第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础教教 学学 安安 排排教学时数教学时数 ：总学时：总学时4848学时；其中理论课时学时；其中理论课时3838学学时，实验时，实验1010学时。学时。周周 数数 ： 10-1710-17周；周；教学内容教学内容 ：第：第1 1章；第章；第2 2章部份内容；第章部份内容；第3 3章；章；第第4 4章；第章；第5 5章章1-21-2节。节。推荐参考书：推荐参考书：数字电子技术数字电子技术，西安电子科西安电子科技大学出版社技大学出版社，江晓安主编江晓安主编2010-42010-41 1都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 课程性质与教学目标课程性质与教学目标 课程性质课程性质：“数字电子技术数字电子技术”是计算机各专业及电是计算机各专业及电子类专业必修的一门重要专业基础课。本课程主要介绍有关子类专业必修的一门重要专业基础课。本课程主要介绍有关数字系统基本知识、基本理论、及常用数字集成电路，重点数字系统基本知识、基本理论、及常用数字集成电路，重点讨论数字逻辑电路分析方法，了解其设计的基本方法。讨论数字逻辑电路分析方法，了解其设计的基本方法。 从计算机的层次结构上讲，从计算机的层次结构上讲， “数字逻辑数字逻辑”是深入了解计是深入了解计算机算机“内核内核” 的一门最关键的基础课程。的一门最关键的基础课程。 教学目标：教学目标：本课程的教学目标是使学生了解组成数本课程的教学目标是使学生了解组成数字计算机和其它数字系统的各种数字电路，能熟练地运用基字计算机和其它数字系统的各种数字电路，能熟练地运用基本知识和理论对各类电路进行分析，并能根据客观提出的设本知识和理论对各类电路进行分析，并能根据客观提出的设计要求用合适的集成电路芯片完成各种逻辑部件的设计。计要求用合适的集成电路芯片完成各种逻辑部件的设计。2010-42010-42 2都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 如何学好数字逻辑？如何学好数字逻辑？一一. .掌握课程特点掌握课程特点 1.1.本课程是一门既抽象又具体的课程。本课程是一门既抽象又具体的课程。在逻辑问题的提在逻辑问题的提取和描述方面是抽象的取和描述方面是抽象的, ,而在逻辑问题的实现上是具体的。而在逻辑问题的实现上是具体的。因此，学习中既要有抽象分能力，又要善于结合实际。因此，学习中既要有抽象分能力，又要善于结合实际。 2.2.逻辑设计方法十分灵活。逻辑设计方法十分灵活。数字系统中，逻辑电路的分数字系统中，逻辑电路的分析与设计具有很大的灵活性。许多问题的处理没有固定的方析与设计具有很大的灵活性。许多问题的处理没有固定的方法和步骤，很大程度上取决于操作者的逻辑思维推理能力、法和步骤，很大程度上取决于操作者的逻辑思维推理能力、知识广度和深度、以及解决实际问题的能力。换而言之，逻知识广度和深度、以及解决实际问题的能力。换而言之，逻辑电路的分析与设计具有较大的弹性和可塑性。辑电路的分析与设计具有较大的弹性和可塑性。 3 3. .理论知识与实际应用结合十分紧密。理论知识与实际应用结合十分紧密。该课程各部分知该课程各部分知识与实际应用直接相关，学习中必须将理论知识与实际问题识与实际应用直接相关，学习中必须将理论知识与实际问题联系起来。真正培养解决实际问题的能力。联系起来。真正培养解决实际问题的能力。 2010-42010-43 3都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础二二. .重视课堂学习重视课堂学习1.1.认真听课：认真听课：听课时要紧跟教师授课思路，认真领会每听课时要紧跟教师授课思路，认真领会每一个知识要点，抓住书本上没有的内容，琢磨重点与难点。一个知识要点，抓住书本上没有的内容，琢磨重点与难点。 2.2. 做做好好笔笔记记：适适当当地地记记录录某某些些关关键键内内容容，尤尤其其是是那那些些重重点、难点、疑点，以便课后复习、思考。点、难点、疑点，以便课后复习、思考。3 3. . 主主动动思思考考：听听课课时时围围绕绕教教师师所所述述内内容容及及提提出出的的问问题题，主动思考问题，寻找自己的见解。主动思考问题，寻找自己的见解。三三. .培养自学能力培养自学能力1 1. . 认真阅读教材内容。认真阅读教材内容。2.2. 善于总结、归纳。善于总结、归纳。3 3. . 加强课后练习。加强课后练习。2010-42010-44 4都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础第第 一一 章章逻辑代数基础逻辑代数基础 1.1： 基本概念、公式和定理基本概念、公式和定理概述概述 1.3：逻辑函数的表示方法及其相逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换互之间的转换。 1.2：逻辑逻辑函数的化函数的化简简方法方法2010-42010-45 5都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础概概述述一、数字系统一、数字系统数数字字系系统统是是一一个个能能对对数数字字信信号号进进行行加加工工、传传递递和和存存储储的的实实体体，它它由由实实现现各各种种功功能能的的数数字字逻逻辑辑电电路路相相互互连连接接而而成。例如，数字成。例如，数字计计算机。算机。 2 2、数字信号数字信号例如，学生成例如，学生成绩记录绩记录，工厂，工厂产产品品统计统计, ,电电路开关的状路开关的状态态等。等。信号的变化在时间上和数值上都是断续的，或离散的信号的变化在时间上和数值上都是断续的，或离散的u数字信号波形数字信号波形t对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。模拟信号：信号随时间连续变化的量。模拟信号：信号随时间连续变化的量。对模拟信号进行对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。传输、处理的电子线路称为模拟电路。1、什么是数字系统、什么是数字系统?ut模拟信号波形模拟信号波形2010-42010-46 6都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础例如例如, ,某控制系统框图如下图所示。某控制系统框图如下图所示。 执行机构执行机构数字量数字量 数字量数字量模拟量模拟量模拟量模拟量控制信号控制信号被测参数被测参数一次仪表一次仪表计算机计算机被控对象被控对象D/AA/D数数字字系系统统中中处处理理的的是是数数字字信信号号，当当数数字字系系统统要要与与模模拟拟信信号号发发生生联联系系时时，必必须须经经过过模模/数数(A/D)转转换换和和数数/模模(D/A)转换电路，对信号类型进行变换转换电路，对信号类型进行变换2010-42010-47 7都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 二、数字二、数字逻辑电逻辑电路路用用来来处处理理数数字字信信号号的的电电子子线线路路称称为为数数字字电电路路。由由于于数数字字电电路路的的各各种种功功能能是是通通过过逻逻辑辑运运算算和和逻逻辑辑判判断断来来实实现现的的，所以数字电路又称为所以数字电路又称为数字逻辑电路数字逻辑电路或者或者逻辑电路。逻辑电路。(1)电电路路的的基基本本工工作作信信号号是是二二值值信信号号。它它表表现现为为电电路路中中电电压压的的“高高”或或“低低”、开开关关的的“接接通通”或或“断断开开”、晶晶体体管管的的“导通导通”或或“截止截止”等两种稳定的物理状态。等两种稳定的物理状态。(2)电路中的半导体器件一般都工作在开、关状态。电路中的半导体器件一般都工作在开、关状态。数字逻辑电路具有如下特点：数字逻辑电路具有如下特点： (3)电路结构简单、功耗低、便于集成制造和系列化生产；电路结构简单、功耗低、便于集成制造和系列化生产；产品价格低廉、使用方便、通用性好。产品价格低廉、使用方便、通用性好。(4)由由数数字字逻逻辑辑电电路路构构成成的的数数字字系系统统工工作作速速度度快快、精精度度高、功能强、可靠性好。高、功能强、可靠性好。2010-42010-48 8都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础三、逻辑代数三、逻辑代数逻辑关系逻辑关系-事物间的因果关系事物间的因果关系逻逻辑辑代代数数-反反映映和和处处理理这这种种逻逻辑辑关关系系的的数数学学工具工具布布尔尔代代数数-逻逻辑辑代代数数是是英英国国数数学学家家(GeorgeBoole)布布尔尔在在19世世纪纪中中叶叶创创立立的的一一门门数数学学学学科科。所所以以又叫又叫布尔代数布尔代数开开关关代代数数-20世世纪纪30年年代代美美国国工工程程师师(ClaudeE.Shannon)克克劳劳德德香香浓浓将将逻逻辑辑代代数数运运用用到到开开关关电电路路的分析中。因此又称为的分析中。因此又称为开关代数开关代数逻辑变量逻辑变量-逻辑代数中的变量逻辑代数中的变量,用字母表示。用字母表示。二值逻辑二值逻辑-变量中取值只有变量中取值只有“1”咱咱“0”两种两种逻辑代数是分析和设计数字电路的基本数学工具，它逻辑代数是分析和设计数字电路的基本数学工具，它的基本和常用运算也是数字电路要实现的重要操作。的基本和常用运算也是数字电路要实现的重要操作。2010-42010-49 9都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础（一）（一）进位计数制进位计数制数数制制是是人人们们对对数数量量计计数数的的一一种种统统计计规规律律。按按进进位位的的原原则则进进行行计计数数，称称为为进进位位计计数数制制。日日常常生生活活中中广广泛泛使使用用的的是是十十进进制制，而而数数字字系系统统中中使使用用的的是是二二进进制制。每每一一种种进进位位计计数数制制都都有有一一组组特特定定的的数数码码，例例如如十十进进制制数数有有10个个数数码码，二二进进制制数数只只有有两两个个数数码码，而十六进制数有而十六进制数有16个数码。个数码。四四 数制及其转换数制及其转换666610261016100如如十十进进制制中中采采用用了了0、1、9共共十十个个基基本本数数字字符符号号，进进位位规规律律是是“逢逢十十进进一一”。当当用用若若干干个个数数字字符符号号并并在在一一起起表表示示一一个个数数时时，处处在在不不同同位位置置的的数数字字符符号，其值的含意不同。号，其值的含意不同。1、十进制、十进制同同一一个个字字符符6从从左左到到右右所所代代表表的的值值依依次次为为600、60、6。即即(666)10=6102+6101+6100 2010-42010-41010都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础基基数数N=10：采采用用10个个不不同同的的数数码码0、1、2、9和和一个小数点一个小数点(.)。进进位位规则规则：是：是“逢十逢十进进一一”。权权：10i再如：再如：注：我们把十进制数的注：我们把十进制数的10个基本数码定义为个基本数码定义为“基数基数”，在不，在不同位数代表的数值大小的常数同位数代表的数值大小的常数10i定义为定义为“权权”，则十进数的，则十进数的特点可总结如下：特点可总结如下：上述十上述十进进制数的表示方法也制数的表示方法也可以推广到任意可以推广到任意进进制数。制数。2010-42010-41111都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础广广义义地地说说，一一种种进进位位计计数数制制包包含含着着基基数数和和位位权权两个基本两个基本的因素：的因素：基基数数:指指计计数数制制中中所所用用到到的的数数字字符符号号的的个个数数。在在基基数数为为N计计数数制制中中，包包含含0、1、N-1共共N个个数数字字符符号号，进进位位规律是规律是“逢逢N进一进一”。称为。称为N进位计数制，简称进位计数制，简称N进制。进制。2.N进制进制位位权权:是是指指在在一一种种进进位位计计数数制制表表示示的的数数中中，用用来来表表明明不不同同数数位位上上数数值值大大小小的的一一个个固固定定常常数数。不不同同数数位位有有不不同同的的位位权权，某某一一个个数数位位的的数数值值等等于于这这一一位位的的数数字字符符号号乘乘上上与与该该位位对对应应的的位位权权。N进进制制数数的的位位权权为为N的的整整数数次次幂幂。例例如如，十十进进制制数数的的位位权权是是10的的整整数数次次幂幂，其其个个位位的的位位权权是是100，十十位位的的位位权权是是101。一个一个N进制数进制数D可以有两种表示方法：可以有两种表示方法：(1)并列表示法并列表示法(又称位置计数法)(D)N=(Kn-1Kn-2K1K0.K-1K-2K-m)N2010-42010-41212都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础(2)多项式表示法多项式表示法(又称按权展开法又称按权展开法)(D)N=Kn-1Nn-1+Kn-2Nn-2+K1N1+K0N0+K-1R-1+K-2N-2+K-mN-m其中：其中：N N 基数；基数；n n整数部分的位数；整数部分的位数； m 小数部分的位数；小数部分的位数； KiKi N N进进制中的一个数字符号，其取制中的一个数字符号，其取值值范范围为围为 0 0 KiKi N-1 (-min-1) N-1 (-min-1)。(3)位权是位权是N的整数次幂，第的整数次幂，第i位的权为位的权为Ni(-min-1)。N进制的特点可归纳如下：进制的特点可归纳如下：(1)有有0、1、N-1共共N个数字符号个数字符号;(2)“逢逢N进进一一”，“10”表表示示N;2010-42010-41313都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础基基数数N=2的的进进位位计计数数制制称称为为二二进进制制。二二进进制制数数中中只只有有0和和1两两个个基基本本数数字字符符号号，进进位位规规律律是是“逢逢二二进进一一”。二二进进制制数数的的位位权权是是2的的整整数数次次幂幂。任任意意一一个个二二进进制制数数D可可以以表表示示成成 3、二进制、二进制 其中：其中：n整数位数；整数位数；m小数位数；小数位数；Ki为为0或者或者1，-min-1。(D)2=(Kn-1Kn-2K1K0.K-1K-2K-m)2=Kn-12n-1+Kn-22n-2+K121+K020+K-12-1+K-22-2+K-m2-m2010-42010-41414都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 例如，一个二例如，一个二进进制数制数1011.011011.01可以表示成可以表示成: : (1011.01) (1011.01)2 2 = 1= 12 23 3+0+02 22 2+1+12 21 1+1+12 20 0+0+02 2-1-1+1+12 2-2-2 二进制数的运算规则如下：二进制数的运算规则如下： 加法规则加法规则 0+0=0 0+1=1 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 ( 1+0=1 1+1=10 (进位为进位为1 1) ) 减法规则减法规则 0-0=0 1-0=1 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0-1=1 ( 1-1=0 0-1=1 (借位为借位为1 1) ) 乘法乘法规则规则 0 00=0 00=0 01=0 1=0 1 10=0 10=0 11=11=1 除法除法规则规则 0 01=0 11=0 11=11=1 2010-42010-41515都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 例例如如，二二进进制制数数A=11001,B=101,A=11001,B=101,则则A+BA+B、A-BA-B、A AB B、A AB B的运算的运算为为 1 1 0 0 11 1 0 0 1+ 1 0 1+ 1 0 11 1 1 1 01 1 1 1 01 1 0 0 11 1 0 0 1 - 1 0 1- 1 0 11 0 1 0 01 0 1 0 01 1 0 0 11 1 0 0 1 1 0 1 1 0 11 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 1 1 0 0 1 + 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 0 11 1 0 0 11 1 0 0 11 0 11 0 11 0 11 0 1 -1 0 1-1 0 11 0 11 0 1 -1 0 1-1 0 10 02010-42010-41616都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础因因为为二二进进制制中中只只有有0 0和和1 1两两个个数数字字符符号号，可可以以用用电电子子器器件件的的两两种种不不同同状状态态来来表表示示一一位位二二进进制制数数。