第 17 讲 数列与数表 内容概述 通过观察数列或数表中的已知数据， 发现规律并进行填补与计算的问题， 注意数表形式的多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算. 典型问题 兴趣篇 11，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，100请观察上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项? (2)这个数列所有数的总和是多少? 答案：67；1783 解析：间隔是是等差数列。 2观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求： (1)第 20 组中三个数的和； (2)前 20 组中所有数的和 答案：120；1260 解析： （39，40，42） ，运用等差数列求和公式。 3一个数列的第一项是 l，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍请问： (1)第 100 项是多少? (2)前 100 项的和是多少? 答案：8；975 解析：按规律写：1,2,4,8,16,12,4,8,16,12四个数为一个周期 4. 如图 17-1，方格表中的数是按照一定规律填人的请观察方格表，并填出“?”处的数 答案：105 解析：四周数的差是一个等差数列。 5如图 17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问： (1)100 在第几行、第几列? (2)第 20 行第 3 列的数是多少? 答案： （1）第 25 行第 6 列； （2）79 解析：两行为一个周期。观察除以 8 的余数与在第几列之间的关系。 6如图 17-3，从 4 开始的自然数是按某种规律排列的，请问： (1)100 在第几行，第几列? (2)第 5 行第 20 列的数是多少? 答案： （1）第 1 第 25 列； （2）81 解析：两列为一个周期。 7. 如图 17-4 所示，把偶数 2、4、6、8，排成 5 列各列从左到右依次为第 1 列、第 2 列、第 3 列、第 4 列和第 5 列，请问： (1)100 在第几行，第几列? (2)第 20 行第 2 列的数是多少? 答案： （1）第 15 行第 2 列； （2）138 解析：八个数为一个周期，可以把每个数先除以 2 转化成简单数列。 8如图 17-5，从 1 开始的自然数按某种方式排列起来，请问： (1)100 在第几行?100 是这一行左起第几个数? (2)第 25 行左起第 5 个数是多少? 答案： （1）第 14 行左起第 9 个数； （2）321 解析：观察 1，6，15这样的数都是 1 加到行数之和。 3，10 也是 1 一直加到行数之和。 9. 如图 17-6，把从 1 开始的自然数排成数阵试问：能否在数阵中放人一个 33 的方框，使得它围住的九个数之和等于： (1)1997；(2)2016；(3)2349 如果可以，请写出方框中最大的数 答案：只有 2349 是可以的，最大为 269. 解析：和一定是 9 的倍数，而且中心数必须是第二列到第 6 列的数。 10. 如图 17-7，将 1 至 400 这 400 个自然数顺次填人 20 x20 的方格表中，请问： (1)246 在第几行，第几列? (2)第 14 行第 13 列的数是多少? (3)所有阴影方格中数的总和是多少? 答案： （1）13 行 16 列； （2）273； （8020） 解析：周期问题 拓展篇 11，100，2，98，3，96，2，94，1，92，2，90，3，88，2，86，l，84，0请观察上面数列的规律，请问： (1)这个数列中有多少项是 2？ (2)这个数列所有项的总和是多少? 答案： （1）26 项； （2）2652 解析：间隔数是等差数列。 2一列由两个数组成的数组： (1，1)， (1，2)， (2，2)， (1，3)， (2，3)，(3，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)，(1，5)，请问： (1)第 100 组内的两数之和是多少? (2)前 55 组中“5”这个数出现了多少次? 答案：23；11 次。 解析：数对前面的数规律为 1，1，2，1，2,3,1,2,3,4，后面的规律为：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4， 3有一列数，第一个数是 3，第二个数是 4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数从这列数中取出连续的 50 个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少?如果从中取出连续的 500 个数，500 个数的和最大又是多少? 答案：257；2510 解析：3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,1，3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,112 个个数为一个周期。50 个数是 4个周期加上 9,8 最大。500 个数求最大是 41 个周期加上 8 个最大的数，不加 1,2,3,4 即可。 4如图 17-8，把从 1 开始的自然数填在图上，1 在射线 OA 上，2 在射线 OB 上，3 在射线OC 上，4 在射线 OD 上，5 在射线 OE 上，6 在射线 OF 上，7 在射线 OG 上，8 在射线 OH上，9 又回到射线 OA 上，如此循环下去，问：78 在哪条射线上?射线 OE 上的第 30 个数是多少? 答案：射线 OF 上；237. 解析：八个数为一个周期，每条线上的数又组成一个等差数列。 5如图 17-9，将从 5 开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问： (1)123 应该排在第几列? (2)第 2 行第 20 列的数是多少? 