自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型本章主要内容本章主要内容本章主要内容本章主要内容: : : : 2.2.2.2.I I I I 2.22.22.22.2 2.32.32.32.3 2.42.42.42.42.52.52.52.5物理物理物理物理系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数系统方框图和信号流图系统方框图和信号流图系统方框图和信号流图系统方框图和信号流图自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型PartPart 2.12.1 物理系统的物理系统的数学模型数学模型2.1.12.1.12.1.22.1.22.1.32.1.3 机械系统机械系统机械系统机械系统 电气系电气系电气系电气系统统统统 相似系相似系相似系相似系统统统统数数学学模模型型的的定定义义建建立立数数学学模模型型的的基基础础提提取取数数学学模模型型的的步步骤骤ExampleExample自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型Part 2.1.1Part 2.1.1 数学模型的定义数学模型的定义系系系系统统统统示示示示意意意意图图图图系系系系统统统统框框框框图图图图Remember恒温箱自动控制系统恒温箱自动控制系统? ?自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型Part 2.1.1Part 2.1.1 数学模型的定义数学模型的定义系系统统框框图图 t t u u2 2 u u u ua a n n v v u u t t 由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。物理量的变换， 物理量之间的相互关系信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存）由动态到最后的平衡状态-稳定运动自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型Part 2.1.1Part 2.1.1 数学模型的定义数学模型的定义数学模型：数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能动态性能的运动方程运动方程解析法解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。系统辨识。系统辨识。系统辨识。建立数学模型的方法：自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型数学模型的形式数学模型的形式时间域：时间域： 微分方程差分方程状态方程复数域：复数域： 传递函数结构图频率域：频率域： 频率特性自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型数学模型的准确性和简化Part 2.1.2Part 2.1.2 建立数学模型的基础建立数学模型的基础机械运动：机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理牛顿定理、能量守恒定理电学：电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律欧姆定理、基尔霍夫定律热学：热学： 传热定理、热平衡定律传热定理、热平衡定律 微分方程微分方程微分方程微分方程 （连续系统）（连续系统）（连续系统）（连续系统）差分方程差分方程 （离散系统）（离散系统）线性与非线性分布性与集中性参数时变性自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型机械运动系统的三要素机械运动系统的三要素机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理阻尼 B B质量 M M弹簧 K K自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型PartPart 2.1.32.1.3 提取数学模型的步骤提取数学模型的步骤划分环节写出每或一环节(元件) 运动方程式消去中间变量写成标准形式自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型负载效应根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量(必要时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间变量。由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程）划分环节划分环节 按功能（测量、放大、执行）自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型写出每或一环节写出每或一环节( (元件元件) ) 运动方程式运动方程式找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型写成标准形式写成标准形式例如微分方程中， 将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。 自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型PartPart 2.22.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化2.2.12.2.12.2.22.2.22.2.32.2.3常常常常见见见见非非非非线线线线性性性性模模模模型型型型线线线线性性性性化化化化问问问问题题题题的的的的提提提提出出出出线线线线性性性性化化化化方方方方法法法法ExampleExample液面系统液面系统单摆单摆ExampleExample液面系统液面系统单摆单摆单变量单变量多变量多变量自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.2.12.2.1 常见非线性模型常见非线性模型数学物理方程中的线性方程： 未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数依赖 于自变量针对时间变量的常微分方程： 线性方程指满足叠加原理叠加原理： 可加性 齐次性不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。