例例如如，可可以以用用晶晶体体管管的的截截止止和和导导通通表表示示1 1和和0 0，或或者者用用电电平平的的高高和和低低表表示示1 1和和0 0等等。所以所以，在数字系在数字系统统中普遍采用二中普遍采用二进进制。制。 二二进进制制的的优优点点: : 运运算算简简单单、物物理理实实现现容容易易、存存储储和和传传送送方便、可靠。方便、可靠。 二二进进制制的的缺缺点点：数数的的位位数数太太长长且且字字符符单单调调，使使得得书书写写、记记忆忆和阅读不方便。和阅读不方便。因因此此，人人们们在在进进行行指指令令书书写写、程程序序输输入入和和输输出出等等工工作作时时，通通常采用八进制数和十六进制数作为二进制数的缩写。常采用八进制数和十六进制数作为二进制数的缩写。2010-42010-41717都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 4 4、二进制数的缩写形式、二进制数的缩写形式-八八进制和十六进制进制和十六进制 （1 1）八八进进制制数数：基基数数N=8N=8的的进进位位计计数数制制称称为为八八进进制制。八八进进制制数数中中有有0 0、1 1、7 7共共8 8个个基基本本数数字字符符号号，进进位位规规律律是是“逢八逢八进进一一”。八。八进进制数的位制数的位权权是是8 8的整数次的整数次幂幂。 任意一个八任意一个八进进制数制数N N可以表示成可以表示成 (N)(N)8 8 =(K=(Kn-1n-1K Kn-2n-2K K1 1K K0 0 .K.K-1-1K K-2-2K K-m-m) )8 8 = K = Kn-1n-18 8n-1n-1+K+Kn-2n-28 8n-2n-2+ +K+K1 18 81 1+K+K0 08 80 0 +K +K-1-18 8-1-1+K+K-2-28 8-2-2+ +K+K-m-m8 8-m-m 其中其中：n n整数位数整数位数；m m小数位数小数位数； K Ki i0 07 7中的任何一个字符，中的任何一个字符，-m i n-1-m i n-1。 例例(37.41)8=381+780+48-1+18-22010-42010-41818都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 （2 2）、十六进制）、十六进制基基数数N=16N=16的的进进位位计计数数制制称称为为十十六六进进制制。十十六六进进制制数数中中有有0 0、1 1、9 9、A A、B B、C C、D D、E E、F F共共1616个个数数字字符符号号，其其中中，A AF F分分别别表表示示十十进进制制数数的的10101515。进进位位规规律律为为“逢逢十十六六进进一一”。十十六六进进制制数数的位的位权权是是1616的整数次的整数次幂幂。 任意一个十六任意一个十六进进制数制数N N可以表示成可以表示成其其中中：n n整整数数位位数数；m m小小数数位位数数；K Ki i表表示示0 09 9、A AF F中中的的任任何何一一个字符，个字符，-m i n-1-m i n-1。 例例:2A.7F=2161+A160+716-1+F16-2=216+101+7/16+15/256=42.4961 (N)(N)16 16 = (K= (Kn-1n-1K Kn-2n-2K K1 1K K0 0 .K.K-1-1K K-2-2K K-m-m) )16 16 =K =Kn-1n-11616n-1n-1+K+Kn-2n-21616n-2n-2+ +K+K1 116161 1+K+K0 016160 0 +K +K-1-11616-1-1+K+K-2-21616-2-2+ +K+K-m-m1616-m-m - -= = =10iini1616K K2010-42010-41919都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 十十进进制制数数0 01515及及其其对对应应的的二二进进制制数数、八八进进制制数数、十十六六进进制数制数如下表所示如下表所示。 十进制十进制 二进制二进制 八进制八进制 十六进制十六进制十进制十进制 二进制二进制 八进制八进制 十六进制十六进制十十进进制数与二、八、十六制数与二、八、十六进进制数制数对对照表照表 0000000010001011200100223001103340100044501010556011006670111077810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F2010-42010-42020都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础(二）二） 几种常用进制数之间的转换几种常用进制数之间的转换 方法：多方法：多项项式替代法式替代法 1 1、二二进进制数与十制数与十进进制数之制数之间间的的转换转换（1）二二进进制数制数转换为转换为十十进进制数制数（二（二-十转换）十转换） 将二将二进进制数表示成按制数表示成按权权展开式，并按十展开式，并按十进进制运算法制运算法则则进进行行计计算，所得算，所得结结果即果即为该为该数数对应对应的十的十进进制数制数。 例如，例如，（10110.10110110.101）2 2 = =（？）（？）1010 (10110.101)(10110.101)2 2= 1= 12 24 4+1+12 22 2+1+12 21 1+1+12 2-1-1+1+12 2-3-3 = 16+4+2+0.5+0.125 = 16+4+2+0.5+0.125 = (22.625) = (22.625)1010数数制制转转换换是是指指将将一一个个数数从从一一种种进进位位制制转转换换成成另另一一种种进进位位制制。从从实实际际应应用用出出发发，要要求求掌掌握握二二进进制制数数与与十十进进制制数数、八八进进制数和十六进制数之间的相互转换。制数和十六进制数之间的相互转换。2010-42010-42121都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础方法：基数乘除法方法：基数乘除法十十进进制制数数转转换换成成二二进进制制数数时时，应应对对整整数数和和小小数数分分别别进进行行处处理。理。 整数整数转换转换采用采用“除除2 2取余取余”的方法的方法； 小数小数转换转换采用采用“乘乘2 2取整取整”的方法。的方法。 (2.1) (2.1) 整数整数转换转换 “除除2 2取取余余”法法：将将十十进进制制整整数数D D除除以以2 2，取取余余数数计计为为K K0 0；再再将将所所得得商商除除以以2 2，取取余余数数记记为为K K1 1；。依依此此类类推推，直直至至商商为为0 0，取余数，取余数计为计为K Kn-1n-1为为止。即可得到与止。即可得到与N N对应对应的的n n位二位二进进制整制整 数数K Kn-1n-1K K1 1K K0 0。 （2）十进制数转换为二进制数）十进制数转换为二进制数（十（十-二转换）二转换）2010-42010-42222都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础分析：假设某十进数为分析：假设某十进数为D10,对应二进制数为对应二进制数为(Kn-1Kn-2K1K0)，则：，则：D10=(Kn-1Kn-2K1K0).=Kn-12n-1+Kn-22n-2+K121+K0=2（Kn-12n-2+Kn-22n-3+K1）+K0将上式两边同时除以将上式两边同时除以2，两边的商和余数相等，所得的商，两边的商和余数相等，所得的商为为（Kn-12n-2+Kn-22n-3+K1），而），而余数为余数为K0，同理将，同理将这个商写成：这个商写成：两边再同时除两边再同时除2，则所得之余数为，则所得之余数为K1，以此类推，就可，以此类推，就可求出对应的二进制数的第一位系数。这就叫求出对应的二进制数的第一位系数。这就叫除除2取余法取余法。用到其它进制就叫用到其它进制就叫除基取余法除基取余法。2010-42010-42323都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 例如，例如，（3535）10 10 = =（？）（？）2 2 0 0 1 1 （K K5 5） 高位高位 2 3 5 2 3 5 余数余数 2 1 7 2 1 7 1 1 （K K0 0） 低位低位 2 8 2 8 1 1 （K K1 1） 2 4 2 4 0 0 （K K2 2） 2 2 2 2 0 0 （K K3 3） 2 1 2 1 0 0 （K K4 4） 即即 (35)(35)1010=(100011)=(100011)2 2 2010-42010-42424都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 例如例如，（0.68750.6875）1010 = =（？）（？）2 2 (2) (2) 小数小数转换转换 “乘乘2 2取取整整”法法：将将十十进进制制小小数数 D D 乘乘以以2 2，取取积积的的整整数数记记为为K K1 1；再再将将积积的的小小数数乘乘以以2 2，取取整整数数记记为为K K2 2；。依依此此类类推推，直直至至其其小小数数为为0 0或或达达到到规规定定精精度度要要求求，取取整整数数记记作作K Km m为为止止。即可得到与即可得到与 D D对应对应的的m m位二位二进进制小数制小数0.K0.K-1-1K K-2-2K K-m-m。 高位高位 1(K1(K-1-1) ) 1.3 7 5 0 1.3 7 5 0 0(K0(K-2-2) ) 0.7 5 0 0 0.7 5 0 0 1(K1(K-3-3) ) 1.5 0 0 0 1.5 0 0 0 0.6 8 7 5 0.6 8 7 5 整数部分整数部分 2 2 2 2低位低位 1(K1(K-4-4) ) 1.0 0 0 0 1.0 0 0 0 2 2 2 2即即: : (0.6875)(0.6875)1010=(0.1011)=(0.1011)2 2 2010-42010-42525都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础注注意意:当当十十进进制制小小数数不不能能用用有有限限位位二二进进制制小小数数精精确确表表示示时时，可可根根据据精精度度要要求求，求求出出相相应应的的二二进进制制位位数数近近似似地地表表示示。一一般般当当要要求求二二进进制制数数取取m位位小小数数时时，可可求求出出m+1位位，然然后后对对最最低低位位作作0舍舍1入处理。入处理。即即 (0.323)(0.323)1010=(0.0101)=(0.0101)2 2 例如，例如，（0.3230.323）1010 = =（？）（？）2 2 ( (保留保留4 4位小数位小数) )。 1 1.2 9 2 .2 9 2 0 0.6 4 6.6 4 60.3 2 30.3 2 3 2 2 2 20 0.5 8 4 .5 8 4 1 1.1 6 8.1 6 8 2 2 2 20 0.3 3 6 .3 3 6 2 2高位高位低位低位2010-42010-42626都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 2 1 22 1 2 1 1 2 2 52 2 5 2 62 6 0 0 2 32 3 0 0 2 12 1 1 1 0 0 1 1 1 1.2 5 0.2 5 00.6 2 50.6 2 5 2 2 0 0.5 0 0 .5 0 0 2 21 1.0 0 0 .0 0 0 2 2即即 (25.625)(25.625)1010=(11001.101)=(11001.101)2 2 若若一一个个十十进进制制数数既既包包含含整整数数部部分分，又又包包含含小小数数部部分分，则则需需将将整整数数部部分分和和小小数数部部分分分分别别转转换换，然然后后用用小小数点将两部分结果连到一起。数点将两部分结果连到一起。例如，（例如，（25.625）10=（？）（？）22010-42010-42727都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础2 2、二二进进制数与八制数与八进进制数、十六制数、十六进进制数之制数之间间的的转换转换 由由于于八八进进制制的的基基本本数数字字符符号号0 07 7正正好好和和3 3位位二二进进制制数数的的取取值值000000111111对对应应。所所以以，二二进进制制数数与与八八进进制制数数之之间间的的转转换换可可以以按位按位进进行。行。 1二进制数与八进制数之间的转换二进制数与八进制数之间的转换(1)、二二进进制制数数转转换换成成八八进进制制数数：以以小小数数点点为为界界，分分别别往往高高、往往低低每每3位位为为一一组组，最最后后不不足足3位位时时用用0补补充充，然然后后写写出出每每组组对对应的八进制字符，即为相应八进制数。应的八进制字符，即为相应八进制数。例如，例如，（11100101.0111100101.01）2 2 = = （？）（？）8 8 011011 100100 101101 . . 010010 3 4 5 . 23 4 5 . 2 即即 (11100101.01)(11100101.01)2 2=(345.2)=(345.2)8 8 2010-42010-42828都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 5 6 . 7 5 6 . 7 101101 110110 . .111111 即即： (56.7)(56.7)8 8 = (101110.111)= (101110.111)2 2 例如，例如，（56.756.7）8 8 = = （？）（？）2 2 （2 2）、八八进进制制数数转转换换成成二二进进制制数数时时，只只需需将将每每位位八八进进制数用制数用3 3位二位二进进制数表示制数表示, ,小数点位置保持不变小数点位置保持不变。 2010-42010-42929都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础二二进进制制数数与与十十六六进进制制数数之之间间的的转转换换同同样样可可以以按按位位进进行行 ，只只不不过过是是4 4位位二二进进制制数数对对应应1 1位位十十六六进进制制数数，即即4 4位位二二进进制制数数的的取取值值0000000011111111分分别对应别对应十六十六进进制字符制字符0 0F F。 2二进制数与十六进制数之间的转换二进制数与十六进制数之间的转换（1）、二二进进制制数数转转换换成成十十六六进进制制数数：以以小小数数点点为为界界，分分别别往往高高、往往低低每每4位位为为一一组组，最最后后不不足足4位位时时用用0补补充充，然然后写出每组对应的十六进制字符即可。后写出每组对应的十六进制字符即可。 例如，例如，（101110.011101110.011）2 2 = = （？）（？）1616 即即: : (101110.011)(101110.011)2 2 = (2E.6)= (2E.6) 00100010 11101110 . . 0110 0110 2 E . 6 2 E . 6 2010-42010-43030都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础（2 2）、十十六六进进制制数数转转换换成成二二进进制制数数时时，只只需需将将每每位位十十六六进进制制数数用用4 4位位二二进进制制数数表表示示，小小数数点点位位置置保持不变保持不变。 例如，例如，（5A.B5A.B）1616 = = （？）（？）2 2 即即(5A.B)(5A.B)=(1011010.1011)=(1011010.1011)2 2 5 A . B 5 A . B 01010101 10101010 . .10111011 2010-42010-43131都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 五五 二二进进制代制代码码 一、一、十十进进制数的二制数的二进进制制编码编码（BCDBCD码）码） 用用4位二进制代码对十进制数字符号进行编码，简称位二进制代码对十进制数字符号进行编码，简称为为二二十进制代码十进制代码，或称，或称BCD(BinaryCodedDecimal)码码。BCD码既有二进制的形式，又有十进制的特点。常用的码既有二进制的形式，又有十进制的特点。常用的BCD码有码有8421码码、2421码码和余余3码。码。用二进制数表示文字，符号等信息的过程叫做用二进制数表示文字，符号等信息的过程叫做编码编码。用来进行编码之后的二进数数称为二进制代码。用来进行编码之后的二进数数称为二进制代码。 （一）（一）、84218421码码 84218421码码：是用是用4 4位二位二进进制制码码表示表示一位十进制字符的一位十进制字符的一种有一种有权码权码，4 4位二位二进进制制码码从高位至低位的从高位至低位的权权依次依次为为2 23 3、2 22 2、2 21 1、20，即，即为为8 8、4 4、2 2、1,1,故称故称为为84218421码码。