第五章第五章相交线、平行线相交线、平行线第六节第六节 平行线的性质平行线的性质复习：复习： 利用角的关系，判断直线平行利用角的关系，判断直线平行 （1） 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 （2） 内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行 （3） 同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行交换条件和结论，就得到平行线的性质交换条件和结论，就得到平行线的性质 1. . 平行线的性质平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补）两直线平行，同旁内角互补 用符号来表示用符号来表示 （1） ABCD （已知）已知） 12 （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） （2） ABCD （已知）已知） 32 （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） （3） ABCD （已知）已知） 24180 （两直线平行，同旁内角互补（两直线平行，同旁内角互补 ）1. . 平行线的性质平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补）两直线平行，同旁内角互补 2. 2. 性质的证明性质的证明 一般说，交换定理的条件和结论后不一定正确一般说，交换定理的条件和结论后不一定正确 性质（性质（1 1）我们做为公理给出，利用公理可以证明（）我们做为公理给出，利用公理可以证明（2 2）和）和（3 3） 证明（证明（2 2）两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等 已知：如图已知：如图, , ABCD求证：求证：32 证明证明 如图如图 ABCD （ ） 12（ ） 又又 31（ ） 32（ ）已知已知两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等对顶角相等对顶角相等等量代换等量代换证明（证明（3 3）两直线平行，两直线平行，同旁内角互补同旁内角互补已知：如图，已知：如图，ABCD求证：求证：2 24 4180 180 证明证明 ABCD （ ） 12 （ ） 又又 14180 （ ） 24180 （ ） 已知已知两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等邻补角定义邻补角定义等量代换等量代换2. 2. 性质的证明性质的证明 一般说，交换定理的条件和结论后不一定正确一般说，交换定理的条件和结论后不一定正确 性质（性质（1 1）我们做为公理给出，利用公理可以证明（）我们做为公理给出，利用公理可以证明（2 2）和）和（3 3） 3. . 平行线的判定与性质的区别平行线的判定与性质的区别（1）从因果关系上看）从因果关系上看性质：性质： ABCD 平行是因平行是因 ，角的关系是果，角的关系是果判判定定： ABCD 角角的的关关系系是是因因，平平行是果行是果 性质与判定性质与判定的因果关系的因果关系是相反的是相反的 （2）从所起作用来看）从所起作用来看性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补 判定：根据角的相等或互补，去证两条直线平行判定：根据角的相等或互补，去证两条直线平行 在注理由时在注理由时千万不要搞千万不要搞混了混了 例例1 如图如图（1）如果）如果EDFA，那么可以推出那两条直线平行？为什么？那么可以推出那两条直线平行？为什么？（2）如果）如果ADBE，那么那么E等于哪个角？为什么？等于哪个角？为什么？（3）当）当EBC和哪个角相等时，有和哪个角相等时，有ADBE? 为什么？为什么？解解(1) EDFA（已知）已知） DEAB （ ） (2) ) ADBE （已知）已知） EFDE （ ）( (3) 当当EBCA时，时，ADBE （ ） 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等同位角相等同位角相等, , 两直线平行两直线平行例例2：如图：如图ABCD，ACBD 找出图中相等的角与互补的角找出图中相等的角与互补的角解解 相等的角（内错角）相等的角（内错角） 12，56（ ） 34，78（ ） AD、BC交于交于O还有两对顶角相等还有两对顶角相等,四对邻补角互补，四对邻补角互补， 请同学们自己找出来请同学们自己找出来互补的角（同旁内角）互补的角（同旁内角） BAC与与ACD，ABD与与CDB （ ） BAC与与ABD，ACD与与CDB （ ） 相等的角相等的角（同角的补角相等）同角的补角相等） ABD与与ACD,BAC与与CDBABCDACBDABCDACBD例例3 已知：如图已知：如图, ,ADBC，AEFB 求证：求证：ADEF证明证明1 1 ADBC （已知）已知） AB180 （ ） 又又 BAEF （已知）已知） AAEF180 （ ） ADEF （ ） 分析分析1 ADBC AB180 AEFB AAEF180 ADEF两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补等量代换等量代换同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行例例3 已知：如图已知：如图, ,ADBC，AEFB 求证：求证：ADEF分析分析2 2 证法证法2 AEFB （已知）已知） EFBC （ ） 又又 ADBC （已知）已知） ADEF （ ）ADEF ADBCEFBC AEFB同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行平行公理推论平行公理推论例例4已知：如图已知：如图, ,ADBC AC 证明：证明：ABCD分析分析1 1 ABCD证明证明1 ADBC （已知）已知） AABF （ ） 又又 AC （已知）已知） CABF （ ） ABCD （ ） ADBC AABFAC ABF CC两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等等量代换等量代换同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 例例4已知：如图已知：如图ADBC AC 证明：证明：ABCD 证明证明2 ADBC（已知）已知） ABCA180 （ ） 又又 AC （已知）已知） ABCC180 （ ） ABCD （ ） 分析分析2 2ABABCD CD ABCABCC C180180ABCABCA A180180 AD ADBCBC两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补等量代换等量代换同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行AC例例5 已知：如图已知：如图,12 求证：求证：34180 证明证明 12 （已知）（已知） ABCD （ ） ABCD ( ) 45 （ ） 又又 35180 （ ） 34180 （ ）分析分析12 ABCD 5435180 34180 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行已证已证两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等邻补角定义邻补角定义等量代换等量代换 4. 