第2课时 对数函数及其性质的应用 火箭的最大速度火箭的最大速度v v和燃料质量和燃料质量M M、火箭质量火箭质量m m的函数关系是：的函数关系是：对数函数模型（一）对数函数模型（一）生物学家研究发现生物学家研究发现: :洄游鱼类的游速洄游鱼类的游速v v和鱼的耗氧和鱼的耗氧量量Q之间的函数关系之间的函数关系: :对数函数模型（二）对数函数模型（二）溶液的酸碱度是通过溶液的酸碱度是通过pHpH值来刻画的值来刻画的,pH,pH值的计值的计算公式为算公式为: :对数函数模型（三）对数函数模型（三）1.1.进一步理解对数函数的图象与性质进一步理解对数函数的图象与性质. .( (重点）重点）2.2.综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题. .（重点）（重点） 3.3.了解指数函数了解指数函数y=ay=ax与对数函数与对数函数y=y=loglogax x互为反函数互为反函数（a0,a0,且且a a1).1).（难点）（难点）例例1. 1. 函数函数y=y=lgxlgx的图象向的图象向_平移平移_个单位得个单位得到函数到函数y=lg(10x)y=lg(10x)的图象的图象. .探究点探究点1 1 对数的运算是解决对数问题的常用方法对数的运算是解决对数问题的常用方法【解析解析】y=lg(10x)=lgx+1,y=lg(10x)=lgx+1, y= y=lgxlgx的图象向上平移的图象向上平移 一个单位可得到函数一个单位可得到函数 y=lg(10x)y=lg(10x)的图象的图象. .上上1 1图象的变换要图象的变换要看两个函数解看两个函数解析式之间的关析式之间的关系系1.1.已知函数已知函数f(xf(x)=|)=|lgxlgx|,|,若若abab，且，且f(af(a)=)=f(bf(b),),则则abab的值为的值为 . .【解析解析】由由f(af(a)=)=f(bf(b), ), 得得| |lgalga|=|=|lgblgb| |， abab, , lgblgb=-=-lgalga, , lga+lgblga+lgb=0,=0, abab=1.=1.1 1【变式训练变式训练】2.2.函数函数y yx xa a与与y ylogloga ax x的的图象可能是象可能是( )( )A.A.B.B.1 11 1O Ox xy y1 11 1O Ox x1 11 1O Oy yD.D.C.C.1 11 1O Ox xy yC Cx xy y探究点探究点2 2 对数函数的单调性为解决对数大小比较提供了对数函数的单调性为解决对数大小比较提供了 重要的依据重要的依据例例2 2 比较下列各组数中两个值的大小：比较下列各组数中两个值的大小： (1) log(1) log2 23.4,log3.4,log2 28.58.5 (2) log (2) log0.30.31.8,log1.8,log0.30.32.72.7 (3) log (3) loga a5.1,log5.1,loga a5.9 ( a5.9 ( a0,0,且且a1 )a1 )【解题关键解题关键】对数函数的单调性对数函数的单调性【解析解析】 考查对数函数考查对数函数y=logy=log2 2x,x,因为它的底数因为它的底数2 21,1,所以它在所以它在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,于是于是loglog2 23.43.4loglog2 28.58.5当当0 0a a1 1时时, ,因为函数因为函数y=y=logloga ax x在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数, , 当当a a1 1时时, ,因为函数因为函数y=y=logloga ax x在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, , 于是于是logloga a5.15.1logloga a5.95.9于是于是logloga a5.15.1logloga a5.95.9(3(3) )考查对数函数考查对数函数y=logy=log0.30.3x,x,因为它的底数因为它的底数 0 00.30.31, 1, 所以它在所以它在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数, ,于是于是 loglog0.30.31.81.8loglog0.30.32.72.7在对数的底数不确定与在对数的底数不确定与1的大小关系时要进行的大小关系时要进行分类讨论分类讨论1.1.两个同底数的两个同底数的对数比数比较大小的一般步大小的一般步骤【提升总结提升总结】构造对数函数构造对数函数根据底数确定函数单调性根据底数确定函数单调性根据真数及单调性确定对数值大小根据真数及单调性确定对数值大小如果底数不确定与如果底数不确定与1 1的大小关系时要注意的大小关系时要注意分类讨论分类讨论【变式练习变式练习】 1. 1.比较下列各组数中两个值的大小：比较下列各组数中两个值的大小：（1 1）loglog6 67 7与与loglog7 76 6 【解析解析】 （1)1)loglog6 67 7loglog6 66=1,6=1, 且且loglog7 76 6loglog7 77=1, 7=1, loglog6 67 7 loglog7 76.6.（2 2）loglog3 3与与loglog2 20.80.8(2)log(2)log3 3loglog3 31=01=0, ,且且loglog2 20.80.8loglog2 21=0, 1=0, loglog3 3loglog2 20.8.0.8.