两个基本计数原理两个基本计数原理 世界杯足球赛共有32个队参赛它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名问一共安排了多少场比赛？前4名有多少不同的结果？实际问题实际问题 要回答这个问题，就要用到排列、组合的知识在运用排列、组合方法时，经常要用到分类分类分类分类计数原理与分步计数原理计数原理与分步计数原理计数原理与分步计数原理计数原理与分步计数原理问题问题问题问题1 1 1 1：从甲地到乙地，有从甲地到乙地，有3 3条公路，条公路，2 2条铁路，某人条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？问题问题问题问题2 2 2 2：从甲地到乙地，有从甲地到乙地，有3 3条道路，从乙地到丙地有条道路，从乙地到丙地有2 2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法的走法 ？问题问题问题问题1 1 1 1：从甲地到乙地，有从甲地到乙地，有3 3条公路，条公路，2 2条铁路，某条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？ 因为每一种走法都能完成从甲地到乙地这件因为每一种走法都能完成从甲地到乙地这件事，有事，有3 3条公路，条公路，2 2条铁路，所以共有：条铁路，所以共有： 3 32 25 5 （种）（种）甲地甲地乙地乙地公路1公路2公路3铁路1铁路2一、分类计数原理一、分类计数原理一、分类计数原理一、分类计数原理 完成一件事，有完成一件事，有n类办法类办法. 在第在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，在第在第2类方法中有类方法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第在第n类方法中有类方法中有mn种不同的方法，种不同的方法，则完成这件事共有则完成这件事共有 : 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数类标准下进行分类，然后对每类方法计数.1）各类办法之间相互独立）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事都能独立的完成这件事，要计算方法种数要计算方法种数,只需将各类方法数相加只需将各类方法数相加,因此分类计因此分类计数原理又称数原理又称加法原理加法原理说明说明说明说明N= m1+m2+ + mn 种种不同的方法不同的方法问题问题问题问题2 2 2 2：从甲地到乙地，有从甲地到乙地，有3 3条道路，从乙地到丙地有条道路，从乙地到丙地有2 2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法的走法 ？ 这个问题与前一个问题不同在这个问题中，必必须须经经过过先先从从甲甲地地到到乙乙地地、再再从从乙乙地地到到丙丙地地两两个个步步骤骤，才能从甲地到丙地 因为从甲地到乙地从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地从乙地到丙地有2种走法，所以从甲地到丙地，共有不同的走法： 3 32 26 6 （种）甲地甲地乙地乙地丙地丙地二、分步计数原理二、分步计数原理二、分步计数原理二、分步计数原理 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤。个步骤。做第做第1步有步有m1种不同的方法，种不同的方法，做第做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法， ，做第做第n步有步有mn种不同的方法，种不同的方法，则完成这件事共有则完成这件事共有 2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数然后对每步方法计数.1）各个步骤相互依存）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事这件事才算完成才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数方法总数,又称又称乘法原理乘法原理说明说明说明说明N= m1m2 mn种不同的方法种不同的方法例例1.1. 书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法?有3类方法,根据分类加法计数原理N=4+3+2=9(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?分3步完成,根据分步乘法计数原理N=432=24解题关键：解题关键：从总体上看做这件事情是从总体上看做这件事情是“分类完成分类完成分类完成分类完成”, ,还还是是“分步完成分步完成分步完成分步完成”. .再根据其对应的计数原理计算再根据其对应的计数原理计算. .学案学案P46-1P46-1练习练习 要从甲、乙、丙3 3幅不同的画中选出2 2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?分分两两步步完完成成左边左边右边右边甲甲乙乙丙丙乙乙丙丙甲甲丙丙甲甲乙乙3 32 2第一步第一步第二步第二步学案学案P46-2P46-2AB该电路从该电路从A A到到B B共有多少条不同的线路可通电？共有多少条不同的线路可通电？分类完成分步完成解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分二类的通电线路可分二类, 第一类第一类, m1 = 4 条条 第二类第二类, m3 = 22 = 4, 条条 所以所以, 根据加法原理根据加法原理, 从从A到到B共有共有 N = 4 + 4 = 8 条不同的线路可通电条不同的线路可通电.ABm1m2mn.ABm1m2mn点评点评: :乘法原理乘法原理看成看成“串联电路串联电路”加法原理加法原理看成看成“并联电路并联电路”; 如图如图, ,从甲地到乙地有从甲地到乙地有2 2条路可通条路可通, ,从乙地到从乙地到丙地有丙地有3 3条路可通条路可通; ;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4 4条路可通条路可通, , 从丁地从丁地到丙地有到丙地有2 2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？走法？