YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法第五节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分的审敛法 函数 第五五章 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法定理定理1.若函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:根据极限收敛准则知 存在 , YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理2 . (比较审敛原理)且对充, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 不失一般性 ,因此 单调递增有上界函数 , YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 已知得下列比较审敛法.极限存在 , YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理3. 3. (比较审敛法 1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例1. 判别反常积分解解:的敛散性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .思考题思考题: 讨论反常积分的敛散性 .提示提示: 当 x1 时, 利用 可知原积分发散 . YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理4. (极限审敛法1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 1) 当2) 当证证:根据极限定义 , 对取定的当 x 充分大时, 必有, 即满足 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY当机动 目录 上页 下页 返回 结束 可取必有即注意注意: 此极限的大小刻画了 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例2. 判别反常积分的敛散性 . 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 . 例例3. 判别反常积分的敛散性 . 解解:根据极限审敛法 1 , 该积分发散 . YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理5.机动 目录 上页 下页 返回 结束 证：证：则而 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定义定义. 设反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称绝对收敛收敛 ; 则称条件收敛 . 例例4. 判断反常积分的敛散性 .解解:根据比较审敛原理知故由定理5知所给积分收敛 (绝对收敛) . YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分分.二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义 例例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来 . YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理6. (比较审敛法 2)定理3 目录 上页 下页 返回 结束 瑕点 ,有有利用有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法. 使对一切充分接近 a 的 x ( x a) . YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理7. (极限审敛法2)定理4 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 1) 当2) 当例例5. 判别反常积分解解:利用洛必达法则得根据极限审敛法2 , 所给积分发散 . YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例6. 判定椭圆积分定理4 目录 上页 下页 返回 结束 的敛散性 . 解解:由于 根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 . YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY类似定理5, 有下列结论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 判别反常积分的敛散性 .解解:称为绝对收敛 . 故对充分小从而 据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .则反常积分 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY三、三、 函数函数1. 定义定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面证明这个特殊函数在内收敛 . 令 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY机动 目录 上页 下页 返回 结束 综上所述 , YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY2. 性质性质(1) 递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: (分部积分)注意到: YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: (3) 余元公式: (证明略) YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY(4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 得应用中常见的积分这表明左端的积分可用 函数来计算.例如, YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY内容小结内容小结 1. 两类反常积分的比较审敛法比较审敛法和极限审敛法极限审敛法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课 目录 上页 下页 返回 结束 可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛 .3. 函数的定义及性质 .思考与练习思考与练习P263 题1 (1), (2), (6), (7) P264 题5 (1), (2) 作业作业P263 1 (3), (4), (5), (8)2 ; 3