离散数学课后习题答案(左孝凌版)不得不放弃、1-1，1-2 1-1，1-2 （1） 解： a) 是命题，真值为 T。 b) 不是命题。 c) 是命题，真值要根据具体情况确定。 d) 不是命题。 e) 是命题，真值为 T。 f) 是命题，真值为 T。 g) 是命题，真值为 F。 h) 不是命题。 i) 不是命题。 （2） 解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3） 解： a) (P R)Q b) QR c) P d) PQ （4） 解： a)设 Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (RP):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设 R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 RQ:我在看电视边吃苹果。 c) 设 Q:一个数是奇数。R:一个数不能被 2 除。 （QR）(RQ):一个数是奇数，则它不能被 2 整除并且一个数不能被 2 整除，则它是奇数。 (5) 解： a) 设 P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。PQ b) 设 P：小李看书。Q：小李听音乐。PQ c) 设 P：气候很好。Q：气候很热。PQ d) 设 P： a 和 b 是偶数。Q：a+b 是偶数。PQ e) 设 P：四边形 ABCD 是平行四边形。Q ：四边形 ABCD 的对边平行。PQ f) 设 P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。 （P Q） R (6) 解： a) P:天气炎热。Q:正在下雨。 PQ b) P:天气炎热。R:湿度较低。 PR c) R:天正在下雨。S:湿度很高。 RS d) A:刘英上山。B:李进上山。 AB e) M:老王是革新者。N:小李是革新者。 MN f) L:你看电影。M:我看电影。 LM g) P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 PQR h) P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。PQ 1-3 1-3 （1）解： a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式） b) 是合式公式 c) 不是合式公式（括弧不配对） d) 不是合式公式（R 和 S 之间缺少联结词） e) 是合式公式。 （2）解： a） A 是合式公式，(AB)是合式公式，(A(AB) 是合式公式。这个过程可以简记为： A；(AB)；(A(AB) 同理可记 b） A；A ；(AB) ；(AB)A) c） A；A ；B；(AB) ；(BA) ；(AB)(BA) d） A；B；(AB) ；(BA) ；(AB)(BA) （3）解： a） (AC)(BC)A)(BC)A)(AC) b） (BA)(AB)。 （4）解： a) 是由 c) 式进行代换得到，在 c) 中用 Q 代换 P, (PP)代换 Q. d) 是由 a) 式进行代换得到，在 a) 中用 P(QP)代换 Q. e) 是由 b) 式进行代换得到，用 R 代换 P, S 代换 Q, Q 代换 R, P 代换 S. （5）解： a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P Q b) P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (PQ)R c) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 (PQ) d) P: 你来了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P(QR) （6）解： P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。 这个人起初主张：(PQR) S 后来主张：(PQS)(SR) 这个人开头主张与后来主张的不同点在于： 后来认为有 PQ 必同时有 R， 开头时没有这样的主张。 （7）解： a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。 (PQ)(P(RS) b) P: 我今天进城。Q:天下雨。QP c) P: 你走了。 Q:我留下。QP 1-41-4 （4）解：a) P Q R QR P(QR) PQ (PQ)R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F T F F F T F F F T F F F F F F F T T F F F F F F T F F F F F F F 所以，P(QR) (PQ)R b) P Q R QR P(QR) PQ (PQ)R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F 所以，P(QR) (PQ)R ） （） （）（） 所以，P(QR) (PQ)(PR) ） P Q P Q PQ (PQ) PQ (PQ) T T T F F F F T F T F T F F F F F T F F T T F T T T T T F T F T 所以，(PQ) PQ, (PQ) PQ （5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式 F1F6，可表达为 P Q R F1 F2 F3 F4 F5 F6 T T T T F T T F F T T F F F T F F F T F T T F F T T F T F F F T F T T F F T T T F F T T F F T F T F F F T F F F T T F T T T F F F F F T F T T T F1:(QP)R F2:(PQR)(PQR) F3:(PQ)(QR) F4:(PQR)(PQR) F5:(PQR)(PQR) F6:(PQR) (6) P Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F F F T F T F T F T F T F T F T F T F T F F T T F F T T F F T T F F T T T F F F F F T T T T F F F F T T T T T T F F F F F F F F T T T T T T T T 解：由上表可得有关公式为 1.F 2.(PQ) 3.(QP) 4.P 5.(PQ) 6.Q 7.(PQ) 8.(PQ) 9.PQ 10.PQ 11.Q 12.PQ 13.P 14.QP 15.PQ 16.T (7) 证明： a) A(BA) A(BA) A(AB) A(AB) A(AB) b) (AB) (AB)(AB) (AB)(AB) (AB)(AB) 或 (AB) (AB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AA)(BB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AB) (AB)(AB) c) (AB) (AB) AB d) (AB)(AB)(BA) (AB)(BA) (AB)(AB) e) (ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(ABC)D) (ABC)(ABC)D (ABC)(ABC)D (AB)(AB)C)D (C(AB)D) f) A(BC) A(BC) (AB)C (AB)C (AB)C g) (AD)(BD)(AD)(BD) (AB)D (AB)D (AB)D h) (AB)C)(B(DC) (AB)C)(B(DC) (AB)(BD)C (AB) (DB)C (AB)(DB)C (AD)B)C (B(DA)C （8）解： a) (AB) (BA)C (AB) (BA)C (AB) (AB)C TC C b) A(A(BB) (AA)(BB) TF T c) (ABC)(ABC) (AA) (BC) T(BC) BC （9）解：1）设 C 为 T，A 为 T，B 为 F，则满足 ACBC，但 AB 不成立。 