等比数列及其前n项和主题单元设计淄博七中 杨德怀主题学习概述主题学习概述 等比数列是在学习完等差数列之后作为另一种特殊的数列而学习等比数列是在学习完等差数列之后作为另一种特殊的数列而学习等比数列是在学习完等差数列之后作为另一种特殊的数列而学习等比数列是在学习完等差数列之后作为另一种特殊的数列而学习 ，而等比数列和等差数列具有相似性，可以让学生从已有的学习经，而等比数列和等差数列具有相似性，可以让学生从已有的学习经，而等比数列和等差数列具有相似性，可以让学生从已有的学习经，而等比数列和等差数列具有相似性，可以让学生从已有的学习经验出发，将研究等差数列的方法类比到等比数列，促进学生在数学验出发，将研究等差数列的方法类比到等比数列，促进学生在数学验出发，将研究等差数列的方法类比到等比数列，促进学生在数学验出发，将研究等差数列的方法类比到等比数列，促进学生在数学学习活动中获得更扎实的基本技能和基本思想。学习活动中获得更扎实的基本技能和基本思想。学习活动中获得更扎实的基本技能和基本思想。学习活动中获得更扎实的基本技能和基本思想。 等比数列的前等比数列的前n n项和是在学习了等差数列、等比数列的概念及通项项和是在学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式和等差数列的前公式和等差数列的前n n项和公式的基础上进行的项和公式的基础上进行的, ,是进一步学习数列是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具, ,它不仅在现实生活它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用中有着广泛的实际应用, ,如储蓄、分期付款的有关计算等等如储蓄、分期付款的有关计算等等, ,而且在而且在公式推导过程中所渗透的类比、错位相减法、分类讨论、整体变换公式推导过程中所渗透的类比、错位相减法、分类讨论、整体变换和方程等思想方法和方程等思想方法, ,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 本单元主要包括两个专题：专题一本单元主要包括两个专题：专题一 等比数列等比数列 ；专题二；专题二 等比数等比数列前列前n项和项和1 1 1 1、知识与技能：知识与技能：知识与技能：知识与技能： 理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，了解等比数列理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，了解等比数列理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，了解等比数列理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，了解等比数列的通项公式与指数函数的关系；让学生理解等比数列的前的通项公式与指数函数的关系；让学生理解等比数列的前的通项公式与指数函数的关系；让学生理解等比数列的前的通项公式与指数函数的关系；让学生理解等比数列的前n n n n项和公式的项和公式的项和公式的项和公式的推导过程及方法，掌握公式及其简单应用。推导过程及方法，掌握公式及其简单应用。推导过程及方法，掌握公式及其简单应用。推导过程及方法，掌握公式及其简单应用。2 2 2 2、过程与方法：过程与方法：过程与方法：过程与方法：培养学生运用归纳类比的方法发现问题，分析问题，培养学生运用归纳类比的方法发现问题，分析问题，培养学生运用归纳类比的方法发现问题，分析问题，培养学生运用归纳类比的方法发现问题，分析问题，概括问题的能力；通过模仿探索的过程，提高学生运用函数观点，方程概括问题的能力；通过模仿探索的过程，提高学生运用函数观点，方程概括问题的能力；通过模仿探索的过程，提高学生运用函数观点，方程概括问题的能力；通过模仿探索的过程，提高学生运用函数观点，方程思想解决问题的数学能力；通过对等比数列前思想解决问题的数学能力；通过对等比数列前思想解决问题的数学能力；通过对等比数列前思想解决问题的数学能力；通过对等比数列前n n n n项和的探究，培养学生项和的探究，培养学生项和的探究，培养学生项和的探究，培养学生思维的敏捷性，在推导思维的敏捷性，在推导思维的敏捷性，在推导思维的敏捷性，在推导等比数列前等比数列前等比数列前等比数列前n n项和公式的过程中，体会分类讨论思想的项和公式的过程中，体会分类讨论思想的项和公式的过程中，体会分类讨论思想的项和公式的过程中，体会分类讨论思想的应用，会将错位相减法迁移解决差比数列的前应用，会将错位相减法迁移解决差比数列的前应用，会将错位相减法迁移解决差比数列的前应用，会将错位相减法迁移解决差比数列的前n n项和。