2010-42010-43232都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 按按84218421码编码码编码的的0 09 9与与用用4 4位二位二进进制数表示的制数表示的0 09 9完全一完全一样样。所以，。所以，84218421码码是一种人机是一种人机联联系系时时广泛使用的中广泛使用的中间间形式形式。 (1) (1) 84218421码码中中不不允允许许出出现现1010101011111111六六种种组组合合( (因因为为没没有十有十进进制数字符号与其制数字符号与其对应对应) )。 (2) (2) 十十进进制制数数字字符符号号的的84218421码码与与相相应应ASCIIASCII码码的的低低四四位位相相同同，这这一一特特点点有有利利于于简简化化输输入入输输出出过过程程中中BCDBCD码码与与字字符符代代码码的的转换转换。 注意：注意： 84218421码码与与十十进进制制数数之之间间的的转转换换是是按按位位进进行行的的，即即十十进进制数的每一位与制数的每一位与4 4位二位二进进制制编码对应编码对应。(3) 8421(3) 8421码码与十与十进进制数之制数之间间的的转换转换 (258)(258)10 10 = (= (00100010 01010101 10001000) )84218421码码 (0001 0010 0000 1000)(0001 0010 0000 1000)84218421码码 = (1208)= (1208)1010 2010-42010-43333都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 例如：例如： (28(28）10 10 = =（1110011100）2 2 = =（0010100000101000）84218421 2 284218421码码与二与二进进制的区制的区别别 （二）、（二）、24212421码码 24212421码码: : 是用是用4 4位二位二进进制制码码表示表示一位十进制字符的一位十进制字符的另一另一种有种有权码权码，4 4位二位二进进制制码码从高位至低位的从高位至低位的权权依次依次为为2 2、4 4、2 2、1,1,故称为故称为24212421码码。 若一个十若一个十进进制字符制字符X X的的24212421码为码为a a3 3 a a2 2 a a1 1 a a0 0，则该则该字符的字符的值为值为 X = 2aX = 2a3 3 + 4a+ 4a2 2 + 2a+ 2a1 1 + 1a+ 1a0 0 例如，例如，(1101)(1101)24212421码码 = (7)= (7)1010 (1)2421(1)2421码码不具不具备单值备单值性。性。例如，例如，01010101和和10111011都都对应对应十十 进进制数字制数字5 5。为为了与十了与十进进制字符一一制字符一一对应对应，24212421码码不允不允许许出出 现现0101010110101010的的6 6种状种状态态。 2 2注意注意 2010-42010-43434都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础(2)2421(2)2421码码是是一一种种对对9 9的的自自补补代代码码。即即一一个个数数的的24212421码码只只要要自自身身按按位位变变反反, ,便便可可得得到到该该数数对对9 9的的补补数数的的24212421码。例如码。例如， 具具有有这这一一特特征征的的BCDBCD码码可可给给运运算算带带来来方方便便，因因为为直直接接对对BCD BCD 码码进进行行运运算算时时，可可利利用用其其对对9 9的的补补数数将将减法运算转化为加法运算。减法运算转化为加法运算。 (4)(4)10 10 (0100)(0100)2421 2421 (3) (3) 应应与二与二进进制数制数进进行区行区别别! ! (1011)2421(5)102010-42010-43535都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础2. 2. 余余3 3码码与与十十进进制制数数进进行行转转换换时时，每每位位十十进进制制数数字字的的编编码码都都应应余余3 3。例如，。例如， (256)(256)10 10 = (0101 1000 1001)= (0101 1000 1001)余余3 3码码 (1000 1001 (1000 1001 10011001 1011) 1011)余余3 3码码 = (5668)= (5668)10 10 注意注意:1.余余3码中不允许出现码中不允许出现0000、0001、0010、1101、1110和和1111六种状态。六种状态。 3. 3. 余余3 3码码是一种是一种对对9 9的自的自补补代代码码； （三）（三）、余余3 3码码 余余3码：是由码：是由8421码加上码加上0011形成的一种无权码，由于它的形成的一种无权码，由于它的每个字符编码比相应每个字符编码比相应8421码多码多3，故称为余，故称为余3码。码。例如，十进制字符例如，十进制字符5的余的余3码等于码等于5的的8421码码0101加上加上0011，即为即为1000。2010-42010-43636都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础十进制数字符号十进制数字符号09与与8421码、码、2421码和余码和余3码的对码的对应关系如下表所示。应关系如下表所示。 0 0 00000000 00000000 00110011 1 1 00010001 00010001 0100 0100 2 2 00100010 00100010 0101 0101 3 3 00110011 00110011 0110 0110 4 4 01000100 01000100 0111 0111 5 5 01010101 1011 1000 1011 1000 6 6 01100110 1100 1001 1100 1001 7 7 01110111 1101 1010 1101 1010 8 8 10001000 1110 1011 1110 1011 9 9 10011001 1111 1100 1111 1100 十进制字符十进制字符 84218421码码 24212421码码 余余3 3码码常用的常用的3 3种种BCDBCD码码 2010-42010-43737都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础本次课小结本次课小结1、了解数字信号、数字系统的基本概念。、了解数字信号、数字系统的基本概念。2、了解逻辑代数的基本概念。、了解逻辑代数的基本概念。3、熟悉和掌握进位计数制间的转换。、熟悉和掌握进位计数制间的转换。4、熟悉常用进制代码。、熟悉常用进制代码。作业：作业：P P6868 1-2 (1 1-2 (1、2 2、3 3、4) 4) 1-31-3（3 3、4 4、5 5）2010-42010-43838都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 1.1 1.1 基本概念、公式和定理基本概念、公式和定理1.1.1逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算；1.1.2公式和定理及规则公式和定理及规则 ；公理和定理；公理和定理；若干常用公式若干常用公式关于等式的三个规则；关于等式的三个规则；2010-42010-43939都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1.1.1 1.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算一变量：一变量：逻辑代数和普通代数一样，是逻辑代数和普通代数一样，是用字母表示其值用字母表示其值可以变化的量，即变量可以变化的量，即变量。所不同的是：。所不同的是：1在普通代数中，变量的取值可以是任意实数，而逻在普通代数中，变量的取值可以是任意实数，而逻辑代数是辑代数是一一种二值代数系统，任何逻辑变量的取值只有两种二值代数系统，任何逻辑变量的取值只有两种可能性种可能性取值取值0或取值或取值1。2逻辑值逻辑值0和和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪的形式符号，无大小、正负之分。在数字系统中，开关的接的形式符号，无大小、正负之分。在数字系统中，开关的接通与断开，电压的高和低，信号的有和无，晶体管的导通与通与断开，电压的高和低，信号的有和无，晶体管的导通与截止等两种稳定的物理状态，均可用截止等两种稳定的物理状态，均可用1和和0这两种不同的逻辑这两种不同的逻辑值来表征。值来表征。2010-42010-44040都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础二基本逻辑关系和基本逻辑运算二基本逻辑关系和基本逻辑运算描描述述一一个个数数字字系系统统，必必须须反反映映一一个个复复杂杂系系统统中中各各开开关关元元件件之之间间的的联联系系，这这种种相相互互联联系系反反映映到到数数学学上上就就是是几几种种逻逻辑辑运运算算关关系系。 对对应应这这几几种种逻逻辑辑关关系系，逻逻辑辑代代数数中中定定义义了了“与与” 、“或或”、 “非非”三种基本运算。三种基本运算。（一）与逻辑关系及与逻辑运算（一）与逻辑关系及与逻辑运算1、与逻辑关系：当决定一件事的各、与逻辑关系：当决定一件事的各个条件全部具备时，这件事才会发个条件全部具备时，这件事才会发生，这样的因果关系称之为与逻辑生，这样的因果关系称之为与逻辑关系。关系。例如，在右上图所示电路中，两个开关串联控制同一个例如，在右上图所示电路中，两个开关串联控制同一个灯。灯。显然，仅当两个开关均闭合时，灯才能亮，否则，灯灭。这个显然，仅当两个开关均闭合时，灯才能亮，否则，灯灭。这个电路就是一个与的逻辑关系。电路就是一个与的逻辑关系。S1S2HE2010-42010-44141都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础A0110000BY01011 “与与”逻辑真值表逻辑真值表 2 2、“与与”逻辑运算逻辑运算分析事件的逻辑运算关系的步骤为：分析事件的逻辑运算关系的步骤为：（1 1）设定变量：用）设定变量：用A A、B B表示开关；表示开关；Y Y表示灯表示灯, ,则电则电路中灯路中灯Y Y和开关和开关A A、B B之间的关系即可用功能表表示之间的关系即可用功能表表示出来。出来。（2 2）状态赋值：）状态赋值：假定开关闭合状态用假定开关闭合状态用1 1表示，断开表示，断开状态用状态用0 0表示，灯亮用表示，灯亮用1 1 表示，灯灭用表示，灯灭用0 0表示表示，（3 3）列真值表：用）列真值表：用“穷举法穷举法”描述逻辑函数中各描述逻辑函数中各逻辑变量的取值组合和逻辑函数值对应关系的表格。逻辑变量的取值组合和逻辑函数值对应关系的表格。 “与与”逻辑关系如真值表所示。由表逻辑关系如真值表所示。由表反映的逻辑关系可得出与逻辑的代数表达反映的逻辑关系可得出与逻辑的代数表达式式 Y = AY = AB B或者或者Y = ABY = AB 即：即：若若A A、B B均为均为1 1，则，则Y Y为为1 1；否则，；否则，Y Y为为0 0。在逻辑代数中，在逻辑代数中，“与与”逻辑关系用逻辑关系用“与与”运运算描述。其运算描述。其运算符号为算符号为“”，有时也用，有时也用“”表示。表示。ABYE开关开关A A开关开关B B灯灯Y Y断开断开断开断开闭合闭合闭合闭合断开断开闭合闭合断开断开闭合闭合灭灭灭灭灭灭亮亮2010-42010-44242都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础3、“与与”运算的运算法则运算的运算法则:00=010=001=011=1与逻辑功能：与逻辑功能：“见见0得得0，全，全1为为1”数数字字系系统统中中，实实现现“与与”运运算算关关系系的的逻逻辑辑电电路路称称为为“与与”门。门。（二）（二）“或或”逻辑关系及或逻辑运算逻辑关系及或逻辑运算1 1、或或逻逻辑辑关关系系：如如果果决决定定某某一一事事件件是是否否发发生生的的多多个个条条件件中中，只只要要有有一一个个或或一一个个以以上上条条件件成成立立，事事件件便便可可发发生生，则这种因果关系称之为则这种因果关系称之为“或或”逻辑。逻辑。例如，用两个开关并联控制一例如，用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路。个灯的照明控制电路。可以看出，可以看出，当开关当开关S1S1、S2S2中有一个闭合或者两中有一个闭合或者两个均闭合时，灯个均闭合时，灯H H即亮。因此，灯即亮。因此，灯H H与开关与开关S1S1、S2S2之间的关系是之间的关系是“或或”逻辑关系。逻辑关系。 S1S2H&ABYABY2010-42010-44343都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础2、或逻辑运算。、或逻辑运算。同样：假定开关断开用同样：假定开关断开用0 0表示，开关闭合用表示，开关闭合用1 1表示；灯灭用表示；灯灭用0 0表示，灯亮用表示，灯亮用1 1表示，则灯表示，则灯Y Y与开关与开关A A、B B的关系如真值表所示。的关系如真值表所示。 即：即：A A、B B中只要有一个为中只要有一个为1 1，则，则Y Y为为1 1；仅当；仅当A A、B B均为均为0 0时，时，Y Y才为才为0 0。 A0111100BY01011“或或”运算表运算表 由由表表可可得得出出：Y=A+B或或者者Y=AB读读作作“Y Y等等于于A A或或B B”。逻逻辑辑代代数数中中，“或或”逻逻辑辑用用“或或”运运算算描描述述。其其运运算算符符号号为为“+”，有有时时也也用用“”表表示示。两两变变量量“或或”运运算算的的关关系系可可表表示示为为 ABY2010-42010-44444都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础3、“或或”运算的运算法则：运算的运算法则：0+0=01+0=10+1=11+1=1或逻辑功能：或逻辑功能：“见见1得得1，全，全0为为0”实现实现“或或”运算关系的逻辑电路称为运算关系的逻辑电路称为“或或”门门。 （三）（三）“非非” 逻辑关系及逻辑关系及“非非”逻辑运算逻辑运算1、“非非” 逻辑关系：逻辑关系：如果某一事件的发生取决于条件如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为果关系称为“非非”逻辑。逻辑。AY例例如如，在在右右图图所所示示电电路路中中，开开关关与与灯灯并并联联。显显然然，仅仅当当开开关关断断开开时时，灯灯亮亮；一一旦旦开开关关闭闭合合，则则灯灯灭灭。则则电电路路中中灯灯Y与与开开关关A的的关关系系即即为为“非非”逻辑关系。逻辑关系。1ABYABY2010-42010-44545都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础“非非”运算真值运算真值表表AY01013、“非非”运算的运算法则：运算的运算法则：；数字系统中实现数字系统中实现“非非”运算功能的逻辑电路称为运算功能的逻辑电路称为“非非”门，门，有时又称为有时又称为“反相器反相器”。2、“非非”逻辑运算逻辑运算在逻辑代数中，在逻辑代数中，“非非”逻辑用逻辑用“非非”运算描述。其运算符运算描述。其运算符号为号为“”，有时也，有时也用用“”表示。表示。“非非”运算的逻辑关系可运算的逻辑关系可表示为表示为令开关断开用令开关断开用0表示，开关闭合用表示，开关闭合用1表示，灯亮用表示，灯亮用1表表示，灯灭用示，灯灭用0表示，则电路中灯表示，则电路中灯Y与开关与开关A的关系即为下的关系即为下表所示表所示“非非”运算关系。运算关系。读作读作“Y等于等于A非非”。即：若。即：若A为为0，则，则Y为为1；若；若A为为1，则，则Y为为0。AY1AY2010-42010-44646都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础三、逻辑函数及几种常用复合逻辑运算三、逻辑函数及几种常用复合逻辑运算逻逻辑辑代代数数中中函函数数的的定定义义与与普普通通代代数数中中函函数数的的定定义义类类似似，即即是是随随自自变变量量变变化化的的因因变变量量。但但和和普普通通代代数数中中函函数数的的概概念念相比，逻辑函数具有如下相比，逻辑函数具有如下特点：特点：1逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和和1两种可能两种可能；2函函数数和和变变量量之之间间的的关关系系是是由由“与与”、“或或”、“非非”三三种种基基本本运运算算决决定定的的:Y=AB；Y=A+B叫叫逻逻辑辑表表达达式式；式式中中A、B称称为为逻逻辑辑输输入入变变量量，Y为为逻逻辑辑输输出出变变量量，字字母母上上面面无无反反号号的的为为原原变变量量，有有反反号号的的叫叫做做反反变变量量。Y=AB中中A、B之之间间是是与与的的逻逻辑辑关关系系，Y是是A和和B的的与与函函数数；而而Y=A+B中中A、B之间是或逻辑关系，之间是或逻辑关系，Y是是A和和B的或函数。