答案：第 24 列；101. 解析：周期问题，等差数列。 6如图 17-10 所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问： (1)500 在第几行，第几列? (2)第 100 行第 2 列是多少? 答案：第 111 行，第 5 列；448. 解析：周期问题。 7如图 17-11 所示，数阵中的数字是按一定规律排列的这个数阵中第 60 行左起第 4 个数字是多少? 答案：9 解析：第 60 行左起第 4 个数字是第 476 个数字。 1-9 9 个 10-99 180 个 100-194 285 个 9+180+285=474 个 所以第 60 行左起第 4 个数字是 9 8中国古代的纪年方法叫“干支纪年” ，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸； 地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥 以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次 公元纪年则是国际通行的纪年方式 图 17-12 是 1911 年到 1926 年的公元纪年与干支纪年的对照表请问： (1)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元 1911 年，是干支纪年的辛亥年，请问公元2049 年是干支纪年的什么年? (2)21 世纪的甲子年是公元纪年的哪一年? (3)“戊戌变法”发生在 19 世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年? 答案：己巳年；2044 年；1889 年 解析： （1） 【10,12】=60 2049-1911=138 13860=218 己巳年 （2）1924+602=2044 (3)余数特征 9如图 17-13 所示，将 1 至 400 这 400 个自然数填入下面的小三角形中，每个小三角形内填有一个数. “l”所处的位置为第 1 行； “2，3，4”所处的位置为第 2 行；请问： (1)第 15 行正中间的数是多少? (2)第 12 行中所有空白三角形内的数之和是多少? (3)前 8 行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少? 答案：211；1463；176 解析：(1)规律为 N(N-1)带入 (2)123+125+127+143=1463 (3)1+(4-1)+(9-2)+(16-3) +(25-4)+(36-5)+(49-6)+(64-7)=176 10如图 17-14，把从 1 开始的自然数按某种方式排列起来请问： (1)150 在第几行，第几列? (2)第 5 行第 10 列的数是多少? 答案：第 6 行第 13 列；86 解析： （1）最右侧数是行数的平方 （2）第 9 行最左侧数是 81，所以 81+5=86 11如图 17-15，把从 l 开始的自然数按某种方式排列起来请问： (1)200 排在第几行，第几列? (2)第 18 行第 22 列的数是多少? 答案：第 10 行第 11 列；759。 解析： （1）1+2+3+19=190 200-190=10 行；21-10=11 列 （2）18+22-1=39；第 39 行第一个数是 780,780-21=759 12如图 17-16 所示，把自然数按规律排列起来如果用“土”字型阴影覆盖出 8 个数并求和，且和为 798这 8 个数中最大的数是多少?(“土”字不能旋转或翻转) 答案：112 解析：设方程的方法，设方格中任意一个数为 X，用含有 X 的式子表示其他的方格内数，他们的和为 798，解方程再带入最大求值。 超越篇 1下面的数组是按一定顺序排列的： (1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，请问： (1)其中第 70 个括号内的数分别是多少? (2)前 50 个括号内各数之和是多少? 答案： 解：（1 ）把（1 ，1 ）看作第一组；（1 ，2 ），（2 ，1 ）看作第二组；依次类推每一个括号内的两个数字之和是它所在组的序号加 1.前十一组共有 66 括号，所以第 70 个括号一定属于第十二组。 （2 ）第一组的和为 1 2 ；第二组的和为 2 2 ；以此类推前 50 个括号内的各数之和为 1 2 2 3 3 4 9 105 11385. 2. 桌子上有一堆球，如果球的总数量是 10 的倍数，就平均分成 10 堆并拿走其中 9 堆；如果球的总数量不是 10 的倍数，就添加不多于 9 个球，使球数变为 10 的倍数，再平均分成10 堆并拿走其中 9 堆这个过程称为一次“操作” 若球仅为一个，则不做“操作” 如果最初有 19491948194754321 个球，那么经过多少次“操作”后仅余下一个球? 解：每操作一次，数位会减少 1 ，当数位减少至一位时是“2 ”，还可以再进行一次操作，所以，最初的球数有多少数位就可以进行多少次操作。1 9 2 (99101)3(9991001)4 (194910001)6689（次）。 3在图 17-17 所示的数阵中，将满足下面条件的两个数分为一组：它们上下相邻，且和为391问：在所有这样的数组中，哪一组内的两个数乘积最小? 解：两个数的和一定时，它们的差越大，乘积越小。由数阵中规律可知，上下相邻的两个数差最大为 29.由和差问题公式，较大数（和+ 差）2=（391+29）2=210，较小数=391210=181，所以，这一组的两个数为 181和 210. 4图 17-18 中的数是按一定规律排列的，郡么第 6 行第 23 列的数字是多少? 解：前 22 列的数字个数为 1+2+22=253，从 1 至 120的数字个数为 9+290+321=252，所以，第 23 列的第 1 行是 121中的“2 ”，那么第 6 行就是 123中的“1 ”。