项和。项和。项和。3 3 3 3、情感态度与价值观：情感态度与价值观：情感态度与价值观：情感态度与价值观：通通通通过过主主主主动动研究、合作交流，感受探索的研究、合作交流，感受探索的研究、合作交流，感受探索的研究、合作交流，感受探索的乐乐趣和成功的喜悦，感受数学的整体性与趣和成功的喜悦，感受数学的整体性与趣和成功的喜悦，感受数学的整体性与趣和成功的喜悦，感受数学的整体性与严谨严谨，发发展学生基本数学活展学生基本数学活展学生基本数学活展学生基本数学活动经动经验验，帮助学生，帮助学生，帮助学生，帮助学生树树立正确的学科立正确的学科立正确的学科立正确的学科观观，激，激，激，激发发学生学学生学学生学学生学习习数学的数学的数学的数学的兴兴趣。趣。趣。趣。 主题学习目标及对应课标主题学习目标及对应课标 学习目标学习目标主题学习目标及对应课标主题学习目标及对应课标 对应课标对应课标1 1、通过实例，理解等比数列的概念；、通过实例，理解等比数列的概念；、通过实例，理解等比数列的概念；、通过实例，理解等比数列的概念；2 2、探索并掌握等比数列的通项公式与前、探索并掌握等比数列的通项公式与前、探索并掌握等比数列的通项公式与前、探索并掌握等比数列的通项公式与前n n项和的公项和的公项和的公项和的公式；式；式；式；3 3、能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系、能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系、能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系、能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4 4、体会等比数列与指数函数的关系、体会等比数列与指数函数的关系、体会等比数列与指数函数的关系、体会等比数列与指数函数的关系 主题单元问题设计主题单元问题设计1 1、观察课本、观察课本、观察课本、观察课本4848页的页的页的页的4 4个例子，你能发现它们存在什个例子，你能发现它们存在什个例子，你能发现它们存在什个例子，你能发现它们存在什么共同的特征吗？能用语言来描述它吗？么共同的特征吗？能用语言来描述它吗？么共同的特征吗？能用语言来描述它吗？么共同的特征吗？能用语言来描述它吗？2 2、等比数列的公比可以是任意实数吗？、等比数列的公比可以是任意实数吗？、等比数列的公比可以是任意实数吗？、等比数列的公比可以是任意实数吗？3 3、根据定义，你能不能类比等差数列的通项公式、根据定义，你能不能类比等差数列的通项公式、根据定义，你能不能类比等差数列的通项公式、根据定义，你能不能类比等差数列的通项公式的研究过程，来推导出等比数列的通项公式呢？的研究过程，来推导出等比数列的通项公式呢？的研究过程，来推导出等比数列的通项公式呢？的研究过程，来推导出等比数列的通项公式呢？4 4、你能指出等比数列的通项公式与指数函数的联、你能指出等比数列的通项公式与指数函数的联、你能指出等比数列的通项公式与指数函数的联、你能指出等比数列的通项公式与指数函数的联系吗？系吗？系吗？系吗？5 5、通项公式有什么用处呢？你是如何来认识的？、通项公式有什么用处呢？你是如何来认识的？、通项公式有什么用处呢？你是如何来认识的？、通项公式有什么用处呢？你是如何来认识的？6 6、类比等差数列前、类比等差数列前、类比等差数列前、类比等差数列前n n项和的推导过程，你能推导等项和的推导过程，你能推导等项和的推导过程，你能推导等项和的推导过程，你能推导等比数列的前比数列的前比数列的前比数列的前n n项和吗？项和吗？项和吗？项和吗？专题划分及专题概述专题划分及专题概述专题一专题一 、等比数列、等比数列专题二、等比数列前专题二、等比数列前n项和项和专题一、等比数列专题一、等比数列专题一一等等比数列数列所需所需课时2 2课时专题一概述一概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果) 等比数列是高中课程标准实验教科书数学（必修等比数列是高中课程标准实验教科书数学（必修5）第二章第四节的内容。）第二章第四节的内容。 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的应用，如储蓄、分期付数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的应用，如储蓄、分期付款的有关计算会用到等比数列前项和的一些知识，而且起着承前启后的作用款的有关计算会用到等比数列前项和的一些知识，而且起着承前启后的作用数列作为一种特殊的函数与前面学到的函数思想密不可分。