一元二次方程知识点及其应用 Last revision on 21 December 2020 一、相关知识点 1理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形式； 2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0a时，整式方程02cbxax才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4列出实际问题的一元二次方程 二解法 1明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3体会不同解法的相互的联系； 4值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如nx2或)0()(2anbax的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解 . 形如nx 2的方程的解法： 当0n时，nx; 当0n时，021 xx; 当0n时，方程无实数根。 （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为nmx2)(的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： 移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； “系数化 1”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1； 配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为nmx2)(的形式； 求解：若0n时，方程的解为nmx，若0n时，方程无实数解。 （3）公式法：一元二次方程)0(02acbxax的根aacbbx242 当042 acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当042 acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为abxx221； 当042 acb时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定cba,的值；代入acb42中计算其值，判断方程是否有实数根；若042 acb代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。） （4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即：若0ab，则00ba或； 因式分解法的一般步骤： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。 方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程 （1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； （2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 三、根的判别式 1了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）=acb42 （2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02cbxax（0a） 当时00a方程有实数根； （当时00a方程有两个不相等的实数根；当时00a方程有两个相等的实数根；） 当时00a方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2常见的问题类型 （1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 先计算出判别式（关键步骤）； 用配方法将判别式恒等变形； 判断判别式的符号； 总结出结论. （4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为 0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。 （5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 四、一元二次方程的应用 1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。 2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。 3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a），增长率（x），变化的次数（n），变化后的基数（b）,这四者之间的关系可以用公式bxan )1 (表示。 4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 五实际应用 （1）有 100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 600 平方米，在场地的北面有一堵 50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 40米、宽 10米的仓库，但面积只有400 平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢 （2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜（36 岁） (3)已知：cba,分别是ABC的三边长，当0m时，关于x的一元二次方程02)()(22axmmxbmxc有两个相等的实数根，求证：ABC是直角三角形。 （4）已知：cba,分别是ABC的三边长，求证：方程0)(222222cxacbxb没有实数根。 （5）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程0442 xmx与0544422mmmxx的根都是整数（1m） （6）已知关于x的方程02212222mxxmxx，其中m为实数，（1）当m为何值时，方程没有实数根（2）当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根求出这三个实数根。 答案：（1）2m（2）21, 1x. （二）一元二次方程的解法 1开平方法解下列方程： （1）012552x （5, 521xx） （2）289)3(1692x （1322,135621xx） （3）03612y（原方程无实根） （4）0)31 (2m （021 mm） 2配方法解方程： （1）0522 xx （61x） （2）0152yy （2215x） 3公式法解下列方程： （1）2632xx （333x） （2）pp3232 （321 pp） 4因式分解法解下列方程： （1）09412x（6x） （2）04542yy（5, 921yy） （3）031082xx（23,4121xx） （4）02172xx （3, 021xx） 5解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）： （1）128)72(22x （227x） （2）222)2(212mmmm（262m） 6解含有字母系数的方程（ 解关于 x 的方程）： （1）02222nmmxx (nmxnmx21,) （2）124322aaxax （1, 1321axax） （三）一元二次方程的根的判别式 1不解方程判别方程根的情况： （1）4xxx732（有两个不等的实数根） （2）xx4)2(32 （无实数根） 2k为何值时，关于 x 的二次方程0962 xkx （1）有两个不等的实数根 （01kk且） （2）有两个相等的实数根 （1k） （3）无实数根 （1k） 3已知关于的方程mxmx1)2(42有两个相等的实数根求的值和这个方程的根 (21, 221xxm或23,1021xxm) 4若方程054) 1(222aaxax有实数根，求：正整数 a. （3, 2, 1aaa） 5对任意实数 m，求证：关于 x 的方程042) 1(222mmxxm无实数根 . 6k为何值时，方程0)3()32() 1(2kxkxk有实数根 . 7设m为整数，且404 m时，方程08144)32(222mmxmx有两个相异整数根，求m的值及方程的根。（当m=12时，方程的根为26,1621xx；当m=24时，方程的根为52,3821xx） 3某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1元，商场每天可多售 出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元 （20元） 4已知甲乙两人分别从正方形广场 ABCD的顶点 B、C 同时出发，甲由 C 向 D运动，乙由B向 C 运动，甲的速度为每分钟 1千米，乙的速度每分钟 2 千米，若正方形广场周长为 40千米，问几分钟后，两人相距102千米 (2 分钟后) 7某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款 200 万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的 8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余 72 万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数. (20%) 8如图，东西和南北向两条街道交于 O点，甲沿东西道由西向东走， 速度是每秒 4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒 3 米，当乙通 过 O点又继续前进 50米时，甲刚好通过 O点，求这两人在相距 85 米 时，每个人的位置。（甲离 O84米，乙离 O13 米） 9已知关于 x 的方程01) 1(2mxxn有两个相等的实数根 . (1)求证：关于 y的方程03222222nmmyym必有两个相等的实数根。 (2)若方程的一根的相反数恰好是方程的一个根，求代数式nnm122的值。（14） 东北BABAO