的或函数。（一）（一）、逻辑逻辑函数的定函数的定义义2010-42010-44747都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础逻逻辑辑电电路路输输出出函函数数的的取取值值是是由由逻逻辑辑变变量量的的取取值值和和电电路路本本身身的的结结构构决决定定的的。任任何何一一个个逻逻辑辑电电路路的的功功能能都都可可由由相相应应的的逻逻辑辑函函数数完完全全描描述述，因因此此，能能够够借借助助抽抽象象的的代代数数表表达达式式对对电电路路加以分析研究。加以分析研究。广义的逻辑电路广义的逻辑电路逻辑电路逻辑电路YA1A2An从数字系统研究的角度看，逻辑函数的定义如下从数字系统研究的角度看，逻辑函数的定义如下:一一般般说说来来，如如果果某某逻逻辑辑电电路路的的输输入入逻逻辑辑变变量量A1、A2的的取取值值确确定定之之后后，输输出出逻逻辑辑变变量量Y的的值值也也被被唯唯一一地地确确定定了了。那那么么就就称称Y是是A1、A2的的逻逻辑辑函函数数，并并写写成成 Y=F(A1、A2)如右图所示。如右图所示。2010-42010-44848都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑函数和普通代数中的函数一样存在是否相等的问题。逻辑函数和普通代数中的函数一样存在是否相等的问题。 什什么么叫叫做做两两个个逻逻辑辑函函数数相相等等呢呢？ 有有两两个个相相同同变变量量的的逻逻辑辑函函数数 Y Y1 1 = = f f1 1( ( A A 1 1,A ,A 2 2, , ,A ,A n n) ) 和和Y Y2 2 = = f f2 2( ( A A 1 1,A ,A 2 2, , ,A ,A n n) ) 若若对对应应于于逻逻辑辑变变量量 A A1 1 ,A,A2 2 , , , , A An n的的任任何何一一组组取取值值，Y Y1 1和和Y Y2 2的值都相同，则称函数的值都相同，则称函数Y Y1 1和和Y Y2 2相等，记作相等，记作Y Y1 1 = Y= Y2 2 。如何判断两个逻辑函数是否相等？如何判断两个逻辑函数是否相等？ 通通常常有有两两种种方方法法, ,一一种种方方法法是是真真值值表表法法，即即两两个个真真值值表表完全相同；另一种方法是完全相同；另一种方法是代数法代数法，两个，两个 逻辑表达式一样。逻辑表达式一样。2010-42010-44949都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础（二）、几种常用复合逻辑运算及符号（二）、几种常用复合逻辑运算及符号1 1、与非逻辑运算、与非逻辑运算: :& &A AB BY YA AB BY YY = A BY = A B 逻逻辑辑功功能能：“见见0 0得得1 1；全全1 1为为0 0”。 实实现现与与非非逻逻辑辑的的门门电电路路称称为为“与与非非”门。门。 1 1A AB BY YA BA BA BA B2010-42010-45050都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础ABY1ABY2. 2. 2. 2. 或非运算或非运算或非运算或非运算：3. 3. 3. 3. 与或非运算与或非运算与或非运算与或非运算：&1ABCDYABYCD逻辑功能：见逻辑功能：见1得得0；全；全0为为1。实现实现或非逻辑的门电路称为或非逻辑的门电路称为“或非或非”门门。逻逻辑辑功功能能：仅仅当当每每一一个个“与与项项”均均为为0时时，才才能能使使Y为为1，否否则则Y为为0。实实现现与与或或非非逻辑的门电路称为逻辑的门电路称为“与或非与或非”门。门。11ABYABCDAB+CDA+BA+B2010-42010-45151都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础表达式为：表达式为：表达式为：表达式为：Y=AB=AB+ABY=AB=AB+AB=1ABY有时也采用异或非（又称同或运算）运算，其逻辑表达式有时也采用异或非（又称同或运算）运算，其逻辑表达式有时也采用异或非（又称同或运算）运算，其逻辑表达式有时也采用异或非（又称同或运算）运算，其逻辑表达式: : : :Y=AB=AB+AB=AY=AB=AB+AB=A BB=ABY4.4.异或运算：异或运算：异或运算：异或运算：异或是一种异或是一种二变量二变量逻辑逻辑运算运算，当两个变量取值相同时，逻辑当两个变量取值相同时，逻辑函数值为函数值为0；当两个变量取值不同时，；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为逻辑函数值为1。实现异或运算的逻辑门称为实现异或运算的逻辑门称为“异或门异或门”。2010-42010-45252都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1、逻辑代数是分析和设计数字电路的重要逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题 2 2、与与、或或、非非是是3 3种种基基本本逻逻辑辑关关系系，也也是是3 3种种基基本本逻逻辑辑运运算算。与与非非、或或非非、与与或或非非、异异或或则则是是由由与与、或或、非非3 3种种基基本本逻逻辑辑运运算算复复合而成的合而成的4 4种常用逻辑运算。种常用逻辑运算。 3 3、作业：、作业：P P6868 1-2(1) (3) (5) 1-4 1-2(1) (3) (5) 1-42010-42010-45353都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1、与运算：、与运算：Y=AB&ABY2、或运算：、或运算：Y=A+B1ABY1AY&ABY1ABY&1ABCDY异或运算：异或运算：3、非运算：、非运算：Y=AY = AY = A B = AB + ABB = AB + AB=1ABY2010-42010-45454都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1.1.2 1.1.2 公式和定理及公式和定理及规则规则 因为二值逻辑中只有因为二值逻辑中只有0和和1两个常量，逻辑变量的取值不是两个常量，逻辑变量的取值不是0就就是是1。而最基本的逻辑运算又只有与、或、非三种，所以常量之。而最基本的逻辑运算又只有与、或、非三种，所以常量之间的关系也只有下面给出间的关系也只有下面给出常用的组常用的组,它们既是逻辑代数中的基它们既是逻辑代数中的基本运算规则同，又叫公理。本运算规则同，又叫公理。一、基本公式一、基本公式 ：常量之：常量之间间的关系的关系公式公式100=0公式公式201=0公式公式311=11+1=11+0=10+0=0公理是一个代数系统的基本出发点，无需加以证明。公理是一个代数系统的基本出发点，无需加以证明。公式公式42010-42010-45555都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础三、基本定律三、基本定律：与普通代数相似的定理：与普通代数相似的定理对于任意逻辑变量对于任意逻辑变量A、B、C，有有交交换换律律公式公式8AB=BA公式公式8A+B=B+A结结合合律律公公式式9(AB)C=A(BC)公公式式9(A+B)+C=A+(B+C) 分分配配律律公式公式10A(B+C)=AB+AC公式公式10A+(BC)=(A+B)(A+C)二、基本定律二、基本定律：变量和常量的关系：变量和常量的关系对于任意逻辑变量对于任意逻辑变量A，有有 自等律：公式自等律：公式5 A 5 A 1 = A 1 = A 公式公式5 5 A + 0 = A A + 0 = A ； 0-10-1律：公式律：公式6 A 6 A 0 = 0 0 = 0 公式公式6 6 A + 1 = 1 A + 1 = 1 ；互补律：公式互补律：公式7 7 对于任意逻辑变量对于任意逻辑变量A，存在唯一的存在唯一的A，使得，使得2010-42010-45656都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础ABCBCA+BCA+BA+C(A+B)(A+C)000011110011001101010101交换律，结合律与普通代数的相应定律在形式上完全相同，而分配律在普通代数交换律，结合律与普通代数的相应定律在形式上完全相同，而分配律在普通代数中只有乘法对加法的分配律（公式中只有乘法对加法的分配律（公式10所示），而在逻辑代数中，还有加法对乘法的分所示），而在逻辑代数中，还有加法对乘法的分配律（公式配律（公式10所示），为了区别，将（公式所示），为了区别，将（公式10）和（公式）和（公式10）分别称为第一分配律）分别称为第一分配律和第二分配律。以上各个定律证明可以用真值表来进行，将各个变量分别用和第二分配律。以上各个定律证明可以用真值表来进行，将各个变量分别用1和和0代入代入等式的左右来验证。但应注意，必须考虑变量的所有可能的取值组合。例如第二分配等式的左右来验证。但应注意，必须考虑变量的所有可能的取值组合。例如第二分配律，可列出真值表，可见等式两边相等，原等式成立。律，可列出真值表，可见等式两边相等，原等式成立。例如证明公式例如证明公式10A+(BC)=(A+B)(A+C)00000000100010011111011110111101111111112010-42010-45757都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础四、逻辑代数的一些特殊定理四、逻辑代数的一些特殊定理：反演律：公式反演律：公式12还原律：公式还原律：公式13同一律：公式同一律：公式11AA=A A+A=A；加法对乘法加法对乘法的分配律的分配律2010-42010-45858都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础证明公式证明公式12 AB=A+B1110101011001110000101010011A+BBAABABBA公式公式13=A2010-42010-45959都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础五、关于等式的三个重要五、关于等式的三个重要规则规则 逻辑代数有逻辑代数有3条重要规则，即代入规则、反演规则和对偶规则。条重要规则，即代入规则、反演规则和对偶规则。例如，给定逻辑等式例如，给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若等式中的若等式中的C都用都用(C+D)代替，则该逻辑等式仍然成立，即代替，则该逻辑等式仍然成立，即AB+(C+D)=AB+A(C+D)代入规则的正确性是显然的，因为任何逻辑函数都和逻代入规则的正确性是显然的，因为任何逻辑函数都和逻辑变量一样，只有辑变量一样，只有0和和1两种可能的取值。两种可能的取值。任何一个含有变量任何一个含有变量A的逻辑等式的逻辑等式,如果将所有出现如果将所有出现A的位的位置都代之以同一个逻辑函数置都代之以同一个逻辑函数Y，则等式仍然成立。这个规则则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。称为代入规则。（一）（一）、代入代入规则规则 2010-42010-46060都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础代入规则的意义：代入规则的意义：利用代入规则可以将逻辑代数公理、定理中的变量用任利用代入规则可以将逻辑代数公理、定理中的变量用任意函数代替，从而推导出更多的等式。这些等式可直接当作意函数代替，从而推导出更多的等式。这些等式可直接当作公使用，无需另加证明。公使用，无需另加证明。注注意意：使使用用代代入入规规则则时时,必必须须将将等等式式中中所所有有出出现现同同一一变变量量的的地地方方均均以以同同一一函函数数代代替替，否否则则代代入入后后的的等等式式将不成立。将不成立。例如，若用逻辑函数例如，若用逻辑函数Y=f(A1,A2,，An)代替公理代替公理A+=1中的变量中的变量A，便可得到等式便可得到等式f(A1,A2,，An)+(A1,A2,，An)=1即一个函数和其反函数进行即一个函数和其反函数进行“或或”运算，其结果为运算，其结果为1。f2010-42010-46161都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础（二）（二）、反演反演规则规则 反演规则实际是公式反演规则实际是公式12的推广，可通过公式的推广，可通过公式12和代入规和代入规则得到证明。显然，运用反演规则可以很方便地求出一个函则得到证明。显然，运用反演规则可以很方便地求出一个函数的反函数。数的反函数。例如，已知函数，根据反演规则可得到例如，已知函数，根据反演规则可得到即即:“”“+”,“0”“1”,原变量原变量反变量反变量对对于于任任意意一一个个函函数数表表达达式式Y，若若将将Y中中所所有有的的“”变变成成“+”， “+”变变 成成 “”,“0”变变 成成 “1”,“1”变变 成成“0”,原原变变量量变变成成反反变变量量，反反变变量量变变成成原原变变量量，并并保保持持原原函函数数中中的的运运算算顺顺序序不不变变，则则所所得得到到的的新新的的函函数数Y为为原原函函数数Y的的反反函数。函数。这一规则称为反演规则。这一规则称为反演规则。2010-42010-46262都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础注意注意:使用反演规则时，应保持原函数式中运算符号的使用反演规则时，应保持原函数式中运算符号的优先顺序不变。优先顺序不变。不是一个变量上的反号应保持不变。不是一个变量上的反号应保持不变。（三）、对偶规则（三）、对偶规则 如如 果果 将将 逻逻 辑辑 函函 数数 表表 达达 式式 Y中中 所所 有有 的的 “”变变 成成“+”,“+”变成变成“”，“0”变变成成“1”，“1”变变成成“0”，变变量量不不变变，并并保保持持原原函函数数中中的的运运算算顺顺序序不不变变，则则所所得得到到的的新新的的逻逻辑辑表表达式称为达式称为函数函数Y的对偶式，的对偶式，并记作并记作Y。例如，例如，例如，已知函数，根据反演规则例如，已知函数，根据反演规则得到的反函数应该是得到的反函数应该是而不应该是而不应该是！错误！错误2010-42010-46363都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础注注意意：如如果果Y的的对对偶偶式式是是Y，则则Y的的对对偶偶式式就就是是Y。即即，(Y)=Y,可见可见Y和和Y互为对偶式。互为对偶式。若若逻逻辑辑函函数数表表达达式式的的对对偶偶式式就就是是原原函函数数表表达达式式本本身身，即即Y=Y，则称函数则称函数Y为为自对偶函数自对偶函数。例如，函数例如，函数 是一自对偶函数。因为是一自对偶函数。因为)CBA(B)C(AY+=多次应用多次应用分配律分配律2010-42010-46464都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础注注意意: :求求逻逻辑辑表表达达式式的的对对偶偶式式时时，同同样样要要保保持持原原函函数数的的运算顺序不变。运算顺序不变。显显然，利用然，利用对对偶偶规则规则可以使定理、公式的可以使定理、公式的证证明减少一半。明减少一半。 若两个逻辑函数表达式若两个逻辑函数表达式Y和和F相等，则其对偶式相等，则其对偶式Y和和F也也相等。这一规则称为对偶规则。相等。这一规则称为对偶规则。根据对偶规则，当已证明某根据对偶规则，当已证明某两个逻辑表达式相等时，即可知道它们的对偶式也相等。两个逻辑表达式相等时，即可知道它们的对偶式也相等。 例如已知例如已知AB+ C+BC=AB+ CAB+ C+BC=AB+ C，根据对偶规则对等式两根据对偶规则对等式两 端的表达式取对偶式，即可得到等式端的表达式取对偶式，即可得到等式 (A+B)( +C)(B+C)=(A+B)( +C)(A+B)( +C)(B+C)=(A+B)( +C) 2010-42010-46565都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础公式公式14AB+A=A(A+B)(A+)=A六、若干常用公式六、若干常用公式(合并律合并律)(分配律分配律)(自等律自等律)公式公式15A+AB=A；A(A+B)=A（吸收律（吸收律1)公公式式15说说明明，在在一一个个与与或或表表达达式式中中，如如果果一一个个乘乘积积项项是是另另一一个个乘乘积积项项的的因因子子，则则这这另另外外一一个个乘乘积积项项是多余的。是多余的。2010-42010-46666都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础公式公式16（吸收律（吸收律2)公式公式17（吸收律（吸收律3)公公式式16说说明明，在在一一个个与与或或表表达达式式中中，如如果果一一个个乘乘积积项的项的反反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。