2.2.22.2.2 线性化问题的提出线性化问题的提出可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点：线性系统缺点：线性系统优点：线性系统优点：线性化定义线性化定义 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.2.32.2.3 线性化方法线性化方法 以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差。增量增量增量增量（微小偏差法）（微小偏差法）假设：假设： 在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。非线性方程非线性方程 局部线性局部线性增量方程增量方程自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型增量方程增量方程增量方程的数学含义 将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型多变量函数泰勒级数法多变量函数泰勒级数法增量方程增量方程增量方程增量方程静态方程静态方程静态方程静态方程自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型单变量函数泰勒级数法单变量函数泰勒级数法函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y = f (x0)称为系统的静态方程自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型PartPart 2.32.3 拉氏变换及其反变换拉氏变换及其反变换2.3.12.3.12.3.22.3.22.3.32.3.3拉拉拉拉氏氏氏氏变变变变换换换换的的的的定定定定义义义义拉拉拉拉氏氏氏氏变变变变换换换换的的的的计计计计算算算算拉拉拉拉氏氏氏氏变变变变换换换换求求求求解解解解方方方方程程程程拉氏变换拉氏变换 拉氏反变换拉氏反变换自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型PartPart 2.3.12.3.1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义设函数f(t)满足：1f(t)实函数；2当t0时 ， f(t)=0；3当t0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛则函数则函数f(t)f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；F(s)F(s)称为函数f(t)f(t)的拉普拉氏变换拉普拉氏变换或象函数象函数; ;f(t)f(t)称为F(s)F(s)的原函数原函数；L L为拉氏变换的符号。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型拉氏反变换的定义拉氏反变换的定义其中L1为拉氏反变换的符号。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型高等函数初等函数指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数PartPart 2.3.2.12.3.2.1 拉氏变换的计算拉氏变换的计算自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型PartPart 2.3.2.32.3.2.3 拉氏变换的主要运算定理线性定理线性定理微分定理微分定理积分定理积分定理位移定理位移定理延时定理延时定理卷积定理卷积定理初值定理初值定理终值定理终值定理自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型F(s)= F1(s)+F2(s)+Fn(s)L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)条件： 分母多项式能分解成因式多项式极点多项式零点PartPart 2.3.2.22.3.2.2 拉氏反变换方法拉氏反变换方法部分分式法的求取拉氏反变换部分分式法的求取拉氏反变换部分分式法的求取拉氏反变换部分分式法的求取拉氏反变换自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。PartPart 2.3.32.3.3 拉氏变换求解线性微分方程拉氏变换求解线性微分方程自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单 地用sn代替dn/dtn得到。微分方程式的解微分方程式的解微分方程式的解微分方程式的解正弦函数正弦函数正弦函数正弦函数 BsinBsinBsinBsin( ( ( ( t+t+t+t+ ) ) ) )指数函数指数函数指数函数指数函数 AeAeAeAeatatatat微分方程式的各系数微分方程式的各系数微分方程式的各系数微分方程式的各系数起始条件起始条件起始条件起始条件外部条件外部条件外部条件外部条件a a a a、 A A A A、B B B B、 自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型PartPart 2.42.4 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数2.4.12.4.12.4.12.4.12.4.22.4.22.4.22.4.2传传传传递递递递函函函函数数数数的的的的定定定定义义义义典典典典型型型型环环环环节节节节的的的的传传传传递递递递函数函数函数函数自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型在零初始条件( )下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。系统系统( (或环节或环节) )的输入量的输入量系统系统( (或环节或环节) )的输出量的输出量PartPart 2.4.12.4.1 传递函数的定义传递函数的定义 输入量施加于系统之前，系统输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即处于稳定的工作状态，即t 0 t 0 时，输出量及其各阶导数时，输出量及其各阶导数也均为也均为0 0 自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型初始条件为零时 微分方程拉氏变换系统的传递函数!传递函数的直接计算法系统传递函数的一般形式系统传递函数的一般形式自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型N(s)=0 N(s)=0 系统的系统的特征方程特征方程，特征根特征根 特征方程决定着系统的动态特性。