无限次测量的总体均值，为无限次测量的总体均值，为无限次测量的总体均值，表示无限个数据的表示无限个数据的表示无限个数据的表示无限个数据的 集中趋势集中趋势集中趋势集中趋势（无系统误差时即为真值）（无系统误差时即为真值）（无系统误差时即为真值）（无系统误差时即为真值） （2 2） 是总体标准差，是总体标准差，是总体标准差，是总体标准差，表示数据的离散程度表示数据的离散程度表示数据的离散程度表示数据的离散程度3 3x -x -为偶然误差为偶然误差为偶然误差为偶然误差正态分布是由它的平均数正态分布是由它的平均数正态分布是由它的平均数正态分布是由它的平均数 和和和和标准差标准差标准差标准差 唯一决定的常把它唯一决定的常把它唯一决定的常把它唯一决定的常把它记为记为记为记为N(N(， 2 2) )正态分布是由它的平均数正态分布是由它的平均数正态分布是由它的平均数正态分布是由它的平均数 和和和和标准偏差标准偏差标准偏差标准偏差 唯一决定的常把唯一决定的常把唯一决定的常把唯一决定的常把它记为它记为它记为它记为N(N(， 2 2) )正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线 x x N( ,N( ,2 2 ) )曲线曲线曲线曲线x =x =时，时，时，时，y y 最大最大最大最大大部分测量值集中大部分测量值集中大部分测量值集中大部分测量值集中 在算术平均值附近在算术平均值附近在算术平均值附近在算术平均值附近曲曲曲曲线线线线以以以以x x =的的的的直直直直线线线线为为为为对对对对称称称称正正正正负负负负误误误误差差差差出出出出现的概率相等现的概率相等现的概率相等现的概率相等当当当当x x 或或或或 时时时时，曲曲曲曲线线线线渐渐渐渐进进进进x x 轴轴轴轴，小小小小误误误误差差差差出出出出现现现现的的的的几几几几率率率率大大大大，大大大大误误误误差差差差出出出出现现现现的的的的几几几几率率率率小，极大误差出现的几率极小小，极大误差出现的几率极小小，极大误差出现的几率极小小，极大误差出现的几率极小，y, y, 数据分散，曲线平坦数据分散，曲线平坦数据分散，曲线平坦数据分散，曲线平坦 ，y, y, 数据集中，曲线尖锐数据集中，曲线尖锐数据集中，曲线尖锐数据集中，曲线尖锐测量值都落在测量值都落在测量值都落在测量值都落在 ，总概率为，总概率为，总概率为，总概率为1 1以以x-y作图作图 特点特点 以以u y作图作图 标准正态分布曲线标准正态分布曲线标准正态分布曲线标准正态分布曲线 x x N(0 ,1 )N(0 ,1 )曲线曲线曲线曲线（无限次测量）（无限次测量）（无限次测量）（无限次测量）若若若若有限次有限次有限次有限次测量，则测量，则测量，则测量，则f = n-12.偶然误差的区间概率偶然误差的区间概率 从从从从 ，所有测量值出现的总概率，所有测量值出现的总概率，所有测量值出现的总概率，所有测量值出现的总概率P P为为为为1 1 ，即，即，即，即偶然误差的区间概率偶然误差的区间概率偶然误差的区间概率偶然误差的区间概率P P P P用一定区间的积分面积表示用一定区间的积分面积表示用一定区间的积分面积表示用一定区间的积分面积表示 该范围内测量值出现的概率该范围内测量值出现的概率该范围内测量值出现的概率该范围内测量值出现的概率标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布 区间概率区间概率区间概率区间概率% 68.3%95.5%99.7%u3平均值的置信区间平均值的置信区间 （1 1）由单次测量结果估计）由单次测量结果估计）由单次测量结果估计）由单次测量结果估计 的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间（2 2）由无限次测量的样本平均值估计）由无限次测量的样本平均值估计）由无限次测量的样本平均值估计）由无限次测量的样本平均值估计 的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间 （3 3）由有限次测定结果均值估计）由有限次测定结果均值估计）由有限次测定结果均值估计）由有限次测定结果均值估计 的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间 