证明：证明：证明：证明：2010-42010-46767都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础公式公式17证明证明公式公式17（推论（推论)公式公式17及推论说及推论说明，在一个与或明，在一个与或表达中，如果两表达中，如果两个乘积项中，一个乘积项中，一项包含了原变量项包含了原变量A，另一项包含另一项包含了它的了它的反变量反变量A，而这两项其余而这两项其余的因子都是第三的因子都是第三个乘积项的因子，个乘积项的因子，则第三个乘积项则第三个乘积项是多余的。是多余的。2010-42010-46868都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础公式公式18公式公式19（A B=A B）公公式式19说说明明，由由两两项项组组成成的的表表达达中中，如如果果其其中中一一项项含含有有因因子子A，另另一一项项含含有有因因子子A，那那么么将将这这两两项项其其余余部部分分各各自自取取反反，就就得得到到这这个函数的反。公式个函数的反。公式19比公式比公式18更具有一般性。更具有一般性。2010-42010-46969都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础七、关于异或运算的一些公式；七、关于异或运算的一些公式；前面对异或运算已有了定义，其表达式为：前面对异或运算已有了定义，其表达式为：Y=AY=A B=AB+ABB=AB+AB同同或或逻逻辑辑与与异异或或逻逻辑辑的的关关系系既既互互为为相相反反，又又互互为对为对偶偶。即有即有：2010-42010-47070都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1、交换律：、交换律：A B=B A2、结合律结合律：（A B） C=A (B C)3、分配律：分配律：A（B C）=AB AC 5 5、 异或逻辑的因果互换关系：异或逻辑的因果互换关系： 如果如果 A B=C则有则有A C=BB C=A证明：证明：A B B=C BA 0=C BA=B C 4、 根据异或逻辑的定义可得常量与变量的异或运算根据异或逻辑的定义可得常量与变量的异或运算： A 0=A A 1=AA A=0 A A=12010-42010-47171都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1、 正理解代入规则，反演规则，对偶规则。正理解代入规则，反演规则，对偶规则。2 2、逻逻辑辑代代数数的的公公式式和和定定理理是是推推演演、变变换换及及化化简简逻逻辑辑函函数数的的依依据据，要要掌掌握握常常用用公公式式及及定定理理，如如合合并并公公式，吸收公式。式，吸收公式。3 3、作业：、作业：P P6969 1-5 1-52010-42010-47272都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础（一）（一）、代入代入规则规则 （二）（二）、反演反演规则规则 即即:“”“+”,“0”“1”,原变量原变量反变量反变量（三）、对偶规则（三）、对偶规则 公式公式14AB+A=A(A+B)(A+)=A公式公式15A+AB=A；A(A+B)=A公式公式16（吸收律（吸收律2)公式公式17（吸收律（吸收律3)2010-42010-47373都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1.2逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法化化简简逻逻辑辑函函数数，经经常常用用到到的的方方法法有有两两种种：一一种种叫叫做做公公式式法法化化简简，就就是是用用逻逻辑辑代代数数中中的的公公式式定定理理进进行行化化简简；另另一一种种称称为为图图形形法法化化简简，用用来来进进行行化化简简的的工工具具是是卡卡诺诺图图。一一般般地地说说，逻逻辑辑函函数数的的表表达达式式越越简简单单，实实现现它它的的电电路路也也越越简简单单，经经济济可可靠靠。在在讲讲逻逻辑辑函函数数化化简简前前，先先介介绍绍一一下下逻逻辑辑函函数数表达的基本形式及标准形式。表达的基本形式及标准形式。实现某一逻辑功能的逻辑电路的复杂性与描述该功能的逻辑表达式实现某一逻辑功能的逻辑电路的复杂性与描述该功能的逻辑表达式的复杂性直接相关。一般说，逻辑函数表达式越简单，设计出来的相应的复杂性直接相关。一般说，逻辑函数表达式越简单，设计出来的相应逻辑电路也就越简单。逻辑电路也就越简单。为了降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性，必须对逻辑函数进行为了降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性，必须对逻辑函数进行化简。化简。由由于于“与与-或或”表表达达式式和和“或或-与与”表表达达式式可可以以很很方方便便地地转转换换成成任任何何其其他他所所要要求求的的形形式式。因因此此，从从这这两两种种基基本本形形式式出出发发讨讨论论函函数数化化简简问问题题，并将重点放在并将重点放在“与与-或或”表达式的化简上。表达式的化简上。2010-42010-47474都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础一、一、 逻辑逻辑函数表达式的函数表达式的两种两种基本形式基本形式 两两种种基基本本形形式式：指指“与与- -或或”表表达达式式和和“或或- -与与”表表达达式式。（一）（一）、“与与- -或或”表达式表达式 “与与-或或”表表达达式式：是是指指由由若若干干“与与项项”进进行行“或或”运运算算构构成成的的表表达达式式。每每个个“与与项项”可可以以是是单单个个变变量量的的原原变变量量或或者者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相反变量，也可以由多个原变量或者反变量相“与与”组成。组成。概述：概述： 逻辑逻辑函数表达式的形式与函数表达式的形式与变换变换 任何一个逻辑函数，其表达式的形式都不是唯一的。下任何一个逻辑函数，其表达式的形式都不是唯一的。下面从分析与应用的角度出发，介绍逻辑函数表达式的基本形面从分析与应用的角度出发，介绍逻辑函数表达式的基本形式、标准形式及其相互转换。式、标准形式及其相互转换。例例如如： 均均为为“与与项项”, ,将将这这3 3个个与与项项相相“或或”便可构成一个便可构成一个3 3变量函数的变量函数的“与与- -或或”表达式。即：表达式。即：CCBABA2010-42010-47575都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础“与与项项”有有时时又又被被称称为为“积积项项”，相相应应地地“与与-或或”表表达达式式又称为又称为“积之和积之和”表达式。表达式。（二）（二）、“或或- -与与”表达式表达式 “或或项项”有有时时又又被被称称为为“和和项项”，相相应应地地“或或与与”表达式又称为表达式又称为“和之积和之积”表达式。表达式。“或或-与与”表表达达式式：是是指指由由若若干干“或或项项”进进行行“与与”运运算算构成的表达式。构成的表达式。每个每个“或项或项”可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相由多个原变量或者反变量相“或或”组成。组成。例如，、例如，、D均为均为“或项或项”，将，将这这4个个“或项或项”相相“与与”便可构成一个便可构成一个4变量函数的变量函数的“或或-与与”表表达式。即达式。即2010-42010-47676都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础该该逻逻辑辑函函数数是是“与与或或”式式？不不是是！是是“或或与与”式式？也不是！也不是！但不论什么形式都可以变换成两种基本形式。但不论什么形式都可以变换成两种基本形式。1.2.1 1.2.1 逻辑逻辑函数的函数的标标准与或式和最准与或式和最简简式式逻辑函数的两种基本形式都不是唯一的。例如逻辑函数的两种基本形式都不是唯一的。例如为为了了在在逻逻辑辑问问题题的的研研究究中中使使逻逻辑辑功功能能能能和和唯唯一一的的逻逻辑辑表表达达式式对对应应，引引入入了了逻逻辑辑函函数数表表达达式式的的标标准准形形式式。逻逻辑辑函函数数表表达达式式的标准形式是建立在的标准形式是建立在最小项最小项和和最大项最大项概念的基础之上的。概念的基础之上的。逻辑函数表达式可以被表示成任意的混合形式。例如逻辑函数表达式可以被表示成任意的混合形式。例如 2010-42010-47777都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础一、标准与或表达式：一、标准与或表达式： （1 1）定定义义：如如果果一一个个具具有有n n个个变变量量的的函函数数的的“与与项项”包包含含全全部部n n个个变变量量，每每个个变变量量都都以以原原变变量量或或反反变变量量形形式式出出现现一一次次，且且仅仅出出现现一一次次，则则该该“与与项项”被被称称为为最最小项小项。有时又将最小项称为。有时又将最小项称为标准标准“与项与项”。 （一）最小项的概念（一）最小项的概念（2 2）最小项的数目：）最小项的数目：n n个变量可以构成个变量可以构成2 2n n个最小项。个最小项。 例如，例如，3 3个变量个变量A A、B B、C C可以构成可以构成8 8个最小项。个最小项。 2010-42010-47878都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础（3 3）最最小小项项的的表表示示方方法法( (最最小小项项编编号号) )：通通常常用用符符号号m mi i来表示最小项。来表示最小项。下下标标i i的的确确定定：把把最最小小项项中中的的原原变变量量记记为为1 1，反反变变量量记记为为0 0，当当变变量量顺顺序序确确定定后后，可可以以按按顺顺序序排排列列成成一一个个二二进进制制数数，则则与与这这个个二二进进制制数数相相对对应应的的十十进进制制数数，就就是是这这个最小项的下标个最小项的下标i i。如：如：3 3变量变量A A、B B、C C的的8 8个最小项可以分别表示为：个最小项可以分别表示为：2010-42010-47979都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础（4 4）最小项的性质：）最小项的性质：任任意意一一个个最最小小项项，只只有有一一组组变变量量取取值值使使其其值值为为1。取取1的的机机会会最最小小,故故称称“最最小小项项”。n个变量的全部最小项之个变量的全部最小项之和必为和必为1。ABCABC任意两个不同最小项相之任意两个不同最小项相之积必为积必为0。即即mimj=02010-42010-48080都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础性质性质4：n个变量构成的最小项有个变量构成的最小项有n个相邻最小项。个相邻最小项。任意两个相邻项是满足互补律的；任意两个相邻项是满足互补律的；相邻最小项：是指除一个变量相邻最小项：是指除一个变量互为相反外，其余部分均相同互为相反外，其余部分均相同的最小项。例如的最小项。例如，三变量最小，三变量最小项项ABC有三个相邻项。有三个相邻项。（二）标准与或表达式（二）标准与或表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为为标准与或表达式标准与或表达式，也称为最小项表达式，是组成逻辑函数的基，也称为最小项表达式，是组成逻辑函数的基本单元。本单元。例例如如，如如下下所所示示为为一一个个3变变量量函函数数的的标标准准“与与-或或”表表达达式式又可简写为又可简写为Y(A，B，C)=m1+m2+m4+m7= m(1,2,4,7)2010-42010-48181都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1、定定义义：如如果果一一个个具具有有n个个变变量量函函数数的的“或或项项”包包含含全全部部n个个变变量量，每每个个变变量量都都以以原原变变量量或或反反变变量量形形式式出出现现一一次次，且且仅仅出出现现一一次次，则则该该“或或项项”被被称称为为最最大大项项。有有时时又又将将最最大大项项称称为为标准标准“或项或项”。*二标准或与表达式二标准或与表达式数目数目：n个变量可以构成个变量可以构成2n个最大项。个最大项。例如，例如，3个变量个变量A、B、C可构成以下可构成以下8个最大项。个最大项。(一一)最大项的概念最大项的概念2010-42010-48282都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础3、性质：最大项具有如下四条性质。、性质：最大项具有如下四条性质。M5(5)101012、最最大大项项的的简简写写表表示示法法：用用Mi表表示示最最大大项项。下下标标i的的取取值值规规则则是是：将将最最大大项项中中的的原原变变量量用用0表表示示，反反变变量量用用1表表示示，由由此此得得到到一一个个二二进进制制数数，与与该该二二进进制制数数对对应应的的十十进进制制数数即即下下标标i的的值值。例例如如，3变变量量A、B、C构成的最大项构成的最大项可用可用M5表示。因为表示。因为2010-42010-48383都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础110111111011111111101111M3M2M1M0M4M5M711111101最大项性质最大项性质01111111000001010011100101110111ABC最最大大项项变变量量三变量最大项真值表三变量最大项真值表M6111101111111101111111110（1）任任意意一一个个最最大大项项，仅仅有有一一组组变变量量取取值值使使其其值值为为0。其其值值为为1的的变变量量取值组合数最多的一种取值组合数最多的一种“或项或项”，因而将其称为最大项。，因而将其称为最大项。 （2）相同变量构成的两个不同最大项相相同变量构成的两个不同最大项相“或或”为为1。即。即Mi+Mj=1（3）n个个变变量量的的全全部部最最大大项项相相“与与”为为0。记记为为2010-42010-48484都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础性性质质4：n个个变变量量构构成成的的最最大大项项有有n个个相相邻邻最最大大项项。相相邻邻最最大大项项是是指指除除一一个个变变量量互互为为相相反反外外，其其余余变变量量均均相相同同的最大项。的最大项。4最小项和最大项的关系最小项和最大项的关系在同一问题中，下标相同的最小项和最大项互为反函数。在同一问题中，下标相同的最小项和最大项互为反函数。或者说，相同变量构成的最小项或者说，相同变量构成的最小项mi和最大项和最大项Mi之间存在互补之间存在互补关系。即关系。即例如，由例如，由3变量变量A、B、C构成的最小项构成的最小项m3和最大项和最大项M3之间有之间有2010-42010-48585都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础（二）标准（二）标准“或或-与与”表达表达式式由由若若干干最最大大项项相相“与与”构构成成的的逻逻辑辑表表达达式式称称为为标标准准“或或-与与”表达式，也叫做最大项表达式表达式，也叫做最大项表达式。该表达式又可简写为该表达式又可简写为2010-42010-48686都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础（一一）最最简简与与或或式式：乘乘积积项项的的个个数数最最少少，每每个个乘乘积积项项中中相乘的变量个数也最少的与或表达式，叫最简与或表达式。相乘的变量个数也最少的与或表达式，叫最简与或表达式。(二二)、最最简简与与非非与与非非式式：非非号号最最少少，每每个个非非号号下下面面相相乘乘的的变量个数也最少的与非变量个数也最少的与非与非式。与非式。写写法法：在在最最简简与与或或表表达达式式的的基基础础上上，两两次次取取反反，再再用用反反演演律律去去掉下面的反号。掉下面的反号。三、逻辑函数的最简表达式三、逻辑函数的最简表达式2010-42010-48787都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础解：解：（三三）、最最简简或或与与式式：括括号号个个数数最最少少，每每个个括括号号中中相相加加的的变变量的个数也最少的或与式。量的个数也最少的或与式。写写法法：在在反反函函数数最最简简与与或或表表达达式式的的基基础础上上，取取反反，再再用用反反演演律对掉反号。律对掉反号。