在数列的学习中，数列作为一种特殊的函数与前面学到的函数思想密不可分。在数列的学习中，等差数列和等比数列是两种最重要的数列模型，并且等差数列与等比数列在内等差数列和等比数列是两种最重要的数列模型，并且等差数列与等比数列在内容上是完全平行的容上是完全平行的,包括定义、性质、通项公式、前包括定义、性质、通项公式、前n项和的公式、两个数的项和的公式、两个数的等差（比）中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时可用对比方等差（比）中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时可用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别。法，以便于弄清它们之间的联系与区别。专题一、等比数列专题一、等比数列本本专题学学习目目标 （描述该学习所要达到的主要目标）1 1、知识与技能：知识与技能：知识与技能：知识与技能： 理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，了解等比数理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，了解等比数理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，了解等比数理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，了解等比数列的通项公式与指数函数的关系列的通项公式与指数函数的关系列的通项公式与指数函数的关系列的通项公式与指数函数的关系. .2 2、过程与方法：过程与方法：过程与方法：过程与方法：培养学生运用归纳类比的方法发现问题，分析问题，概括问题的能力；培养学生运用归纳类比的方法发现问题，分析问题，概括问题的能力；培养学生运用归纳类比的方法发现问题，分析问题，概括问题的能力；培养学生运用归纳类比的方法发现问题，分析问题，概括问题的能力；通过模仿探索的过程，提高学生运用函数观点，方程思想解决问题的数学能力。通过模仿探索的过程，提高学生运用函数观点，方程思想解决问题的数学能力。通过模仿探索的过程，提高学生运用函数观点，方程思想解决问题的数学能力。通过模仿探索的过程，提高学生运用函数观点，方程思想解决问题的数学能力。3 3、情感态度与价值观：情感态度与价值观：情感态度与价值观：情感态度与价值观：通过主动研究、合作交流，感受探索的乐趣和成功的喜悦，感通过主动研究、合作交流，感受探索的乐趣和成功的喜悦，感通过主动研究、合作交流，感受探索的乐趣和成功的喜悦，感通过主动研究、合作交流，感受探索的乐趣和成功的喜悦，感受数学的整体性与严谨，发展学生基本数学活动经验，帮助学生树立正确的学科观，激受数学的整体性与严谨，发展学生基本数学活动经验，帮助学生树立正确的学科观，激受数学的整体性与严谨，发展学生基本数学活动经验，帮助学生树立正确的学科观，激受数学的整体性与严谨，发展学生基本数学活动经验，帮助学生树立正确的学科观，激发学生学习数学的兴趣。发学生学习数学的兴趣。发学生学习数学的兴趣。发学生学习数学的兴趣。 本本专题问题设计1 1、观察课本、观察课本、观察课本、观察课本4848页的页的页的页的4 4个例子，你能发现它们存在什么共同的特征个例子，你能发现它们存在什么共同的特征个例子，你能发现它们存在什么共同的特征个例子，你能发现它们存在什么共同的特征吗？能用语言来描述它吗？吗？能用语言来描述它吗？吗？能用语言来描述它吗？吗？能用语言来描述它吗？2 2、等比数列的公比可以是任意实数吗？、等比数列的公比可以是任意实数吗？、等比数列的公比可以是任意实数吗？、等比数列的公比可以是任意实数吗？3 3、根据定义，你能不能类比等差数列的通项公式的研究过程，来、根据定义，你能不能类比等差数列的通项公式的研究过程，来、根据定义，你能不能类比等差数列的通项公式的研究过程，来、根据定义，你能不能类比等差数列的通项公式的研究过程，来推导出等比数列的通项公式呢？推导出等比数列的通项公式呢？推导出等比数列的通项公式呢？推导出等比数列的通项公式呢？4 4、你能指出等比数列的通项公式与指数函数的联系吗？、你能指出等比数列的通项公式与指数函数的联系吗？、你能指出等比数列的通项公式与指数函数的联系吗？、你能指出等比数列的通项公式与指数函数的联系吗？5 5、通项公式有什么用处呢？你是如何来认识的？、通项公式有什么用处呢？你是如何来认识的？