第一节 可测函数的定义及其简单性质第三章 可测函数 新的积分（新的积分（LebesgueLebesgue积分积分, ,从分割值域入手）yi yi-1 用 mEi 表示 Ei 的“长度” 问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)?1 1可测函数定义可测函数定义例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )， 若 可测，则称f(x)是E上的可测函数( (2)简单函数是可测函数可测函数注：Dirichlet函数是简单函数0 1若 ( Ei 可测且两两不交），f(x)在 每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；（3 3）可测集）可测集E E上的上的连续函数连续函数f(xf(x) )必为可测函数必为可测函数对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数， ( ) ( ) ( )f(x) 在 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 处连续可测集可测集E E上的连续函数上的连续函数f(xf(x) )定为可测函数定为可测函数证明：任取xEfa, 则f(x)a,由连续性假设知，( ) x f(x0)+ f(x0) f(x0)- a则G为开集，当然为可测集，且 R R中的可测子集中的可测子集E E上的单调函数上的单调函数f(xf(x) )必为可测函数。必为可测函数。aI a x1 x2 由f单调增知下面的集合为可测集证明：不妨设f单调增，对任意aR可测函数的等价描述可测函数的等价描述证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及 定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测 对前面等式的说明对前面等式的说明 ( a-1/n a( a a+1/n可测函数的性质可测函数的性质可测函数关于子集、并集的性质l反之，若 , f(x)限制在En上是可测函数， 则f(x)在E上也是可测函数。l即:若f(x)是E上的可测函数, 可测， 则f(x)限制在E1上也是可测函数；若m (Efg)=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性证明：令E 1= Efg， E 2= Ef=g，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ，即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测 注：用到了可测函数关于子集、并集的性质另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 E2上也可测 。可测函数类关于四则运算封闭可测函数类关于四则运算封闭即:若f(x),g(x)是E上的可测函数, 则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍为E上的可测函数。a-g(x) r f(x)可测函数类关于四则运算封闭可测函数类关于四则运算封闭即:若f(x),g(x)是E上的可测函数, 则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍为E上的可测函数。a-g(x) r f(x)类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。证明中利用了 Q是可数集和 R中的稠密集 两个性质 a-g(x) r f(x)类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。证明中利用了 Q是可数集和 R中的稠密集 两个性质 a-g(x) r f(x)可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。推论：可测函数列的推论：可测函数列的极限函数极限函数仍为可测函数仍为可测函数 （连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。对上式的说明：下确界： ( a-1/n a例：例： R R1 1上的可微函数上的可微函数f(xf(x) )的导函数的导函数f (x)f (x)是可测函数是可测函数利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.从而f (x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f (x)是可测函数. 证明：由于gn(x)例例 设设f fn n 是可测函数列，则它的收敛点全体和是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集发散点全体是可测集. .注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.证明：发散点全体为 收敛点全体为再可测函数与简单函数的关系可测函数与简单函数的关系 可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限M mM mM mn 0例：设例：设f(xf(x) )是是R R上上连续函数连续函数，g(xg(x) )是是E E上上可测函数可测函数，则，则f( f( g(xg(x) )是可测函数。是可测函数。证明：要证f( g(x)是可测函数，只要证对任意a， Ef ga=x| f( g(x)a可测即可,g 可测f 连续x| f( g(x)a= (f g)-1(a,+) = g-1(f-1(a,+)f-1(a,+) =第二节 可测函数的收敛性第三章 可测函数 函数列的几种收敛定义函数列的几种收敛定义 一致收敛:注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制fn(x)=xn点点收敛: 记作1-例：函数列 fn(x)=xn , n=1,2, 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛fn(x)=xn几乎处处收敛几乎处处收敛: : 记作记作 (almost (almost everywhereeverywhere）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 几乎一致收敛几乎一致收敛: :记作记作 (almost uniformly)(almost uniformly)依测度收敛依测度收敛: : 