第3章 单元复习课一、因式分解的定义一、因式分解的定义把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解多项式因式分解. .(1)(1)因式分解的结果必须是整式的乘积的形式；因式分解的结果必须是整式的乘积的形式；(2)(2)因式分解与整式的乘法互为逆运算因式分解与整式的乘法互为逆运算. .二、因式分解的方法二、因式分解的方法1.1.方法选择方法选择注：提公因式法因式分解的关键是确定公因式，确定一个多项注：提公因式法因式分解的关键是确定公因式，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑：对于系数，式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑：对于系数，取各项系数的最大公约数；对于字母，考虑两条：一是取各项取各项系数的最大公约数；对于字母，考虑两条：一是取各项的相同字母，二是取相同字母的最低次幂的相同字母，二是取相同字母的最低次幂. .2.2.因式分解的步骤因式分解的步骤多项式因式分解的步骤可以简单地归纳为：一提二套三查，即多项式因式分解的步骤可以简单地归纳为：一提二套三查，即先考虑各项有无公因式可提，再考虑能否套用公式来分解，最先考虑各项有无公因式可提，再考虑能否套用公式来分解，最后还要检查每个因式是否还可以再分解后还要检查每个因式是否还可以再分解( (对因式分解的结果要求对因式分解的结果要求是不能再分解为止是不能再分解为止) )以及分解的结果是否正确以及分解的结果是否正确. .注：注：1.1.对因式分解的意义认识不到位，造成局部变成积的形式，对因式分解的意义认识不到位，造成局部变成积的形式，而整体还是和差的形式而整体还是和差的形式. .2.2.提公因式时易出现的错误提公因式时易出现的错误: :提后丢项：与公因式相同的项提后提后丢项：与公因式相同的项提后变成变成0 0；提而不；提而不“净净”：提取的不是最大公因式，造成因式分解：提取的不是最大公因式，造成因式分解不彻底；不彻底；“过度过度”提取：提公因式后造成余下的部分出现分式提取：提公因式后造成余下的部分出现分式; ;只提不变：忽视首项为负数时只提不变：忽视首项为负数时, ,负号提出后其余各项应该变号负号提出后其余各项应该变号. .3.3.公式应用混乱，特别是当公式中的字母代表的是多项式时，忽公式应用混乱，特别是当公式中的字母代表的是多项式时，忽视了整体思想的应用，造成解题思路出现错误视了整体思想的应用，造成解题思路出现错误. .4.4.对整式的乘法与因式分解的关系理解不清，分解完成后又走对整式的乘法与因式分解的关系理解不清，分解完成后又走“回头路回头路”，变成和差的形式，变成和差的形式. .因因式式分分解解定义定义方法方法步骤步骤提公因式法提公因式法运用公式法运用公式法平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式1.1.提：提公因式提：提公因式2.2.套：套用公式套：套用公式3.3.查：检查结果是否分解彻底查：检查结果是否分解彻底 用提公因式法进行因式分解用提公因式法进行因式分解【相关链接相关链接】 用提公因式法进行因式分解时，最关键的一步是确定公因用提公因式法进行因式分解时，最关键的一步是确定公因式式. .寻找公因式时寻找公因式时, ,对于数字因数找各项数字的最大公约数，对对于数字因数找各项数字的最大公约数，对于相同的字母，找相同字母的最低次幂于相同的字母，找相同字母的最低次幂. .【例例1 1】(2012(2012汕头中考汕头中考) )因式分解：因式分解：2x2x2 2-10x=_.-10x=_.【思路点拨思路点拨】找公因式找公因式 提公因式提公因式 结果结果【自主解答自主解答】2x2x2 2-10x=2x(x-5)-10x=2x(x-5)答案：答案：2x(x-5)2x(x-5) 用公式法进行因式分解用公式法进行因式分解【相关链接相关链接】符合用平方差公式因式分解的多项式一般有以下特点符合用平方差公式因式分解的多项式一般有以下特点1.1.有两项；有两项；2.2.两项都能写成平方的形式；两项都能写成平方的形式；3.3.符号相反符号相反. .符合用完全平方公式因式分解的多项式一般有以下特点符合用完全平方公式因式分解的多项式一般有以下特点1.1.有三项；有三项；2.2.其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方的形式；其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方的形式；3.3.