2）设 C 为 F，A 为 T，B 为 F，则满足 ACBC，但 AB 不成立。 3）由题意知A 和B 的真值相同，所以 A 和 B 的真值也相同。 习题 1-5 习题 1-5 （1） 证明： a) (P(PQ)Q (P(PQ)Q (PP)(PQ)Q (PQ)Q (PQ)Q PQQ PT T b) P(PQ) P(PQ) (PP)Q TQ T c) (PQ)(QR)(PR) 因为(PQ)(QR)(PR) 所以 (PQ)(QR)为重言式。 d) (ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca) 因为(ab)(bc)(ca) (ac)b)(ca) (ac)(ca)(b(ca) (ac)(bc)(ba) 所以(ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca) 为重言式。 （2） 证明： a)(PQ)P(PQ) 解法 1： 设 PQ 为 T （1）若 P 为 T，则 Q 为 T，所以 PQ 为 T，故 P(PQ)为 T （2）若 P 为 F，则 Q 为 F，所以 PQ 为 F，P(PQ)为 T 命题得证 解法 2： 设 P(PQ)为 F ，则 P 为 T，(PQ)为 F ，故必有 P 为 T，Q 为 F ，所以 PQ 为 F。 解法 3： (PQ) (P(PQ) (PQ)(P(PQ) (PQ)(PP)(PQ) T 所以(PQ)P(PQ) b)(PQ)QPQ 设 PQ 为 F，则 P 为 F，且 Q 为 F， 故 PQ 为 T，(PQ)Q 为 F， 所以(PQ)QPQ。 c)(Q(PP)(R(R(PP)RQ 设 RQ 为 F，则 R 为 T，且 Q 为 F，又 PP 为 F 所以 Q(PP)为 T，R(PP)为 F 所以 R(R(PP)为 F，所以(Q(PP)(R(R(PP)为 F 即(Q(PP)(R(R(PP)RQ 成立。 （3） 解： a) PQ 表示命题“如果 8 是偶数，那么糖果是甜的” 。 b) a)的逆换式 QP 表示命题“如果糖果是甜的，那么 8 是偶数” 。 c) a)的反换式PQ 表示命题“如果 8 不是偶数，那么糖果不是甜的” 。 d) a)的逆反式QP 表示命题“如果糖果不是甜的，那么 8 不是偶数” 。 （4） 解： a) 如果天下雨，我不去。 设 P：天下雨。Q：我不去。PQ 逆换式 QP 表示命题:如果我不去，则天下雨。 逆反式QP 表示命题:如果我去，则天不下雨 b) 仅当你走我将留下。 设 S：你走了。R：我将留下。RS 逆换式 SR 表示命题：如果你走了则我将留下。 逆反式SR 表示命题：如果你不走，则我不留下。 c) 如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。 设 E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。EH 逆换式 HE 表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。 逆反式HE 表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助 （5） 试证明 PQ，Q 逻辑蕴含 P。 证明：解法 1： 本题要求证明(PQ) QP, 设(PQ) Q 为 T，则(PQ)为 T，Q 为 T，故由的定义，必有 P 为 T。 所以(PQ) QP 解法 2： 由体题可知，即证(PQ)Q)P 是永真式。 (PQ)Q)P (PQ) (PQ) Q)P (PQ) (PQ) Q) P (PQ) (PQ) Q) P (QPQ) (QPQ) P (QP) T) P QPP QT T （6） 解： P：我学习 Q：我数学不及格 R：我热衷于玩扑克。 如果我学习，那么我数学不会不及格： PQ 如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: RP 但我数学不及格: Q 因此我热衷于玩扑克。 R 即本题符号化为：(PQ)(RP)QR 证： 证法 1：(PQ)(RP)Q)R (PQ)(RP)Q) R (PQ)(RP)QR (QP)(QQ)(RR)(RP) QPRP T 所以，论证有效。 证法 2：设(PQ)(RP)Q 为 T， 则因 Q 为 T，(PQ) 为 T，可得 P 为 F， 由(RP)为 T，得到 R 为 T。 故本题论证有效。 （7） 解： P：6 是偶数 Q：7 被 2 除尽 R：5 是素数 如果 6 是偶数，则 7 被 2 除不尽 PQ 或 5 不是素数，或 7 被 2 除尽 RQ 5 是素数 R 所以 6 是奇数 P 即本题符号化为： （PQ）（RQ）R P 证： 证法 1：(PQ)(RQ)R)P (PQ) (RQ) R) P (PQ) (RQ) R) P (PP) (PQ) (RR) (RQ) (PQ) (RQ) T 所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。 证法 2：(PQ)(RQ)R 为 T， 则有 R 为 T，且RQ 为 T，故 Q 为 T， 再由 PQ 为 T，得到P 为 T。 （8） 证明： a) P(PQ) 设 P 为 T，则P 为 F，故PQ 为 T b) ABCC 假定ABC 为 T，则 C 为 T。 c) CABB 因为 ABB 为永真，所以 CABB 成立。 d) (AB) AB 设(AB)为 T，则 AB 为 F。 若 A 为 T，B 为 F，则A 为 F，B 为 T，故AB 为 T。 若 A 为 F，B 为 T，则A 为 T，B 为 F，故AB 为 T。 若 A 为 F，B 为 F，则A 为 T，B 为 T，故AB 为 T。 命题得证。 e) A(BC)，DE，(DE)ABC 设A(BC)，DE，(DE)A 为 T， 则 DE 为 T，(DE)A 为 T，所以A 为 T 又A(BC)为 T，所以 BC 为 T。命题得证。 f) (AB)C，D，CDAB 设(AB)C，D，CD 为 T，则D 为 T，CD 为 T，所以 C 为 F 又(AB)C 为 T，所以 AB 为 F，所以AB 为 T。命题得证。 （9）解： a) 如果他有勇气，他将得胜。 P：他有勇气 Q：他将得胜 原命题：PQ 逆反式：QP 表示：如果他失败了，说明他没勇气。 b) 仅当他不累他将得胜。 P：他不累 Q：他得胜 原命题：QP 逆反式：PQ 表示：如果他累，他将失败。 习题 1-6 习题 1-6 (1)解： a) (PQ)P(PP)Q(TQ) b) (P(QR) PQ (P(QR)PQ (PPQ)(QPQ)(RPQ) (PQ)(PQ)(PRQ) PQ (PQ) c) PQ(RP) PQ(RP) (PQR)(PQP) (PQR)F PQR (PQR) (2) 解： a)P PP b)PQ(PQ) (PQ)(PQ) c)PQPQ (PP)(QQ) (3)解： P(PQ) P(PQ) T PP (PP)(PP) P(PP) P(PQ) P(PQ) T PP (PP) (PP)P) (PP)P)(PP)P) (4)解： PQ (PQ) (PP)(QQ) (PP)(QQ)(PP)(QQ) (5)证明： (BC) (BC) BC (BC) (BC) BC (6)解：联结词“”和“”不满足结合律。举例如下： a)给出一组指派：P 为 T，Q 为 F，R 为 F，则(PQ)R 为 T，P(QR)为 F 故 (PQ)R P(QR). b)给出一组指派：P 为 T，Q 为 F，R 为 F，则(PQ) R 为 T，P(QR)为 F 故(PQ)R P(QR). (7)证明： 设变元 P，Q，用连结词,作用于 P，Q 得到：P，Q，P，Q，PQ，PP，QQ，QP。 