衍射束强度计算：衍射束强度计算：完整晶体衍衬运动学基本方程推导。完整晶体衍衬运动学基本方程推导。原子原子0（原点）（原点）位置与相位参位置与相位参照点（位矢照点（位矢=0，相位，相位=0）原点原点1，位矢位矢r1，相位相位1 1K0Kg原点原点2，位矢位矢r2，相位相位2计算某散射元发射的衍射束的振幅矢量的条件：计算某散射元发射的衍射束的振幅矢量的条件：1.需要已知三个矢量：入射束波矢需要已知三个矢量：入射束波矢K0，衍射束波矢，衍射束波矢Kg，该散射元的位置，该散射元的位置（位矢（位矢r）。）。2.要确定位矢要确定位矢r，应先确定一个参考散射元。此散射元的位矢，应先确定一个参考散射元。此散射元的位矢=0（坐标原点）（坐标原点），相位也是，相位也是0。注意，位置、时间、相位、速度、动量、能量等物理量的。注意，位置、时间、相位、速度、动量、能量等物理量的值都是相对的。角动量是绝对的。值都是相对的。角动量是绝对的。r13. 3. 某散射元相位的计算公式即某散射元相位的计算公式即如图，如图，K K0 0r r是在入射束方向上该是在入射束方向上该散射元衍射束比参考散射元的衍散射元衍射束比参考散射元的衍射束多走的光程（与波长之比），射束多走的光程（与波长之比），kgkgr r是该散射元的衍射束比参是该散射元的衍射束比参考散射元的衍射束在衍射方向上考散射元的衍射束在衍射方向上多走的光程与波长之比）。多走的光程与波长之比）。K K0 0r rkgkgr r+电子电子0电子电子1原子核原子核0原子核原子核1电子源电子源聚光镜，可以将焦点（电子源聚光镜，可以将焦点（电子源位置）上向各方向上发射的电位置）上向各方向上发射的电子变成平行电子束，并且垂直子变成平行电子束，并且垂直于平行电子束的各点到焦点于平行电子束的各点到焦点（电子源）的光程相同（电子源）的光程相同物镜物镜，可以将平行的物镜，可以将平行的电子束聚焦在焦平面电子束聚焦在焦平面上某点上，并且垂直上某点上，并且垂直于平行电子束的各点于平行电子束的各点到此聚焦点的光程相到此聚焦点的光程相同。同。计算各散射元某衍射束的强计算各散射元某衍射束的强度（或振幅矢量），即计算度（或振幅矢量），即计算该聚焦点的电子束强度（同该聚焦点的电子束强度（同时到达此处的电子数数目）。时到达此处的电子数数目）。这需要计算两个量，一个是这需要计算两个量，一个是电子波在该点振幅，一个是电子波在该点振幅，一个是在该点相位。在该点相位。焦平面聚焦点光轴+电子电子0电子电子1原子核原子核0原子核原子核1电子源电子源物镜电子运行路径电子运行路径0：从电子源到原子核：从电子源到原子核0附近，被原子核附近，被原子核0的引力散射后到达的引力散射后到达聚焦点，聚焦点，电子运动路径电子运动路径1：从电子源到原子核：从电子源到原子核1附近，被原子核附近，被原子核1的引力散射后到达的引力散射后到达同一聚焦点。注意到达在透镜后，从同一聚焦点。注意到达在透镜后，从各方向汇聚到焦平面上某一点的各个各方向汇聚到焦平面上某一点的各个电子，之前在透镜另一侧的运动方向电子，之前在透镜另一侧的运动方向是平行的。是平行的。如果这两条路径的光程差是波长的整如果这两条路径的光程差是波长的整数倍（简而言之光程相同），则意味数倍（简而言之光程相同），则意味着，可以让电子源在间隔为一个时间着，可以让电子源在间隔为一个时间周期的不同时刻发射电子同时通过该周期的不同时刻发射电子同时通过该聚焦点。聚焦点。焦平面聚焦点光轴+电子电子0电子电子1原子核原子核0原子核原子核1电子源电子源物镜电子的波动性：电子的波动性：如果入射电子束的振幅矢量为如果入射电子束的振幅矢量为焦平面聚焦点光轴这意味着电子源每隔这意味着电子源每隔1/w的时间沿着的时间沿着x方向方向（k0方向）发射方向）发射m个速度为个速度为v的电子（的电子（m正正比于比于A2），这样在），这样在k0方向上方向上 ，电子束将以，电子束将以间隔长度为间隔长度为=v/w=1/k0的一列列的一列列团簇向前团簇向前以速度以速度v运动的形式出现。