三角形的内角和三角形的内角和(2)(2) 多边形的内角和多边形的内角和A AB BC C1.1.已知已知ABC,ABC,则则A+ABC+CA+ABC+C_. _. 2.2.请比较请比较AACC与与DBCDBC的大小的大小. .D D知识回顾：知识回顾：180180AAC= DBCC= DBC美国国防部大楼美国国防部大楼五角大楼五角大楼看一看看一看看一看看一看探索多边形的内角和探索多边形的内角和了解一下了解一下在平面内，由若干条不在同一条直线上在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做做多边形多边形. .顶点顶点内角内角边边 对角线对角线( (连接不相邻两个顶点的线段连接不相邻两个顶点的线段) )这这里里所所说说的的多多边边形形都都指指凸凸多多边边形形 我们现在研究的是如图我们现在研究的是如图1所示的多边所示的多边形，是凸多边形；形，是凸多边形； 如图如图2所示的多边形，所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范围中。是凹多边形，但不在现在研究的范围中。今后如果不说明，我们讲的多边形都是今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形。凸多边形。图图 2比一比图1 看一看看一看四边形四边形五边形五边形六边形六边形八边形八边形DABC连接连接BDBD，把四边形，把四边形ABCDABCD分成分成2 2个三角形，个三角形，将求四边形将求四边形ABCDABCD内角和的问题转化为求内角和的问题转化为求ABDABD与与DCBDCB的内角和。则四边形的内角的内角和。则四边形的内角和是和是_ _ 四边形的内角和是多少？四边形的内角和是多少？360 360 EABCD五边形的内角和是多少？五边形的内角和是多少？五边形的内角和是五边形的内角和是_0 0 540540FABCDE六边形的内角和是多少？六边形的内角和是多少？六边形的内角和是六边形的内角和是_0 0 720720DABCEABCDFABCDEn n边形的内角和是多少？边形的内角和是多少？如图：如图：四边形可以分成四边形可以分成_个三角形，个三角形， 五边形可以分成五边形可以分成_个三角形，个三角形， 六边形可以分成六边形可以分成_个三角形个三角形 n n边形可以分成边形可以分成 _个三角形个三角形 2 23 34 4(n-2)(n-2)DABCEABCDFABCDE多边形的多边形的边数边数 3 4 5 6 7 n分成三角分成三角形的个数形的个数 1 2 3多边形的多边形的内角和内角和180018002180034 45 5n-2n-21801804 41801805 5180180(n-(n-2)2)由此我们得出了：由此我们得出了： n n边形的内角和等于（边形的内角和等于（n-2) n-2) 1801800 0你还有其他的方法计算多边形的内角和吗？你还有其他的方法计算多边形的内角和吗？DABC四边形还可以这样分：四边形还可以这样分：那么四边形的内角和可以表示为：那么四边形的内角和可以表示为：4 41801800 03603600 0五边形还可以这样分：五边形还可以这样分：那么五边形的内角和可以表示为：那么五边形的内角和可以表示为：5 51801800 03603600 0EABCD六边形还可以这样分：六边形还可以这样分：那么六边形的内角和可以表示为：那么六边形的内角和可以表示为：6 61801800 03603600 0FABCDE多边形的多边形的边数边数 4 5 6 7 n分成三角分成三角形的个数形的个数 4 5多边形的多边形的内角和内角和41800-3600 51800-3600DABCEABCDFABCDE61800-360071800-3600n1800-36006 67 7n n 例题讲解：例题讲解： 1.1.已知四边形的四个内角的度数的比为已知四边形的四个内角的度数的比为1 1：2 2：3 3：4 4，求这个四边形最大的角的度数，求这个四边形最大的角的度数. .解：设最小角为解：设最小角为x,x,则其余三个角表示为则其余三个角表示为 2x2x，3x3x，4x4x，由题意得：，由题意得： x x2x2x3x3x4x =1804x =180（4 42 2） 解得解得 x=36x=36则最大的角则最大的角=4=43636=144=144一个多边形的内角和为一个多边形的内角和为10801080，这个多边形是几边形？这个多边形是几边形？