1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理个地数个地数例如幼儿会通过一个一例如幼儿会通过一个一问题大量存在问题大量存在的计数的计数日常生活、生产中类似日常生活、生产中类似这就是计算这就是计算数数案下所有可能的号码案下所有可能的号码种汽车牌照号码组成方种汽车牌照号码组成方某某数出数出这就要这就要才能满足民众的需求呢才能满足民众的需求呢法法车牌照号码的组成方车牌照号码的组成方管理部门应如何确定汽管理部门应如何确定汽交通交通那么那么个性化个性化照照多车主还希望自己的牌多车主还希望自己的牌许许另外另外汽车牌子号码需要扩容汽车牌子号码需要扩容量迅速增长量迅速增长汽车拥有汽车拥有家庭家庭高高随着人们生活水平的提随着人们生活水平的提成成适当顺序排列而适当顺序排列而并按照并按照数字中选出若干个数字中选出若干个个阿拉伯个阿拉伯个英文字母、个英文字母、汽车牌照一般从汽车牌照一般从.,?,.,.,1026问题问题1:. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?（一）新一）新课课引入：引入：问题问题1:. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。 （一）新一）新课课引入：引入：问题问题2: 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南 问题问题2: 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南 分析分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有2种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 2 = 6 种不同的方法。分类记数原理分类记数原理: 做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有n类办法类办法,在第一类办法中有在第一类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第二类办法中有在第二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在，在第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法。那么完成这种不同的方法。那么完成这件事共有件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。种不同的方法。分步记数原理：分步记数原理：做一件事情，完成它需要分做一件事情，完成它需要分成成n个步骤，做第一步有个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第二步有二步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n步有步有mn种种不同的方法，那么完成这件事有不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn种不同的方法种不同的方法。（二）新课：二）新课： 练习练习3.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地 解解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 23 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 42 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。例例 3. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字是0的号码数又是多少？ 分析分析: 按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三 位,第四位、需分为 四步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m2 = 10，第 四步 ， m4 = 10. 根据分步记数原理分步记数原理, 共可以设置N = 101010 10 = 104种四位数的号码。 答答:首位数字不为0的号码数是N =91010 10 = 9103 种, 首位数字是0的号码数是 N = 11010 10 = 103 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号 码数之和等于号码总数。练习：练习：三个比赛项目，六人报名参加。三个比赛项目，六人报名参加。）每人参加一项有多少种不同的方法？每人参加一项有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？少种不同的方法？）每项人，每人参加的项数不限，有多）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？少种不同的方法？ 点评点评: 分类记数原理分类记数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的并为全集。 分步记数原理分步记数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间 断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步, 则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。 在运用“分类记数原理分类记数原理、分步记数原理分步记数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。 课堂练习课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,所以根据分步记数原理分步记数原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。 课堂练习课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？问问: 若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢？ 答答:它们的涂色方案种数分别是 0, 3211=6 4322 = 48, 5433 = 180种等。4.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 解解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 12 = 2 条 第二类, m2 = 12 = 2 条 第三类, m3 = 12 = 2 条 所以, 根据分类记数原理分类记数原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。1、将数字、将数字1,2,3,4,填入标号为填入标号为1,2,3,4的四个的四个方格里方格里,每格填一个数字每格填一个数字,则每个格子的标则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有号与所填的数字均不同的填法有_种种引申引申:号方格里可填，三个数字，有种填号方格里可填，三个数字，有种填法。号方格填好后，再填与号方格内数字相法。号方格填好后，再填与号方格内数字相同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只有种填法。有种填法。 所以共有所以共有3*3*1=9种不同的方法。种不同的方法。