、通项公式有什么用处呢？你是如何来认识的？、通项公式有什么用处呢？你是如何来认识的？学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）一、导入新课一、导入新课情境一：做折纸游戏情境一：做折纸游戏 首先教师提出问题：一张普通的首先教师提出问题：一张普通的A4纸，有人说至多只能折九次，你纸，有人说至多只能折九次，你信吗？学生准备一张纸，动手实践，结果发现折不到九次就折不动了。这信吗？学生准备一张纸，动手实践，结果发现折不到九次就折不动了。这时，教师鼓励学生说明原因。时，教师鼓励学生说明原因。 学生讨论，教师作补充，共同分析厚度的变化，得出一个数列。教学生讨论，教师作补充，共同分析厚度的变化，得出一个数列。教师提问：如果你能够对折师提问：如果你能够对折50次，猜它的高度将是多少？学生纷纷猜测。最次，猜它的高度将是多少？学生纷纷猜测。最后揭示答案：可以在地球和月球之间建一座桥！师生结合刚才的数列得出后揭示答案：可以在地球和月球之间建一座桥！师生结合刚才的数列得出高度为，并且发现数列的规律为：后项是前项的高度为，并且发现数列的规律为：后项是前项的2倍。倍。【 设计意图设计意图】以小游戏开头，且此结果出乎预料，提高学生学习兴趣。以小游戏开头，且此结果出乎预料，提高学生学习兴趣。 情境二：阅读书本上给出的四个实际情景下的数列。情境二：阅读书本上给出的四个实际情景下的数列。 教师引入：很有规律的数列！生活中，还有这样的数列吗？教师引入：很有规律的数列！生活中，还有这样的数列吗？ 布置学生阅读课本，提炼模型。布置学生阅读课本，提炼模型。【设计意图设计意图】培养学生重视教材的习惯，提高学生的阅读能力，体会数学培养学生重视教材的习惯，提高学生的阅读能力，体会数学源于生活的实际。体现由特殊到一般的数学思维模式。源于生活的实际。体现由特殊到一般的数学思维模式。预计用时：预计用时：5分钟分钟专题一、等比数列专题一、等比数列学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）二、推进新课二、推进新课（一）归纳上述几个数列共同的特点，类比等差数列给出等比数列的定义。（一）归纳上述几个数列共同的特点，类比等差数列给出等比数列的定义。问题一：问题一：观察上述数列，你能发现它们存在什么共同的特征吗？能用语言来描述它吗？观察上述数列，你能发现它们存在什么共同的特征吗？能用语言来描述它吗？ 学生相互讨论，必要时教师启发学生类比等差数列概括出等比数列的定义和公比学生相互讨论，必要时教师启发学生类比等差数列概括出等比数列的定义和公比的定义。教师板书定义，共同讨论并修正学生给出定义中的不足。的定义。教师板书定义，共同讨论并修正学生给出定义中的不足。【设计意图设计意图】由几个具体数列提炼出定义，培养学生归纳总结的能力，类比等差数列下由几个具体数列提炼出定义，培养学生归纳总结的能力，类比等差数列下定义，增强学生的类比能力，体会数学知识之间的联系。让学生发表自己的见解，强化定义，增强学生的类比能力，体会数学知识之间的联系。让学生发表自己的见解，强化学生的主体地位，培养学生的语言表达能力。学生的主体地位，培养学生的语言表达能力。 课件展示：下列数列是否为等比数列，如果不是，请说明原因：课件展示：下列数列是否为等比数列，如果不是，请说明原因：（1）2，4，8，24，72，（，（2）2，0，2，0，（，（3）3，3，3，3， 学生互相讨论，教师提问学生回答（学生互相讨论，教师提问学生回答（1）（）（2），结合学生回答，在定义的相应部位），结合学生回答，在定义的相应部位用彩笔标注需要注意的地方：（用彩笔标注需要注意的地方：（1）比为同一个常数；（）比为同一个常数；（2）项不为零；公比不为零。）项不为零；公比不为零。 提问学生回答（提问学生回答（3），引导学生发现（），引导学生发现（3）这个常数数列，既是等比数列，也是等差）这个常数数列，既是等比数列，也是等差数列。数列。教师追问：任意一个常数数列既是等比数列，也是等差数列吗？教师追问：任意一个常数数列既是等比数列，也是等差数列吗？【设计意图设计意图】结合练习找到定义中的需注意的点，讲练结合，使学生更好的掌握知识。结合练习找到定义中的需注意的点，讲练结合，使学生更好的掌握知识。预计用时：预计用时：5分钟分钟专题一、等比数列专题一、等比数列学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）（二）类比等差数列通项公式的推导过程，推导等比数列的通项公式。（二）类比等差数列通项公式的推导过程，推导等比数列的通项公式。 