解：写出上式的反函数：解：写出上式的反函数：取反：取反：例如例如写出函数写出函数的最简或与式的最简或与式例如例如写出函数写出函数的最简与非的最简与非-与非式与非式CAABY+=2010-42010-48888都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础(四四)、最最简简或或非非-或或非非式式：非非号号个个数数最最少少，非非号号下下面面相相加加变变量量的的个个数数最少的或非最少的或非-或非式。或非式。写法：在最简或与式基础上，两次取反，再用反演律去掉下面的反号。写法：在最简或与式基础上，两次取反，再用反演律去掉下面的反号。例如例如写出函数写出函数的最简或非的最简或非-或非表达与式或非表达与式 （五五）、最最简简与与或或非非式式：在在非非号号下下面面相相加加的的乘乘积积项项的的个个数数最最少少，每每个个乘乘积积项项中相乘的变量个数也最少的与或非式，叫最简与或非表达式。中相乘的变量个数也最少的与或非式，叫最简与或非表达式。写法：在最简或非写法：在最简或非-或非式基础上，用反演律去掉大反号下面的小反号。或非式基础上，用反演律去掉大反号下面的小反号。结结论论：只只要要得得到到了了函函数数的的与与或或式式，再再用用摩摩根根定定理理进进行行适适当当变变换换，任任何何一一个逻辑函数式都可以通过逻辑变换写成以上五种形式。个逻辑函数式都可以通过逻辑变换写成以上五种形式。2010-42010-48989都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1.2.2 1.2.2 逻辑逻辑函数的公式化函数的公式化简法简法公式化简法就是运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑公式化简法就是运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行化简的方法。函数进行化简的方法。这种方法没有固定的步骤可以遵循，这种方法没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对逻辑代数中公理、定理和规则的熟练掌握及灵主要取决于对逻辑代数中公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。活运用的程度。一、一、“与与-或或”表达式的化表达式的化简简几种常用方法如下：几种常用方法如下：1并项法并项法利利用用定定理理，将将两两个个“与与”项项合合并并成成一一个个“与与”项，合并后消去一个变量。例如，项，合并后消去一个变量。例如，2010-42010-49090都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础3消去法消去法利用定理利用定理消去多余变量。例如，消去多余变量。例如，2吸收法吸收法 利用定理利用定理A+AB=A，吸收多余的项。例如化简：吸收多余的项。例如化简：解解：先先用用摩摩根根定定理理展展开开与与非非项，再用吸收法即可得项，再用吸收法即可得例如化简：例如化简：解：先用摩根定理展开与解：先用摩根定理展开与非项，再用消去法即化简非项，再用消去法即化简BDACABY+=2010-42010-49191都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础和和公公理理的的A1=A及及A+A=1，先先从从函函数数式式中中适适当当选选择择某某些些“与与”项项，并并配配上上其其所所缺缺的的一一个个合合适适的的变变量量，然然后后再再利利用用并并项项、吸收和消去等方法进行化简。例如，吸收和消去等方法进行化简。例如，实实际际应应用用中中遇遇到到的的逻逻辑辑函函数数往往往往比比较较复复杂杂，化化简简时时应应灵灵活活使使用用所所学学的的公公理理、定定理理及及规规则则，综综合合运运用用各各种种方方法法。下面举例说明。下面举例说明。4配项消项法配项消项法CAABBCCA利用公式：利用公式：AB+ += =+ + +2010-42010-49292都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础例例1化简化简解：解：例例2化简化简解解2010-42010-49393都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础二、二、“或或-与与”表达式的化简表达式的化简用用代代数数化化简简法法化化简简“或或-与与”表表达达式式可可直直接接运运用用公公理理、定定理理中中的的“或或-与与”形形式式，并并综综合合运运用用前前面面介介绍绍“与与-或或”表达式化简时提出的各种方法进行化简。表达式化简时提出的各种方法进行化简。例如，化简例如，化简解解吸收定理吸收定理多余项定理多余项定理2010-42010-49494都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础当对公理、定理中的当对公理、定理中的“或或-与与”形式不太熟悉时，可以形式不太熟悉时，可以采采用两次对偶法。具体如下：用两次对偶法。具体如下：第一步第一步：对对“或或-与与”表达式表示的函数表达式表示的函数Y求对偶，得到求对偶，得到“与与-或或”表达表达式式Y；第二步第二步：求出求出Y的最简的最简“与与-或或”表达式；表达式；第三步第三步：对对Y再次求对偶再次求对偶,即可得到即可得到Y的最简的最简“或或-与与”表达式表达式。例如，例如，化简化简解：第一步：求解：第一步：求Y的对偶式的对偶式Y；第二步：化简第二步：化简Y；第三步：对第三步：对Y求对偶求对偶,得到得到Y的最简的最简“或或-与与”表达式。表达式。2010-42010-49595都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础解：解：例例1.2.16化简逻辑函数：化简逻辑函数：（利用（利用）（利用（利用A+AB=A）（利用（利用 ）再举几个例子：再举几个例子：例例1.2.17化简逻辑函：化简逻辑函：解法解法1：解法解法2：YY2010-42010-49696都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础解：解：（利用反演律（利用反演律）（配项法）（配项法）（利用利用）（利用（利用A+AB=A）（利用（利用A+AB=A）（利用（利用）例例3.1.7化简逻辑函数：化简逻辑函数：Y2010-42010-49797都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1、正确理解最小项概念：、正确理解最小项概念：2、熟悉标准与或表达式：、熟悉标准与或表达式：3、熟悉最小项的表示方法及性质：、熟悉最小项的表示方法及性质：Y(A，B，C)=m0+m2+m3+m4= m(0,2,3,4)4、了解最大项的概念及表示方法。、了解最大项的概念及表示方法。5、了解逻辑函数的转换及几种最简表达式方法。、了解逻辑函数的转换及几种最简表达式方法。2010-42010-49898都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础代代数数化化简简法法的的优优点点是是：不不受受变变量量数数目目的的约约束束；当当对对公公理理、定理和规则十分熟练时，化简比较方便。定理和规则十分熟练时，化简比较方便。 缺缺点点是是：没没有有一一定定的的规规律律和和步步骤骤，技技巧巧性性很很强强，而而且且在很多情况下难以判断化简结果是否最简。在很多情况下难以判断化简结果是否最简。 作业：作业：P P6969 1-8(1) 1-8(1)、(3)(3)、(5) (5) 1-9（2）（）（4）(6)6、掌掌握握公公式式法法化化简简的的基基础础方方法法：并并项项，吸吸收收，消消去去，配项等方法。配项等方法。结论：结论：逻辑函数的化简结果不是唯一的。逻辑函数的化简结果不是唯一的。2010-42010-49999都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础什么是卡诺图？什么是卡诺图？三变量最小项简化真值表三变量最小项简化真值表 101m5111m7011m3110m6100m4010m2ABCY000m0001m10m6m2m7m3m5m4m1m0100011110BCA三变量卡诺图三变量卡诺图1.2.3 1.2.3 逻辑逻辑函数的函数的卡诺图化简法卡诺图化简法卡卡诺诺图图：真真值值表表的的方方格格图图形形式式。变变量量分分为为行行、列列两两组组，以以格格雷雷码码形形式式排排列列在在图图旁旁，对对应应的的最最小小项项填填在在格格内内，这这就就是是变变量量卡诺图。卡诺图。2010-42010-4100100都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础一、逻辑变量的卡诺图一、逻辑变量的卡诺图1.1.变变量量卡卡诺诺图图指指画画成成正正方方形形或或矩矩形形的的图图形形，图图中中分分割割出出若若干干个个小小方方格格，每每个个小小方方格格对对应应一一个个变变量量最最小小项项，该该方方格格图图则则称称为为变量卡诺图变量卡诺图 (亦称最小项方块图亦称最小项方块图)。（一）、逻辑变量的卡诺图的画法（一）、逻辑变量的卡诺图的画法2 2、对于、对于n n个变量数，正方形或矩形分割出的小方块数应有个变量数，正方形或矩形分割出的小方块数应有2 2n n 个个；3 3、变量取值顺序应按、变量取值顺序应按格雷码格雷码( (循环码循环码) )排列排列，这点很重要，这样，这点很重要，这样才能保证相邻性。才能保证相邻性。0001111000011110ABCD然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。2010-42010-4101101都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础 英英文文：Gray Gray Code, Code, ( (又又称称作作葛葛莱莱码码，二二进进制制循循环环码码）是是18801880年年法法国国工工程程师师Jean-Maurice-Jean-Maurice-EmlleEmlle BaudotBaudot（让让莫莫里里斯斯- -埃埃米米尔尔教教授授）发发明明, ,由贝尔实验室的由贝尔实验室的Frank GrayFrank Gray在在2020世纪世纪4040年代提出的的一种编码年代提出的的一种编码。 格格雷雷码码是是一一种种无无权权码码，采采用用绝绝对对编编码码方方式式，典典型型格格雷雷码码是是一一种种具具有有反反射射特特性性和和循循环环特特性性的的单单步步自自补补码码，它它的的循循环环、单单步步特特性性消消除除了了随随机机取取数数时时出出现现重重大大误误差差的的可可能能，它它的的反反射射、自自补补特特性性使使得得求求反反非非常常方方便。便。 格格雷雷码码属属于于可可靠靠性性编编码码，是是一一种种错错误误最最小小化化的的编编码码方方式式。而而自自然然二二进进制制码码可可以以直直接接由由数数/ /模模转转换换器器转转换换成成模模拟拟信信号号，但但某某些些情情况况，例例如如从从十十进进制制的的3 3转转换换成成4 4时时二二进进制制码码的的每每一一位位都都要要变变，使使数数字字电电路路产产生生很很大大的的尖尖峰峰电电流流脉脉冲冲。而而格格雷雷码码则则没没有有这这一一缺缺点点，它它是是一一种种数数字字排排序序系系统统，其其中中的的所所有有相相邻邻整整数数在在它它们们的的数数字字表表示示中中只只有有一一个个数数字字不不同同。它它在在任任意意两两个个相相邻邻的的数数之之间间转转换换时时，只只有有一一个个数数位位发发生生变变化化。它它大大大大地地减减少少了了由由一一个个状状态态到到下下一一个个状状态态时时逻逻辑辑的的混混淆淆。另另外外由由于于最最大大数数与与最小数之间也仅一个数不同，故通常又叫最小数之间也仅一个数不同，故通常又叫格雷反射码或循环码格雷反射码或循环码。 格雷码格雷码(Gray)简介简介:2010-42010-4102102都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础110011011111111010101011100110001000100110101011110011011110111189101112131415000000010011001001100111010101000000000100100011010001010110011101234567格雷码格雷码(循环码循环码)自然二进制码自然二进制码十进制数十进制数格雷码格雷码(循环码循环码)自然二进制码自然二进制码十进制数十进制数格雷码与二进制码的对比格雷码与二进制码的对比二进制码二进制码-格雷码（编码）：从最右边一位起，依次将每一位与左边一位异或格雷码（编码）：从最右边一位起，依次将每一位与左边一位异或(XOR)，作为对应格雷码该位的值，最左边一位不变，作为对应格雷码该位的值，最左边一位不变(相当于左边是相当于左边是0)；格雷码格雷码-二进制码（解码）：二进制码（解码）：最高位与格雷码相同，从格雷码左边第二位起，最高位与格雷码相同，从格雷码左边第二位起，将每位与二进制高位的值异或，作为该位二进制的值（最左边一位依然不变）将每位与二进制高位的值异或，作为该位二进制的值（最左边一位依然不变）.由由Bi-Gi：公式为公式为:Gi=Bi+1Bi如求二进制码如求二进制码(0110)B的格雷码的格雷码:G0=10=10=1； G1=11=01=0； G2=01=11=1； G3=00=00=0；由由Gi-Bi：公式为公式为:Bi=Bi+1Gi如求格雷码如求格雷码(0110)G的二进制码的二进制码:B3=0 0； B2=01=11=1； B1=11=01=0； B0=00=00=0；2010-42010-4103103都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础如如果果两两个个相相邻邻最最小小项项出出现现在在同同一一个个逻逻辑辑函函数数中中，可可以以合合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。如并为一项，同时消去互为反变量的那个量。如4相邻最小项相邻最小项如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项相邻项。例如，最小项例如，最小项ABCD和和ABCD就是相邻最小项。就是相邻最小项。0001111000011110ABCDABCDABCD卡诺图中是按格雷码填的最小项，则就卡诺图中是按格雷码填的最小项，则就能保证最小项间具有逻辑相邻性。如图能保证最小项间具有逻辑相邻性。如图2010-42010-4104104都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础2变变量量、3变变量量、4变变量量卡卡诺诺图图如如图图(a)、(b)、(c)所所示。示。m3m2m1m0BA0110(a)0m6m2m7m3m5m4m1m0100011110BCA(b)10119814151312675423100001111000011110ABCD(c)（二）、变量卡诺图的构成（二）、变量卡诺图的构成2010-42010-4105105都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础（三）卡诺图在构造上具有以下几个特点：（三）卡诺图在构造上具有以下几个特点： (1)n个个变变量量的的卡卡诺诺图图由由2n个个小小方方格格组组成成，每每个个小小方方格代表一个最小项；格代表一个最小项；(2) (2) 用用用用几几何何相相邻邻形形形形象象象象地地地地表表表表示示示示变变变变量量量量各各各各个最小项在个最小项在个最小项在个最小项在逻辑上的相邻性逻辑上的相邻性。几何相邻几何相邻：包括三种情况：包括三种情况： 1.1.相接相接紧挨着的；紧挨着的； 2.2.相对相对任意一行或一列的两头；任意一行或一列的两头； 3.3.相重相重对折起来位置重合。对折起来位置重合。10119814151312675423100001111000011110ABCD(c)2010-42010-4106106都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础5变量卡诺图如图（变量卡诺图如图（d）所示。所示。如五变量卡诺图中的如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的除了几何相邻的m1，m2，m11和和相对相邻的相对相邻的m19外，还与外，还与m5相邻。这种相邻称为相邻。这种相邻称为重叠相邻重叠相邻。2021232228293130124135151476110 111 101 1001819171626272524102113981000011110000 001 011 010CDEAB(d)（3 3）逻辑相邻）逻辑相邻）逻辑相邻）逻辑相邻：如果两个最小项，除了一个变量的形式不同外，如果两个最小项，除了一个变量的形式不同外，其余的都相同，那么这两个最小项就叫做其余的都相同，那么这两个最小项就叫做逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻。