2020 届高三年级阶段性学情调研 数学（文科）试题 2019.09 考试时间：120 分钟 总分：160 分 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分。请把答案填写在答题卡相应位置上） 1.已知集合 A= -1,0，1，3，B = Rxxx , 0| ,则BA . 2.己知复数)1)(2(iia的实部为 0,其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是 . 3.函数1log2xy的定义域为 . 4.已知直线012:1ayaxl和05)2(3:2yaxl平行，则实数 a 的值为 . 5.设命题4: xp;命题045:2 xxq,那么p是q的条件.（选填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 6.在ABC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 4,2, 2Aba,则 B= . 7.已知函数0, 220,log)(2xxxxxf,若21)(af,则实数a. 8.设曲线xaxxfln)(的图象在点(1，) 1 (f)处的切线斜率为 2,则实数a的值为 9.若“2 ,21x，使得0122 xx成立”是假命题，则实数的取值范围是 . 10.在平面直角坐标系xOy中，将函数)32sin(xy的图象向右平移)20(个单位长度后,得到的图象经过坐标原点，则的值为 . 11.已知2, 50, 42)(xexxxfx，若关于x的方程05| )(|axxf恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为 . 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题满分 14 分） 己知,为钝角，且532cos,53sin. (1)求tan的值： (2)求)cos(的值. 16.(本题满分 14 分） 已知43)2)(32( , 3| , 4|bababa. (1)求a与b的夹角； (2)求|ba； (3)若)()(baba,求实数的值. 17.(本题满分 15 分） 在ABC中，a,b,c 分别为角 A, B, C 所对边的长，)sin)(sin()sin(sinCBbcBAa. (1)求角 C 的值； (2)设函数43)3sin(cos)(xxxf，求)(Af的取值范围. 18. (本题满分 15 分） 在平面直角坐标系xOy中，己知圆 C: 04222Fyxyx，且圆 C 被直线023 yx截得的弦长为 2. (1)求圆 C 的标准方程； (2)若圆 C 的切线l在x轴和y轴上的截距相等，求切线l的方程； (3)若圆 D: 2) 1()(22yax上存在点 P，由点 P 向圆 C 引一条切线，切点为 M，且满足POPM2,求实数a的取值范围. 19.(本题满分 16 分） 如图，在 P 地正西方向 16cm 的 A 处和正东方向 2km 的 B 处各一条正北方向的公路 AC 和BD，现计划在 AC 和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F. (1)若在 P 处看 E，F 的视角045EPF,在 B 处看 E 测得045ABE,求 AE，BF； (2)为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路 PE 和 PF,设EPF，公路 PF 的每千米建设成本为 a 万元，公路 PE 的每千米建设成本为 8a 万元.为节省建设成本，试确定 E,F 的位置，使公路的总建设成本最小. 20.(本题满分 16 分） 已知函数beaxxfx2)()(在0x处的切线方程为01 yx ,函数) 1(ln)(xkxxg. (1)求函数)(xf的解析式； (2)求函数)(xg的极值； (3)设qpxgxfxF,(min)(),(min)(表示qp,中的最小值)， 若)(xF在), 0( 上恰有三个零点，求实数k的取值范围. 2020 届高三年级阶段性学情调研 （数学文科）参考答案 一、填空题 1.;3 , 1 , 0 2.; 2 3.);, 2 4.; 1 5.充分不必要； 6.;6 7.2或;43 8.; 3 9.;22 ,( 10.;6 11.;50217 12.;34 13.);, 33,( 14.25, 2 ,5ln5,e 二、解答题 15.解（1）因为 cos235，cos22cos21， 所以 2cos2135，解得 cos215 2 分 因为为钝角，所以 cos 55 从而 sin 1cos2 1152 55 5分 所以 tansincos2 55 552 7 分 （2）因为为钝角，sin35， 所以 cos 1sin2 1(35)245 10分 从而 cos()coscossinsin55253)55()54( 2552 14 分 16.