（3 3）loglog2 27 7与与loglog3 37 7（4 4）loglog0.20.20.80.8 与与loglog0.30.30.80.8注意注意0和和1的灵活的灵活应用应用(3)(3)(4)(4)换底公换底公式的灵式的灵活应用活应用则则m_nm_n; ;则则m_nm_n. . 2.2.比较下列各题中两个值的大小比较下列各题中两个值的大小: : 溶液酸碱度的溶液酸碱度的测量量. . 溶液酸碱度是通溶液酸碱度是通过pHpH刻画的刻画的. pH. pH的的计算公式算公式为pHpHlgHlgH ，其中，其中HH 表示溶液中表示溶液中氢离子的离子的浓度，度，单位是摩位是摩尔尔/ /升升. . (1) (1)根据根据对数函数性数函数性质及上述及上述pHpH的的计算公式，算公式，说明溶明溶液酸碱度与溶液中液酸碱度与溶液中氢离子的离子的浓度之度之间的的变化关系；化关系； (2)(2)已知已知纯净水中水中氢离子的离子的浓度度为HH 10107 7摩摩尔尔/ /升，升，计算算纯净水的水的pH.pH.探究点探究点3 3 对数函数的综合问题对数函数的综合问题lgHlgH+ + 增大，从而增大，从而- -lgHlgH+ + 减小，减小，解析解析（1 1）根据对数函数的性质，在）根据对数函数的性质，在(0,+)(0,+)上，随上，随着着HH+ + 的增大的增大, ,所以，溶液中氢离子的浓度越大，所以，溶液中氢离子的浓度越大，pHpH就越小，即溶就越小，即溶液的酸性越强。液的酸性越强。（2 2）当）当 H H+ + 10107 7时，时，pH=-lg10pH=-lg10-7-7=7,=7,所以，纯净所以，纯净水的水的pHpH是是7.7.于是由于是由pH=-pH=-lgHlgH+ + 知，知，pHpH随着随着HH+ + 的增大而减小，的增大而减小，函数函数x=logx=log2 2y,yy,y是自是自变量，量，x x是是y y的函数，定的函数，定义域域为(0, (0, ) )，值域域为R.R.函数函数y y2 2x x,x,x是自是自变量，量，y y是是x x的函数，定的函数，定义域域为R R，值域域为 (0, (0, ).).探究点探究点4 4：对数函数数函数y ya ax x与指数函数与指数函数x xlogloga ay y 之之间有什么关系呢？有什么关系呢？这时称函数称函数x=logx=log2 2y y是函数是函数y y2 2x x的反函数的反函数. .在函数在函数x=logx=log2 2y y中，中，y y是自变量，是自变量，x x是函数是函数. .但是习惯上，通常用但是习惯上，通常用x x表示自变量，表示自变量，y y表示函数表示函数. .为此为此, ,常常对调函数常常对调函数x=logx=log2 2y y中的字母中的字母x x与与y y把它写成函数把它写成函数y=logy=log2 2x.x.这样对数函数这样对数函数y=logy=log2 2x x与指数函数与指数函数y y2 2x x互互为反函数反函数. .推广推广定义域与定义域与值域对换值域对换对数函数对数函数y=y=logloga ax x与指数函数与指数函数y=ay=ax x互为反函数互为反函数. .【即时训练即时训练】A A1设alog3，blog2 ，clog3 ，则() Aabc BacbCbac DbcaA A2下列各式错误的是()A30.830.7Blog0.50.4log0.50.6C0.75-0.2lg 1.3C C3.3.若若a=loga=log0.20.20.3,b=log0.3,b=log2 26,c=log6,c=log0.20.24,4,则则a,b,ca,b,c的大的大 小关系为小关系为_._.【解析解析】因为因为f(xf(x)=log)=log0.20.2x x为减函数，为减函数， 且且0.20.20.30.31 14,4, 则则loglog0.20.20.20.2loglog0.20.20.30.3loglog0.20.21 1loglog0.20.24,4, 即即1 1a a0 0c.c.同理同理loglog2 26 6loglog2 22=12=1，可知结果，可知结果. .b ba ac c比较大小时，如果底数和真数都不相同，比较大小时，如果底数和真数都不相同，可以选择可以选择0或或1作为参照作为参照4.4.若函数若函数f(xf(x) )logloga ax x ( (a a00且且a a1)1)在区在区间 a a, 2, 2a a 上的最大上的最大值是最小是最小值的的3 3倍，求倍，求a a的的值. . 【解析解析】当当a1时，时，f(x)=logax在区间在区间a,2a上是增函数，上是增函数，综上所述，综上所述， 或或当当00a a11时，时，f(xf(x)=)=logloga ax x在区间在区间 a a,2,2a a 上是上是减减函数，函数，5.5.画出函数画出函数 的图象，并由图象写出它的单的图象，并由图象写出它的单调区间。调区间。解解: :先作出函数先作出函数的图象，然后把函数的图象，然后把函数的图象向左平移的图象向左平移1 1个单位就得到函数个单位就得到函数的图象的图象. .由图象可知函数由图象可知函数的递增区间为（的递增区间为（-1-1，+），），递减区间为（递减区间为（-，- -1 1）. .xy3221-2 -1O 1比较对数的大小的方法比较对数的大小的方法同底数利用单调性同底数利用单调性利用中间值利用中间值0 0或或1 1反函数反函数在学业的峰峦上，有汗水的溪流飞淌；在智慧的珍珠里，有勤奋的心血闪光。