3.13.1变化率与导数变化率与导数 为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了学中引入了函数函数.随着对函数的研究的不断深化，在十随着对函数的研究的不断深化，在十七世纪中叶产生了七世纪中叶产生了微积分微积分，它是数学史上继欧式几何，它是数学史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑史上的里程碑. 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；作为时间的函数，求速度与路程；二、求曲线的切线；二、求曲线的切线；三、求函数的最大值与最小值；三、求函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等四、求长度、面积、体积和重心等. 几百年中，科学家们对这些问题的兴趣与研究经几百年中，科学家们对这些问题的兴趣与研究经久不衰久不衰.终于，在十七世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在前终于，在十七世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分的想象力，各自独立地创立了微积分.（1646.7.1 1716.11.14） （1643.1.4 1727.3.31）牛顿、莱布尼兹发明微积分：牛顿、莱布尼兹发明微积分：自笛卡儿创立解析几何之后，变量进入数学。下一个自笛卡儿创立解析几何之后，变量进入数学。下一个划时代的数学成就便是微积分的诞生。划时代的数学成就便是微积分的诞生。费尔玛是最早应用了微分学方法的一位学者。费尔玛是最早应用了微分学方法的一位学者。1629年，他在年，他在求最大值最小值的方法求最大值最小值的方法一文中，用一个例子说明他的方法。一文中，用一个例子说明他的方法。问题是：已知一条线段，要求出其上一点，使被该点分成的问题是：已知一条线段，要求出其上一点，使被该点分成的直线段的两部分，所构成的矩形面积最大。直线段的两部分，所构成的矩形面积最大。他设线段长为他设线段长为B，一部分为，一部分为A，另一部分为，另一部分为B-A，矩形面积为，矩形面积为AB-A2,然后用然后用A+E代代A,令一部分为令一部分为B-A-E,矩形面积遂成为矩形面积遂成为（A+E）(B-A-E).费尔玛认为，当费尔玛认为，当A的长度恰为最大值时，这的长度恰为最大值时，这两个值应相等（运用了几何观察），即两个值应相等（运用了几何观察），即（A+E）(B-A-E) AB-A2。这可整理为。这可整理为BE-2AE-E2=0,约去约去E，得得B2AE，略去，略去E，得，得B=2A。这就是说正方形将获得最大。这就是说正方形将获得最大面积。面积。 这一想法，与微分学的想法非常接近。这一想法，与微分学的想法非常接近。英国数学家巴罗，是牛顿的老师。他提出用微分三角形英国数学家巴罗，是牛顿的老师。他提出用微分三角形来求切线，其基本思想和费尔玛差不多，也是先将来求切线，其基本思想和费尔玛差不多，也是先将x扩充扩充为为x+ ,然后带入函数，最后再略去然后带入函数，最后再略去 。积分学的工作，由求面积开始。阿基米德就求过抛物线下积分学的工作，由求面积开始。阿基米德就求过抛物线下的弓形面积。刘徽的割圆术，也是同一思想。更有系统的的弓形面积。刘徽的割圆术，也是同一思想。更有系统的工作的由开普勒，把曲边形看边数无限增大的直线形，圆工作的由开普勒，把曲边形看边数无限增大的直线形，圆的面积就是无穷多个三角形的面积之和。意大利数学家的面积就是无穷多个三角形的面积之和。意大利数学家卡瓦列里把曲线看成无限多条线段拼成的。这些，都为卡瓦列里把曲线看成无限多条线段拼成的。这些，都为微积分学的诞生做了思想上的准备。微积分学的诞生做了思想上的准备。牛顿关于微积分的手稿表明，他在牛顿关于微积分的手稿表明，他在1665年已经用年已经用“0”表示表示无限小增量，求出瞬时变化率。后来，牛顿把变量无限小增量，求出瞬时变化率。后来，牛顿把变量x称为称为流量，流量，x的瞬时变化率称为流数，整个微积分学就称为的瞬时变化率称为流数，整个微积分学就称为流数术。流数术。1687年牛顿发表了他的巨著年牛顿发表了他的巨著自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理，该书，该书是第一本公开载有牛顿微积分思想的书。是第一本公开载有牛顿微积分思想的书。他的第一部关于微积分的专著他的第一部关于微积分的专著运用无穷多项的分析学运用无穷多项的分析学发表发表在在1669年。年。莱布尼兹在莱布尼兹在1675年到年到1676年间发明了无穷小算法。年间发明了无穷小算法。他通过几何上求曲线切线的研究得到一般的微分理论。把他通过几何上求曲线切线的研究得到一般的微分理论。把切线斜率看成是无限小增量切线斜率看成是无限小增量dy和和dx之比。他引用符号之比。他引用符号 表示表示变量的求和过程，并看到变量的求和过程，并看到d和和 是互逆的运算。是互逆的运算。1676年，他年，他给出了一般性的法则：给出了一般性的法则：牛顿从力学着眼，考虑变量的运动速度牛顿从力学着眼，考虑变量的运动速度流数。流数。莱布尼兹则从几何上入手，偏重运算法则的探讨。他发明的莱布尼兹则从几何上入手，偏重运算法则的探讨。他发明的符号符号d和和 一直沿用至今。一直沿用至今。牛顿、莱布尼兹超越前人的贡献，不是在于发现求切线和牛顿、莱布尼兹超越前人的贡献，不是在于发现求切线和求面积的具体方法，而是给出了一般的无穷小算法，同时求面积的具体方法，而是给出了一般的无穷小算法，同时又找出了微分和积分之间的互逆关系。这一深刻的思想，又找出了微分和积分之间的互逆关系。这一深刻的思想，已成为人类文明中的瑰宝。已成为人类文明中的瑰宝。 导数导数是微积分的是微积分的核心核心概念之一概念之一.它是研究函数增减、它是研究函数增减、变化快慢、最大变化快慢、最大(小小)值等问题的最一般、最有效的工值等问题的最一般、最有效的工具具.导数导数研究的问题即研究的问题即变化率问题变化率问题：研究某个变量相对：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度于另一个变量变化的快慢程度. 本章我们将利用丰富的背景与大量实例，学习导本章我们将利用丰富的背景与大量实例，学习导数的基本概念与思想方法数的基本概念与思想方法.v问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程过程, ,可以发现可以发现, ,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加, ,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢. .从数学从数学角度角度, ,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢? ?v气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm)之间的函数关系是之间的函数关系是v如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数,v那么那么思考思考: :这一现象这一现象中，哪些量中，哪些量在改变？变在改变？变量的变化情量的变化情况？况？我们来分析一下我们来分析一下:v当当V从从0增加到增加到1时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为v当当V从从1增加到增加到2时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为显然显然0.620.16 随着气球体积逐渐随着气球体积逐渐变大变大, ,它的平均膨胀率逐它的平均膨胀率逐渐变小渐变小思考思考?v当空气容量从当空气容量从V V1 1增加到增加到V V2 2时时, ,气球的平均气球的平均膨胀率是多少膨胀率是多少? ?