但 PQQP，PPQQ，故实际有： P，Q，P，Q，PQ，PP（T） （A） 用作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类） ： P，Q，P，Q，（PQ） ， T，F， PQ （B） 用作用于（A）类，得到： PQ，PPF，PQ（PQ） ，P（PQ）Q，P（PP）P， QP（PQ） ，QQF，Q（PQ）P，QTQ, PQPQ，P（PQ）Q，PTP, Q（PQ）P，QTQ, （PQ）（PQ）PQ. 因此， （A）类使用运算后，仍在（B）类中。 对（B）类使用运算得： P，Q，P，Q， PQ， F，T， （PQ） ， 仍在（B）类中。 对（B）类使用运算得： PQ，PPF，PQ（PQ） ，P（PQ）Q，PTP，PFP，P（PQ）Q， QP（PQ） ，QQF，Q（PQ）P，QTQ, QFQ， Q（PQ）P， PQPQ，P（PQ）Q，PTP, PFP,P（PQ）Q， Q（PQ）P，QTQ, QTQ,Q（PQ）P， （PQ）T（PQ） ，（PQ）FPQ，（PQ）（PQ）F TFF，T（PQ） PQ F（PQ） （PQ） （PQ）（PQ）PQ. 故由（B）类使用运算后，结果仍在（B）中。 由上证明：用,两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故,不是功能完备的，更不能是最小联结词组。 已证,不是最小联结词组，又因为 P Q （PQ） ，故任何命题公式中的联结词，如仅用 , 表达，则必可用,表达，其逆亦真。故 , 也必不是最小联结词组。 (8)证明，和不是最小联结词组。 证明：若，和是最小联结词，则 P（PP） P（PP） PP(P(P) 对所有命题变元指派 T，则等价式左边为 F，右边为 T，与等价表达式矛盾。 所以，和不是最小联结词。 (9)证明,和, 是最小联结词组。 证明：因为,为最小联结词组，且 PQPQ 所以,是功能完备的联结词组，又,都不是功能完备的联结词组。 所以,是最小联结词组。 又因为 PQ(P Q)，所以, 是功能完备的联结词组，又, 不是功能完备的联结词组， 所以, 是最小联结词组。 习题 1-7习题 1-7 (1) 解： P(PQ) P(PQ) (PP)(PQ) P(PQ) (P(QQ)(PQ) (PQ)(PQ)(PQ) (2) 解： a) (PQ)R (PQ)R PQR (PQ)(PQ) (QR)(QR)(RP)(RP) b) P(QR)S) P(QR)S) PQRS (PQ)(PQ) (QR)(QR)(RS)(RS)(SP)(SP) c) (PQ)(ST) (PQ)(ST) (PQS)(PQT) d) (PQ)R (PQ)R (PQ)R (PR)(QR) e) (PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (PP)(PQ)(QP)(QQ) (PQ)(QP) (3) 解： a) P(PQR) (PP)(PQ)(PR) c c cc c (PQ)(PR) b) (PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (PPQ)(QPQ) c) (PQ) (PQ) PQ (PQ)(PQ)(QP) d) (PQ)R (PQ)R (PQ)R (PR)(QR) e) (PQ)(PQ) (PP)(PQ)(QP)(QQ) (PQ)(QP) (4) 解： a) (PQ)(PQ) (PQ) (PQ) (PQ) (PQ)(PQ) 1，2，3 PQ=0 b) Q(PQ) (PQ)(QQ) PQ =3 0，1，2 (PQ)(PQ) (PQ) c) P(P(Q(QR) P(P(Q(QR) PQR=0 1，2，3,4,5,6,7 =(PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) d) (P(QR) )(P(QR) (P(QR) (P(QR) (PP) (P(QR) (QR) P) (QR) (QR) (PQR) (PQR) =0,7 1，2，3,4,5,6 (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) e) P(P(QP) P(P(QP) (PP)(PQP) T(TQ) T 0,1,2,3= (PQ) (PQ) (PQ) (PQ) f) (QP) (PQ) (QP) PQ (QP) (PQ) F 0,1，2，3= (PQ) (PQ) (PQ) (PQ) (5) 证明： a) (AB) (AC) (AB) (AC) A(BC) A(BC) (AB) (AC) b) (AB) (AB) (AB) (AB) (AB) (AB) A(BB) AT A (AB) (BA) (AB) (BA) A(BB) AF A c) AB(AB) (AA)(AB)B ABB F AB(AB) (AA)(AB)B ABB F d) A(A(AB) AA(AB) T AB(AB) (AB) (AB) T (6)解：AR(Q(RP),则 A* R(Q(RP) AR(Q(RP) (R(Q(RP) RQ(RP) (RQ) (RP) A*R(Q(RP) (R(Q(RP) RQ(RP) (RQ) (RP) (7) 解：设 A：A 去出差。B：B 去出差。C：C 去出差。D：D 去出差。 若 A 去则 C 和 D 中要去一个。 A(CVD) B 和 C 不能都去。 (BC) C 去则 D 要留下。 CD 按题意应有：A(CVD)，(BC)，CD 必须同时成立。 因为 CVD (CD) (DC) 故(A(CVD)(BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (BD) (CD) C) (ABC) (ABD) (ACD) (AC) (BCD) (CDBD) (CDCD) (CDC) (DCBC) (DCBD) (DCCD) (DCC) 在上述的析取范式中，有些（画线的）不符合题意，舍弃，得 (AC) (BCD) （CD）(DCB) 故分派的方法为：BD ,或 DA,或 CA。 (8) 解：设 P：A 是第一。Q：B 是第二。R：C 是第二。S：D 是第四。E：A 是第二。 由题意得 (PVQ) (RVS) (EVS) (PQ) (PQ) (RS) (RS) (ES) (ES) (PQRS) (PQRS) (PQRS) (PQRS)(ES)(ES) 因为 (PQRS)与(PQRS)不合题意，所以原式可化为 (PQRS) (PQRS)(ES) (ES) (PQRSES) (PQRSES) (PQRSES)(PQRSES) (PQRSE) (PQRSE) 因 R 与 E 矛盾，故PQRSE 为真， 即 A 不是第一，B 是第二，C 不是第二，D 为第四，A 不是第二。 于是得： A 是第三 B 是第二 C 是第一 D 是第四。 习题 1-8 习题 1-8 (1)证明： a)(PQ)，QR，RP (1) R P (2) QR P (3) Q (1)(2)T,I (4) (PQ) P (5) PQ (4)T,E (6) P (3)(5)T,I b)J(MN)，(HG)J，HGMN (1) (HG) J P (2) (HG) P (3) J (1)(2)T,I (4) J(MN) P (5) MN (3)(4)T,I c)BC，(BC)(HG)GH (1) BC P (2) B (1)T,I (3) C (1)T,I (4) BC (2)T,I (5) CB (3)T,I (6) CB (4)T,E (7) BC (5)T,E (8) BC (6)(7)T,E (9) (BC) (HG) P (10) HG (8)(9)T,I d)PQ，(QR)R，(PS)S (1) (QR) R (2) QR (1)T,I (3) R (1)T,I (4) Q (2)(3)T,I (5) PQ P (6) P (4)(5)T,I (7) (PS) P (8) PS (7)T,E (9) S (6)(8)T,I (2) 证明： a)AB，CBAC (1) (AC) P (2) A (1)T,I (3) C (1)T,I (4) AB P (5) B (2)(4)T,I (6) CB P (7) B (3)(6)T,I (8) BB 矛盾。