4. 平行线的判定平行线的判定与与平行线的性质平行线的性质的的综合运用综合运用 平行平行平行线的性质平行线的性质平行线的判定平行线的判定角的关系角的关系角的度数角的度数垂直垂直角平分线角平分线 全全等等等等角角对对等等边边相相似似例例6 已知，如图，已知，如图，ABCD，165，245 求求A 度数度数 分析分析 ABCD ADCA180 ADC13 ， 只要算出只要算出ADC就行就行1已知已知 ，只要算出，只要算出3就行，而就行，而32 解解 ABCD （已知）已知） 3245 （ ） ADCA180 （ ）又又 165 （已知）（已知） ADC136545110 （ ） A180ADC18011070（ ） 两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补等式性质等式性质等式性质等式性质例例7 已知：如图，已知：如图，ECDB， 求证：求证：ABACB180 证明证明 ECDB （已知）已知） ABEC （ ） AACE （ ） ABACB ACEECDACB （ ） 180 （ ）分析分析ECDB ABEC AACEABACB ACEECDACB180 ECDB 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等等量代换等量代换平角定义平角定义例例8 已知：如图，已知：如图，BADE，BCAC于于C 求证：求证：DEAC 分析分析 要证要证DEAC，只需求出只需求出DEA90 证明证明 BADE （已知）已知） DEBC （ ） AEDC （ ） 又又 BCAC （已知）已知） C90 （ ） AEC90 （ ） DE AC （ ）同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等垂直定义垂直定义等量代换等量代换垂直定义垂直定义例例9 已知：如图，已知：如图，ABCD，BCAD 求证：求证：AC分析一分析一 图中只有同旁内角，可以考虑图中只有同旁内角，可以考虑 用两直线平行，同旁内角互补解用两直线平行，同旁内角互补解证法一证法一 ABCD （已知）已知） AD180 （ ） BCAD （已知）已知） DC180 （ ） AC （ ）两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补同角的补角相等同角的补角相等例例9 已知：如图，已知：如图，ABCD，BCAD 求证：求证：AC分分析析二二 能能不不能能用用同同位位角角和和内内错错角角呢呢？图图中中没没有有，但但我我们们可可以以通通过过添添加加辅辅助助线线得到同位角和内错角得到同位角和内错角 证法二证法二 延长延长AB至至E ABCD （已知）已知） CCBE （ ） BCAD （已知）已知） ACBE （ ） AC （ ）两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等等量代换等量代换例例9 已知：如图，已知：如图，ABCD，BCAD 求证：求证：AC分分析析三三 如如图图，若若连连结结AC，我我们们会会发发现现12，34，关关键键是是哪哪两两条条直直线平行推出哪两个角相等，不要搞错了。线平行推出哪两个角相等，不要搞错了。证法三证法三 （已知）已知） 34 （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） （已知）已知） 12 （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） 1423 （ ） 即即 ACABCDBC AD等式性质等式性质例例10 已知：如图，已知：如图，ABCD 求证：求证：BBEDD360 分析一分析一 3602180 ，如能构造两组，如能构造两组 平行平行，两对同旁内角就行了两对同旁内角就行了 证法一证法一 如图，过如图，过E作作EFAB 则则 B1180（两直线平行，同旁内角两直线平行，同旁内角 互补）互补） EF AB （辅助线作法辅助线作法） ABCD （已知）已知） EF CD （平行公理推论）平行公理推论） D2180（两直线平行，同旁内角互补）两直线平行，同旁内角互补） B1D2180180360（等式性质）等式性质） 即即 BBEDD360注注意意：不不能能过过E作作EFABEF CD例例10 已知：如图，已知：如图，ABCD 求证：求证：BBEDD360 分析二分析二 360是一周角，将三个角是一周角，将三个角集中在一周角集中在一周角 证法二证法二 如图过如图过E作作EGAB 则则 B3 （两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等） EG AB （辅助线作法）辅助线作法） ABCD （已知）已知） EG CD （平行公理推论）平行公理推论） D4 （两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等） BBEDD 3BED4 （等量代换）等量代换） 360 （周角定义）周角定义）例例10 已知：如图，已知：如图，ABCD 求证：求证：BBEDD360 分析三分析三 360是两个平角，可将三个角和是两个平角，可将三个角和 分为两个平角分为两个平角证法三证法三 如图，过如图，过E作作EFAB，延长延长AB至至H，延长延长CD到到K 则则 15 （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） EF AB （辅助线作法）辅助线作法） ABCD （已知）已知） EF CD （平行公理推论）平行公理推论） 26 （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） 又又 B5180 D6180 （平角定义）平角定义） BBEDDB12D B 56D180180 360 （等式性质）等式性质）小结：小结： 辅助线辅助线（1）作辅助线的目的：）作辅助线的目的： 扩大已知，建立联系扩大已知，建立联系 （2）添加辅助线的思路：在已知和未知之间搭桥）添加辅助线的思路：在已知和未知之间搭桥（3）添加辅助线注意问题：）添加辅助线注意问题： 简洁简洁 辅助线用虚线。辅助线用虚线。 在证明中写清辅助线的作法。在证明中写清辅助线的作法。 小结小结：今天我们主要介绍了今天我们主要介绍了 1. .平行线的性质平行线的性质 2. .平行线的性质与平行线判定平行线的性质与平行线判定的综合应用的综合应用3. 添加辅助线证明几何题添加辅助线证明几何题