问题二：根据定义，如果我们知道首项和公比，可以写出第二项、第三项问题二：根据定义，如果我们知道首项和公比，可以写出第二项、第三项，如果我们想得到第如果我们想得到第100项，虽然能得到，但是会费很大的功夫。这样就促使我们来项，虽然能得到，但是会费很大的功夫。这样就促使我们来研究等比数列的通项公式。那同学们能不能类比等差数列的通项公式的研究过程，研究等比数列的通项公式。那同学们能不能类比等差数列的通项公式的研究过程，来推导出等比数列的通项公式呢？来推导出等比数列的通项公式呢？ 预计：学生可能想到的方法有三种：不完全归纳法，累乘法，迭代法。提问学生，预计：学生可能想到的方法有三种：不完全归纳法，累乘法，迭代法。提问学生，展现学生风采。教师板书通项公式。展现学生风采。教师板书通项公式。师生共同利用通项公式研究开头折纸问题。师生共同利用通项公式研究开头折纸问题。板书：通项公式板书：通项公式 【设计意图设计意图】培养学生自己解决问题的能力，变培养学生自己解决问题的能力，变“要我学要我学”为为“我要学我要学”。研究。研究折纸问题，呼应开头，并实现对通项公式的简单应用，加深印象。折纸问题，呼应开头，并实现对通项公式的简单应用，加深印象。 课件展示：例课件展示：例1、一个等比数列的第、一个等比数列的第5项是项是32，公比是，公比是2，求它的首项；，求它的首项； 例例2、一个等比数列的第、一个等比数列的第3项和第项和第4项分别是项分别是12和和18，求它的第一项和第二项。，求它的第一项和第二项。预计：学生可能想到的例预计：学生可能想到的例2的解法，一是利用方程的思想，二是利用等比数列的定的解法，一是利用方程的思想，二是利用等比数列的定义，三是等比中项的思想来做题，但现在还不知道等比中项的概念）义，三是等比中项的思想来做题，但现在还不知道等比中项的概念）【设计意图设计意图】让学生熟悉等比数列的通项公式，并能灵活应用之。结合例让学生熟悉等比数列的通项公式，并能灵活应用之。结合例2，锻炼，锻炼学生思维的灵活性，并为引入等比中项的概念做铺垫，使知识点过渡自然。学生思维的灵活性，并为引入等比中项的概念做铺垫，使知识点过渡自然。预计用时：预计用时：12分钟分钟专题一、等比数列专题一、等比数列学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）（三）比照等差中项的定义，请学生自己总结出等比中项的概念。（三）比照等差中项的定义，请学生自己总结出等比中项的概念。 问题三：通过刚才的例问题三：通过刚才的例2，我们发现等比数列的第，我们发现等比数列的第2项、第项、第3项、第项、第4项也是成等比项也是成等比的，那第的，那第5项、第项、第6项、第项、第7项呢？第项呢？第n项、第项、第n+1项、第项、第n+2项呢？项呢？ 学生简单考虑，就能回答出来。教师引导学生给出证明。学生简单考虑，就能回答出来。教师引导学生给出证明。 教师追问：这和以前我们学到的哪部分知识点有些相似呢？（生回答：教师追问：这和以前我们学到的哪部分知识点有些相似呢？（生回答： 等差中项）等差中项）你能类等差中项的概念，自己给出等比中项的概念吗？你能类等差中项的概念，自己给出等比中项的概念吗？ 学生作答，教师补充并板书定义。学生作答，教师补充并板书定义。【设计意图设计意图】类比旧知识，探究新定义，提高学生的学习能力。类比旧知识，探究新定义，提高学生的学习能力。课件展示：课件展示：练习：练习：1、判断：任意两个数都有等比中项。、判断：任意两个数都有等比中项。追问：任意两个非零的数都有等比中项吗？追问：任意两个非零的数都有等比中项吗？学生讨论作答，教师引导学生发现有等比中项的两个数符号必须一致。学生讨论作答，教师引导学生发现有等比中项的两个数符号必须一致。2、填数，使下列几个数构成等比数列：、填数，使下列几个数构成等比数列：（1）1.（ ），），16 （2）1，2，（，（ ），），8，16学生讨论作答，教师引导学生发现，等比数列中奇数项的符号一致，偶数项的符号学生讨论作答，教师引导学生发现，等比数列中奇数项的符号一致，偶数项的符号一致。一致。【设计意图设计意图】通过练习，使学生发现定义中需注意的地方，加深对概念的理解。通过练习，使学生发现定义中需注意的地方，加深对概念的理解。预计用时：预计用时：5分钟分钟专题一、等比数列专题一、等比数列学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）（四）学以致用，例题分析（四）学以致用，例题分析 例例3、一个等比数列的第、一个等比数列的第2项是项是10，第，第3项是项是20，求它的首项和第，求它的首项和第4项。项。