运动的形式出现。m个电子经过各个电子经过各原子核时，有一部分会受到电磁引力作用，原子核时，有一部分会受到电磁引力作用，因引力方向垂直于速度（近似描述），则因引力方向垂直于速度（近似描述），则运动方向偏转（即散射），而速度大小不运动方向偏转（即散射），而速度大小不变（弹性散射）。如果各个电子团簇经过变（弹性散射）。如果各个电子团簇经过各原子核的不同路径到达焦平面上某一聚各原子核的不同路径到达焦平面上某一聚焦点，而这些路径的光程差焦点，而这些路径的光程差= 的整数倍，的整数倍，则意味着意味着可以让电子源在间隔为一个时间可以让电子源在间隔为一个时间周期的不同时刻发射电子同时通过该聚焦周期的不同时刻发射电子同时通过该聚焦点。点。原子核对电子的作用力（负号表示吸引），导原子核对电子的作用力（负号表示吸引），导致的散射主要是弹性散射。致的散射主要是弹性散射。原子中电子对电子的作用力（正值表示排斥），导致原子中电子对电子的作用力（正值表示排斥），导致的散射主要是非弹性散射。的散射主要是非弹性散射。电子与原子核的作用力是与电子的作用力的电子与原子核的作用力是与电子的作用力的Z倍，倍，可见电子在物质中的弹性散射大于非弹性散射可见电子在物质中的弹性散射大于非弹性散射Z倍，倍，Z越大，弹性散射就越重要。越大，弹性散射就越重要。1. 一个原子对电子的散射一个原子对电子的散射Z原子序数e电子电荷量r电子与核距离+rn2-re2 定性解释：电子在一定动能（或波长定性解释：电子在一定动能（或波长）下，其散射角）下，其散射角2与作用力与作用力Fn有关。有关。如前所述，如前所述，Fn=-Ze2/r2。即，被不同元素的原子核的以相同角度。即，被不同元素的原子核的以相同角度2散射的散射的电子，子，受作用力受作用力Fn相同，因相同，因为Z不同，不同，这样的的电子距离原子核的距离子距离原子核的距离rn也不同，从作也不同，从作用力公式看，被不同原子核散射同用力公式看，被不同原子核散射同样角度的角度的电子，其到原子核的距离子，其到原子核的距离rn与与Z成成正比，正比，Z越大，距离越大，因在距离越大，距离越大，因在距离rn的的长度度为2rn圆周上（周上（图中中圆圈）通圈）通过的所有的所有电子都以子都以2角度散射，所以以同角度散射，所以以同样角度散射的角度散射的电子数目越多子数目越多 。原子核弹性散射本领与原子序数原子核弹性散射本领与原子序数Z成正比成正比原子核对电子的散射电子对电子的散射+rn2原子核弹性散射本领与原子序数原子核弹性散射本领与原子序数Z成正比（定量解释）成正比（定量解释）原子核对电子的散射mvmvmvmvmv22在单位时间内（时间在单位时间内（时间=1），在垂直于入射束方向），在垂直于入射束方向的截面积上通过的电子被以的截面积上通过的电子被以2的角度散射，动量的角度散射，动量的改变的改变=mv=m v=2mvsin（如（如图），根据），根据动量定理量定理2mvsin=Fnt=Fn=-Ze2/r2 （时间t=单位位时间=1），得），得2很小h/=mv备注显然，通过显然，通过以原子核以原子核为圆心、心、半径半径r以内的截面积以内的截面积的的电子，都将以大于子，都将以大于2的角的角度度发生散射，即散射几率与面生散射，即散射几率与面积r2成正比。根据上式，散射几率与成正比。根据上式，散射几率与Z、成成正比，与正比，与sin()成反比。原子的散射因子成反比。原子的散射因子f可根据相关文献可根据相关文献查到。到。