练习学案学案P47-s4P47-s4解解: :从总体上看从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法由甲到丙有两类不同的走法, 第一类第一类, 由甲经乙去丙由甲经乙去丙,又需分两步又需分两步, 所所以以 m1 = 23 = 6 种不同的走法种不同的走法; 第二类第二类, 由甲经丁去丙由甲经丁去丙,也需分两步也需分两步, 所所以以 m2 = 42 = 8 种不同的走法种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。种不同的走法。 问题问题3 3：加法原理加法原理和和乘法原理乘法原理的共同点是什么的共同点是什么？不同点什么？不同点什么？加法原理加法原理乘法原理乘法原理相同点相同点它们都是研究完成一件事情它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不共有多少种不同的方法同的方法不不 同同 点点方式的不同方式的不同分类完成分类完成分类完成分类完成任何一类办法中的任何一类办法中的任任何一个方法都能完成何一个方法都能完成这件事这件事分步完成分步完成分步完成分步完成这些方法需要分步这些方法需要分步,各各个步骤顺次相依个步骤顺次相依,且且每每一步都完成了一步都完成了, ,才能完才能完成这件事情成这件事情问题问题4 4：何时用：何时用加法原理、乘法原理加法原理、乘法原理呢呢? ?加法原理加法原理完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成.乘法原理乘法原理完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事.分类要做到“不重不漏”分步要做到“步骤完整”练习：练习：三个比赛项目，六人报名参加。三个比赛项目，六人报名参加。）每人参加一项有多少种不同的方法？每人参加一项有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？少种不同的方法？）每项人，每人参加的项数不限，有多）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？少种不同的方法？例例1 用用0,1,2,3,4,5这六个数字这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数?(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自的自然数然数?(3)可以组成多少个大于可以组成多少个大于3000,小于小于5421且各位数字不且各位数字不允许重复的四位数允许重复的四位数?一、排数字问题一、排数字问题二、映射个数问题二、映射个数问题:例例2 设设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从从A到到B共有多共有多少种不同的映射少种不同的映射?三、染色问题三、染色问题:n例例3 有有n种不同颜色为下列两块广告牌着色种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在要求在四个区域中相邻四个区域中相邻(有公共边界有公共边界)区域中不用同区域中不用同一种颜色一种颜色.n(1)若若n=6,为为(1)着色时共有多少种方法着色时共有多少种方法?n(2)若为若为(2)着色时共有着色时共有120种不同方法种不同方法,求求nn n n n (1) (2) 、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一种颜色使用多次颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？解解: 按地图按地图A、B、C、D四个区域依次分四个区域依次分四步完成四步完成, 第一步第一步, m1 = 3 种种, 第二步第二步, m2 = 2 种种, 第三步第三步, m3 = 1 种种, 第四步第四步, m4 = 1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方得到不同的涂色方案种数共有案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。种。 、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一种颜色使用多次颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？ 若用若用2色、色、4色、色、5色色等等,结果又怎样呢？结果又怎样呢？ 答答:它们的涂色方案种它们的涂色方案种数分别是数分别是 0、 4322 = 48、 5433 = 180种种等。等。思考：思考：. .如图如图, ,用用5种不同颜色给图中的种不同颜色给图中的A A、B B、C C、D D四个区域涂色四个区域涂色, , 规定一个区域规定一个区域 只涂一种颜色只涂一种颜色, , 相邻区域必须涂不同的颜色相邻区域必须涂不同的颜色, , 不同的涂色方案有不同的涂色方案有 种。种。ABCD分析：分析：如图，如图，A A、B B、C C三个区域两两相邻，三个区域两两相邻，A A与与D D不相邻，因此不相邻，因此A A、B B、C C三个区域的颜色两两三个区域的颜色两两不同，不同，A A、D D两个区域可以同色，也可以不同色，两个区域可以同色，也可以不同色，但但D D与与B B、C C不同色。由此可见我们需根据不同色。由此可见我们需根据A A与与D D同同色与不同色分成两大类。色与不同色分成两大类。解：解：先分成两类：第一类，先分成两类：第一类，D D与与A A不同色，可分成四步完成。不同色，可分成四步完成。第一步涂第一步涂A A有有5 5种方法，第二步涂种方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种方法；第四步涂种方法；第四步涂D D有有2 2种方法。根据分步计数原理，种方法。根据分步计数原理，共有共有5 5432432120120种方法。种方法。根据分类计数原理，共有根据分类计数原理，共有12120+600+60180180种方法。种方法。第二类，第二类，A A、D D同色，分三步完成，同色，分三步完成，第一步涂第一步涂A A和和D D有有5 5种种方法，第二步涂方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种方法。根据分种方法。根据分步计数原理，共有步计数原理，共有5 543436060种方法。种方法。