两两条条直直线线相相交交一一般般情情况况对顶角：相等对顶角：相等邻补角：互补邻补角：互补BACDO1234特殊情况特殊情况在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当当 =90 =90时时,a ,a与与b b垂直垂直. .当b的位置变化时,a、b所成的角也会发生变化.当当 90 90时时,a ,a与与b b不垂不垂直，叫斜交直，叫斜交. .两条直线相交两条直线相交斜交斜交垂直垂直垂直是相交的特殊情况垂直是相交的特殊情况） abbbbb） 观察与思观察与思考考1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。例如、如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。baO O从垂直的定义可知，从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。一个角是直角。一、垂直的定义一、垂直的定义ba1）图形：O 2）文字：a、b互相垂直, 垂足为O3）符号：符号：abab或或b ba,a,若要强调垂足， 则记为：a b, 垂足为垂足为O 2.2.垂直的表垂直的表示：示：FEMNO记作：记作：_, 垂足为垂足为_.ABOE记作：记作： _，垂足为垂足为_.试一试试一试 填一填填一填MN EFOAB OEO或者或者MN EF于于O或者或者AB OE于于O日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗你能再举出其他例子吗你能再举出其他例子吗你能再举出其他例子吗? ? ? ?你能举出生活中直线互相垂直的例子吗？你能举出生活中直线互相垂直的例子吗？十字路口的两条道路十字路口的两条道路围棋盘的横线和竖线围棋盘的横线和竖线铅垂线和水平线铅垂线和水平线1 1、ABCDABCD（已知）（已知） 1=901=90（垂线的定义）（垂线的定义）2 2、1=901=90（已知）（已知） ABCDABCD（垂线的定义）（垂线的定义）A AB BC CD D1 1A AB BC CD D1 1垂直有以下两层含义练习练习1.1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是（能断定两条直线垂直的是（ ）（A A）有一个角为）有一个角为9090 （B B）有两个角相等）有两个角相等 （C C） 有三个角相等有三个角相等 （D D）有四个角相等）有四个角相等 （E E）有四对邻补角）有四对邻补角 （F F）有一对对顶角互补）有一对对顶角互补 （G G）有一对邻补角相等）有一对邻补角相等 （H H）有两组角相等）有两组角相等 A C D F GO OA AB BC CD D）（1 13 34 42 2）（2两条直线相交所成的四个角中，下列条两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是件中能判定两条直线垂直的是A有两个角相等有两个角相等B有两对角相等有两对角相等C有三个角相等有三个角相等D有四对邻补角有四对邻补角3两个角的平分线相互垂直的有两个角的平分线相互垂直的有A两角互补；两角互补；B两角互为对顶角；两角互为对顶角；C两角都是直角；两角都是直角；D两角为邻补角两角为邻补角选择题选择题CD看谁做得快1.若直线若直线m、n相交于点相交于点O，190，则，则_。2.若直线若直线AB、CD相交于点相交于点O，且且ABCD，那么，那么BOD_。3.如图，如图，BOAO，BOC与与BOA的度数之比为的度数之比为1:5，那么那么COA_,BOC的补角为的补角为_度。度。Omn1BCAOmn9072162如图，已知直线如图，已知直线AB、CD都经过都经过O点，点，OE为射线，为射线，若若135, 255，则，则OE与与AB的位置关系的位置关系是是 . CDABOE12切记：切记：要证垂直必先想到直角（要证垂直必先想到直角（90）联想数学联想数学练习练习2：OEABOEABACEBDO EOB=90EOB=90( (垂直的定义垂直的定义) ) COF=COF=CODCODDOF=180DOF=1808080=100=100解: AB ABOEOE （已知）（已知） AOC= AOC= DOB=40DOB=40（对顶角相等）（对顶角相等）F DOE= 50DOE= 50 （已知）（已知） DOB=40DOB=40( (互余的定义互余的定义) )又又OBOB平分平分DOFDOF BOF= BOF= DOB=40DOB=40（角平分线定义）（角平分线定义） EOF= EOF= EOB+ EOB+ BOF=90BOF=90+40+40=130=130例例2 2 如图如图, ,直线直线ABAB、CDCD相交于点相交于点O,OEO,OEABAB于于O O，OBOB平分平分 DOFDOF，DOE=50DOE=50, ,求求AOCAOC、 EOF EOF、 COF COF的度数的度数. .