二、映射个数问题二、映射个数问题:例例2 设设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从从A到到B共有多共有多少种不同的映射少种不同的映射?三、染色问题三、染色问题:1.1.如图如图, ,用用5种不同颜色给图中的种不同颜色给图中的A A、B B、C C、D D四个区域涂色四个区域涂色, , 规定一个区域规定一个区域 只涂一种颜色只涂一种颜色, , 相邻区域必须涂不同的颜色相邻区域必须涂不同的颜色, , 不同的涂色方案有不同的涂色方案有 种。种。ABCD分析：分析：如图，如图，A A、B B、C C三个区域两两相邻，三个区域两两相邻，A A与与D D不相邻，因此不相邻，因此A A、B B、C C三个区域的颜色两两三个区域的颜色两两不同，不同，A A、D D两个区域可以同色，也可以不同色，两个区域可以同色，也可以不同色，但但D D与与B B、C C不同色。由此可见我们需根据不同色。由此可见我们需根据A A与与D D同同色与不同色分成两大类。色与不同色分成两大类。解：解：先分成两类：第一类，先分成两类：第一类，D D与与A A不同色，可分成四步完成。不同色，可分成四步完成。第一步涂第一步涂A A有有5 5种方法，第二步涂种方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种方法；第四步涂种方法；第四步涂D D有有2 2种方法。根据分步计数原理，种方法。根据分步计数原理，共有共有5 5432432120120种方法。种方法。根据分类计数原理，共有根据分类计数原理，共有12120+600+60180180种方法。种方法。第二类，第二类，A A、D D同色，分三步完成，同色，分三步完成，第一步涂第一步涂A A和和D D有有5 5种种方法，第二步涂方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种方法。根据分种方法。根据分步计数原理，共有步计数原理，共有5 543436060种方法。种方法。2、某城市在中心广场建造一个花圃，、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为花圃分为6个部分（如右图）现要栽个部分（如右图）现要栽种种4种不同颜色的花，每部分栽种一种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有不同的栽种方法有_种种.（以数（以数字作答）字作答） （1 1）与与同色，则同色，则也同色或也同色或也同色，所以共有也同色，所以共有N N1 1=43221=48=43221=48种；种；所以，共有所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种. （2）与与同色，则同色，则或或同色，所以共有同色，所以共有N N2 2=43221=48=43221=48种；种；（3）与与且且与与同色，则共同色，则共N N3 3=4321=24=4321=24种种 解法一：从题意来看解法一：从题意来看6 6部分种部分种4 4种颜色的花，又从图形看种颜色的花，又从图形看知必有知必有2 2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求4、将种作物种植在如图所示的块试验、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有能种植同一种作物，不同的种植方法共有种（以数字作答种（以数字作答）423、如图，是、如图，是4个相同的正方形，用红、黄、蓝、白个相同的正方形，用红、黄、蓝、白4种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，那么共有多少种涂色方法？那么共有多少种涂色方法？四、子集问题四、子集问题规律：规律：n元集合元集合 的不的不同子集有个同子集有个 。例：例：集合集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数它的子集个数为为 ，真子集个数为，真子集个数为 ，非空子，非空子集个数为集个数为 ，非空真子集个数为，非空真子集个数为 。五、综合问题五、综合问题: 例例 若直线方程若直线方程ax+by=0中的中的a,b可以从可以从0,1,2,3,4这这五个数字中任取两个不同的数字五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的则方程所表示的不同的直线共有多少条不同的直线共有多少条?、7560075600有有多多少少个个正正约约数数? ?有有多多少少个个奇奇约约数数? ?解解: :由于由于 75600=275600=24 43 33 35 52 27 7(1)(1)7560075600的每个约数都可以写成的每个约数都可以写成的形式的形式, ,其中其中, , , , 于于是是, ,要要确确定定7560075600的的一一个个约约数数, ,可可分分四四步步完完成成, ,即即i,j,k,li,j,k,l分分别别在在各各自自的的范范围围内内任任取取一一个个值值, ,这这样样i i有有5 5种种取取法法,j,j有有4 4种种取取法法,k,k有有3 3种种取取法法,l,l有有2 2种种取取法法, ,根根据据分步计数原理得约数的个数为分步计数原理得约数的个数为5 54 43 32=1202=120个个. .3、如果把两条异面直线看成、如果把两条异面直线看成“一对一对”，那么六棱锥的棱所在的那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面条直线中，异面直线共有（直线共有（ ）对）对A.12 B.24 C.36 D.48B例例2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 分析分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 则根据分类记数原理分类记数原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).分析分析2: 按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 则根据分类记数原理分类记数原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个)复习回顾复习回顾:两个计数原理的内容是什么两个计数原理的内容是什么?解决两个计数原理问题需要注意什么问题解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧有哪些技巧? 小结：小结：1. 本节课学习了那些主要内容？本节课学习了那些主要内容？ 答答:分类记数原理分类记数原理和和分步记数原理分步记数原理。 2.分类记数原理分类记数原理和和分步记数原理分步记数原理的共同点是什么？的共同点是什么？ 不同点什么？不同点什么？ 答答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不 同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同,分分类记类记 数原理数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步记数原理分步记数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。3. 何时用何时用分类记数原理分类记数原理、分步记数原理分步记数原理呢呢?答答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用分类记数原理分类记数原理。 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用分步记数原理分步记数原理。 小结：小结：