记作记作注：从定义可看出， l几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外） l依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何不依测度收敛不依测度收敛依测度收敛依测度收敛几种收敛的区别几种收敛的区别说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1 （1 1）处处收敛但不依测度收敛）处处收敛但不依测度收敛n 在R+上处处收敛于 f(x)=1 , 所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外f fn n 不几乎一致收敛不几乎一致收敛于于1 1f fn n不几乎一致收敛于不几乎一致收敛于f f几乎一致收敛几乎一致收敛: :记作记作 (almost uniformly)(almost uniformly)即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛 任意 （ ）适当小小fn不几乎一致收敛于f即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛 不几乎一致收敛于f(x)=1n（2 2）依测度收敛但处处不收敛）依测度收敛但处处不收敛0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1 f8依测度收敛但处处不收敛依测度收敛但处处不收敛 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3, 说明：对任何x(0,1 , fn(x)有两个子列，一个恒为1， 一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛收敛的联系（收敛的联系（叶果洛夫定理的引入叶果洛夫定理的引入）1-fn(x)=xn三种收敛的联系三种收敛的联系 即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理） 设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， （即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 引理：设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， 证明：由于 为零测度集， 故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：关于N 单调减小几乎处处收敛与依测度收敛几乎处处收敛与依测度收敛（LebesgueLebesgue定理）定理）设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，第三节 可测函数结构 Lusin定理 第三章 可测函数 可测函数可测函数l l简单函数简单函数是可测函数是可测函数 l l l可测函数总可表示成一列简单函数的极限 （当可测函数有界时，可作到一致收敛）问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？l可测集E上的连续函数定为可测函数 鲁津定理鲁津定理实变函数的三条原理（J.E.Littlewood） （1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并） 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)0, 0, 使得使得对对f(xf(x) )在在F F连续的说明连续的说明说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为 内点，从而可取xF Fi i足够小的邻域不含其他F Fi i 中的点函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续， 但函数在R上处处不连续 条件Fi为两两不交闭集必不可少，如：鲁津定理的证明鲁津定理的证明(2)当f(x)为有界可测函数时， 存在简单函数列n(x) 在E上一致收敛于f(x)，由n(x) 在F连续及一致收敛于f (x)(x) ， 易知f(xf(x) )在闭集在闭集F F上连续。上连续。利用(1)的结果知鲁津定理的证明鲁津定理的证明则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果 （连续函数类关于四则运算封闭）(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换注：注：(1)(1)鲁津定理推论鲁津定理推论鲁津定理（鲁津定理（限制定义域限制定义域） （即：去掉某个小测度集，在（即：去掉某个小测度集，在留下的集合留下的集合上连续）上连续）（在某个小测度集上（在某个小测度集上改变取值改变取值并补充定义变成连续函数）并补充定义变成连续函数）若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)（对n维空间也成立）则 及R上的连续函数g(x)开集的余集是闭集 闭集的余集是开集aibi直线上的开集构造 直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个 互不相交的开区间的并鲁津定理推论证明的说明鲁津定理推论证明的说明 鲁津定理：鲁津定理：设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数， 则 使得m(E-F)且f(x)在F上连续例例 对对 E=RE=R1 1 上的上的a.ea.e. .有限的可测函数有限的可测函数f(xf(x) )，一定存在，一定存在E E上的连续函数列上的连续函数列 f fi i(x(x)使使f fi i(x)f(x(x)f(x) ) a.ea.e. .于于E E从而 令 ，即得我们所要的结果。 证明：由鲁津定理的推论知再由Riesz定理，存在gn(x) 的子列 gni(x) 使gni(x)f(x) a.e.于E，对上例的说明对上例的说明（只能作到几乎处处收敛）：（只能作到几乎处处收敛）：说明：若fnf于R， fn连续，则f的连续点集是R的稠密集 （参见：实变函数，周民强，p-43）鲁津定理的结论鲁津定理的结论 m (E-F) m (E-F) 00，存在闭集存在闭集 ，使，使 且且f(xf(x) )在在 上连续，上连续，则则f(xf(x) )是是E E上的可测函数上的可测函数 注：此结论即为注：此结论即为 鲁津定理的逆定理鲁津定理的逆定理从而 f(x)在 上可测， 进一步 f(x)在 上可测。 证明：由条件知， ，存在闭集 使 且 f(x)在En 连续，当然 f(x)在 En上可测，