( (邻补角定义邻补角定义) )2、如图如图,ABC=90,1=60,过过B作作AC的垂线的垂线BO,垂足是垂足是O,过过O作作BC的垂线的垂线,垂垂足是足是D,若若1=2,求求ABO,BOD.BO BO ACAC于于OO点点12ABCDO）) )（已知）（已知）ABC=90ABC=90( )( )1=601=60（ ）已知已知ABO=30ABO=30解：解：（已知）（已知）BOC=90BOC=90BOD=30BOD=30（互余的定义）（互余的定义）（互余的定义）（互余的定义）已知已知（垂直的定义）（垂直的定义）又又2=12=12=602=60（等量代换）（等量代换）问题：这样画l的垂线可以画几条？1放、2靠、3画线、lO如图，已知直线 l,作l的垂线。工具：直尺、三角板A无数条1.1.垂线的画法：垂线的画法：lA如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.B4 4画线画线: :沿着三角板的另一直角边画出垂线沿着三角板的另一直角边画出垂线. .1 1放放: :放直尺放直尺, ,直尺的一边要与已知直线重合直尺的一边要与已知直线重合; ;3 3移移: :移动三角板到已知点移动三角板到已知点; ;2 2靠靠: :靠三角板靠三角板, ,把三角板的一直角边靠在直尺上把三角板的一直角边靠在直尺上; ;则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.1.1.1.1.垂线的画法：垂线的画法：垂线的画法：垂线的画法：lA如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.B4 4画线画线: :沿着三角板的另一直角边画出垂线沿着三角板的另一直角边画出垂线. .1 1放放: :放直尺放直尺, ,直尺的一边要与已知直线重合直尺的一边要与已知直线重合; ;3 3移移: :移动三角板到已知点移动三角板到已知点; ;2 2靠靠: :靠三角板靠三角板, ,把三角板的一直角边靠在直尺上把三角板的一直角边靠在直尺上; ;则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.请同学们画一下1.1.1.1.垂线的画法：垂线的画法：垂线的画法：垂线的画法：根据以上的操作，你能得出什么结论？根据以上的操作，你能得出什么结论？垂线的第一性质：垂线的第一性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （1）“过一点过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外。在已知直线外。 （2）“有且只有有且只有”中，中，“有有”指存在，指存在，“只有只有”指唯指唯一性。一性。注意：注意： 总结：总结： 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线. .1.过点过点P向线段向线段AB所在直线引垂线，正确的是（所在直线引垂线，正确的是（）. A B C DC 五.课堂练习PPPPPPABOE EE EE E注意注意: :画线段画线段( (或射线或射线) )的的垂线时垂线时, ,有时要将线段延有时要将线段延长长( (或将射线反向延长或将射线反向延长) )后后再画垂线再画垂线. .2、问题：如何画一条线段或射线的垂线？、问题：如何画一条线段或射线的垂线？1、如图，分别过、如图，分别过A、B、C作作BC、AC、AB的垂线的垂线.ABC2、如图，过、如图，过P作直线作直线PMOA，垂足为点，垂足为点M过过P作线段作线段PNOB于于N点点.OABPDEFMN解：如图、直线解：如图、直线ADBC于于D、直线、直线BEAC于于E、直线、直线CFAB于于F解：如图、直线解：如图、直线PMOA于于M、线段、线段PNOB于于N点点O是直线是直线AB上的一点，上的一点，OC是射线，是射线，OE平分平分AOC，OF平分平分BOC，试确定，试确定OE与与OF的位的位置关系并说明理由置关系并说明理由ABOCEF12解：解： OEOF.理由如下：理由如下： OEOF.（） OE平分平分AOC，（，（已知已知）1=AOC（）又又OF平分平分BOC，2=BOC 1+2=AOC+BOC =(AOC+BOC)=AOB =180=90 垂直的定义垂直的定义 角平分线的定义角平分线的定义一个重要的基本图形1、垂线的定义2、垂线的画法3、垂线的性质（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直一、放；二、靠；三、移；四、画一、放；二、靠；三、移；四、画 小结：小结： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线时，这两条直线互相垂直互相垂直，其中一条直线叫另一条，其中一条直线叫另一条直线的直线的垂线垂线，它们的交点叫，它们的交点叫垂足垂足。