特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)N(s)中中s s的最高阶次等于系统的阶次。的最高阶次等于系统的阶次。！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。零。K K 系统处于静态时，输出与输入的比值。系统处于静态时，输出与输入的比值。当当s=0s=0时时系统的系统的放大系数放大系数或或增益增益特征方程特征方程自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型M(s)=b0(s-zM(s)=b0(s-z1 1)(s-z)(s-z2 2) )(s-(s-z zm m)=0)=0的根的根s=s=z zi i(i=1, 2, (i=1, 2, , m), m)，称为传递函数的零点。称为传递函数的零点。N(s)=aN(s)=a0 0(s-p(s-p1 1)(s-p)(s-p2 2) )(s-(s-p pn n)=0)=0的根的根s=s=pjpj(j=1, 2, (j=1, 2, , n), n)，称为传递函数的极点。称为传递函数的极点。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。零点和极点零点和极点自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型传递函数的零、极点分布图： 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“O”表示极点用“”表示零、极点分布图零、极点分布图自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型g(t)g(t)称为系统的称为系统的脉冲响应函数脉冲响应函数（权函数权函数）系统输出系统输出单位脉冲函数单位脉冲函数脉冲响应函数脉冲响应函数传递函数传递函数系统动态特性系统动态特性单位脉冲响应单位脉冲响应自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。结论结论自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型适用于线性定常系统传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律无法描述系统内部中间变量的变化情况只适合于单输入单输出系统的描述注意注意自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型设系统有设系统有b b个实零点个实零点; ;d d 个实极点个实极点; ;c c 对复零点对复零点; ; e e对复极点对复极点; ;v v个零极点个零极点PartPart 2.4.22.4.2 典型环节的传递函数典型环节的传递函数b+2c = mb+2c = mv+d+2e = nv+d+2e = n自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型比例环节比例环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节积分环节积分环节惯性环节惯性环节振荡环节振荡环节延迟环节延迟环节！串联纯微分环节纯微分环节自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。装置或元件。一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。组成。同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。物理量不同，可起到不同环节的作用。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型运动方程式：运动方程式：传递函数：传递函数：K K 环节的放大系数环节的放大系数例例例例1 1 1 1：齿轮传动：齿轮传动：齿轮传动：齿轮传动例例例例2 2 2 2：晶体管放大器：晶体管放大器：晶体管放大器：晶体管放大器放大环节放大环节/ /比例环节比例环节自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型运动方程式：运动方程式：传递函数：传递函数：K K环节的放大系数环节的放大系数T T环节的时间常数环节的时间常数! !储能储能元件元件！输出落后于输入！输出落后于输入量，不立即复现突量，不立即复现突变的输入变的输入例例例例1 1 1 1：弹性弹簧：弹性弹簧：弹性弹簧：弹性弹簧例例例例2 2 2 2：RCRCRCRC惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型运动方程式：传递函数：K 环节的放大系数！记忆！积分输入突然除去积分停止输出维持不变例1：电容充电例2：积分运算放大器积分环节积分环节自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型如当输入量为常值如当输入量为常值 A A 时，时，输出量须经过时间输出量须经过时间T T才能达到输入量在才能达到输入量在t = 0t = 0时的值时的值A A。！改善系统的稳态性能！改善系统的稳态性能！具有明显的滞后作用！具有明显的滞后作用自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型理想微分理想微分实际微分实际微分惯性惯性T T 0 0KT KT 有限有限运动方程式：运动方程式：传递函数：传递函数：传递函数：传递函数：例例1 1：测速发电机：测速发电机例例2 2：RCRC微分网络微分网络例例3 3：理想微分运放：理想微分运放例例4 4：一阶微分运放：一阶微分运放微分环节微分环节自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型不同形式不同形式储能元件储能元件能量转换能量转换振荡振荡运动方程式：运动方程式：传递函数：传递函数： 环节的阻尼比环节的阻尼比K K环节的放大系数环节的放大系数T T 环节的时间常数环节的时间常数00 1 1 产生振荡产生振荡1 1 两个串联的惯性环节两个串联的惯性环节例例1 1：机械平移系统：机械平移系统例例2 2：RLCRLC串联网络串联网络振荡环节振荡环节自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型运动方程式：运动方程式：传递函数：传递函数：1 1 两个串联的一阶微分环节两个串联的一阶微分环节 环节的阻尼比环节的阻尼比K K 环节的放大系数环节的放大系数T T 环节的时间常数环节的时间常数二阶微分环节二阶微分环节自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型运动方程式：传递函数： 