文档 等腰直角三角形中的常用模型 【知识精析】 1、等腰直角三角形的特征： 边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是 45） 边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。 2、等腰直角三角形与全等三角形： 以等腰直角三角形为背景的几何问题中， 常常包含全等三角形， 发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。 模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点 （1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形： 1-1：如图：RtABC 中，BAC=90，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，过 B 作 BEAD于点 E，过 C 作 CFAD 于点 F。 （1）求证：BE-CF=EF； （2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（2） ） ， （1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。 变式 1：等腰 RtABC 中，AB=CB，ABC=90，点 P 在线段 BC 上（不与 B、C 重合） ，以 AP 为腰长作等腰直角PAQ，QEAB 于E，连 CQ 交 AB 于 M。 （1）求证：M 为 BE 的中点 （2）若 PC=2PB，求MBPC的值 (2)(3)(1)DDEECCECABBAAB(2)FEDCBAABCDEF(1) 文档 （2） 以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边， 必定可以构造一对全等的直角三角形： 1-2：如图：RtABC 中，BAC=90，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，过 B 作 BEAD于点 E，交 AC 于点 G，过 C 作 CFAC 交 AD 的延长线与于点 F。 （1）求证：BG=AF； （2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（2） ） ， （1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。 变式 1： 如图， 在 RtABC 中， ACB=45， BAC=90， AB=AC， 点 D 是 AB 的中点， AFCD于 H 交 BC 于 F，BEAC 交 AF 的延长线于 E，求证：BC 垂直且平分 DE. 变式 2：等腰 RtABC 中，AC=AB，BAC90，点 D 是 AC 的中点，AFBD 于点 E，交 BC 于点 F，连接 DF，求证：1=2。 变式 3：等腰 RtABC 中，AC=AB，BAC90，点 D、E 是 AC 上两点且 AD=CE，AFBD 于点 G，交 BC 于点 F 连接 DF，求证：1=2。 DEFFED(2)(1)CCABBAGGBACDEF(2)(1)FEDCBA 文档 模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边 等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边， 一定可以以两腰为对应边构造全等三角形 2-1：连接 AD，求证：ADB45。 变式 1：等腰 RtABC 中，AC=AB，BAC90，E 是 AC 上一点，点 D 为 BE 延长线上一点，且ADC135求证：BDDC。 变式 2：等腰 RtABC 中，AC=AB，BAC90，BE 平分ABC 交 AC 于 E，过 C 作 CDBE 于 D，DMAB 交 BA 的延长线于点 M， （1）求BCABBM的值； （2）求ABBCAM的值。 ABCDEF(2)(1)FEDCBA 文档 模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点 （1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形： 3-1：如图 1，ABC、BEF 都是等腰直角三角形，ABC=BEF=90，连接 AF、CF，M 是 AF 的中点，连 ME，将BEF 绕点 B 旋转。猜想 CF 与 EM 的数量关系并证明； （2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形： （3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形： 如图， ABC 和 EBD 都是等腰直角三角形，BAC=BED=90。把 DE 平移到 CF，使 E与 C 重合，连接 AE、AF，则 AEB 与 AFC 全等（关键是利用平行证明ABE=ACF） ABCDEABCDEEDCBA(1)(2)(3)EDCBA(3)FEDCBA(2)FF(1)ABCDE图（1）MFEBCA(3)ABCDE(2)ABCDEEDCBA(1) 文档 3-2：如图：两个直角三角形 ABC、ADE 的顶点 A 重合，P 是线段 BD 的中点，连 PC、PE。 （1）如图 1，若BAC=DAE=45，当 A、C、D 在同一直线上时，线段 PC、PE 的关系是 ； （2）如图 2、3，将BAC 绕 A 旋转度， （1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的结论。 【经典模型】 在BAC 中，AB=AC，且BAC=90有一点 D 满足BDC=90： （1） 当点 D 在边 BC 下面时，试探究 DB、DA 和 DC 的大小关系？ （2） 当点 D 在边 BC 上面时，试探究 DB、DA 和 DC 的大小关系？ 推广： （1） ABC 为等边三角形，D 为 BC 下面一点且BDC=120，此时呢？ （2） ABC 为等腰三角形，D 为 BC 下面一点且BDC=60，此时又如何？ 【猜想】在运算中是否发现DB1，DC1，DA1有某种数量上的对应关系？ 图1PEDCBAABCDEP图2ABCDEP图3CBADCBADABCDADCB 文档 A F B D E C 【巩固练习】 1 如图， 在ABCRt中，ACAB , 90BAC,D、E为BC上两点， 45DAE，F为ABC外 一 点 ， 且FBBC,AEFA , 则 下 列 结 论 ： BFCE ; 222DECEBD;EFADSADE41;2222AEBECE,其中正确的是 A、 B、 C、 D、 2已知：RtABC 中，AB=AC，BAC=90，若 O 是 BC 的中点，以 O 为顶点作MON，交 AB、AC 于点 M、N。 （1）若MON=90（如图 1） ，求证：OM=ON；BM2+CN2=MN2； （2）若MON=45（如图 2） ，求证：AM+MN=CN； 3.如图，在平面直角坐标系中，AOB 为等腰直角三角形，A（4，4） 。 （1）若 C 为 x 轴正半轴上一动点，以 AC 为直角边作等腰直角ACD，ACD=90，连OD，求AOD 的度数； 图1NMOCBA图2NMOCBA 文档 （2）过 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 E，F 为 x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以 EG为直角边作等腰 RtEGH，过 A 作 x 轴垂线交 EH 于点 M，连 FM，等式1OFFMAM是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。 4.在ABC 和DCE 中，AB=AC，DC=DE,BAC=EDC=90，点 E 在 AB 上，连 AD，DFAC 于点 F。试探索 AE、AF、AC 的数量关系；并求出DAC 的度数。 5如图：等腰 RtABC 和等腰 RtEDB，AC=BC，DE=BD，ACBEDB90，E 为AB 是一点，P 为 AE 的中点。 连接 PC，PD；则 PC，PD 的位置关系是 ；数量关系是 ；并证明你的结论。 当 E 在线段 AB 上变化时，其它条件不变，作 EFBC 于 F，连接 PF，试判断PCF的形状；在点 E 运动过程中，PCF 是否可为等边三角形？若可以，试求ACB 与EDB 的两直角边之比。 FADBCE(2) 文档 6.已知两个共一个顶点的等腰 RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连接 AF，M 是AF 的中点，连接 MB、ME （1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MBCF； （2）如图 1，若 CB=a，CE=2a，求 BM，ME 的长； （3）如图 2，当BCE=45时，求证：BM=ME 7.如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。点 N 为 OA 上一点，OMBN 于 M，且ONB=45+MON。 （1）求证：BN 平分OBA； （2）求BNMNOM 的值； （3）若点 P 为第四象限内一动点，且APO=135，问 AP 与 BP 是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。 文档 8.已知：PA=2，PB=4，以 AB 为直角边作等腰直角三角形 ABD，且 P、D 两点在直线 AB的两侧. (1)如图，当APB=45时，求 AB 及 PD 的长; (2)当APB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值及相应APB 的大小. DPBA