例例4：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的是原来的84%，这种物质的半衰期为多长（精确到，这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？年）？【设计意图设计意图】例例3加强学生对概念的理解，能够灵活运用公式；例加强学生对概念的理解，能够灵活运用公式；例4增强学增强学生联系实际的能力，培养数学建模意识。生联系实际的能力，培养数学建模意识。预计用时：预计用时：6分钟分钟（五）探索等比数列通项公式的图像特征（五）探索等比数列通项公式的图像特征 问题四：问题四：数学数学1中也有中也有“半衰期半衰期”的问题，还有的问题，还有“细胞分裂细胞分裂”、“复复利计算利计算”的练习，当时是用什么方法解决的？它和数列之间有什么样的联的练习，当时是用什么方法解决的？它和数列之间有什么样的联系？系？ 带着问题布置学生做书上的带着问题布置学生做书上的“探究探究” （2），（），（3）。）。启发学生将等比数列和指数函数的联系起来，让学生描点作图画出上述两启发学生将等比数列和指数函数的联系起来，让学生描点作图画出上述两组图像，然后交流、讨论、归纳出来两者的关系。组图像，然后交流、讨论、归纳出来两者的关系。 复习等差数列通项公式复习等差数列通项公式的图像特征，作对比加深印象。的图像特征，作对比加深印象。【设计意图设计意图】通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，揭示数学知识通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，揭示数学知识是相互关联的。启发学生从不同角度去看问题。是相互关联的。启发学生从不同角度去看问题。预计用时：预计用时：5分钟分钟专题一、等比数列专题一、等比数列学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）三、课后探究（数学兴趣小组课下活动）三、课后探究（数学兴趣小组课下活动）课件显示：探究一：课件显示：探究一：1、利用推导等差数列和等、利用推导等差数列和等比数列的通项公式的方法，由下列数列的递推比数列的通项公式的方法，由下列数列的递推公式求出通项公式：公式求出通项公式：（1）（2）探究二：做课后练习探究二：做课后练习1，3，4，结合练习，类比，结合练习，类比等差数列的性质，自主研究等比数列的性质。等差数列的性质，自主研究等比数列的性质。【设计意图设计意图】课后探究给学有余力的学生创造课后探究给学有余力的学生创造更广阔的数学空间。更广阔的数学空间。预计用时：预计用时：1分分专题一、等比数列专题一、等比数列学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）四、小结。提问学生，由学生对本节课进行小四、小结。提问学生，由学生对本节课进行小结。结。【设计意图设计意图】培养学生总结概括的习惯，提高培养学生总结概括的习惯，提高对知识整合的能力。对知识整合的能力。预计用时：预计用时：1分钟分钟专题一、等比数列专题一、等比数列等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式等差（比）等差（比）中项中项图象特点图象特点教学教学评价价1、学生的课堂表现的评价、学生的课堂表现的评价（1）小组内讨论时各成员的参与度）小组内讨论时各成员的参与度（2）小组展示讨论成果的积极性和准确性）小组展示讨论成果的积极性和准确性（3）小组各成员对知识的掌握度（由后测题给出判断）小组各成员对知识的掌握度（由后测题给出判断）2、学生对等比数列定义的理解、学生对等比数列定义的理解通过提问，现场做出评价通过提问，现场做出评价3、学生对等比数列通项公式的理解与掌握、学生对等比数列通项公式的理解与掌握通过板示，了解学生的掌握情况，并对学生的做题情况给出适时通过板示，了解学生的掌握情况，并对学生的做题情况给出适时评价。评价。专题一、等比数列专题一、等比数列专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和专题二二等等比数列的数列的前前n项和项和所需所需课时2 2课时专题二概述二概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果) 等比数列的前等比数列的前n项和项和是高中数学人教版是高中数学人教版必修必修5第二章第二章数列数列第第5节的内容，节的内容，等比数列的前等比数列的前n项和项和是数列这一章中的一个重要内容是数列这一章中的一个重要内容,就知识就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都都是学生今后学习和工作中必备的数学素养就内容的人文价值来看，等比数列是学生今后学习和工作中必备的数学素养就内容的人文价值来看，等比数列的前的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明，这有助于培养学生项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体本本专题学学习目目标 （描述该学习所要达到的主要目标）1.1.