第四章线性规划问题的应用用最少的劳动力来满足工作的需要。用最少的劳动力来满足工作的需要。 一、人力资源分配的问题一、人力资源分配的问题例：例：某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作并连续工作8h，问该公交线路怎样安排司机和乘务人问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?解：设解：设 xi 表示第表示第i班次时开始上班的司机和乘务班次时开始上班的司机和乘务人员数人员数,这样我们建立如下的数学模型。这样我们建立如下的数学模型。目标函数：目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：约束条件：s.t. x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0二、生产计划问题合理利用人力、物力、财力等有限资源，合理利用人力、物力、财力等有限资源，使获利最大。使获利最大。vnv2v1产值产值pmbmamnam2am1mp2p1资源资源单价单价b2b1资源资源数量数量a2na1nn2a22a212a12a1111产品产品资源资源生产计划数据表生产计划例题例：明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经例：明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下页表。数据如下页表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？司铸造和由外包协作各应多少件？解：解：设设 x1 ,x2 ,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，乙、丙三种产品的件数，x4, x5 分别为由外协铸造再由分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求求xi 的利润：利润的利润：利润=售价各成本之和售价各成本之和可得到可得到xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为的利润分别为15、10、7、13、9元。元。这样我们建立如下数学模型：这样我们建立如下数学模型：目标函数：目标函数： Max 15x1+10x2+7x3+13x4+9x5 约束条件：约束条件： s.t. 5x1+10x2+7x3 8000 6x1+4x2+8x3+6x4+4x5 12000 3x1+2x2+2x3+3x4+2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0例：永久机械厂生产例：永久机械厂生产、三种产品，均三种产品，均要经过要经过 A、B 两道工序加工。假设有两种规两道工序加工。假设有两种规格的设备格的设备A1、A2能完成能完成 A 工序；有三种规格工序；有三种规格的设备的设备B1、 B2 、B3能完成能完成 B 工序。工序。可在可在 A、B的任何规格的设备上加工；的任何规格的设备上加工； 可在任意规可在任意规格的格的A设备上加工，但对设备上加工，但对B工序工序,只能在只能在B1设设备上加工；备上加工； 只能在只能在A2与与B2设备上加工；设备上加工；数据如下页表。数据如下页表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案品加工方案？解：设解：设 xijk 表示第表示第 i 种产品，在第种产品，在第 j 种工序上的第种工序上的第 k 种设备上加工的数量。种设备上加工的数量。利润利润 = （销售单价原料单价）（销售单价原料单价） 产品件数产品件数之和之和(每台时每台时的设备费用的设备费用设备实际使用的总台时数设备实际使用的总台时数)之和。之和。建立数学模型建立数学模型:Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123 s.t 5x111+10x2116000 （ 设备设备 A1 ） 7x112+9x212+12x31210000（ 设备设备 A2 ） 6x121+ 8x221 4000 ( 设备设备 B1 ） 4x122+11x3227000 ( 设备设备 B2 ） 7x123 4000 （ 设备设备 B3 ）x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 (产品在产品在A、B工序加工的数量相等）工序加工的数量相等）x211+ x212- x221 = 0 (产品在产品在A、B工序加工的数量相等）工序加工的数量相等）x312 - x322 = 0(产品在产品在A、B工序加工的数量相等）工序加工的数量相等）xijk0, i=1,2,3; j=1,2; k=1,2,3三、套裁下料问题三、套裁下料问题如何下料使用材最少。如何下料使用材最少。bmamnam2am1Amb2b1需求量需求量a2na1nn2a22a21A2a12a11A11下料下料方式方式零件零件毛坯毛坯数据表数据表例例: :某工厂要做某工厂要做100100套钢架，每套用长为套钢架，每套用长为2.9 m, 2.9 m, 2.1m, 1.5m2.1m, 1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 7.4 m m，问：应如何下料，可使所用原料最省？问：应如何下料，可使所用原料最省？解解: :考虑下列各种下料方案（按一种逻辑顺序给出）考虑下列各种下料方案（按一种逻辑顺序给出）把各种下料方案按剩余料头从小到大顺序列出把各种下料方案按剩余料头从小到大顺序列出假设假设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前分别为上面前 5 种方案下料的种方案下料的原材料根数。我们建立如下的数学模型。原材料根数。我们建立如下的数学模型。目标函数：目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件：约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3+ 3x5 100 x1,x2,x3,x4,x5 0在原料供应量的限制下如何获取最大利在原料供应量的限制下如何获取最大利润。润。