环节的时间常数环节的时间常数超越函数超越函数近似处理近似处理例例1 1：水箱进水管的延滞：水箱进水管的延滞延滞环节延滞环节自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型PartPart 2.52.5 系统方块图和信号流图系统方块图和信号流图2.5.12.5.12.5.22.5.22.5.32.5.3方块图方块图系统系统信号流图信号流图控制系统传递函数控制系统传递函数 自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型结构方块图结构方块图结构方块图结构方块图由方块图求系统传递函数由方块图求系统传递函数由方块图求系统传递函数由方块图求系统传递函数方块图的绘制方块图的绘制方块图的绘制方块图的绘制PartPart 2.5.12.5.1 方块图方块图2.5.1.12.5.1.12.5.1.12.5.1.12.5.1.22.5.1.22.5.1.22.5.1.22.5.1.32.5.1.32.5.1.32.5.1.3 自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.5.1.12.5.1.1 结构方块图结构方块图自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型！脱离了物理系统的模型!系统数学模型的图解形式形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。依据信号的流向 ，将各元件的方块连接起来组成整 个系统的方块图。函数方块图函数方块图自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方块图来表示。求和点求和点函数方块函数方块引出线引出线函数方块函数方块信号线信号线自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型1信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。 2信号引出点（线）/测量点 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。 自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3 3函数方块函数方块( (环节环节) ) 函数方块具有运算功能函数方块具有运算功能自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型4 4求和点（比较点、综合点）求和点（比较点、综合点）1.1.用符号用符号“”及相应的信号箭头表示及相应的信号箭头表示2.2.箭头前方的箭头前方的“+ +”或或“- -”表示加上此信号或减去此信号表示加上此信号或减去此信号! 注意量纲自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型相邻求和点可以互换、合并、分解。相邻求和点可以互换、合并、分解。代数运算的交换律、结合律和分配律。代数运算的交换律、结合律和分配律。!求和点可以有多个输入，但输出是唯一的自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型方框图的等效变换法则公式直接法公式直接法公式直接法公式直接法化简法化简法化简法化简法代数法代数法代数法代数法方块图的化简方块图的运算规则串联串联、并联并联、反馈反馈基于方块图的运算规则基于方块图的运算规则基于比较点的简化基于比较点的简化基于引出点的简化基于引出点的简化2.5.1.22.5.1.2 由方块图求系统传递函数由方块图求系统传递函数自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。递函数的乘积。例：隔离放大器串联的例：隔离放大器串联的RCRC电路电路串联运算规则串联运算规则串联运算规则串联运算规则自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和。函数之和。并联运算规则并联运算规则自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型反馈运算规则反馈运算规则自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型基于方块图的运算规则基于方块图的运算规则自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型基于比较点的简化基于比较点的简化自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型基于引出点的简化基于引出点的简化自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型把几个回路共用的线路及环节分开，使每一个 局部回路、及主反馈都有自己专用线路和环节。确定系统中的输入输出量，把输入量到输出量 的一条线路列成方块图中的前向通道。通过比较点和引出点的移动消除交错回路。先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函 数，然后求出整个系统的传递函数。方块图求取传递函数方块图求取传递函数- -简化法简化法自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型方块图化简方块图化简自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件 的方框图连接起来，得到系统的方框图。2.5.1.32.5.1.32.5.1.32.5.1.3 方块图的绘制方块图的绘制自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.5.2.1 2.5.2.1 信号流图及其术语信号流图及其术语2.5.2.2 2.5.2.2 信号代数运算法则信号代数运算法则2.5.2.3 2.5.2.3 根据微分方程绘制信号流图根据微分方程绘制信号流图2.5.2.4 2.5.2.4 根据方框图绘制信号流图根据方框图绘制信号流图2.5.2.5 2.5.2.5 信号流图梅逊公式信号流图梅逊公式PartPart 2.5.22.5.2 系统信号流图系统信号流图 自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 信号流图信号流图起源于梅逊（起源于梅逊（S. J. MASONS. J. MASON）利用图示法来利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。种信号传递网络。节点节点表示变量或信号，其值等于表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。