知识与技能知识与技能知识与技能知识与技能 理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能简单的应用公式上能简单的应用公式上能简单的应用公式上能简单的应用公式. .2 2过程与方法过程与方法过程与方法过程与方法 在推导公式的过程中渗透类比，方程，特殊到一般的数学思想、方法，优化学生思在推导公式的过程中渗透类比，方程，特殊到一般的数学思想、方法，优化学生思在推导公式的过程中渗透类比，方程，特殊到一般的数学思想、方法，优化学生思在推导公式的过程中渗透类比，方程，特殊到一般的数学思想、方法，优化学生思维品质维品质维品质维品质3.3.情感态度与价值观情感态度与价值观情感态度与价值观情感态度与价值观 通过故事引入，学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出通过故事引入，学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出通过故事引入，学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出通过故事引入，学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出的数学方法的美及学好数学的必要性的数学方法的美及学好数学的必要性的数学方法的美及学好数学的必要性的数学方法的美及学好数学的必要性. . 本本专题问题设计1 1、类比等差数列前、类比等差数列前、类比等差数列前、类比等差数列前n n项和的推导过程，你能推导项和的推导过程，你能推导项和的推导过程，你能推导项和的推导过程，你能推导等比数列的前等比数列的前等比数列的前等比数列的前n n项和吗？项和吗？项和吗？项和吗？2、如何选择、如何选择等比数列的前等比数列的前等比数列的前等比数列的前n n项和公式进行求和？项和公式进行求和？项和公式进行求和？项和公式进行求和？专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和 （一）创设情景、引入新课（一）创设情景、引入新课印度国王要奖赏国际象棋的印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨，问他有什么要发明者西萨，问他有什么要求，发明者说：求，发明者说：“请在棋盘请在棋盘的第的第1 1个格子里放个格子里放1 1颗麦粒，颗麦粒，在第在第2 2个格子里放个格子里放2 2颗麦粒，颗麦粒，在第在第3 3个格子里放个格子里放4 4颗麦粒，颗麦粒，在第在第4 4个格子里放个格子里放8 8颗麦粒，颗麦粒，依次类推，依次类推，每个格子里放的每个格子里放的麦粒都是前一个格子里麦粒麦粒都是前一个格子里麦粒数的数的2 2倍倍，直到第，直到第6464个格子，个格子，请给我足够的粮食来实现上请给我足够的粮食来实现上述要求。述要求。” ” 你认为国王有你认为国王有能力满足发明者的上述要求能力满足发明者的上述要求吗？吗？学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和设计意图： 源于历史，富有人文气息.图中算数，激发学习兴趣.承上启下，探讨求和方法学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和（二）初步探索，体会方法探讨探讨1 1：有何特征？探讨2：如果把每一项都乘以2有何变化？ 让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和由刚才的分析可知：实际上就是一个以由刚才的分析可知：实际上就是一个以1 1为首项，为首项，2 2为公比的等比数列的前为公比的等比数列的前6464项的求和问题，即：项的求和问题，即： 把上式左右两边同乘以把上式左右两边同乘以2 2得得：由由- - 得：得：学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程） 专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和（三）类比联想（三）类比联想 推导公式推导公式提出问题一：提出问题一： 公比为q, 如 何求其前n项和？