(5),(7) b)A(BC)，(CD)E，F(DE)A(BF) (1) (A(BF) P (2) A (1)T,I (3) (BF) (1)T,I (4) B (3)T,I (5) F (3)T, (6) A(BC) P (7) BC (2)(6)T,I (8) C (4)(7)T,I (9) F(DE) P (10) DE (5)(9)T,I (11) D (10)T,I (12) CD (8)(11)T,I (13) (CD) E P (14) E (12)(13)T,I (15) E (10)T,I (16) EE 矛盾。(14),(15) c)ABCD，DEFAF (1) (AF) P (2) A (1)T,I (3) F (1)T,I (4) AB (2)T,I (5) (AB) CD P (6) CD (4)(5)T,I (7) C (6)T,I (8) D (6)T,I (9) DE (8)T,I (10) DEF P (11) F (9)(10)T,I (12) FF 矛盾。(3),(11) d)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE)BE (1) (BE) P (2) B (1)T,I (3) E (1)T,I (4) BD P (5) D (2)(4)T,I (6) (EF) D P (7) (EF) (5)(6)T,I (8) E (7)T,I (9) EE 矛盾 e)(AB)(CD)，(BE)(DF)，(EF)，ACA (1) (AB) (CD) P (2) AB (1)T,I (3) (BE) (DF) P (4) BE (3)T,I (5) AE (2)(4)T,I (6) (EF) P (7) EF (6)T,E (8) EF (7)T,E (9) AF (5)(8)T,I (10) CD (1)T,I (11) DF (3)T,I (12) CF (10)(10)T,I (13) AC P (14) AF (13)(12)T,I (15) FA (14)T,E (16) AA (9)(15)T,I (17) AA (16)T,E (18) A (17) T,E (3) 证明： a)AB，CBAC (1) A P (2) AB P (3) B (1)(2)T,I (4) CB P (5) C (3)(4)T,I (6) AC CP b)A(BC)，(CD)E，F(DE)A(BF) (1) A P (2) A(BC) P (3) BC (1)(2)T,I (4) B P (5) C (3)(4)T,I (6) (CD) E P (7) C(DE) (6)T,E (8) DE (5)(7)T,I (9) DE (8)T,E (10) (DE) (9)T,E (11) F(DE) P (12) F (10)(11)T,I (13) BF CP (14) A(BF) CP c)ABCD，DEFAF (1) A P (2) AB (1)T,I (3) ABCD P (4) CD (2)(3)T,I (5) D (4)T,I (6) DE (5)T,I (7) DEF P (8) F (6)(7)T,I (9) AF CP d)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE)BE (1) B P(附加前提) (2) BD P (3) D (1)(2)T,I (4) (EF)D P (5) (EF) (3)(4)T,I (6) E (5)T,I (7) BE CP (4)证明： a) RQ，RS，SQ，PQP (1) RQ P (2) RS P (3) SQ P (4) Q (1)(2)(3)T,I (5) PQ P (6) P (4)(5)T,I b) SQ，SR，R，PQP 证法一： (1) SR P (2) R P (3) S (1)(2)T,I (4) SQ P (5) Q (3)(4)T,I (6) PQ P (7)(PQ)(QP) (6)T,E (8) PQ (7)T,I (9) P (5)(8)T,I 证法二： （反证法） (1) P P（附加前提） (2) PQ P (3)（PQ）（ QP） (2)T，E (4) PQ (3)T,I (5) Q (1)(4)T,I (6) SQ P (7) S (5)(6)T,I (8) SR P (9) R (7)(8)T,I (10) R P (11) RR 矛盾（9） （10）T，I c)(PQ)(RS)，(QP)R)，RPQ (1) R P (2) (QP) R P (3) QP (1)(2)T,I (4)(PQ) (RS) P (5) (RS) (PQ) (4)T,E (6) RS (1)T,I (7) PQ (5)(6) (8) (PQ) (QP) (3)(7)T,I (9) PQ (8)T,E (5) 解： a) 设 P：我跑步。Q：我很疲劳。 前提为：PQ，Q (1) PQ P (2) Q P (3) P (1)(2)T,I 结论为：P，我没有跑步。 b) 设 S：他犯了错误。 R：他神色慌张。 前提为：SR，R 因为（SR）R（SR）RR。故本题没有确定的结论。 实际上，若 S R 为真，R 为真,则 S 可为真，S 也可为假，故无有效结论。 c) 设 P：我的程序通过。 Q：我很快乐。 R：阳光很好。 S：天很暖和。 （把晚上十一点理解为阳光不好） 前提为：PQ，QR，RS (1) PQ P (2) QR P (3) PR (1)(2)T,I (4) RS P (5) R (4)T,I (6) P (3)(5)T,I 结论为： P，我的程序没有通过 习题 2-1,2-2 习题 2-1,2-2 （1） 解： a) 设 W（x） ：x 是工人。c：小张。 则有 W（c） b) 设 S（x） ：x 是田径运动员。B（x） ：x 是球类运动员。h：他 则有 S（h）B（h） c) 设 C（x） ：x 是聪明的。B（x） ：x 是美丽的。l：小莉。 则有 C（l） B（l） d）设 O（x） ：x 是奇数。 则有 O（m） O（2m） 。 e)设 R（x） ：x 是实数。Q（x） ：x 是有理数。 则有 （x） （Q（x）R（x） ） f) 设 R（x） ：x 是实数。Q（x） ：x 是有理数。 则有 （x） （R（x）Q（x） ） g) 设 R（x） ：x 是实数。Q（x） ：x 是有理数。 则有 （x） （R（x）Q（x） ） h)设 P（x，y） ：直线 x 平行于直线 y G（x，y） ：直线 x 相交于直线 y。 则有 P（A，B）G（A，B） （2） 解： a) 设 J(x)：x 是教练员。L(x)：x 是运动员。 则有 （x） （J（x）L（x） ） b) 设 S(x)：x 是大学生。L(x)：x 是运动员。 则有 （x） （L（x）S（x） ） c) 设 J(x)：x 是教练员。O(x)：x 是年老的。V（x） ：x 是健壮的。 则有 （x） （J（x）O（x）V（x） ） d) 设 O(x)：x 是年老的。V（x） ：x 是健壮的。j：金教练 则有 O（j）V（j） e) 设 L(x)：x 是运动员。J(x)：x 是教练员。 则 （x） （L（x）J（x） ） 本题亦可理解为：某些运动员不是教练。 故 （x） （L（x）J（x） ） f) 设 S（x） ：x 是大学生。L（x） ：x 是运动员。C（x） ：x 是国家选手。 则有 （x） （S（x）L（x）C（x） ） g) 设 C（x） ：x 是国家选手。V（x） ：x 是健壮的。 则有 （x） （C（x）V（x） ）或（x） （C（x）V（x） ） h) 设 C（x） ：x 是国家选手。O（x） ：x 是老的。L（x） ：x 是运动员。 则有 （x） （O（x）C（x）L（x） ） i) 设 W（x） ：x 是女同志。H（x） ：x 是家庭妇女。C（x） ：x 是国家选手。 则有 （x） （W（x）C（x）H（x） ） j）W（x） ：x 是女同志。J（x） ：x 是教练。C（x） ：x 是国家选手。 则有（x） （W（x）J（x）C（x） ） k）L（x） ：x 是运动员。J（y） ：y 是教练。A(x,y)：x 钦佩 y。 则有 （x） （L（x） （y） （J（y）A（x，y） ） ） l）设 S（x） ：x 是大学生。L（x） ：x 是运动员。A(x,y)：x 钦佩 y。 