解：设这个多边形为解：设这个多边形为n n边形，由题意可得：边形，由题意可得： 180180（n-2n-2）10801080 解得解得 ： n n8 8答：这个多边形为答：这个多边形为8 8边形边形. . 练一练练一练练一练练一练 练一练练一练练一练练一练如图：四边形如图：四边形ABCDABCD中，中，AA与与CC互补，那么它的另一组对角互补，那么它的另一组对角BB与与DD有什么关系？有什么关系？DCBA解：解：BB与与DD互补。互补。四边形四边形ABCDABCD中，中， AABB CCDD3603600 0AA与与CC互补，即互补，即AAC C 1801800 0，所以，所以BBDD3603600 0（AACC）1801800 0，即，即BB与与DD互补。互补。想一想想一想观察下图中的多边形，它们的边角有观察下图中的多边形，它们的边角有什么特点？什么特点？在平面内，内角都相等、边也都相等的多边在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做形叫做正多边形。正多边形。由一点可以引发多少条对角线由一点可以引发多少条对角线?把多边形分成把多边形分成多少个三角形多少个三角形?你能发现你能发现n边形共有多少条对角线吗？边形共有多少条对角线吗？练一练练一练1 1、如图、如图：(1)(1)作多边形所有过顶点作多边形所有过顶点A A的对角线，的对角线，并分别用字母表达出来。并分别用字母表达出来。(2)(2)求这个多边形的内角和。求这个多边形的内角和。ABCDEF解：解：(1)(1)过顶点过顶点A A的对角线的对角线共有共有 三三 条，分别是条，分别是ACAC、ADAD和和AE . AE . (2)(2)这个多边形的内角和是：这个多边形的内角和是： 1801800 0 (6-2)(6-2) = 720= 7200 0练一练练一练2 2、如果一个多边形的内角和是、如果一个多边形的内角和是14401440度，那么这是度，那么这是 边形。边形。 解：由多边形的内角和公式可得解：由多边形的内角和公式可得（n - 2n - 2） 180 1800 0 = 1440 = 14400 0 (n - 2) = 8(n - 2) = 8 n = 10n = 10这是十边形。这是十边形。十十练一练练一练3 3、若正、若正n n边形的一个内角是边形的一个内角是144144度，度，那么那么n=n= . .解：由多边形的内角和公式可得：解：由多边形的内角和公式可得： 180 180 (n - 2) = 144n= 144n180n 180n 360 = 144n 360 = 144n180n -144n=360180n -144n=36036n = 36036n = 360n = 10n = 101010练一练练一练4、在四边形、在四边形ABCD中，中，A=120度，度，B：C：D =3：4：5，求求B，C，D的度数。的度数。1.1.有两个多边形，它们的边数之比有两个多边形，它们的边数之比1 1：2 2，内角和的度数之比为内角和的度数之比为1 1：4 4，求这两个多，求这两个多边形的边数各是多少？边形的边数各是多少？2.2.多边形除去一个内角外，其余内角的和多边形除去一个内角外，其余内角的和是是113011300 0，则这个多边形内角是多少度？，则这个多边形内角是多少度？这个多边形的边数是多少？这个多边形的边数是多少？ 练一练练一练练一练练一练如图：如图：ABCABC纸片沿纸片沿DEDE折叠，折叠，使点使点A A落在四边形落在四边形BCDEBCDE的内的内部部.A.A与与1122之间存在怎之间存在怎样的数量关系？请试着找出样的数量关系？请试着找出来，并说明理由来，并说明理由. .21B BC CD DE EA A解解: : 2A2A 1122在在ABCABC中，中，AABCC1801800 0在在ADEADE中，中，AAADEAEDAED1801800 0 由由，得，得BCCADEAED AED 又在四边形又在四边形BCDEBCDE中中 BCC12 2 ADEADEAEDAED3603600 0，所以所以 12 2 2 2（1801800 0A）3603600，即即 22A 12课堂小结课堂小结谈谈你这节课的收获：谈谈你这节课的收获：（1 1）这节课我们主要学习了多边形的）这节课我们主要学习了多边形的 内角和公式。内角和公式。 （2 2）从多边形的一个顶点出发可以引）从多边形的一个顶点出发可以引 （n-3n-3）条对角线，把多边形分成）条对角线，把多边形分成 （n-2n-2）个三角形。）个三角形。