另一项是这两数另一项是这两数( (或两式或两式) )的乘积（或乘积相反数）的的乘积（或乘积相反数）的2 2倍倍. .【例例2 2】因式分解：因式分解：(1)(2012(1)(2012绥化中考绥化中考)a)a3 3b-2ab-2a2 2b b2 2+ab+ab3 3=_.=_.(2)(2012(2)(2012抚顺中考抚顺中考)4x)4x2 2y-yy-y3 3=_.=_.【教你解题教你解题】(1)(1)提公因式提公因式a a3 3b-2ab-2a2 2b b2 2+ab+ab3 3=ab(a=ab(a2 2-2ab+b-2ab+b2 2) )运用完全运用完全平方公式平方公式答案答案ab(aab(a2 2-2ab+b-2ab+b2 2)=ab(a-b)=ab(a-b)2 2ab(a-b)ab(a-b)2 2(2)(2)提公因式提公因式4x4x2 2y-yy-y3 3=y(4x=y(4x2 2-y-y2 2) )运用平方差运用平方差公式公式答案答案y(4xy(4x2 2-y-y2 2)=y(2x+y)(2x-y)=y(2x+y)(2x-y)y(2x+y)(2x-y)y(2x+y)(2x-y) 因式分解的简单应用因式分解的简单应用【相关链接相关链接】 因式分解是代数运算中的一种重要的恒等变形，其应用非常因式分解是代数运算中的一种重要的恒等变形，其应用非常广泛，特别是对于含有条件限制的多项式求值，如果考虑利用因广泛，特别是对于含有条件限制的多项式求值，如果考虑利用因式分解将所求多项式进行适当变形，转化为已知条件，往往能收式分解将所求多项式进行适当变形，转化为已知条件，往往能收到事半功倍的效果到事半功倍的效果. .【例例3 3】在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解因式分解”法产生的密码，方便记忆法产生的密码，方便记忆. .原理是：如对于多项式原理是：如对于多项式x x4 4y y4 4，因式分解的结果是，因式分解的结果是(x(xy)(xy)(xy)(xy)(x2 2y y2 2) )，若取，若取x=9x=9，y=9y=9时，则各个因式的值是：时，则各个因式的值是：(x(xy)=0y)=0，(x(xy)=18y)=18，(x(x2 2y y2 2)=162)=162，于是就可以把，于是就可以把“018162”018162”作为一个六位数的密码作为一个六位数的密码. .对于对于多项式多项式4x4x3 3xyxy2 2，取，取x=10x=10，y=10y=10时，用上述方法产生的密码有哪时，用上述方法产生的密码有哪些？些？【思路点拨思路点拨】先将给定的多项式因式分解，然后计算出各部分对先将给定的多项式因式分解，然后计算出各部分对应值，进而得出有关的密码应值，进而得出有关的密码. .【自主解答自主解答】因为因为4x4x3 3-xy-xy2 2=x(4x=x(4x2 2-y-y2 2) )=x(2x+y)(2x-y),=x(2x+y)(2x-y),所以当所以当x=10,y=10x=10,y=10时，时，有有x=10x=10，(2x+y)=20+10=30,(2x+y)=20+10=30,(2x-y)=20-10=10,(2x-y)=20-10=10,所以产生的密码是所以产生的密码是101030101030或或103010103010或或301010.301010.【命题揭秘命题揭秘】 结合近几年中考试题分析，因式分解的考查有以下特点：结合近几年中考试题分析，因式分解的考查有以下特点：1.1.命题方式为用提公因式、公式法因式分解或与分式的运算结命题方式为用提公因式、公式法因式分解或与分式的运算结合进行综合考查，题型以选择题和填空题为主，偶尔可见简单合进行综合考查，题型以选择题和填空题为主，偶尔可见简单的解答题的解答题. .2.2.命题的热点为综合运用提公因式法和公式法因式分解，一般命题的热点为综合运用提公因式法和公式法因式分解，一般是首先提取公因式，然后利用公式法因式分解是首先提取公因式，然后利用公式法因式分解. .1.(20111.(2011河北中考河北中考) )下列因式分解正确的是下列因式分解正确的是( )( )(A)-a+a(A)-a+a3 3=-a(1+a=-a(1+a2 2) )(B)2a-4b+2=2(a-2b)(B)2a-4b+2=2(a-2b)(C)a(C)a2 2-4=(a-2)-4=(a-2)2 2 (D)a(D)a2 2-2a+1=(a-1)-2a+1=(a-1)2 2【解析解析】选选D.AD.A中中-a+a-a+a3 3=-a(1-a=-a(1-a2 2)=-a(1+a)(1-a)=-a(1+a)(1-a)，故本选项错误；，故本选项错误；B B中中2a-4b+2=2(a-2b+1)2a-4b+2=2(a-2b+1)，故本选项错误；，故本选项错误；C C中中a a2 2-4=(a-2)(a+2)-4=(a-2)(a+2)，故本选项错误；故本选项错误；D D中中a a2 2-2a+1=(a-1)-2a+1=(a-1)2 2，故本选项正确，故本选项正确. .2.2.