所有进入该节点的信号之和。支路支路连接两个节点的定向线段，用连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。路上沿箭头单向传递。通路通路沿支路箭头方向穿过各相沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。连支路的路径。2.5.2.1 2.5.2.1 信号流图及其术语信号流图及其术语自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型输入节点只有输出的节点，代表系统的输入变量。输出节点只有输入的节点，代表系统的输出变量。输出节点输入节点混合节点混合节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可 点变为输出节点。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型前向通路前向通路从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用乘积，称前向通路总增益，一般用pkpk表示。表示。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型回路起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示。不接触回路相互间没有任何公共节点的回路X2、X3X3、X4X5自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.5.2.2 信号代数运算法则自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo (s)作为信号流图的节点Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点2.5.2.3 根据微分方程绘制信号流图自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型只有一条前向通路三个不同回路L1、L2不接触 P1与L1、L2、L3均接触自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.5.2.4 根据方框图绘制信号流图自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型方块图转换为信号流图方块图转换为信号流图自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型方块图转换为信号流图方块图转换为信号流图自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型G 系统总传递函数Pk第k条前向通路的传递函数（通路增益） 流图特征式所有不同回路的传递函数之和每两个互不接触回路传递函数乘积之和 每三个互不接触回路传递函数乘积之和第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式，将与第k 条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的即为k。k任何m个互不接触回路传递函数乘积之和2.5.2.5 信号流图梅逊公式自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.5.3.12.5.3.1系统传递函数系统传递函数 仅控制量作用下 仅扰动量作用下 控制量和扰动共同作用下2.5.3.22.5.3.2系统误差传递函数系统误差传递函数 仅扰动量作用下 控制量和扰动共同作用下PartPart 2.5.32.5.3 控制系统传递函数控制系统传递函数 自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型单独处理线性叠加前向通道前向通道：R(s)到C(s)的信号传递通路反馈通道反馈通道：C C(s)到B(s)的信号传递通路系统闭环传递函数系统闭环传递函数：反馈回路接通后， 输 出量与输入量的比值。系统对控制量控制量R(s)R(s)的闭环传递函数系统对拢动量动量N(s)N(s)的闭环传递函数2.5.3.12.5.3.1系统的传递函数系统的传递函数自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型系统工作在开环状态，反馈通路断开。系统开环传递函数系统开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道传 递函数的乘积。( (反馈信号B(s)和偏差信号 (s)之间的传递函数)系统系统 的开环传递数函数的开环传递数函数自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型假设扰动量N(s)=0控制量控制量R(S)R(S)作用作用自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型假设R(s)=0！扰动的影响将被抑制扰动量扰动量N(S)N(S)作用作用自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型控制量与扰动量同时作用控制量与扰动量同时作用自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 以误差信号E(s)为输出量，以控制量R(s)或拢动量R(s)为输入量的闭环传递函数。2.5.3.2 2.5.3.2 系统误差传递函数系统误差传递函数自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型假设扰动量N(s)=0控制量控制量R(S)R(S)作用作用自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型假设R(s)=0扰动量扰动量N(S)N(S)作用作用自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型控制量与扰动量同时作用控制量与扰动量同时作用自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型系统的闭环传递函数具有相同的特征多项式1+G1(s)G2(s)H(s)G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数。系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关；同一个外作用加在系统不同的位置上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性。闭环传递函数的极点相同。