四、配料问题四、配料问题cnc2c1单价单价bmamnam2am1Bmb2b1成分成分数量数量a2na1nAnA2a22a21B2a12a11B1A1原料原料成分成分数据表数据表例：某工厂要用三种原料例：某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种混合调配出三种的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？安排生产，使利润收入为最大？解：设解：设 xij 表示第表示第 i 种（甲、乙、丙）种（甲、乙、丙） 产产品中原料品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：型时，要考虑： 对于甲：对于甲： x11，x12，x13； 对于乙：对于乙： x21，x22，x23； 对于丙：对于丙： x31，x32，x33； 对于原料对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料对于原料3： x13，x23，x33；目标函数：目标函数： 利润最大，利润利润最大，利润 = = 收入原料支出收入原料支出 约束条件：约束条件：规格要求规格要求 4 4 个；个； 供应量限制供应量限制 3 3 个。个。Maxz = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料原材料1不少于不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料原材料2不超过不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料原材料1不少于不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料原材料2不超过不超过50%） x11+x21+x31 100 (供应量限制）供应量限制） x12+x22+x32 100 (供应量限制）供应量限制） x13+x23+x33 60 (供应量限制）供应量限制） xij0 ,i = 1,2,3; j = 1,2,3五、投资问题五、投资问题从投资项目中选取方案，使投资回报最从投资项目中选取方案，使投资回报最大。大。例：某部门现有资金例：某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：下的项目投资。已知：项目项目A ：从第一年到第五年每年年初都可投资，当：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利年末能收回本利110%；项目项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能，但规定每年最大投资额不能超过超过30万元；万元；项目项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利利140%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过80万元；万元；项目项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利利155%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过100万元。万元。问：问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？总的风险系数为最小？据测定每万元每次投资的风险指数如下表：据测定每万元每次投资的风险指数如下表： 解：解：1）确定决策变量：连续投资问题）确定决策变量：连续投资问题 设设 xij ( i = 15，j = 1、2、3、4)表示第表示第 i 年年初投资于初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项项目的金额。这样我们建立如下决策变量：目的金额。这样我们建立如下决策变量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24 2 2）约束条件：）约束条件：第一年：第一年：A当年末可收回投资，故每年初都应把全部资金投当年末可收回投资，故每年初都应把全部资金投出去，于是：出去，于是： x11+ x12 = 200第二年：第二年：B次年末才可收回投资故第二年年初的资金为次年末才可收回投资故第二年年初的资金为1.1x11，于是：于是： x21 + x22+ x24 = 1.1x11第三年：年初的资金为第三年：年初的资金为1.1x21+1.25x12，于是于是 ： x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12第四年：年初的资金为第四年：年初的资金为1.1x31+1.25x22，于是：于是： x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22第五年：年初的资金为第五年：年初的资金为1.1x41+1.25x32，于是：于是： x51 = 1.1x41+ 1.25x32B、C、D的投资限制：的投资限制： xi2 30 ( i=1，2，3，4 )，x33 80，x24 100a)Max z=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 30 ( i =1、2、3、4 )， x33 80，x24 100 xij0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4）3）目标函数及模型：目标函数及模型：b) Min f = （x11+x21+x31+x41+x51)+ 3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 200 x21 + x22+ x24 1.1x11 x31 + x32+ x33 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 1.1x31+ 1.25x22 x51 1.1x41+ 1.25x32 xi2 30 ( i =1、2、3、4 )， x33 80，x24 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330 xij0(i=1,2,3,4,5；j = 1,2,3,4）