则（x） （S（x）（y） （L（y） A(x,y)） ） 习题 2-3 习题 2-3 （1）解： a）5 是质数。 b）2 是偶数且 2 是质数。 c）对所有的 x，若 x 能被 2 除尽，则 x 是偶数。 d）存在 x，x 是偶数，且 x 能除尽 6。 （即某些偶数能除尽 6） e）对所有的 x，若 x 不是偶数，则 x 不能被 2 除尽。 f）对所有的 x，若 x 是偶数，则对所有的 y，若 x 能除尽 y，则 y 也是偶数。 g）对所有的 x，若 x 是质数，则存在 y，y 是偶数且 x 能除尽 y（即所有质数能除尽某些偶数） 。 h）对所有的 x，若 x 是奇数，则对所有 y，y 是质数，则 x 不能除尽 y（即任何奇 数不能除尽任何质数） 。 （2）解： （x）(y)(P(x)P(y)E(x,y)(!z)(L(z)R(x,y,z) 或 （x）(y)(P(x)P(y)E(x,y)(z)(L(z)R(x,y,z) (u)(E(z,u) L(u)R(x,y,u) （3）解： a) 设 N(x):x 是有限个数的乘积。 z(y):y 为 0。 P(x):x 的乘积为零。 F(y):y 是乘积中的一个因子。 则有 (x)(N(x)P(x)(y)(F(y)z(y) b) 设 R(x):x 是实数。Q(x,y):y 大于 x。 故 (x)(R(x)(y)(Q(x,y)R(y) c) R(x):x 是实数。G(x,y):x 大于 y。 则 (x)(y)(z)(R(x)R(y)R(z)G(x+y,xz) （4）解：设 G(x,y):x 大于 y。则有 (x)(y)(z)(G(y,x) G(0,z)G(xz,yz) （5）解：设 N(x):x 是一个数。 S(x,y):y 是 x 的后继数。E(x,y)：x=y.则 a) (x)(N(x)(!y)(N(y)S(x,y) 或(x)(N(x)(y)(N(y)S(x,y) (z)(E(y,z) N(z)S(x,z) b) (x)(N(x)S(x,1) c) (x)(N(x)S(x,2)(!y)(N(y) S(y,x) 或(x)(N(x)S(x,2)(y)(N(y) S(y,x) (z)(E(y,z) N(z)S(z,x) （6）解：设 S(x):x 是大学生。 E(x):x 是戴眼睛的。 F(x):x 是用功的。 R(x,y):x 在看 y。 G(y):y 是大的。 K(y):y 是厚的。 J(y):y 是巨著。 a:这本。 b:那位。 则有 E(b)F(b)S(b)R(b,a)G(a)K(a)J(a) （7）解：设 P(x,y):x 在 y 连续。 Q(x,y):xy。则 P(f,a)()()(x)(Q(,0)(Q(,0)Q(,|x-a|)Q(,|f(x)-f(a)|) 习题习题 2-4 (1) 解：a) x 是约束变元，y 是自由变元。 b) x 是约束变元，P(x)Q(x)中的 x 受全称量词的约束，S(x)中的 x 受存在量词的约束。 c) x，y 都是约束变元,P(x)中的 x 受的约束，R(x)中的 x 受的约束。 d) x，y 是约束变元，z 是自由变元。 (2) 解：a) P(a)P(b)P(c) b) R(a)R(b)R(c)S(a)S(b)S(c) c) (P(a)Q(a)(P(b)Q(b)(P(c)Q(c) d) (P(a)P(b)P(c)(P(z)P(b)P(c) e) (R(a)R(b)R(c)(S(a)S(b)S(c) (3) 解： a) (x)(P(x)Q(x)(P(1)Q(1)(P(2)Q(2)， 但 P(1)为 T，Q(1)为 F，P(2)为 F，Q(2)为 T,所以 (x)(P(x)Q(x)(TF)(FT)T。 b) (x)(PQ(x)R(a) (PQ(2)(PQ(3)(PQ(6)R(a) 因为 P 为 T，Q(2)为 T，Q(3)为 T，Q(6)为 F，R(5)为 F，所以 (x)(PQ(x)R(a) (TT)(TT)(TF)F F (4) 解：a) (u)(v)(P(u，z)Q(v)S(x，y) b) (u)(P(u) (R(u)Q(u)(v)R(v)(z)S(x,z) (5) 解：a) (y)A(u，y)(x)B(x，v)(x)(z)C(x，t，z) b) (y)P(u，y)(z)Q(u，z)(x)R(x，t) 习题习题 2-5 （1）解： a) P(a,f(a)P(b,f(b)P(1,f(1)P(2,f(2)P(1,2)P(2,1)TFF b) (x)(y)P(y,x) (x) (P(1,x)P(2,x) (P(1,1)P(2,1)(P(1,2)P(2,2) (TF)(TF) T c) (x)( y)(P(x,y)P(f(x),f(y) (x) (P(x,1)P(f(x),f(1)(P(x,2) P(f(x)f(2) (P(1,1)P(f(1),f(1)(P(1,2)P(f(1),f(2) (P(2,1)P(f(2),f(1)(P(2,2) P(f(2),f(2) (P(1,1)P(2,2)(P(1,2)P(2,1)(P(2,1)P(1,2)(P(2,2)P(1,1) (TF(TF)(FT)(FT)FFTTF （2）解：a) (x)(P(x)Q(f(x),a)(P(1)Q(f(1),1)(P(2)Q(f(2),1) (FQ(2,1)(TQ(1,1) (FF)(TT)T b) (x)(P(f(x)Q(x,f(a) (P(f(1)Q(1,f(1)(P(f(2)Q(2,f(1) (TT)(FF)T c) (x)(P(x)Q(x,a) (P(1)Q(1,a)(P(2)Q(2,a) (P(1)Q(1,1)(P(2)Q(2,1) (FT)(TF)F d) (x)( y)(P(x)Q(x,y) (x) (P(x)(y)Q(x,y) (x) (P(x)(Q(x,1)Q(x,2) (P(1)(Q(1,1)Q(1,2)(P(2)(Q(2,1)Q(2,2) (F(TT)(T(FF)F (3) 举例说明下列各蕴含式。 a) (x)(P(x)Q(a) (x)P(x)Q(a) b) (x) ( P(x) Q(x), (x) Q(x)P(a) c) (x) (P(x) Q(x), (x) (Q(x) R(x) (x) (P(x) R(x) d) (x) (P(x) Q(x), (x) P(x) (x)Q (x) e) (x) (P(x) Q(x), (x) P(x) (x)Q (x) 解：a）因为(x)(P(x)Q(a) (x)P(x)Q(a) 故原式为(x)P(x)Q(a) (x)P(x)Q(a) 设 P（x） ：x 是大学生。Q（x） ：x 是运动员 前提 或者不存在 x，x 是大学生，或者 a 是运动员 结论 如果存在 x 是大学生，则必有 a 是运动员。 b)设 P（x） ：x 是研究生。Q（x） ：x 是大学生。a：论域中的某人。 前提：对论域中所有 x，如果 x 不是研究生则 x 是大学生。 对论域中所有 x， x 不是大学生。 结论：对论域中所有 x 都是研究生。 故，对论域中某个 a，必有结论 a 是研究生，即 P（a）成立。 c）设 P（x） ：x 是研究生。Q（x） ：x 曾读过大学。R（x） ：x 曾读过中学。 前提 对所有 x，如果 x 是研究生，则 x 曾读过大学。 对所有 x，如果 x 曾读过大学，则 x 曾读过中学。 结论：对所有 x，如果 x 是研究生，则 x 曾读过中学。 d）设 P（x） ：x 是研究生。Q（x） ：x 是运动员。 前提 对所有 x，或者 x 是研究生，或者 x 是运动员。 对所有 x，x 不是研究生 结论 必存在 x，x 是运动员。 e）设 P（x） ：x 是研究生。Q（x） ：x 是运动员。 前提 对所有 x，或者 x 是研究生，或者 x 是运动员。 对所有 x，x 不是研究生 结论 对所有 x，x 是运动员。 （4）证明：(x)(A(x)B(x) (x) (A(x)B(x) (x)A(x) (x) B(x) (x)A(x)(x) B(x) (x)A(x)(x) B(x) （5） 设论域 D=a，b，c，求证(x)A(x)(x)B(x)( x)(A(x)B(x) 证明：因为论域 D=a，b，c，所以 (x)A(x)(x)B(x) (A(a) A(b) A(c) (B(a) B(b) B(c) (A(a) B(a) (A(a) B(b) (A(a) B(c) (A(b) B(a) (A(b) B(b) (A(b)B(c) (A(c) B(a) (A(c) B(b) (A(c) B(c) (A(a) B(a) (A(b) B(b)(A(c) B(c) ( x)(A(x)B(x) 所以(x)A(x)(x)B(x)( x)(A(x)B(x) （6）解：推证不正确，因为 (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x) （7）求证(x)( y)(P(x)Q(y) ( x)P(x)(y)Q(y) 证明：(x)( y)(P(x)Q(y) (x)( y)( P(x) Q(y) (x) P(x) ( y)Q(y) (x)P(x) ( y)Q(y) ( x)P(x)(y)Q(y) 习题习题 2-6 （1）解：a) (x)(P(x)(y)Q(x,y) (x)( P(x) (y)Q(x,y) (x) (y) (P(x) Q(x,y) b) (x)(y)P(x,y)(z)Q(z)R(x) (x)(y)P(x,y)(z)Q(z)R(x) (x)(y)P(x,y) (z)Q(z) R(x) (x)(y)P(x,y) (z)Q(z) R(x) (x) (y) (z) ( P(x,y) Q(z) R(x) c)(x)( y)(zP(x,y,z)(u)Q(x,u)(v)Q(y,v) (x)( y)( (z)P(x,y,z)(u)Q(x,u)(v)Q(y,v) (x)( y)( (z)P(x,y,z) (u)Q(x,u)(v)Q(y,v) (x)( y)( (z)P(x,y,z) (u)Q(x,u)(v)Q(y,v) (x)( y) (z) (u) (v) (P(x,y,z) Q(x,u)Q(y,v) （2）解：a) (x)P(x)(x)Q(x)(x)(P(x)Q(x) (x)P(x)(x)Q(x) (x)(P(x)Q(x) (x) (P(x)Q(x) (x)(P(x)Q(x) T b) (x)(P(x)(y)(z)Q(x,y)(z)R(y,x) (x)( P(x) (y)( Q(x,y)R(y,x) (x) (y) ( P(x) Q(x,y) R(y,x) 前束合取范式 (x) (y)( (P(x) Q(x,y) R(y,x) (P(x) Q(x,y) R(y,x) (P(x) Q(x,y) R(y,x) (P(x) Q(x,y) R(y,x) (P(x) Q(x,y) R(y,x) ( (P(x) Q(x,y) R(y,x) (P(x) Q(x,y) R(y,x) 前束析取范式 c) (x)P(x)(x)(z)Q(x,z)(z)R(x,y,z) (x)P(x) (x)(z)Q(x,z)(z)R(x,y,z) (x)P(x) (x)(z)Q(x,z)(u)R(x,y,u) (x)(P(x) (z)Q(x,z)(u)R(x,y,u) (x) (z) (u)(P(x) Q(x,z)R(x,y,u) 前束合取范式 (x) (z) (u)( P(x) Q(x,z) R(x,y,u) (P(x) Q(x,z) R(x,y,u) (P(x) Q(x,z) R(x,y,u) (P(x) Q(x,z) R(x,y,u) (P(x) Q(x,z) R(x,y,u) (P(x) Q(x,z) R(x,y,u) (P(x) Q(x,z) R(x,y,u) 前束析取范式 d)(x)(P(x)Q(x,y)(y)P(y)(z)Q(y,z) (x)( P(x) Q(x,y) (y)P(y)(z)Q(y,z) (x)( P(x) Q(x,y) (u)P(u)(z)Q(y,z) (x) (u) (z) ( P(x) Q(x,y) (P(u)Q(y,z) 前束析取范式 (x) (u) (z) ( P(x)P(u) (P(x)Q(y,z) (Q(x,y)P(u) (Q(x,y)Q(y,z) 前束合取范式 习题习题 2-7 (1) 证明： (2) a) (x)(A(x)B(x) P A(u)B(u) US ( x)B(x) P B(u) US A(u)B(u) TE A(u) TI ( x)A(x) EG b) ( x)(A(x)B(x) P（附加前提） ( x)(A(x)B(x) TE (A(c)B(c) ES A(c) TI B(c) TI ( x)A(x) EG (x)A(x)(x)B(x) P (x)B(x) TI B(c) US B(c) B(c) T矛盾 c）(x)(A(x)B(x) P A(u)B(u) US ( x)(C(x)B(x) P C(u)B(u) US B(u) A(u) TE C(u)A(u) TI (x)(C(x)A(x) UG d) (x)(A(x)B(x),( x)(B(x)C(x),( x)C(x) (x)A(x) ( x)(B(x)C(x) P B(u)C(u) US ( x)C(x) P C(u) US B(u) TI (x)(A(x)B(x) P A(u)B(u) US A(u) TI (x)A(x) UG (2) 证明： a)( x)P(x) P（附加前提） P(u) US (x)(P(x)Q(x) P P(u)Q(u) US Q(u) TI (x)Q(x) UG ( x)P(x)(x)Q(x) CP b)因为(x)P(x)(x)Q(x)(x)P(x) (x)Q(x) 故本题就是推证(x)(P(x)Q(x) (x)P(x) (x)Q(x) (x)P(x) P（附加前提） ( x)P(x) TE P(c) ES (x)(P(x)Q(x) P P(c)Q(c) ES Q(c) TI ( x) Q(x) EG (x)P(x) (x)Q(x) CP (3) 解：a)设 R（x） ：x 是实数。Q（x） ：x 是有理数。I（x） ：x 是整数。 本题符号化为： (x)(Q(x) R(x) (x)(Q(x) I(x) (x)(R(x) I(x) (x)(Q(x) I(x) P Q(c) I(c) ES (x)(Q(x) R(x) P Q(c) R(c) US Q(c) TI R(c) TI I(c) TI R(c)I(c) TI (x)(R(x) I(x) EG b)设 P（x） ：x 喜欢步行。Q（x） ：x 喜欢乘汽车。R（x） ：x 喜欢骑自行车 本题符号化为： (x)(P(x) Q(x), (x)(Q(x) R(x) , (x) R(x) (x) P(x) (x) R(x) P R (c) ES (x)(Q(x) R(x) P Q(c) R(c) US Q(c) TI (x)(P(x) Q(x) P P(c) Q(c) US P (c) TI (x) P(x) EG c) 每个大学生不是文科学生就是理工科学生，有的大学生是优等生，小张不是理工科学生，但他是优等生，因而如果小张是大学生，他就是文科学生。 设 G（x） ：x 是大学生。L（x） ：x 是文科学生。P（x） ：x 是理工科学生。 S（x） ：x 是优秀生。c：小张。 本题符号化为： (x)(G(x) L(x)P(x), (x)(G(x) S(x), P (c) , S(c) G(c) L(c) G(c) P（附加前提） (x)(G(x) L(x)P(x) P G(c) L(c)P(c) US L(c)P(c) TI P (c) P L(c) TI G(c) L(c) CP 注意：本题推证过程中未用到前提(x)(G(x) S(x)以及 S(c)。主要是S（x） ：x 是优秀生，这个条件与其他前提的联系对证明结论没有影响，因 S（x）与其他前提不矛盾，故本题的推证仍是有效的。 3-5.1 列出所有从 X=a,b,c到 Y=s的关系。 解：Z1= Z2= Z3= Z4=, Z5=, Z6=, Z7=, 3-5.2 在一个有 n 个元素的集合上，可以有多少种不同的关系。 解 因为在 X中的任何二元关系都是 XX 的子集，而 XX=X2中共有 n2个元素，取 0 个到 n2个元素，共可组成22n个子集，即22|)(|nXX。 3-5.3 设 A6：00，6：30,7：30，, 9：30,10：30表示在晚上每隔半小时的九个时刻的集合， 设 B=3,12,15,17表示本地四个电视频道的集合,设 R1和 R2是从 A 到 B 的两个二元关系， 对于二无关系 R1，R2，R1R2，R1R2，R1R2和 R1-R2可分别得出怎样的解释。 解： AB 表示在晚上九个时刻和四个电视频道所组成的电视节目表。 