5、将种作物种植在如图所示的块试验、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有能种植同一种作物，不同的种植方法共有种（以数字作答种（以数字作答）424、如图，是、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？复使用，那么共有多少种涂色方法？四、子集问题四、子集问题规律：规律：n元集合元集合 的不的不同子集有个同子集有个 。例：例：集合集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数它的子集个数为为 ，真子集个数为，真子集个数为 ，非空子，非空子集个数为集个数为 ，非空真子集个数为，非空真子集个数为 。五、综合问题五、综合问题:n 例例4 若直线方程若直线方程ax+by=0中的中的a,b可以从可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条则方程所表示的不同的直线共有多少条?例例5 5、7560075600有多少个正约数有多少个正约数? ?有多少个奇约数有多少个奇约数? ?解解: :由于由于 75600=275600=24 43 33 35 52 27 7(1)(1)7560075600的每个约数都可以写成的每个约数都可以写成的形式的形式, ,其中其中, , , , 于于是是, ,要要确确定定7560075600的的一一个个约约数数, ,可可分分四四步步完完成成, ,即即i,j,k,li,j,k,l分分别别在在各各自自的的范范围围内内任任取取一一个个值值, ,这这样样i i有有5 5种种取取法法,j,j有有4 4种种取取法法,k,k有有3 3种种取取法法,l,l有有2 2种种取取法法, ,根根据据分步计数原理得约数的个数为分步计数原理得约数的个数为5 54 43 32=1202=120个个. . 一个三位密码锁一个三位密码锁, ,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,6,7,8,96,7,8,9十个数字组成十个数字组成, ,可以设置多少种三位数的密码可以设置多少种三位数的密码( (各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复)?)?首位数字不为首位数字不为0 0的密码数是多的密码数是多少少? ?首位数字是首位数字是0 0的密码数又是多少的密码数又是多少? ? 分析分析: : 按密码位数按密码位数,从左到右从左到右依次设置第一位、第二位、第三依次设置第一位、第二位、第三位位, 需分为三步完成需分为三步完成; 第一步第一步, m1 = 10; 第二步第二步, m2 = 10; 第三步第三步, m3 = 10. 根据乘法原理根据乘法原理, 共可以设置共可以设置 N = 101010 = 103 种三位数的密码。种三位数的密码。练习首位数字不为首位数字不为0 0的密码数的密码数? ?首位数字是首位数字是0 0的密码数的密码数? ? 一个三位密码锁一个三位密码锁, ,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,6,7,8,96,7,8,9十个数字组成十个数字组成, ,可以设置多少种三位数的密码可以设置多少种三位数的密码( (各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复)?)?首位数字不为首位数字不为0 0的密码数是多的密码数是多少少? ?首位数字是首位数字是0 0的密码数又是多少的密码数又是多少? ? 分析分析: : 按密码位数按密码位数,从左到右从左到右依次设置第一位、第二位、第三依次设置第一位、第二位、第三位位, 需分为三步完成需分为三步完成; 第一步第一步, m1 = 10; 第二步第二步, m2 = 10; 第三步第三步, m3 = 10. 根据乘法原理根据乘法原理, 共可以设置共可以设置 N = 101010 = 103 种三位数的密码。种三位数的密码。练习变式训练：各位上的数字不允许重复又怎样变式训练：各位上的数字不允许重复又怎样? ?1、分类加法计数原理、分类加法计数原理：完成一件事，有：完成一件事，有n类办法，在类办法，在第第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类办法中有类办法中有m2种不同的方法种不同的方法在第在第n类办法中类办法中有有m mn n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方种不同的方法法. .2 2、分步乘法计数原理、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步个步骤，做第骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,做第做第2 2步有步有m m2 2种不同的种不同的方法方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事那么完成这件事共有共有 种不同的方法种不同的方法. .分类加法计数原理和分步乘法计数原理的分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点：共同点：不同点：不同点：分类加法计数原理与分类有关，分类加法计数原理与分类有关，分步乘法计数原理与分步有关。分步乘法计数原理与分步有关。回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题课堂小结课堂小结分类计数原理分类计数原理 分步计数原理分步计数原理完成一件事，共有完成一件事，共有n类类办法，关键词办法，关键词“分类分类”区别区别1完成一件事，共分完成一件事，共分n个个步骤，关键词步骤，关键词“分步分步”区别区别2区别区别3每类办法都能独立地完成每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是一次的、且每次得到的是最后结果，最后结果，只须一种方法只须一种方法就可完成这件事就可完成这件事。每一步得到的只是中间结果，每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成事，缺少任何一步也不能完成这件事，这件事，只有各个步骤都完成只有各个步骤都完成了，才能完成这件事了，才能完成这件事。各类办法是各类办法是互相独立互相独立的。的。各步之间是各步之间是互相互相关联的。关联的。即：即：类类独立，步步关联类类独立，步步关联。