总体标准偏差总体标准偏差与与样本标准偏差样本标准偏差的比较的比较总体标准偏差：总体标准偏差：总体标准偏差：总体标准偏差：样本标准偏差：样本标准偏差：样本标准偏差：样本标准偏差：无限次测量，无限次测量，无限次测量，无限次测量，对总体平均值的离散对总体平均值的离散对总体平均值的离散对总体平均值的离散有限次测量有限次测量有限次测量有限次测量对平均值的离散对平均值的离散对平均值的离散对平均值的离散自由度：自由度：自由度：自由度：计算一组数据分散计算一组数据分散计算一组数据分散计算一组数据分散度的独立偏差数度的独立偏差数度的独立偏差数度的独立偏差数自由度的理解：自由度的理解：自由度的理解：自由度的理解：例如，有三个测量值，求得平均值，也知例如，有三个测量值，求得平均值，也知例如，有三个测量值，求得平均值，也知例如，有三个测量值，求得平均值，也知道道道道x x1 1和和和和x x2 2与平均值的差值，那么，与平均值的差值，那么，与平均值的差值，那么，与平均值的差值，那么，x x3 3与平均值的差值就是与平均值的差值就是与平均值的差值就是与平均值的差值就是确定的了，不是一个独立的变数。确定的了，不是一个独立的变数。确定的了，不是一个独立的变数。确定的了，不是一个独立的变数。置信区间：置信区间：置信区间：置信区间：一定置信度下，以一定置信度下，以一定置信度下，以一定置信度下，以测量结果测量结果测量结果测量结果为中心，包为中心，包为中心，包为中心，包 括总体均值的可信范围括总体均值的可信范围括总体均值的可信范围括总体均值的可信范围平均值的置信区间：平均值的置信区间：平均值的置信区间：平均值的置信区间：一定置信度下，以一定置信度下，以一定置信度下，以一定置信度下，以测量结果的测量结果的测量结果的测量结果的 均值均值均值均值为中心，包括总体均值的可信范围为中心，包括总体均值的可信范围为中心，包括总体均值的可信范围为中心，包括总体均值的可信范围结论：结论： 置信度越高，置信区间越宽置信度越高，置信区间越宽，估计区间包含真值的可估计区间包含真值的可能性能性 置信区间置信区间置信区间置信区间反映估计的精密度反映估计的精密度反映估计的精密度反映估计的精密度 置信度置信度置信度置信度说明估计的把握程度说明估计的把握程度说明估计的把握程度说明估计的把握程度例例例例: :如何理解如何理解如何理解如何理解解解解解: : 理解为在理解为在理解为在理解为在 的区间内包括的区间内包括的区间内包括的区间内包括 总体均值总体均值总体均值总体均值 在内的概率为在内的概率为在内的概率为在内的概率为95%95%置信度过高置信度过高置信度过高置信度过高以假为真以假为真以假为真以假为真置信度过低置信度过低置信度过低置信度过低以真为假以真为假以真为假以真为假 （一）方差检验（一）方差检验（一）方差检验（一）方差检验FF检验法检验法检验法检验法 （精密度显著性检验精密度显著性检验精密度显著性检验精密度显著性检验） 统计量统计量统计量统计量 F F 的定义：两组数据方差的比值的定义：两组数据方差的比值的定义：两组数据方差的比值的定义：两组数据方差的比值 三、分析数据的显著性检验三、分析数据的显著性检验（二）总体均值的检验（二）总体均值的检验t检验法检验法1 1平平平平均均均均值值值值与与与与标标标标准准准准值值值值比比比比较较较较已已已已知知知知真真真真值值值值的的的的t t检检检检验验验验（准确度显著性检验）（准确度显著性检验）（准确度显著性检验）（准确度显著性检验）2 2两组样本平均值的比较两组样本平均值的比较两组样本平均值的比较两组样本平均值的比较未知真值未知真值未知真值未知真值的的的的t t检验检验检验检验 （系统误差显著性检验）（系统误差显著性检验）（系统误差显著性检验）（系统误差显著性检验） 小结小结 1. 1. 比较：比较：比较：比较： t t 检验检验检验检验检验方法的系统误差检验方法的系统误差检验方法的系统误差检验方法的系统误差 F F 检验检验检验检验检验方法的偶然误差检验方法的偶然误差检验方法的偶然误差检验方法的偶然误差 G G 检验检验检验检验异常值的取舍异常值的取舍异常值的取舍异常值的取舍 2. 2. 检验顺序：检验顺序：检验顺序：检验顺序： GG检验检验检验检验 F F 检验检验检验检验 t t检验检验检验检验 异常值的异常值的异常值的异常值的取舍取舍取舍取舍精密度显著性精密度显著性精密度显著性精密度显著性检验检验检验检验准确度或系统误准确度或系统误准确度或系统误准确度或系统误差显著性检验差显著性检验差显著性检验差显著性检验