R1和R2分别是AB的两个子集，例如 R1表示音乐节目播出的时间表，R2是戏曲节日的播出时间表，则 R1R2表示音乐或戏曲节目的播出时间表，R1R2表示音乐和戏曲一起播出的时间表，R1R2表示音乐节目表以及戏曲节目表，但不是音乐和戏曲一起的节日表，R1-R2表示不是戏曲时间的音乐节目时间麦。 3-5.4 设 L 表示关系 “小于或等于” ， D表示整除”关系,L 和 D 刀均定义于1,2,3,6，分别写出 L 和 D 的所有元素并求出 LD. 解： L=, D=, LD= , 3-5.5 对下列每一式，给出 A 上的二元关系，试给出关系图： a)|0xy3，这里A=1,2,3,4； b)|2x,y7 且 x 除尽 y,这里 An|nNn10 c) |0x-y3，这里A=0,1,2,3,4； d)|x,y 是互质的，这里A=2,3,4,5,6 解： a) R=, , , , 其关系图 b) R=, , , , , , 3-6.1 分析集合 A=1， 2， 3上的下述五个关系： （1）R=1，1，1，2，1，3，3，3； （2）S=1，1，1，2，2，1，2，2，3，3； （3）T=1，1，1，2，2，2，2，3； （4）=空关系； （5）AA=全域关系。 判断A中的上述关系是否为a） 自反的，b）对称的，c）可传递的，d）反对称的。 解（1）R 是可传递和反对称的。 （2）S 是自反，对称和可传递的。 （3）T 是反对称的。 （4）空关系是对称，可传递和反对称的。 （5）全域关系是自反，对称和可传递的。 3-6.2 给定 A=1，2，3,4，考虑 a 上的关系 R,若 R=1，3，1，4，2，3，2，4，3，4 a) 在 AA 的坐标图上标出 R，并绘出它的关系图； b) R 是)自反的）对称的)可传递的，iv) 反对称的吗？ 解 a） R 是可传递的的和反对称的； 但不是自反的和对称的。 3-6.3 举出 A=1，2，3上关系 R 的例子，使其具有下述性质： a）既是对称的，又是反对称的； b）R 既不是对称的， 又不是反对称的；c）R 是可传递的。 解 a）R=1，1，2，2，3，3 b）R=1，2，2，1，2，3 c) R=1，2，2，1，1，1，2，2，3，3 3-6.4 如果关系 R 和 S 是自反的，对称的和可传递的， 证明 RS 也是自反，对称和可传递的。 证明 设 R 和 S 是 X 上的自反的，对称的和可传递的关系。 1）对任意 xX，有x，xR 和x，xS，所以x，xRS，即 RS 在 X 上是自反的。 2）对任意的x，yRS，有x，yRx，yS， 因为 R 和 S是对称的，故必有y，xRy，xS。即y，xRS，所以 RS 在 X 上是对称的。 3）对任意的x，yRSy，zRS，则有 x，yRx，ySy，zRy，zS 因为 R 和 S 是传递的，故得x，zRx，zS，即x，zRS，所以 RS 在 X 上是传递的。 3-6.5 给定 S=1，2，3，4和 S 上关系：R=1，2，4，3，2，2，2，1，3，1 说明 R 是不可传递的， 找出关系 R1R，使得 R1是可传递的，还能找出另一个 1 2 4 3 3-7.1 设 R1和 R2是 A 上的任意关系，说明以下命题的真假并予以证明。 a）若 R1和 R2是自反的，则 R1R2也是自反的； b）若 R1和 R2是反自反的，则 R1R2也是反自反的； c）若 R1和 R2是对称的，则 R1R2也是对称的； d）若 R1和 R2是传递的，则 R1R2也是传递的。 证明 a）对任意 aA，设 R1和 R2是自反的，则a，aR1，a，aR2 所以，a，aR1R2，即 R1R2也是自反的。 b）假。例如：设 A=a，b，有 R1=a，b与 R2=b，a R1和 R2是反自反的。但 R1R2=a，a，所以 R1R2在 A 上不是反自反的。 c)假。例如：设 A=a，b，c，有 R1=a，b，b，a，c，c，R2=b，c，c，b R1和 R2是对称的， 但 R 1R2=a， c，c，b 所以，R1R2不是对称的。 d）假。例如：设 A=a，b，c，有 R1=a，b，b，c，a，c，R2=b，c，c，a，b，a 则 R1，R2都是传递的。但 R 1R2=a，c，a，a，b，a 所以，R1R2不是传递的。 3-7.2 证明 若 S 为集合 X 上的二元关系： a）S 是传递的，当且仅当（SS）S； b）S 是自反的，当且仅当 IXS； c）证明定理 3-7.3（b） （即 S 是反对称的，当且仅当 SScIX） 。 证明 a）设 S 为传递的，若x，zSS，则存在某个 yX，使得x，yS，且y，zS。 若S 是传递的， x， zS， 所以 （SS）S。 反之，设（SS）S ，假定x，yS 且y， zS， 则x， zSS。因为（SS）S，故x，zS，得到 S 是传递的。 b）设 S 是自反的，令x，yIX，则 x=y。但x，xS，因此x，y=x，xS，得 IXS。 反之，令 IXS，设任意 xX，x，xIX，故x，xS，因此 S 是自反的。 c）设 S 是反对称的。假定x，ySSc，则 x，ySx，yScx，ySy，xS 因为 S 是反对称的，故 xy， 所以x，yx，xIX，即 SScIX。 反之，若 SScIX，设x，yS 且y，xS，则 x，ySx，ySc x，ySSc x，yIX 故 xy，即 S 是反对称的。 3-7.3 设 S 为 X 上的关系，证明若 S是自反和传递的，则 SS=S， 其逆为真吗 ？ 证明 若 S 是 X 上传递关系，由习题3-7.2a）可知（SS）S， 令x，yS，根据自反性，必有x，xS，因此有x，ySS，即 SSS。得到 S=SS. 这个定理的逆不真。 例如 X=1， 2， 3，S=1，2，2，2，1，1， 3-8.1 根据图 3-8.1 中的有向图， 写出邻接矩阵和关系 R， 并求出 R 的自反闭包和对称闭包。解 MR= R=a，a，a，b，b，c，c，b r（R）= RIX =a，a，b，b，c，c，a，b，b，c，c，b s（R）= RRC=a，a，a，b，b，a，b，c，c，b 3-8.2 设集合 A=a，b，c，dA 上的关系 R=a，b，b，a，b，c，c，d a） 用矩阵运算和作图方法求出 R 的自反、对称、传递闭包； b） 用 Warshall 算法，求出 R 的传递闭包。 解 a） MR= R 的关系图如图所示。 MR+MIA= r（R）= RIA =a，a，a，b，b，a，b，b，b，c，c，c，c，d，d，d（图（a） ） MR+MRc= 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 + 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 + 0 0 1 0 a b c 图 3-8.1 a b d c a b d c 图（a） 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 = 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 = 3-9.1 4 个元素的集合共有多少不同的划分。 解 整数 4 可划分为：4，1+3，1+1+2，2+2，1+1+1+1。 1+C41+C42+12 C42+1=15（种） 3-9.2 设A1，A2，Ak是集合 A 的一个划分，我们定义 A 上的一个二元关系 R，使a,bR 当且仅当 a 和 b 在这个划分的同一块中。证明 R 是自反的，对称的，和传递的。 证明 设对任意 aA，则必存在 Ai，使 aAi，因 a 与 a 必可看作在同一块中，故有a,aR。即 R 是自反的。 设 a,bA，若有a,bR，则 a 与 b 必在同一块，故 b 与 a 亦在同一块，b, aR，即 R 是对称的。 对任意 a,b,cA， a,bRb,cR （i） （aAibAi）（j） （bAjcAj） （i） （j） （aAicAjbAiAj） （i） （j） （aAicAjAiAj） （i） （j） （aAicAji=j） （ijAiAj= ） a,c 在同一块 a,cR R 传递 3-10.1 设 R 和 R是集合 A 上的等价关系，用例子说明：RR不一定是等价关系。 