所以，第 6 行第 23 列的数字是“1 ”。 5将“白、旦、田、由、甲、申”这六个字按如图 17-19 所示的方式排列请问： (1)第 1 行从左往右数的第 15 个字是多少? (2)第 1 列从上往下数的第 25 个字是多少? (3)第 25 行的第 15 个字是多少? 解：（1 ）1+2+15=120，第 1 行从左向右的第 15 个字是整个图中第 120个字，文字排列周期为 6 ，1206=20。所以第 120个字是“申”。 （2 ）1+2+24+1=301，第 1 列从上往下数的第 25 个字是整个图中第 301个字， 3016=501 ，所以第 301个字是“白”。 （3 ）第 25 行的第 15 个字和第 39 行的第 1 个字都属于第 39 斜行，第 39 行的第 1个字是整个图中第 1+2+38+1=742个，7426=1234 ，所以，第 39 行的第 1个字为“由”，再往后数 14 个即为第 25 行的第 15 个字，为“申”。 6将自然数从 1 开始，顺次排成如图 17-20 所示的螺旋形，其中 2，3，5，7，处为拐点，请问： (1)第 30 个拐点处的数是多少? (2)前 30 个拐点处的各数之和是多少? 解：（1 ）1+1+1+2+2+3+3+4+4+15+15=241，第 30 个拐点处的数是 241. （2 ）2 30+129+（2 28+227+326+325+424+423+522+521+152+151 ） =60+29+552+513+474+435+153 =2630 前 30 个拐点处的各数之和是 2630. 7如图 17-2l，把从 1 开始连续的自然数按照一定的顺序排成数表，如果这个数表有 40 行，请通过计算回答下列问题： (1)第 1 行的数是多少? (2)第 20 行中的最大数与最小数之和是多少? (3)第 35 行中的最大数与最小数之和是多少? 解：（1 ）行数除以 3 余 1 时，整个图形可以看成是 1 和一堆由数字组成的三角形（一个比一个大）组成的。除了 1 以外，有 13 个三角形，最小的是由 2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，10 组成的，总共 9 个数字 第 2 个三角形有 18 个数字，一个比一个多 9 个数字，最大的三角形 117个数字。 最大的三角形顶点在第 1 行，底在 40 行。 117个数字 第 2 大的三角形顶点在第 3 行，底在 39 行。 108个数字 第 6 大的三角形顶点在第 11 行，底在 35 行。 72个数字 第 10 大的三角形顶点在第 19 行，底在 31 行。 36 个数字 最小的三角形顶点在第 25 行，底在 28 行。 9 个数字 容易得出，第 1 行的数是 1+（9+18+27+117）-39=781. （2 ）第 20 行最小的数字在第 10 大的三角形中。从最小的三角形到第 11 大的三角形，一共 3 个三角形，再加上 1 ，一共是 1+9+18+27=55个数字，因为第 10 大的三角形有 36 个数字，所以第 20 行最小的数字是 55+12+12-1=78，最大 800，最大数与最小数之和为 878. （3 ） 每个三角形里的最小数字都是那个三角形的底从左数第 2 个数字， 从最小的三角形到第7 大的三角形， 一共7 个三角形， 再加上1 ， 一共是1+9+18+27+36+45+54+63=253个数字，所以第 6 大的三角形从 254开始，也就是第 35 行最小的数字是 254，最大 815，所以，最大数与最小数之和是 1069. 8. 如图 17-22，25 个同样大小的等边三角形拼成了一个大等边三角形在每个小三角形的顶点处都标有一个数， 使得任何两个相邻小等边三角形所构成的菱形的两组相对的顶点上所放置的数的和都相等已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是 100、200、300求所有顶点上数的总和 将 2n 个同样大小的等边三角形，拼成一个大等边三角形。 在每个小三角形的顶点处 都标有一个数，使得任何两个相邻小等边三角形所构成的菱形的两组相对的顶点上所放置的数的和都相等。已知在大等边三角形的三个顶点放置的三个数分别是 , ,x y z ，求所有顶点上数的总和。 解 下面先证明：在这样一个网格中，任何一条直线段上的数字，必定排列成等差数列。 在上图中，按照定义，必有 aebd (1) 和 becd (2) ， 将 (1)(2)，就得到 abbc ，即 , ,a b c 排列成等差数列。 对于一条直线段上的一串数字 , , , , ,a b c d e f ，用上面同样的推理方法，可以得到 abbccddeef ， 也就是说，, , , , ,a b c d e f 排列成等差数列。 按照上述结论，我们就很容易将各顶点处的数字填写出来。 下面计算所有顶点上数字的总和。 从 x 到 y 的直线段上的 1n 个数字，要成为等差数列，必定是 yxxkn（0,1,kn） 。 从 x 到 z 的直线段上的 1n 个数字，要成为等差数列，必定是 zxxkn（0,1,kn） 。 从 yxxkn 到 zxxkn 的直线段上的 1k 个数字，要成为等差数列，必定是 yxzyxkjnn（0,1,jk ，0,1,kn） 。 所以，全部数字的总和为 00()nkkjyxzyxkjnn(1)(2)()6nnxyz 。 例 1 设 2n ，24n ，, ,100,200,300x y z ，则有 所有顶点上数的总和为 (1)(2)()(21)(22)(100200300)120066nnxyz 。 例 2 设 4n ，216n ，, ,100,200,300x y z ，则有 所有顶点上数的总和为 (1)(2)()(41)(42)(100200300)300066nnxyz 。 例 3 设 5n ，225n ，, ,100,200,300x y z ，则有 所有顶点上数的总和为 (1)(2)()(51)(52)(100200300)420066nnxyz 。