把把x x2 2-y-y2 2-2y-1-2y-1因式分解，结果正确的是因式分解，结果正确的是( )( )(A)(x+y+1)(x-y-1)(A)(x+y+1)(x-y-1)(B)(x+y-1)(x-y-1)(B)(x+y-1)(x-y-1)(C)(x+y-1)(x+y+1)(C)(x+y-1)(x+y+1)(D)(x-y+1)(x+y+1)(D)(x-y+1)(x+y+1)【解析解析】选选A.A.原式原式=x=x2 2-(y-(y2 2+2y+1)=x+2y+1)=x2 2-(y+1)-(y+1)2 2=(x+y+1)(x-y-1).=(x+y+1)(x-y-1).3.3.把代数式把代数式axax2 2-4ax+4a-4ax+4a因式分解，下列结果中正确的是因式分解，下列结果中正确的是( )( )(A)a(x-2)(A)a(x-2)2 2 (B)a(x+2)(B)a(x+2)2 2 (C)a(x-4)(C)a(x-4)2 2 (D)a(x+2)(x-2)(D)a(x+2)(x-2)【解析解析】选选A.axA.ax2 2-4ax+4a=a(x-4ax+4a=a(x2 2-4x+4)=a(x-2)-4x+4)=a(x-2)2 2. .4.(20124.(2012来宾中考来宾中考) )因式分解：因式分解：2xy-4x2xy-4x2 2=_.=_.【解析解析】原式原式=2x(y-2x).=2x(y-2x).答案：答案：2x(y-2x)2x(y-2x)5.(20125.(2012益阳中考益阳中考) )写出一个在实数范围内能用平方差公式进行写出一个在实数范围内能用平方差公式进行因式分解的多项式：因式分解的多项式：_._.【解析解析】能用平方差公式进行因式分解的多项式形如能用平方差公式进行因式分解的多项式形如a a2 2-b-b2 2，因，因此本题答案不唯一，如此本题答案不唯一，如x x2 2-1.-1.答案：答案：x x2 2-1(-1(答案不唯一答案不唯一) )6.(20126.(2012孝感中考孝感中考) )因式分解：因式分解：a a3 3b-ab=_.b-ab=_.【解析解析】a a3 3b-ab=ab(ab-ab=ab(a2 2-1)=ab(a+1)(a-1).-1)=ab(a+1)(a-1).答案：答案：ab(a+1)(a-1)ab(a+1)(a-1)7.(20127.(2012北京中考北京中考) )因式分解：因式分解：mnmn2 2+6mn+9m=_.+6mn+9m=_.【解析解析】原式原式=m(n=m(n2 2+6n+9)=m(n+3)+6n+9)=m(n+3)2 2. .答案：答案：m(n+3)m(n+3)2 28.8.刘师傅在制造某汽车配件时，需要一段钢管，已知外圆半径刘师傅在制造某汽车配件时，需要一段钢管，已知外圆半径R=9.2 cm,R=9.2 cm,内圆半径内圆半径r=8.3 cm,r=8.3 cm,请你帮他计算一下环形面积请你帮他计算一下环形面积.(.(取取3.14,3.14,保留三个有效数字保留三个有效数字) )【解析解析】根据题意，环形面积是根据题意，环形面积是(R(R2 2-r-r2 2)cm)cm2 2. .当当R=9.2 cm,r=8.3 cmR=9.2 cm,r=8.3 cm时，时，RR2 2-r-r2 2=(R=(R2 2-r-r2 2)=(R+r)(R-r)=(R+r)(R-r)=3.14=3.14(9.2+8.3)(9.2-8.3)(9.2+8.3)(9.2-8.3)=3.14=3.1417.517.50.90.9=49.45549.5(cm=49.45549.5(cm2 2).).答：所求环形面积约为答：所求环形面积约为49.5 cm49.5 cm2 2. .9.9.化简：化简：(a-b)(a+b)(a-b)(a+b)2 2-(a+b)(a-b)-(a+b)(a-b)2 2+2b(a+2b(a2 2+b+b2 2).).【解析解析】(a-b)(a+b)(a-b)(a+b)2 2-(a+b)(a-b)-(a+b)(a-b)2 2+2b(a+2b(a2 2+b+b2 2) )=(a-b)(a+b)(a+b-a+b)+2b(a=(a-b)(a+b)(a+b-a+b)+2b(a2 2+b+b2 2) )=2b(a=2b(a2 2-b-b2 2)+2b(a)+2b(a2 2+b+b2 2) )=2b(a=2b(a2 2-b-b2 2+a+a2 2+b+b2 2) )=4a=4a2 2b.b.