证明 设 A=1，2，3，S=RR R=1，1，2，2，3，3，3，1，1，3 R=1，1，2，2，3，3，3，2，2，3 则 RR=1，1，2，2，3，3，3，1，1，3，3，2，2，3因为如2，3S3，1S，但2，1S，故 RR不是传递的，即 RR不是A 上的等价关系。 3-10.2 试问由 4 个元素组成的有限集上所有等价关系的个数为多少？ 解 因为集合 X 上的等价关系与 X 的划分是一一对应的，所以 4 个元素的有限集上等价关系的数目，与 4 个元素集合进行划分的数目是相同的，由习题 3-9.1 可知共有 15 个不同的等价关系。 3-10.3 给定集合 S=1，2，3，4，5，找出 S 上的等价关系 R，此关系 R 能产生划分1，2，3，4，5，并画出关系图。 解 我们可用如下方法产生一个等价关系： R1=1，21，2=1，1，1，2，2，1，2，2 R2=33=3，3 R3=4，54，5=4，4，4，5，5，4，5，5 R= R1R2R3=1，1，1，2，2，1，2，2，3，3，4，4，4，5，5，4，5，5 关系图如图。 3-10.4 设 R 是一个二元关系，S=a，b对于某一 c，有a，cRc，bR，证明若 R 是一个等价关系，则 S 也是一个等价关系。 证明 设 R 是 A 上的等价关系： （1） 对任一 xA，因为 R 在 A 上自反，所以x，xR。由 S 定义，x，xS，所以 S 是自反的。 （2） 对任意 x,yA，若x，yS，则存在某个 c，使得x，cRc，yR，因为 R 是对称，故有：y，cRc，xR，由 S 的定义，可知y，xS，所以 S 是对称的。 （3） 对任意 x,y,zA，若x，yS，及y，zS，则必存在某个 c1，使x，c1R，c1，yR。由 R 的传递性，可知x，yR，同理存在 c2，使y，c2Rc2，zR，由 R 传递，可知y，zR。再由 S 定义，得x，zS。故 S 是传递的。 3-10.5 设正整数的序偶集合 A，在 A 上定义二元关系 R 如下：x,y, u,vR，当且仅当 xv=yu，证明 R 是一个等价关系。 证明 设 A 上定义的二元关系 R 为： x,y, u,vRxy =uv 对任意x,yA，因为xy =xy ，所以 x,y, x,yR 即 R 是自反的。 设x,yA，u,vA，若 x,y, u,vRxy =uv uv =xy u,v,x,yR 即 R 是对称的。 设任意x,yA，u,vA，w,sA，对 x,y, u,vRu,v, w,sR （xy =uv ）（uv =ws ）xy =ws x,y, w,sR 故 R 是传递的，于是 R 是 A 上的等价关系。 3-10.6 设 R 是集合 A 上的对称和传递关系，证明如果对于 A 中的每一个元素 a,在 A 中同时也存在b，使在 R 之中，则 R 是一个等价关系。 证明 对任意 aA，必存在一个 bA，使得a,bR. 因为 R 是传递的和对称的，故有： a,bRb, cRa, cRc,aR 由a,cRc, aRa,aR 所以 R 在 A 上是自反的，即 R 是 A 上的等价关系。 3-10.7 设 R1和 R2是非空集合 A 上的等价关系，试确定下述各式，哪些是 A 上的等价关系，对不是的式子，提供反例证明。 a） （AA）-R1； b）R1-R2； c）R12； d) r（R1-R2） （即 R1-R2的自反闭包） 。 解 a） （AA）-R1不是 A 上等价关系。例如： A=a,b，R1=a,a，b,b AA=a,a，a,b，b,a，b,b （AA）-R1=a,b，b,a 所以（AA）-R1不是 A 上等价关系。 b）设 A=a,b,c R1=a,b，b,a，b,c，c,b，a,c，c,a，a,a，b,b，c,c R2=a,a，b,b，c,c，b,c，c,b R1-R2=a,b，b,a，a,c，c,a 所以 R1和 R2是 A 上等价关系，但 R1-R2不是 A 上等价关系。 c）若 R1是 A 上等价关系，则 a,aR1a,aR1R1 所以 R12是 A 上自反的。 若a,bR12则存在 c，使得a, cR1c,bR1。因 R1对称，故有 b, cR1c,aR1b, aR12 即 R12是对称的。 若a,bR12b, cR12,则有 a,bR1R1b, cR1R1 （e1） （a, e1R1e1, bR1) （e2） （b, e2R1e2, cR1） a,bR1b, cR1（R1传递） a,cR12 即 R12是传递的。 故 R12是 A 上的等价关系。 d）如 b）所设，R1和 R2是 A 上的等价关系，但 r（R1-R2）=（R1-R2）IA =a,b, b,a, a,c，c,a，a,a，b,b, c,c 不是 A 上的等价关系。 3-10.8 设 C*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C*上的关系 R 定义为：(a+bi)R(c+di)ac0,证明 R 是等价关系，并给出关系 R 的等价类的几何说明。 证明：(1)对任意非零实数 a，有 a20(a+bi)R(a+bi) 故 R 在 C*上是自反的。 (2) 对任意(a+bi)R(c+di)ac0, 因 ca=ac0(c+di)R(a+bi), 所以 R 在 C*上是对称的。 (3)设(a+bi)R(c+di) ，(c+di)R(u+vi)，则有 ac0cu0 若 c0，则 a0u0 au0 若 c0，则 a0u0 所以(a+bi)R(u+vi)，即 R 在 C*上是传递的。 关系 R 的等价类，就是复数平面上第一、四象限上的点，或第二、三象限上的点，因为在这两种情况下，任意两个点(a,b)，(c,d)，其横坐标乘积 ac0。 3-10.9 设和是非空集合 A 上的划分，并设 R 和 R分别为由和诱导的等价关系，那么细分的充要条件是 R R。 证明：若细分。由假设 aRb，则在中有某个块 S，使得 a,bS，因细分，故在中，必有某个块 S，使 S S，即 a,bS，于是有 aRb,即 R R。 反之，若 R R，令 S为 H的一个分块，且 aS，则 S=aR=x|xRa 但对每一个 x，若 xRa，因 R R，故 xRa，因此x|xRa x|xRa即aR aR 设 S=aR,则 S S 这 证就明了细分。 3-10.10 设 Rj是表示 I 上的模 j 等价关系，Rk是表示 I 上的模 k 等价关系，证明 I/Rk细分 I/Rj当且仅当 k 是 j 的整数倍。 证明：由题设 Rj=|xy(modj) Rk=|xy(modk) 故Rjx-y=cj (对某个 cI) Rkx-y=dk (对某个 dI) a)假设 I/Rk细分 I/Rj，则 Rk Rj 因此RkRj 故 k-0=1k=cj (对某个 cI) 于是 k 是 j 的整数倍。 b)若对于某个 rI，有 k=rj 则： Rkx-y=ck (对某个 cI) x-y=crj (对某个 c,rI) Rj 因此，Rk Rj，于是 I/Rk细分 I/Rj 5-1 代数系统的引入 5.1.1 设集合 A=1，2，3，10，问下面定义的二元运算*关于集合 A 是否封闭？ a） x*y=max(x,y); b） x*y=min(x,y); c） x*y=GCD(x,y);（最大公约数） d） x*y=LCM(x,y);（最小公倍数） e） x*y=质数 p 的个数，其中 xpy。 解：a）封闭。b）封闭。c）封闭。d）不封闭。e）不封闭。 5.1.2 在下表所列出的集合和运算中，请根据运算是否在相应集合上封闭，在相应位置上填写“是”或“否” ，其中 I 表示整数集，N 表示自然数集合。 运算 是否封闭 集合 + - x-y max min x I N x0x10 x-10x10 2xxI 解： 运算 是否封闭 集合 + - x-y max min x I 是 是 是 是 是 是 N 是 否 是 是 是 是 x0x10 否 否 是 是 是 是 x-10x10 否 否 否 是 是 是 2xxI 是 是 是 是 是 是 5-2 运算及其性质 5.2.1 对于实数集合 R，下表所列的二元运算是否具有左边一列中那些性质，请在相应位置上填写“是”或“否” 。 + - max min x-y 结合律 交换律 有单位元 有零元 解： + - max min x-y 结合律 是 否 是 是 是 否 交换律 是 否 是 是 是 是 有单位元 是 否 是 否 否 否 有零元 否 否 是 否 否 否