2010-42010-4107107都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础卡卡诺诺图图上上处处在在相相邻邻、相相对对、相相重重位位置置的的小小方方格格所所代代表表的的最最小项为相邻最小项。小项为相邻最小项。卡卡诺诺图图中中最最小小项项的的排排列列方方案案不不是是唯唯一一的的，但但任任何何一一种种排排列列方方案案都必须具备以上特点。都必须具备以上特点。（4）卡卡诺诺图图的的主主要要缺缺点点是是：随随着着变变量量个个数数的的增增加加，图图形形迅迅速速地地复复杂杂起起来来。当当变变量量多多于于六六个个时时，不不仅仅画画图图麻麻烦烦，而而且且逻逻辑辑相邻性也难以辨认，故已无实用价值。相邻性也难以辨认，故已无实用价值。卡卡诺诺图图化化简简法法具具有有简简单单、直直观观、容容易易掌掌握握等等优优点点，在在逻逻辑辑设计中得到广泛应用。设计中得到广泛应用。10119814151312675423100001111000011110ABCD(c)2010-42010-4108108都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础二、逻辑函数在卡诺图上的表示二、逻辑函数在卡诺图上的表示：逻辑函数的卡诺图：逻辑函数的卡诺图当当逻逻辑辑函函数数为为标标准准“与与-或或”表表达达式式时时，只只需需在在卡卡诺诺图图上上找找出出和和表表达达式式中中最最小小项项对对应应的的小小方方格格填填上上1 1，其其余余小小方方格格填上填上0 0，即可得到该函数的卡诺图。，即可得到该函数的卡诺图。1给定逻辑函数为标准给定逻辑函数为标准“与与-或或”表达表达式式例如，例如，3 3变量函数变量函数 的卡诺图如下图的卡诺图如下图 所示。所示。001110010100011110BCA Y(A,B,C)=m(1,2,3,7)Y(A,B,C)=m(1,2,3,7)的卡诺图的卡诺图 1.2.3 1.2.3 逻辑逻辑函数的函数的卡诺图化简法卡诺图化简法(2)2010-42010-4109109都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础例如，作例如，作4 4变量函数的卡诺图变量函数的卡诺图。010011110111000000011110CDAB00011110为了叙述的方便，通常将卡为了叙述的方便，通常将卡诺图上填诺图上填1的小方格称为的小方格称为1方格，方格，填填0的小方格称为的小方格称为0方格。方格。0方格方格有时用空格表示。有时用空格表示。2 2逻辑函数为一般逻辑函数为一般“与与- -或或”表达式表达式当逻辑函数为一般当逻辑函数为一般“与与-或或”表达式时，可根据表达式时，可根据“与与”的的公共性和公共性和“或或”的叠加性作出相应卡诺图。的叠加性作出相应卡诺图。由由于于给给出出函函数数不不是是标标准准与与或或表表达达式式，给给出出的的与与项项不不最最小小项项，不不能能直直接接填填写写，应应把把每每个个与与项项包包含含的的最最小小项项找找出来填完全。如图出来填完全。如图2010-42010-4110110都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础m15m13m7m500011110CDAB00011110BD三卡诺图的性质：三卡诺图的性质：卡诺图上最小项的合并规律卡诺图上最小项的合并规律 用卡诺图化简逻辑函用卡诺图化简逻辑函数的基本原理：数的基本原理：通过把卡通过把卡诺图上表征相邻最小项的诺图上表征相邻最小项的相邻小方格相邻小方格“圈圈”在一起在一起进行合并，达到用一个简进行合并，达到用一个简单单“与与”项代替若干最小项代替若干最小项的目的。项的目的。 通常把用来包围那些通常把用来包围那些能由一个简单能由一个简单“与与”项代项代替的若干最小项的替的若干最小项的“圈圈”称为称为卡诺圈。卡诺圈。2010-42010-4111111都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础0100010100011110BCA011101A1010B 1 1两两个个小小方方格格相相邻邻, , 或或处处于于某某行行( (列列) )两两端端时时，所所代代表表的最小项可以合并，合并后可的最小项可以合并，合并后可消去一个变量消去一个变量。例例如如，下下图图给给出出了了2 2、3 3变变量量卡卡诺诺图图上上两两个个相相邻邻最最小小项项合并的典型情况的。合并的典型情况的。 当一个函数用卡诺图表示后，当一个函数用卡诺图表示后，究竟哪些最小项可以合并究竟哪些最小项可以合并呢？呢？下面以下面以2 2、3 3、4 4变量卡诺图为例予以说明。变量卡诺图为例予以说明。11010010ABAABBCAC2010-42010-4112112都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1100010100011110BCA012四四个个小小方方格格组组成成一一个个大大方方格格、或或组组成成一一行行（列列）、或或处处于于相相邻邻两两行行（列列）的的两两端端、或或处处于于四四角角时时，所所代代表的最小项可以合并，合并后可表的最小项可以合并，合并后可消去两个变量消去两个变量。下图给出了下图给出了3变量卡诺图上四个相邻最小项合并的变量卡诺图上四个相邻最小项合并的典型情况的。典型情况的。0011101000011110BCA01CC2010-42010-4113113都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础00 01 11 10AB0110100110010110CD00011110BDBDBDBD00 01 11 10AB0010111100001010CD00011110ABCD下下图图给给出出了了4变变量量卡卡诺诺图图上上四四个个相相邻邻最最小小项项合合并并的典型情况的。的典型情况的。00 01 11 10AB1001011001101001CD000111102010-42010-4114114都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础111101100111101100011110CDAB00011110(b)3八八个个小小方方格格组组成成一一个个大大方方格格、或或组组成成相相邻邻的的两两行行(列列)、或或处处于于两两个个边边行行(列列)时时，所所代代表表的的最最小小项项可可以以合合并，合并后并，合并后可消去三个变量可消去三个变量。下下图图给给出出了了3、4变变量量卡卡诺诺图图上上八八个个相相邻邻最最小小项项合合并并的的典型情况的。典型情况的。BD11111111100011110BCA01(a)2010-42010-4115115都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础依此类推，不难得出依此类推，不难得出n个变量卡诺图中最小项的合并规个变量卡诺图中最小项的合并规律。归纳起来，律。归纳起来，n个变量卡诺图中最小项的合并规律如下：个变量卡诺图中最小项的合并规律如下：(1)卡卡诺诺圈圈中中小小方方格格的的个个数数必必须须为为2m个个，m为为小小于于或或等等于于n的整数。的整数。(2)卡卡诺诺圈圈中中的的2m个个小小方方格格有有一一定定的的排排列列规规律律，具具体体地地说，它们含有说，它们含有m个不同变量，个不同变量，(n-m)个相同变量。个相同变量。(3)卡卡诺诺圈圈中中的的2m个个小小方方格格对对应应的的最最小小项项可可用用(n-m)个个变变量量的的“与与”项项表表示示，该该“与与”项项由由这这些些最最小小项项中中的的相相同同变量构成。变量构成。(4)当当m=n时时，卡卡诺诺圈圈包包围围了了整整个个卡卡诺诺图图，可可用用1表表示，即示，即n个变量的全部最小项之和为个变量的全部最小项之和为1。2010-42010-4116116都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础卡诺图化简逻辑函数的一般步骤卡诺图化简逻辑函数的一般步骤第一步：画函数的卡诺图；第一步：画函数的卡诺图；第第二二步步：填填最最小小项项，并并在在卡卡诺诺图上圈出函数的全部相邻项；图上圈出函数的全部相邻项；第三步：第三步：合并相邻最小项合并相邻最小项第四步：写出最简与或表达式。第四步：写出最简与或表达式。例例1用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数解解用用卡卡诺诺图图化化简简给给定定函函数的过程如下图所示。数的过程如下图所示。0001111000011110ABCD1111111110000000写出卡诺圈对应的与项相或即可得写出卡诺圈对应的与项相或即可得到函数到函数Y的最简的最简“与与-或或”表达式表达式为为ABCDBDCD2010-42010-4117117都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础解解用卡诺图化简给定函数的过程如下图所示。用卡诺图化简给定函数的过程如下图所示。例例2用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数根据卡诺图写最简表达式，即根据卡诺图写最简表达式，即或者或者这这里里，两两个个“与与-或或”式式的的复复杂杂程程度度相相同同。由由此此可可见见，一一个个函函数数的的最最简简“与与-或或”表表达达式式不不一一定定是是唯一的。唯一的。0001111000011110ABCD0111000010101100ACABDACDBCD2010-42010-4118118都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础解解由由于于给给出出函函数数不不是是标标准准与与或或表表达达式式，给给出出的的与与项项不不最最小小项项，不不能能直直接接填填写写，应应把把每每个个与与项项包包含含的的最最小小项项找出来填完全。如图找出来填完全。如图例例3画出画出逻辑函数的卡逻辑函数的卡诺图诺图0001111000011110ABCD11111111110000002010-42010-4119119都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础例例4画出画出逻辑函数的卡逻辑函数的卡诺图诺图解解与与前前例例相相同同，只只是是每每个个与与项项只只包包含含两两个个最最小小项项。应应把每个与项包含的最小项找出来填完全。如图把每个与项包含的最小项找出来填完全。如图0001111000011110ABCD11110001111000011110ABCD0000000000000000111111111111例例1.2.19画出画出逻辑函数的卡逻辑函数的卡诺图诺图结论：一个函数结论：一个函数Y的卡诺图，同时由填的卡诺图，同时由填0的那些项表示了该函数的反函的那些项表示了该函数的反函数。即直接数。即直接合并使函数为合并使函数为0的项的项，就可得到，就可得到Y的反函数的最简与或式。的反函数的最简与或式。2010-42010-4120120都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础例例1.2.21利用图形法利用图形法逻辑函数逻辑函数用卡诺图化简总的原则是：用卡诺图化简总的原则是：(1)在满足合并规律的前题下卡诺圈越大越好；在满足合并规律的前题下卡诺圈越大越好；(2)在在 覆覆 盖盖 函函 数数 中中 所所 有有 最最 小小 项项 的的 前前 提提 下下 ， 卡卡 诺诺 圈圈 的的 个个 数数 应达到最少。应达到最少。(3)根根据据合合并并的的需需要要，每每个个最最小小项项可可以以被被多多个个卡卡诺诺圈圈包包围围。但但每每个个卡卡诺诺圈圈中中至至少少应应包包含含一一个个新新的的最最小小项项，即即应应有有只只被被圈圈过过一一次次的的最最小小项项。否否则则就是多余的。就是多余的。 解解化简过程如图所示。化简过程如图所示。0001111000011110ABCD第一步：画函数的卡诺图；第一步：画函数的卡诺图；第第二二步步：填填最最小小项项，并并在在卡卡诺诺图上圈出函数的全部相邻项；图上圈出函数的全部相邻项；第三步：第三步：合并相邻最小项合并相邻最小项第四步：写出最简与或表达式。第四步：写出最简与或表达式。11111111多余项多余项2010-42010-4121121都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础0001111000011110ABCD解：解：先将函数转换为与或表达式先将函数转换为与或表达式例例5 5 利用卡诺图化简函数利用卡诺图化简函数1111111111合并最小项，写出最简与或合并最小项，写出最简与或表达式表达式2010-42010-4122122都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础3.求逻辑函数最简求逻辑函数最简“或或-与与”表达式的一般步骤表达式的一般步骤当给定逻辑函数为当给定逻辑函数为“与与或或”表达式或标准表达式或标准“与与或或”表达式时，通常采用表达式时，通常采用“两次取反法两次取反法”。具体如下：具体如下：例例6、利用卡诺图求函数、利用卡诺图求函数Y的反函数的反函数111100000100011110BCA已知：已知：Y=AB+BC+CA解：画卡诺图，填解：画卡诺图，填1填填0，合并使函数，合并使函数值为值为0的与项：的与项：(1)作出作出Y的卡诺图，求出反函数的卡诺图，求出反函数Y的最简的最简“与与-或或”表表达式达式(合并卡诺图上的合并卡诺图上的0方格方格)；2010-42010-4123123都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础例如，用卡诺图求逻辑函数例如，用卡诺图求逻辑函数的最简的最简“或或-与与”表达式。表达式。解解用用卡卡诺诺图图化化简简给给定定函数的过程如右图所示。函数的过程如右图所示。000000000111111100011110CDAB00011110BDCDAB(2)对的最简对的最简“与与-或或”表达式取反，得到函数表达式取反，得到函数Y的的最简最简“或或-与与”表达式。表达式。图图中中，Y的的0方方格格即即反反函函数数的的1方方格格，它它们们代代表表的的各各个个最最小小项项，将将全全部部0方方格格合合并并就就可可得得到到反反函函数数的的最最简简“与与-或或”表达式表达式2010-42010-4124124都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础再对反函数的最简再对反函数的最简“与与-或或”表达式表达式两边取反，即可求得函数的最简两边取反，即可求得函数的最简“或或-与与”表达式表达式当给定逻辑函数为当给定逻辑函数为“或或与与”表达式或标准表达式或标准“或或与与”表达式时，通常采用表达式时，通常采用“两次对偶法两次对偶法”。具体如下：。具体如下：例如，用卡诺图求逻辑函数例如，用卡诺图求逻辑函数的最简的最简“或或-与与”表达式。表达式。(1)作出作出Y对偶式对偶式Y的卡诺图，并求出的卡诺图，并求出Y的最简的最简“与与-或或”表达式；表达式；(2)对对Y的最简的最简“与与-或或”表达式取对偶，得到函数表达式取对偶，得到函数Y的的最简最简“或或-与与”表达式。表达式。2010-42010-4125125都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础首先求出逻辑函数的对首先求出逻辑函数的对偶函数偶函数Y，并用卡诺图进行化简并用卡诺图进行化简；对对Y的的最最简简“与与-或或”表表达达式式取取对对偶偶，得得到函数到函数Y的最简的最简“或或-与与”表达式为表达式为化简化简Y的卡诺图的卡诺图Y的最简的最简“与与-或或”表达式为表达式为0001111000011110ABCD11112010-42010-4126126都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础3、熟悉函数熟悉函数卡诺图的概念及构成特点卡诺图的概念及构成特点4、掌握卡诺图的化简原则及方法。、掌握卡诺图的化简原则及方法。作业：作业：P P7171 1-13 1-131、熟悉格雷码的概念及特点。、熟悉格雷码的概念及特点。2、熟悉变量卡诺图的概念及构成特点，逻辑相邻的概念、熟悉变量卡诺图的概念及构成特点，逻辑相邻的概念作业：作业：P P7070 1-11 1-12 (1) 1-11 1-12 (1) 、(3)(3)、（、（5 5）2010-42010-4127127都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1.2.4具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简一、约束的概念和约束条件一、约束的概念和约束条件（一）（一）约束、约束项、约束条件约束、约束项、约束条件1、约束：是用来说明逻辑函数中各个变量之间互相制约关系的一个重约束：是用来说明逻辑函数中各个变量之间互相制约关系的一个重要概念。要概念。例：三八节看电例：三八节看电影，票只发给本影，票只发给本班女同学，试分班女同学，试分析该逻辑问题。