返回返回上页上页下页下页目录目录高等数学多媒体课件牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）8/18/20241返回返回上页上页下页下页目录目录第十章第十章 无穷级数无穷级数（Infinite Series）第一节第一节 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法第三节第三节 幂级数幂级数第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数第五节第五节 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用 第六节第六节 傅立叶级数傅立叶级数主主 要要 内内 容容8/18/20242返回返回上页上页下页下页目录目录第一节第一节 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质 第十章第十章 （Conception and property of constant term series）一、常数项级数的基本概念一、常数项级数的基本概念二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质三、小结与思考练习三、小结与思考练习8/18/20243返回返回上页上页下页下页目录目录一、常数项级数的基本概念一、常数项级数的基本概念定义定义 给定一个数列给定一个数列将各项依将各项依即即称上式为称上式为无穷级数无穷级数， 其中第其中第 n 项项叫做级数的叫做级数的一般项一般项,级数的前级数的前 n 项和项和次相加次相加, 简记为简记为称为级数的称为级数的部分和部分和.则称无穷级数则称无穷级数8/18/20244返回返回上页上页下页下页目录目录收敛收敛 , 并称并称 S 为级数的为级数的和和, 记作记作当级数收敛时当级数收敛时, 称差值称差值为级数的为级数的余项余项.则称无穷级数则称无穷级数发散发散 .显然显然8/18/20245返回返回上页上页下页下页目录目录8/18/20246返回返回上页上页下页下页目录目录例例3 讨论等比级数讨论等比级数 (又称几何级数又称几何级数)( q 称为公比称为公比 ) 的敛散性的敛散性. 解解: 1) 若若从而从而因此级数收敛因此级数收敛 ,从而从而则部分和则部分和因此级数发散因此级数发散 .其和为其和为8/18/20247返回返回上页上页下页下页目录目录2) 若若因此级数发散因此级数发散 ;因此因此n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数从而从而综合综合 1)、2)可知可知,时时, 等比级数收敛等比级数收敛 ;时时, 等比级数发散等比级数发散 .则则级数成为级数成为不存在不存在 , 因此级数发散因此级数发散.8/18/20248返回返回上页上页下页下页目录目录二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质性质性质1 若级数若级数收敛于收敛于 S ,则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数也收敛也收敛 ,证证: 令令则则这说明这说明收敛收敛 , 其和为其和为 c S . 说明说明: 级数各项乘以级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变后其敛散性不变 .即即其和为其和为 c S .8/18/20249返回返回上页上页下页下页目录目录性质性质2 设有两个收敛级数设有两个收敛级数则级数则级数也收敛也收敛, 其和为其和为证证: 令令则则这说明级数这说明级数也收敛也收敛, 其和为其和为8/18/202410返回返回上页上页下页下页目录目录8/18/202411返回返回上页上页下页下页目录目录性质性质3 在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级不会影响级数数的敛散性的敛散性.证证: 将级数将级数的前的前 k 项去掉项去掉,的部分和为的部分和为数敛散性相同数敛散性相同. 当级数收敛时当级数收敛时, 其和的关系为其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同极限状况相同, 故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数8/18/202412返回返回上页上页下页下页目录目录性质性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和的和.证证: 设收敛级数设收敛级数若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 为原级数部分和为原级数部分和序列序列 的一个子序列的一个子序列,推论推论: 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发则原级数必发散散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但但发散发散.因此必有因此必有例如，例如，用反证法可证用反证法可证例如例如8/18/202413返回返回上页上页下页下页目录目录证证: 可见可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .例如例如,其一般项为其一般项为不趋于不趋于0,因此这个级数发散因此这个级数发散.8/18/202414返回返回上页上页下页下页目录目录注意注意:并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数调和级数虽然虽然但此级数发散但此级数发散 .事实上事实上 , 假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 S , 则则但但矛盾矛盾! 所以假设不真所以假设不真 .课本给出了另课本给出了另外两种证法！外两种证法！8/18/202415返回返回上页上页下页下页目录目录例例6 判断级数的敛散性判断级数的敛散性:解解: 考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数发散发散 , 从而原级数发散从而原级数发散 .8/18/202416返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念:2. 常数项级数、常数项级数、 收敛、发散、等比级数、调和级收敛、发散、等比级数、调和级数数 3. 级数收敛的判别方法级数收敛的判别方法2. 收敛级数的收敛级数的5个性质个性质课外练习课外练习习题习题101 3（偶数题偶数题）；）； 48/18/202417返回返回上页上页下页下页目录目录思考与练习思考与练习答答:（1）若二级数都发散若二级数都发散 ,不一定发散不一定发散.例如例如, （2） 若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散则必发散 . (用反证法可证用反证法可证)8/18/202418返回返回上页上页下页下页目录目录解解: (1) 所以级数所以级数 (1) 发散发散 ;技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和2、 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:8/18/202419返回返回上页上页下页下页目录目录(2) 所以级数所以级数 (2) 收敛收敛, 其和为其和为 1 .技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和8/18/202420返回返回上页上页下页下页目录目录3、 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和若收敛求其和:解解: (1) 令令则则故故从而从而这说明级数这说明级数(1) 发散发散.8/18/202421返回返回上页上页下页下页目录目录因因进行拆项相消进行拆项相消这说明原级数收敛这说明原级数收敛 , 其和为其和为(2) 8/18/202422返回返回上页上页下页下页目录目录这说明原级数收敛这说明原级数收敛, 其和为其和为 3 .(3) 8/18/202423