提出问题二提出问题二：有没有其他方法推导等比数列前n项和公式？ 提出问题三提出问题三： 能否得到 为什么？ 学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和一般地，设有等比数列一般地，设有等比数列：1121312111-+=nnnqaqaqaqaqaaSK学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和结合比例式的性质结合比例式的性质因为因为所以所以等比数列等比数列 前前n n项和为项和为 公比为公比为q q 学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和设计意图 ：自主探究，体验成就以疑导思 ，发展创新强化理解 ，突破难点学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和设计说明一言而蔽之，数学教学应努力做到：以简驭繁，平实近人，返朴归真，循循善诱，引人入胜。学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和（四）基础演练，（四）基础演练， 提高认识提高认识 牛刀小试： 学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和(五五) 变式训练变式训练 、深化认识、深化认识 变式练习：变式练习：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成通过以上的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识竞争意识 学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和设计意图:选用公式选用公式变用公式变用公式理解内化理解内化学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和（六）循序渐进、延伸拓展（六）循序渐进、延伸拓展该题有助于培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想训练学生注意考察q是否为1的情况，突破易错点。学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和设计意图：含参问题 分类讨论逐层深化 发展思维突破难点 提高素养学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程） 专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和(七七)、归纳总结、内化知、归纳总结、内化知识识 等比数列前等比数列前n项和求和公式。项和求和公式。推导数列求和公式的错位相减法推导数列求和公式的错位相减法对含字母的等比数列要注意考察对含字母的等比数列要注意考察q是是 否为否为1。 方程思想的应用（知三可求二）方程思想的应用（知三可求二） 学学习活活动设计（针对该专题所所选择的活的活动形式形式及及过程）程）专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和（八）、作业布置（八）、作业布置 ：必做： P50练习A 1、2选做： 必做题，有助学生课后巩固提高，选作题是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间 专题二、等比数列的前专题二、等比数列的前n项和项和评价指标（权重）优【10，8】良良（8，6需要改需要改进(6,0生生评师评（活动态度）（10 10 分）分）态度积极，能主动参与实际问题的探究。活动认真、全神贯注主动总结归纳。态度积极，能参与80%问题的探究活动。活动认真，但不完全归纳态度一般，参与活动不积极，仅探讨表面问题，仅参与60%以下问题的探究。（合作交流）（10 10 分）分）能主动发表自己的看法，且主动评判别人的观点，且见解正确。小组讨论发言4次以上。能发表自己的看法，或评判别人的观点有自己的见解。部分观点不太准确。小组讨论发言2至4次。自己的看法较少，与小组交流较少。小组讨论发言2次以下，且观点有误。（成果展示）（ 10 10 分）分）能探究出等比数列前n项和的公式，并能灵活应用公式。能探究出等比数列前n项和的公式，不能很灵活应用公式。公式记忆不牢，只能简单的应用公式。总分和分和评语