析该逻辑问题。功能表如图：功能表如图：班级班级性别性别电影票电影票能否进场能否进场说明说明非非男男无无否否非非男男有有不会出现这种情况不会出现这种情况非非女女无无否否非非女女有有不会出现这种情况不会出现这种情况本本男男无无否否本本男男有有不会出现这种情况不会出现这种情况本本女女无无否否本本女女有有能能班级班级性别性别电影票电影票能否进场能否进场说明说明非非0男男0无无0否否0非非0男男0有有1不会出现这种情况不会出现这种情况非非0女女1无无0否否0非非0女女1有有1不会出现这种情况不会出现这种情况本本1男男0无无0否否0本本1男男0有有1不会出现这种情况不会出现这种情况本本1女女1无无0否否0本本1女女1有有1能能12010-42010-4128128都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础用真值表表示：用真值表表示：ABCY说明说明0 0 000 0 1不会出现不会出现0 1 000 1 1不会出现不会出现1 0 001 0 1不会出现不会出现1 1 001111由由 表表 看看 出出 ， 变变 量量ABC的的取取值值只只可可能能出出 现现 000、 010、100、 110、 111五五组组 ， 而而 不不 会会 出出 现现001、 011、 101。因因为为发发票票的的条条件件就就是是只只发发给给本本班班女女同同学学，故故这这三三种种变变量量就就是是一一组组有有约约束束的的变量。变量。由有约束项的变量所决定的逻辑由有约束项的变量所决定的逻辑函数叫做函数叫做有约束的逻辑函数有约束的逻辑函数2010-42010-4129129都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础2、约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项叫做约束、约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项叫做约束项。如上例的项。如上例的001、011、101。由最小项性质知道，只有对应变量取值出现时，其值才会为由最小项性质知道，只有对应变量取值出现时，其值才会为1，而约束项对应的是不出现的变量取值，所以其值总为，而约束项对应的是不出现的变量取值，所以其值总为0。ABCY000000101000111000101110011113、约束条件：由约束项加起来、约束条件：由约束项加起来所构成的值为所构成的值为0的逻辑表达式叫的逻辑表达式叫约束条件。约束条件。（二）、约束条件的表示方法：（二）、约束条件的表示方法：1、在真值表和卡诺图中用、在真值表和卡诺图中用符号表示：符号表示：2、在逻辑表达式中用等于、在逻辑表达式中用等于0的条件等式表式的条件等式表式：2010-42010-4130130都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础二、具有约束的逻辑函数的化简：二、具有约束的逻辑函数的化简：（一）约束条件在化简中的应用（一）约束条件在化简中的应用1、在公式法中的应用：在公式法中可以根、在公式法中的应用：在公式法中可以根据化简的需要据化简的需要加上或去掉加上或去掉约束条件。因为在约束条件。因为在逻辑表达式中，加上或去掉逻辑表达式中，加上或去掉0，函数值不会，函数值不会受影响的，而约束条件的值总是为受影响的，而约束条件的值总是为0的。的。ABCY00000010100011100010111001111如上例：未考虑约束如上例：未考虑约束条件时的表达式为：条件时的表达式为：约束条件约束条件考虑约束条件后的表达式为：考虑约束条件后的表达式为：2010-42010-4131131都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础2 2、在图形法中的应用：在利用图形法化简时、在图形法中的应用：在利用图形法化简时, ,可以可以根据化简的需要包含或去掉约束项。因为合并最小根据化简的需要包含或去掉约束项。因为合并最小项时，如果卡诺圈中包含了约束项，而约束条件的项时，如果卡诺圈中包含了约束项，而约束条件的值总是为值总是为0 0的。故函数值也不会受影响。的。故函数值也不会受影响。0001111000011110ABCD11111 2010-42010-4132132都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础（二）变量互相排斥的逻辑函数的化简（二）变量互相排斥的逻辑函数的化简概念概念:在一组变量中在一组变量中,如果只要有一个变量取值为如果只要有一个变量取值为1,则其它变则其它变量的值就一定是量的值就一定是0,有这种约束的变量有这种约束的变量,叫做叫做互相排斥的变量互相排斥的变量.例例:函数函数Y的变量的变量A、B、C是互相是互相排斥的，分别用公式法和图形法排斥的，分别用公式法和图形法求求Y的最简表达式。的最简表达式。解：列真表如表：解：列真表如表：ABCY说明说明000000110101011 不会出现不会出现1001101 不会出现不会出现110 不会出现不会出现111 不会出现不会出现用公式法：写出表达式及约束条件用公式法：写出表达式及约束条件2010-42010-4133133都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础加上约束条件后进行化简：加上约束条件后进行化简：2010-42010-4134134都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础用图形法：卡诺图如图用图形法：卡诺图如图0 1 110100011110BCA合并最小项合并最小项,约束项当作约束项当作1项处理项处理Y=A+B+CABC注注:变量互相排拆的逻变量互相排拆的逻辑函数辑函数,其真值表常用其真值表常用简化形式简化形式,而且表达式而且表达式可直接写为各个变量可直接写为各个变量之和之和.YA1B1C12010-42010-4135135都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础例：具有约束的逻辑函数真例：具有约束的逻辑函数真值表如右表，试分别求最简值表如右表，试分别求最简与或式和最简或与式。与或式和最简或与式。ABCDY000010001000101001110100001011011000111110001100111010101111001101111011110001111000011110ABCD1111111000 ABDBCBD2010-42010-4136136都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础0001111000011110ABCD1111111000 求最简或与式求最简或与式:合并使函数值为合并使函数值为0的最小的最小项，先求项，先求Y的最简与或式，的最简与或式，对对Y再求反，可得再求反，可得Y的最简或与式：的最简或与式：2010-42010-4137137都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1.3 1.3 逻辑逻辑函数的表示法其及相互函数的表示法其及相互间间的的转换转换1.3.1几种表示逻辑的方法几种表示逻辑的方法常用的方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图及逻辑常用的方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图及逻辑图和波形图图和波形图。依依次次列列出出一一个个逻逻辑辑函函数数的的所所有有输输入入变变量量取取值值组组合合及及其其相相应函数值的表格称为真值表。应函数值的表格称为真值表。由由于于一一个个逻逻辑辑变变量量有有0和和1两两种种可可能能的的取取值值，n个个逻逻辑辑变变量共有量共有2n种可能的取值组合种可能的取值组合。因此，一个因此，一个n个变量的逻辑函数，其真值表有个变量的逻辑函数，其真值表有2n行。行。一一、真真值值表表 2010-42010-4138138都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础真值表由两部分组成：真值表由两部分组成：左边一栏列出变量的所有取值组左边一栏列出变量的所有取值组合，为了不发生遗漏，通常各变量取值合，为了不发生遗漏，通常各变量取值组合按二进制数码顺序给出；右边一栏组合按二进制数码顺序给出；右边一栏为逻辑函数值。为逻辑函数值。例如，逻辑函数例如，逻辑函数的真值表如右表所示。的真值表如右表所示。真值表的主要特点：真值表的主要特点：1、直观明了：输入变量取值一旦确定即可以从表中查出相应的函数值。、直观明了：输入变量取值一旦确定即可以从表中查出相应的函数值。2、在把一个实际逻辑问题抽象成为数学表达式时，使用真值表是最方便的。、在把一个实际逻辑问题抽象成为数学表达式时，使用真值表是最方便的。3、难以用逻辑代数的公式和定理进行运算和变换，当变量较多时列表会十分、难以用逻辑代数的公式和定理进行运算和变换，当变量较多时列表会十分繁琐。繁琐。2010-42010-4139139都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础二二、卡卡诺图诺图 卡卡诺诺图图是是由由表表示示逻逻辑辑变变量量所所有有取取值值组组合合的的小小方方格格所所构构成成的的平平面面图图。是是真真值值表表的的一一种种方方块块图图表表达达形形式式，只只不不过过是是变变量量取取值值必必须须按按照照循循环环码码的的顺顺序排列而已，与真值表有严格的对应关系。序排列而已，与真值表有严格的对应关系。优优点点：是是用用几几何何相相邻邻形形象象直直观观地地表表示示了了函函数数各各个个最最小小项项在在逻逻辑辑上上的的相相邻性，便于用来求逻辑函数的最简与或式。邻性，便于用来求逻辑函数的最简与或式。缺缺点点：是是只只适适用用于于表表示示和和化化简简变变量量个个数数比比较较少少的的逻逻辑辑函函数数，也也不不便便于于用公式和定理进行运算和变换。用公式和定理进行运算和变换。逻辑表达式是由逻辑变量和逻辑表达式是由逻辑变量和“或或”、“与与”、“非非”3种运算符以及括号所构成的代数式子。例如种运算符以及括号所构成的代数式子。例如三三、逻辑逻辑表达式表达式 优点是书写方便简洁，可以用公式和定理十分灵活地进行运算、变换；优点是书写方便简洁，可以用公式和定理十分灵活地进行运算、变换；缺点是在逻辑函数比较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值，没缺点是在逻辑函数比较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值，没有真表和卡诺图直观。有真表和卡诺图直观。2010-42010-4140140都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础ABCY四四、逻辑图逻辑图 用基本和常用的逻辑符号，用基本和常用的逻辑符号，表示函数表达式中各个变量之表示函数表达式中各个变量之间的运算关系的一种电路图。间的运算关系的一种电路图。1Y=AB+BC+CA逻辑图与表达式有着十分简单而准确的对应关系。有逻辑图与表达式有着十分简单而准确的对应关系。有什么什么样的表达式，就可能画出什么样的逻辑图；反之亦然。样的表达式，就可能画出什么样的逻辑图；反之亦然。逻辑图的特点：逻辑图中的符号都有称之为门电路的实逻辑图的特点：逻辑图中的符号都有称之为门电路的实际电路器件存在，所以它比较接近工程实际。际电路器件存在，所以它比较接近工程实际。2010-42010-4141141都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础这种反映输入输出变量对应取值，随时间按照这种反映输入输出变量对应取值，随时间按照一定规律变化的图形就是波形图。一定规律变化的图形就是波形图。是由输入变量的是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。数值的高、低电平所构成的图形。五五、波形波形图图 ABAY2010-42010-4142142都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础描描述述逻逻辑辑逻逻辑辑函函数数方方法法各各有有特特点点,可可用用于于不不同同场场合合。但但针针对对某某个个具具体体问问题题而而言言，它它们们仅仅仅仅是是同同一一问问题题的的不不同同描描述述形形式式，相相互互之之间间可可以以很很方方便便地地进行变换。其中最为重要的是真值表与逻辑图之间的转换。进行变换。其中最为重要的是真值表与逻辑图之间的转换。一、由真值表到逻辑图的转换一、由真值表到逻辑图的转换1 1、根据真值表写出函数的与或表达式或者画出函数的卡诺图。、根据真值表写出函数的与或表达式或者画出函数的卡诺图。2 2、用公式法或图形法进行化简，求出函数的最简与或表达式。、用公式法或图形法进行化简，求出函数的最简与或表达式。3 3、根根据据表表达达式式画画逻逻辑辑图图，有有时时还还要要对对与与或或表表达达式式做做适适当当变变换换才才能能画画出出需需要的逻辑图。要的逻辑图。1.3.2 1.3.2 几种表示方法之间的转换几种表示方法之间的转换 2010-42010-4143143都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础&画逻辑图画逻辑图&1最简与或最简与或表达式表达式ACBBAACABCABACYACBBAACY&ABCABAC若用与非门实若用与非门实现，将最简与现，将最简与或表达式变换或表达式变换成最简与非成最简与非-与非表达式与非表达式&2010-42010-4144144都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础二、由逻辑图到真值表的转换二、由逻辑图到真值表的转换1 1、从输入到输出或从输出到输入，用逐级推导的方法，写出、从输入到输出或从输出到输入，用逐级推导的方法，写出输出变量的逻辑表达式。输出变量的逻辑表达式。2 2、进行化简，求出函数的最简与或式。、进行化简，求出函数的最简与或式。3 3、交变量各种可能取值代入与或式中进行运算，列出函数的、交变量各种可能取值代入与或式中进行运算，列出函数的真值表。真值表。&ACBBAACY1112010-42010-4145145都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础A B CA B CY Y0 0 00 0 00 00 0 10 0 11 10 1 00 1 00 00 1 10 1 10 01 0 01 0 01 11 0 11 0 10 01 1 01 1 01 11 1 11 1 11 1列出函数的真值表列出函数的真值表2010-42010-4146146都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础本章小结本章小结本章知识要点：本章知识要点： 逻辑逻辑代函数的公式化代函数的公式化简简和和图图形化形化简简 ；逻辑代逻辑代数的基本概念数的基本概念 公式和定理公式和定理； 常用的几种常用的几种编码编码 。 几种常用几种常用逻辑逻辑函数的表示方法及函数的表示方法及转换转换 ；2010-42010-4147147都江堰校区都江堰校区周周林林第一章第一章逻辑代数基础逻辑代数基础1 1描描述述逻逻辑辑关关系系的的函函数数称称为为逻逻辑辑函函。逻逻辑辑函函数数中中的的变变量量和和函函数数值值都都只只能能取取0 0或或1 1两两个个值值。数数字字电电路路中中用用高高电电平平和和低低电电平平分分别别来来表表示示逻逻辑辑1 1和和逻逻辑辑0 0，它它和和二二进进制制数数中中的的0 0和和1 1正正好好对对应应。因此，数字系统中常用二进制数来表示数据。因此，数字系统中常用二进制数来表示数据。2 2常常用用BCDBCD码码有有84218421码码、242l242l码码、余余3 3码码等等，其其中中842l842l码码使使用用最广泛。最广泛。3 3逻逻辑辑运运算算中中的的三三种种基基本本运运算算是是与与、或或、非非运运算算。而而与与非非、或或非非、与与或或非非、异异或或则则是是由由三三种种基基本本逻逻辑辑运运算算复复合合面面成成的的四四种常用逻辑运算，一定要掌握这些基本和常用运算及关系。种常用逻辑运算，一定要掌握这些基本和常用运算及关系。4 4逻辑函数的公式化简法和图形化简法熟练掌握。逻辑函数的公式化简法和图形化简法熟练掌握。5 5常常用用的的逻逻辑辑函函数数表表示示方方法法有有真真值值表表、函函数数表表达达式式 、卡卡诺诺图、逻辑图和波形图五种，它们之间可以任意地相互转换。图、逻辑图和波形图五种，它们之间可以任意地相互转换。作业：作业： P P70 70 1-121-12（1 1、3 3、5 5） 1-13 1-151-13 1-15（2 2、4 4、6 6）1-161-16本本 章章 小小 结结2010-42010-4148148都江堰校区都江堰校区周周林林