关于波长关于波长的影响的影响波长越小，即电子动量越大，越不易被散射。波长越小，即电子动量越大，越不易被散射。+rn2原子核对电子的散射 波长越小，同样作用力波长越小，同样作用力Fn（或距离同（或距离同一原子核相同距离一原子核相同距离rn处散射角越小），如处散射角越小），如欲找到相同角度的散射电子，必须移至更欲找到相同角度的散射电子，必须移至更近的距离，导致此角度散射的电子数目更近的距离，导致此角度散射的电子数目更少。少。定量解释？定量解释？备注2. 一个晶胞对电子的散射一个晶胞对电子的散射n：晶胞中原子个数fj：第j个原子对电子的散射因子（或原子散射振幅）。与原子序数Z、以及有关（如前所述），数据可查相关文献。rj：第j个原子的位置矢量kg ：衍射波矢k0 ：入射波矢k0rj是j原子衍射波比原点衍射波沿着入射方向多走的一段距离与之比，kgrj是j原子衍射波比原点衍射波沿着衍射方向少走的一段距离与之比。晶胞在HKL方向（g）的散射振幅因子（简称散射因子，即散射电子振幅与入射电子振幅的系数关系因子）1（原点）（原点）2kgrjk0rjk0kgrj满足布拉格条件时=gHKL不是指数关系因子3. 一层晶胞（单位面积）的散射一层晶胞（单位面积）的散射单位面积晶层包含单位面积晶层包含n个晶胞个晶胞面积=1，振幅=n2. 每个晶胞的面积=1/n，其入射束振幅1/cos() （备注1）入射束21. 单位横截面积的入射束的振幅A0，它照射的晶层面积=1/cos()，单位晶层面积的晶胞数=n，则单位横截面积的入射束照射到n/cos()个晶胞上。备注3. 入射束穿过晶胞将发生散射，则每个晶胞向原入射方向的透射束振幅从1减小至。而在2方向的散射束振幅为Fg/cos()。 （菲涅尔半波带法）。4. 对于衍射方向，每个晶胞的衍射束之间的相位相同（相位=2n即认为相位相同），每个晶胞的振幅= Fg ，所以这n个晶胞的衍射束合成振幅= nFg 2衍射波波阵面衍射波波阵面入射波波阵面（等相位面，相位入射波波阵面（等相位面，相位=0）衍射晶面/2/2AB晶面晶面间距距d=LB处微线段元相位=入射到一个晶胞的入射束振幅大小=1C合成振幅大小=大圆直径=1合成振幅相位=/2BA处微线段元子波相位=0（方向向右的箭头）微线段元微线段元间相位角间相位角=2dL/LAAB间入射间入射束合成振束合成振幅相位幅相位=/2右图矢量右图矢量AB代表左图代表左图AB之间各处入射波子波之间的合成振幅矢量之间各处入射波子波之间的合成振幅矢量=1；入射波（平面波）经过入射波（平面波）经过AB成为球面波，向各个方向发生散射。成为球面波，向各个方向发生散射。2衍射波波阵面衍射波波阵面入射波波阵面（等相位面，相位入射波波阵面（等相位面，相位=0）衍射晶面/2/2AB晶面晶面间距距d=LB处微线段元相位=入射到一个晶胞的入射束振幅大小=1CBA处微线段元子波相位=0（方向向右的箭头）AAC间的衍射波（平面波）是间的衍射波（平面波）是AB间球面波在间球面波在2角的散射方向的相干散射波。角的散射方向的相干散射波。AB间A点点处入射波子波在入射波子波在AC间的的A点点处的衍射波子波相位是的衍射波子波相位是0，C点点处衍衍射波子波相位是射波子波相位是2。从。从A到到C，因，因为右图矢量右图矢量AC代表左图代表左图AC之间各处衍射波子波之间的合成振幅矢量。之间各处衍射波子波之间的合成振幅矢量。C6. 所以单位面积晶层的这所以单位面积晶层的这n个晶胞在衍射束方向上个晶胞在衍射束方向上单位面积的衍射束振幅大小：单位面积的衍射束振幅大小：3. 一个晶柱对电子的散射一个晶柱对电子的散射n：每层晶体单位面积晶胞数目Fg：每个晶胞的结构因子。晶胞的散射振幅。：电子束波长：衍射半角（衍射角一半）A0：照在每个晶胞的入射束振幅，设为1晶柱分成若干平行晶层。