解：由题意得 分又）（63, 021cos,4327cos8643, 443384)2)(32(122bababbaababa 分）（）（）（）（）（）（）（分（143101030-0-310372)2(22222bbabaabababababababbaababa 17.解：（1）在ABC中， 因为)sin)(sin()sin(sinCBbcBAa， 由正弦定理sinsinsinabcABC， 所以)()(bccbbaa 3 分 即abcba222， 由余弦定理2222coscababC，得21cosC 5分 又因为0C，所以32C 7分 （2）因为43)3sin(cos)(xxxf=43cos23cossin212xxx 43) 12(cos432sin41xx=)32sin(21x 10 分 )32sin(21)(AAf 由（1）可知32C，且在ABC中，CBA 所以30 A，即323A 12 分 所以1)32sin(0A，即21)(0Af 所以(A)f的取值范围为21, 0( 15分 18. 解： （1）由题意得 22222222240,(1)(2)5,5-1,251,21( 1)1,3(1)(2)24CxyxyFxyFFrFdrFCxy 圆 ：即圆心坐标为（），-1-2+3+2又圆心到直线的距离d=又弦长为圆 的标准方程为分 （2）因为直线l在x轴和y轴上的截距相等， 若直线l过原点，则假设直线l的方程为0,ykxkxy即，因为直线l与圆 C 相切， 分；或的方程为直线6)6-2()62(,62, 024,21222xyxylkkkrkkd 若直线l不过原点，切线l在x轴和y轴上的截距相等，则假设直线l的方程为, 0, 1ayxayax即因为相切， 分；或的方程为直线或8010313, 21,2112122yxyxlaaarad 分或或或的方程为综上所述直线90103)6-2()62(yxyxxyxyl 分（恒成立，（切，两圆有公共点且不能内上，又在圆（点又，即为切点，相切，且与圆直线，满足点点坐标为（假设15. 42, 9) 1,239)129)1) 12()1,23) 12()1221)P8)2() 1-(, 0342, 2)2() 1()(2, 2PC2,-PCPMMC,2PMPO2PMP),.)3(222222222222222222222222aaaaaayaxyxyxyxyxyxPOrPMPOyxP 19.解：(1) 在Rt ABE中，由题意可知018,45ABABE，则18AE 2分 在Rt APE中，189tan168AEAPEAP，在Rt BPF中tan2BFBFBPFBP 4 分 因为,450EPF所以,1350BPFAPE 于是BPFAPEBPFAPEBPFAPEtantan1tantan)tan(9821918 2BFBF 所以34BF 6 分 答：18AEkm34BFkm7 分 （2）由公路PE的成本为公路PF的成本的8倍,所以8PEPF最小时公路的建设成本最小. 在 RtPAE中，由题意可知APE，则16cosPE 同理在 RtPBF中，PFB，则2sinPF 令20 ,sin2cos1288)(PFPEf，9分 则,cossincossin642sincos2cossin128)(223322f11分 令( )0f，得1tan4，记01tan4，002， 当0(0,)时，( )0f，( )f单调减； 当0(,)2时，( )0f，( )f单调增 所以1tan4时，( )f取得最小值， 13分 此时1tan1644AEAP，8tanBPBF15 分 所以当AE为 4km，且BF为 8km 时，成本最小 16 分 20. 解：（1） 22222xfxxa xaa e 因为 f x在0x 处的切线方程为10xy 所以 22 02101faafab ， 2 分 解得10ab 所以 21xf xxe 3 分 （2） g x的定义域为0, xkgxx 若0k 时，则 0gx 在0,上恒成立， 所以 g x在0,上单调递增，无极值 5分 若0k 时，则 当0xk时， 0gx ， g x在0,k上单调递减； 当xk时， 0gx ， g x在, k 上单调递增； 所以当xk时， g x有极小值2lnkkk，无极大值7 分 (3)因为 0f x 仅有一个零点 1，且 0f x 恒成立，所以 g x在0,上有仅两个不等于 1 的零点 8 分 当0k 时，由(2)知， g x在0,上单调递增， g x在0,上至多一个零点，不合题意，舍去 当20ke时， min2ln0g xg kkk， g x在0,无零点 当2ke时， 0g x ，当且仅当2xe等号成立， g x在0,仅一个零点 11分 当2ke时， 2ln0g kkk， 0g ee，所以 0g kg e， 又 g x图象不间断， g x在0,k上单调递减 故存在1,xe k，使 10g x 13 分 又 ) 1ln2()(2kkkkg 下面证明，当2xe时，01ln2)(xxxh 2xhxx0， h x在2,e上单调递增 2250h xh ee 所以, 0)()(2kkhkg 20g kg k 又 g x图象在0,上不间断， g x在, k 上单调递增， 故存在22,xk k， 使 20g x 15分 综上可知，满足题意的k的范围是2,e 16分 (注：2x取ke亦可)