问题问题2 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面运动员相对于水面的高度的高度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：（单位：秒）存在函数关系秒）存在函数关系 h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态? ?hto请计算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10平均变化率定义平均变化率定义:v若设若设x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为则平均变化率为这里这里x看作是对于看作是对于x1的一个的一个“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同样同样f=y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示称为函数称为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率1、式子中式子中x 、 y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 x的值不能为的值不能为0， y 的值可以为的值可以为02、若函数、若函数f (x)为常函数时，为常函数时， y =0 理理解解3、变式变式:v1.函数的平均变化率函数的平均变化率v2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率v观察函数观察函数f(x)的图象平均变化率的图象平均变化率v表示什么表示什么?思考xyoBx2f (x2)Ax1f (x1)f (x2)-f (x1)x2-x1直线AB的斜率y=f (x)例例 (1) 计算函数计算函数 f (x) = 2 x +1在区间在区间 3 , 1上的平均变化率上的平均变化率 ；(2) 求函数求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解：y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2(2)解：解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2 练习3.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x DA做两个题吧!v1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( )A 、 3 B、 3x-(x)2C 、 3-(x)2 D 、3-x Dv2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+x 练习：练习：v5.过曲线过曲线y=f(x)=x3上两点上两点P（1，1）和）和Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率时割线的斜率. 小结：小结：v1.函数的平均变化率函数的平均变化率v2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率二新课讲授二新课讲授1瞬时速度瞬时速度t0时时, 在在2, 2 +t 这段时这段时间内间内当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作或或 , 即即由导数的定义可知由导数的定义可知, 求函数求函数 y = f (x)的导数的一般方法的导数的一般方法:1.求函数的改变量求函数的改变量2. 求平均变化率求平均变化率3. 求值求值一差、二比、三极限一差、二比、三极限例例1.1.求求y=xy=x2 2在点在点x=1x=1处的导数处的导数解：解：f f (x x) = = x x2 2 7 7x x+15 +15 ( 0x x8 8 ) . . 计算计算x=2x=2和和x=6x=6时的导数时的导数. .根据导数的定义根据导数的定义,所以所以,同理可得同理可得 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数什么是导函数?由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当x=x0时时,f(x0) 是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变变化时化时, f(x0)便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即: 1.曲线的切线曲线的切线y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y= f(x)的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y)为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T 请看请看当点当点Q沿沿着曲线逐着曲线逐渐向点渐向点P接近时接近时,割割线线PQ绕绕着点着点P逐逐渐转动的渐转动的情况情况. 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲称为曲线在点线在点P处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即: 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限. 注意注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线: (1)与该点的位置有关；与该点的位置有关； (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切先利用切线斜率的定义求出切线的斜率线的斜率(2)利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.变式变式: 设设f(x)为可导函数，且满足为可导函数，且满足 , 求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率.故所求的斜率为故所求的斜率为-2.例例2:已知曲线已知曲线 上一点上一点P(1,2),用斜率的定义求用斜率的定义求 过点过点P的切线的倾斜角和切线方程的切线的倾斜角和切线方程.故过点故过点P的切线方程为的切线方程为:y-2=1(x-1),即即y=x+1.练习练习:求曲线求曲线 上一点上一点P(1,-1)处的切线方程处的切线方程.答案答案:y=3x-4.练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程. yx-2-112-2-11234OP即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0. 练习练习练习练习1:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:练习练习2:设函数设函数f(x)在点在点x=a处可导处可导,试用试用a、f(a)和和例例2:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:分析分析:利用函数利用函数f(x)在点在点x0处可导的条件处可导的条件,将题目中给定将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定注意在导数定 义中义中,自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x 选择哪种形式选择哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.