每层厚度方向包含一晶柱分成若干平行晶层。每层厚度方向包含一个晶胞。每层单位面积的晶胞数个晶胞。每层单位面积的晶胞数=n，晶层几乎，晶层几乎垂直于垂直于K0或或Kg（衍射角很小），各晶胞的衍射（衍射角很小），各晶胞的衍射束可认为同相位。则束可认为同相位。则每层单位面积的晶体的衍每层单位面积的晶体的衍射束振幅矢量大小射束振幅矢量大小倾斜因子结构因子晶柱单位面积（垂直入射束）晶胞数目为nK0KgKTt小晶胞小晶胞第第j层晶胞晶胞3. 一个晶柱对电子的散射（晶层相位角计算）一个晶柱对电子的散射（晶层相位角计算）晶柱单位横截面积晶胞数目为nK0第第j层的的KgKT总层数数=m总厚度厚度t=ma小晶胞小晶胞第第j层晶胞晶胞 第第j层晶体的衍射束振幅矢量大小如层晶体的衍射束振幅矢量大小如前所述，而振幅矢量相位角取决于第前所述，而振幅矢量相位角取决于第j层层晶体与第晶体与第1层晶体的光程差（设第层晶体的光程差（设第1层晶体层晶体（上表层）的相位（上表层）的相位=0），相位角），相位角=2(k0-kg)ja。a是晶胞沿厚度方向的尺寸。是晶胞沿厚度方向的尺寸。ja即即第第j层晶体的位置矢量在厚度方向分量。层晶体的位置矢量在厚度方向分量。 k0ja是第是第j层晶体衍射波比第层晶体衍射波比第1层晶体衍射层晶体衍射波沿着入射方向多走的光程与波沿着入射方向多走的光程与之比之比， kgja是第是第j层晶体沿着衍射方向少走的光程层晶体沿着衍射方向少走的光程与与之比之比。厚度方向所有。厚度方向所有m层晶体的衍射层晶体的衍射波振幅之矢量和为波振幅之矢量和为第第1层的的Kgja很多教科书上有很多教科书上有i因子因子备注或者是带或者是带i因子的微分形式的公式（见因子的微分形式的公式（见ppt文件：文件：材料现代材料现代分析方法分析方法005-3TEM图像衬度理论图像衬度理论.ppt一种解释（见下一一种解释（见下一ppt）关于关于 i 因子因子3. 一个晶柱对电子的散射一个晶柱对电子的散射如果如果kg不严格满足布拉格定律，即不严格满足布拉格定律，即kg-k0=g+s（矢量加，（矢量加，g为倒易矢量，为倒易矢量，s为偏离矢量，与入射束平为偏离矢量，与入射束平行），将此关系式带入前面的式子得到：行），将此关系式带入前面的式子得到：Kgkg-k0=g+sK0gs二者垂直，=0二者平行，去掉点乘负号4. 用振幅圆描述各层晶体衍射束振幅矢用振幅圆描述各层晶体衍射束振幅矢量与合成矢量量与合成矢量每层晶体的衍射矢量的大小相同每层晶体的衍射矢量相位角比上一层多2(k0-kg)a=2sa合成振幅单位面积晶柱所有晶层的衍射波的合成振幅最大值只能等于1（前面已经设定单位面积晶层上入射电子束振幅大小=1）则此振幅圆周长为。第k层时合成振幅最大（=1），此时圆弧（半圆）长=/2=微弧长合成振幅从最小到最大合成振幅从最小到最大再到最小的一个周期变再到最小的一个周期变化经历的弧长化经历的弧长=圆周长圆周长这一个周期对应的深度这一个周期对应的深度为第为第2k层晶层，层晶层，2k值为值为第第2k层深度为层深度为2ka=g称为消光距离称为消光距离Vc是晶胞体积单位面积晶层（厚度a）总体积为1a，则单位面积晶层晶胞数目n=a/Vc，带入上式得下式前k层晶层的合成衍射束振幅大小=/2前2k层晶层的合成衍射束的振幅大小=如前所述：单位面积晶柱的衍射束的总振幅矢量为如前所述：单位面积晶柱的衍射束的总振幅矢量为m是晶体厚度方向上总晶层层数，a是每层厚度（晶胞厚度），ma则是晶体总厚度t。厚度t推导过程参考备注 上式就是完整晶体衍衬运动学基本方程。上式就是完整晶体衍衬运动学基本方程。如前所述：单位面积晶柱的衍射束总强度如前所述：单位面积晶柱的衍射束总强度Ig=g2